Supposons qu'on ait, à l'origine du mouvement
ces deux fonctions ^x et ^'x seront nulles pour x = o et pour x = /, et données, depuis x = o jusqu'à xzzzlj par la figure initiale de la corde et d'après les vitesses imprimées, à cette époque , à ses différens points. En faisant ^ = o dans la formule (3) et dans sa difiérentielle par rapport à ^, on aura
(px=fx + Fx, <P^=^i^—^d^'^
et si l'on fait
-f^'xdx = ^x ,
. et qu'on mette Ç au lieu de or , on en déduira
y^ = T<pr H- i^ç> n = ipç - i^K. (4)
agB IIAITÉ DE KÉGAHIQOfi. '
La fonction 4>( contiondni nae ciomI— le îÉrfailnm; wmg il est éYident qn'eUe dispinltni dMS la lbf(nrale (5)^ qui ae oompose de- la lomine dm Vrievit àe/X et F^^ relatiTei à denx valenri difféwntei de (f • On peat donc faite abstraction de cette donetaBle;» et nppoter^ {loar fixer leB idëes^ ^ne -k feotiboo ^ a'éfanonitie , qnaiid»Ç=±ow Les éfamSém (4) fiaront aloie ooiUialtre leeValtun dr/^JCtF^^ «Éaii eeolAmeiit dephiîs (cso jnBqn'ii Çtsal^ paieque Im fiMKtioBfl fÇët<l^iie tant doUiléca q« dans cet in* tenralleL
Les points A et B étant files, ii fandrà qiiè leé ▼alenrs de j^ qui rrfpondbnt kat e=^o et « t» I , uSent constamment nulles. En disant at=sÇp on attra donc 9 d'après Téquation (5),
pour toutes les valeurs de la variable positive ^.
En vertu de la première de ces deux équadoosi les Valeurs de FC — ^ ) seront égales et de signe con* traire à celles de y(. Si l'on met dans la seconde équation (5) , /+^ à la place de Z 9 ^^ qu'on la retranche ensuite de la première , il vient
ce qui fera connaître y^, depuis C=o^ jusqu'à (^=00, quand cette fonction aura été déterminée^ depuis C= o jusqu'à ^ = 2/. Enfin, en supposant Ç < Z, et mettant l — ^ à la place de Ç", dans la seconde équation (5) , on a
Par conséquent > les valeois de /{ iU^^ Ç ) , depuis ^ £= o joaqfu'à Ç =:/| ou , ce qui est k même chose, Délies de /Ç depuis t^^snl jusqu'à Çtss:^l, seront connues, d après les valeurs de FÇ, depuis ^s^o jusqu'à Ç ts: l.
Ainsi y les valeurs* de /Ç et FÇ étant données par les équations (4)f depuis ^sno jusqu'à Ç^=^ly les équations (5) détermineront celles de/{l'^Ç)ttâe F( — Ç) , depuis Ç = o jusqu'à Ç s» 00 . On connaîtra donc toutes les valeurs de ces deux fonctions , d'où dépendent celles de / ^ pour tous les points de la oorde et à un instant quelconque du mouvement. Les valeurs correspondantes de -^ et -^ ^ et^
par suite y celles de —^ seront aussi connues; et les valeurs de z et -r- s'obtiendront de la même manière.
al
Par conséquent, on connaîtra la figure de la corde, ides vitesses transversales de tous ses points à un instant quelconque ; ce qui est la solution complète du problème, eu ce qui concerne le mouvement de la corde, perpendiculairement à sa direction naturelle.
U n'y a rien , dans la question , qui puisse servir à déterminer les valeurs de f{ — Ç), non plus que celles deFÇ, qui répondraient à ^>>Z; de sorte que ces parties des deux fonctions arbitraires, dont l'usage de la formule (3) n'exige pas la connaissance , resteront tout-à-fait indéterminées.
486. Pour connaître la valeur de ^ qui résultera des équations (3), (4); (5); je considérerai successi-
3oo TIULIT& DB MÉGàllIQDE. .
HIBiMiit . la partie de cette Taleor picovenant de la figura initiale de la corde , on de k fimdMQ:^ , et CjBUe'qni provifnit des vitettes initiales de aat diffii^ Dens points, ou de la.fonction ^'x.>
I*. A Torigine dn mouyement, soit ACB (fig. ai ) la projection dcmnée de la corde sur le plan des. « ^j, de socte qn'en prenant sor AB la putie ADs=«, l'ordonnée correspondante DCaoit fur. Après amir prolongé AB, je true la ccvnrbe Wk\ égale à A£D, maisinfersementplaoée, de manière qne, si Tmi prend WD's RD, Foidonnée IV C soit égale et de signe contraire à DCSnr les deux prolon^pnnens de AA', je répète indéfiniment la conrbe ACBC' A' ; en aorte qae A'C'Btl'^A'' 9oit la position qne prendrait ACBCA^ si cette. courilie glissait parallèlement à l'axe des x, jnsqn'è ce qne A vint en A' et A' en A% et qne AC,B,C,^, soit la position de A'CDCA, après atoir glisse de même jusqu'à ce que A' vint en A et A en A, ; et de même au-delà de A'' et de A^. Cela fait , si Tod prend deux abscisses
AE = X + a^, AE' = x — atj
dont la seconde pourra être positive ou négative y et qu'on élève les ordonnées correspondantes EF etE'F» positives ou négatives , leur demi-somme
•i(EF + E'P),
sera la partie de^ dépendante de la figure initiale de la corde.
2*. Supposons que les ordonnées de la courbe ACB, au lieu d'être les déplacemens primitiEs des points de
DYNAMIQUE, RETONDE PARTIE. Soi
la cor4e, représentent maintenant leurs vitesses initiales, divisées par a; en sorte qu'en prenant AD.=^,
on ait DC = - ç'x. Traçons une autre courbe AGH (fig. 22) , telle qu a l'abscisse AD = a: réponde l'ordonnée DG = " f^^xdx = <i>x. L'intégrale commençant avec Xy et la fonction ^^x étant aussi nulle , quand x =s o , cette courbe touchera l'axe des x au point A. Si l'on prend AB == / ,. et que BH soit l'ordonnée correspondante , on aura
BH
= \pjccdx,
et la tangente en H sera parallèle à l'axe des abscisses, à cause que l'on a ^*x = o , quand or = /. Je trace la courbe HCA^ égale à ACH, et placée de manière qu'en prenant BD' =BD , on ait D'C=I)lC ; puis je répète indéfiniment la courbe ACHCA% sur les deux prolongemens de AA", comme dans la construction précédente; et cela fait, si l'on prend deux
AK = X -f- fl^ , AK' = X — at ^
dont la seconde pourra être positive ou négative , et qu'on élève les ordonnées correspondantes KL et R'L', positives ou négatives , on aura
i(Kl,-K'I/),
pour la partie de y qui résulte des vitesses initiales des points de la corde.
3a»: TRAinft BE MtG&NIQDS.
Lavakmr oompttte à» y sera done ■
et la m6mè 'construction donnera la valeur correspondante de %• En effets on a
rf.EF rf.EF rf.ET rf.ET
on aura donc
èl «/^J^ {rf, gr y , g /if; KL <f,Kl/-\ * ""iV^ ite dx J'*'tt\dst "• ST"/*
Or, si Ton mène par la pQiote F^ P^ h,V (fig* ai. et aa), lés tangentes F/; FJ', U,LT,el W^itiitntf ^^ F^or, tiXy L'a:, parallèles à Taxe des or et dirige dans le sens des ^ positives , on aura aussi
^=tahgxF/, ^-^ = tang ^F'/' , -^ = tang xLl, -^ — = tang xUP; il en résultera donc
+ - (tang xLl + tang xl/t); j
formule dans laquelle les angles seront toujours aigus, mais positifs ou négatifs; ce que la figure in* diquera pour chacun des points F, P, L, h\
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. 3o3
On construira de la même manière les yalevrs de z et ^.
487. Il résulte de la construction des courbes représentées par les figures 2 1 et 2a , que quand le produit
ai augmente de sZ, l'ordonnée j^ et l|i vitesse —^ ex**
primées par les formules (a) et (6) , reprennent les valeurs qu'elles avaient auparavarfl. Il en est de
même à 1 égard d^s valeurs de z et ^. Far conr
séqnent , la corde revient au même état , pour sa forme et pour les vitesses transversales de tous ses points, au bout de chaque intervalle de temps
égal à —. Daps le vide, et en supposant les points
A et B rigoureusemenl fiices^ la çoide exécutei^t dpQÇ ui^ suite indéfinie de petites osciUatiops
dont la durée serait — , pQur chaque osciUatiou eo-^
tière , l^Hée et le retour compris. Mais la résistance de Fair et la communication d'une partie du mouvement de la corde à ses points extrêmes A et B , affaiblissent graduellement les amplitudes de ses oscillations^ et finissent par les anéantir, sans altérer sensiblement 41sochronisme ; résultat semblable à celui que nous a présenté le mouvement du pendule dans Fair (n* 190), et que je me contente d*indiquer. comme une conséquence de 1 analyse , confirmée par l'observation.
Si donc on désigne par T la durée d'une vibration ou oscillation e&tière de la corde, et par n le nombre des Vibrations qui auront lieu dans l'unité de temps ^
■3it4 ' i TRAITÉ DE MÉCAtf IQDSr < < >
«navim •• ••'■*
a V gw' a
Lé tôH d'noé corde sonore est d*aataitt plîis 'dÙté i]ft'dlç &ît un plus grand nombre de Tiimtion» en nn temps donner il est donc détermine par le jnomhre /», lequel est, comme on voit , indepcmuRi^jjb lia' grandeur dès amplitudes, supposées très petitBS. Ftiitt* une même coide , ce hombri^est ptoptirtiAiiitiBl i'ia racine cacrëe de la tensionar ; pourdeuAfCoqfa dîune «èflêe matiàre et d*nne mémo épeissenr'. Je poids jrest pr<qportionnel à lalongneoiv^Vf'^ k nombre n, ^ tension ^;ale,.en imispn invmè^ odk longueur; enfin, pour deitx cordes de quAqie kmgncfnr et égalenaâit tendues, n âft* étt' rtiâôtt it/ftaïc des râdnes caitéèb de teur poidsl €és dMKrè^ âi ont été confirmées depuis long-temps par rèzpénenœ* Toutefois il y a des cas dont nous parlerons bientàt, ou la corde , à raison de son état initial , se dirâe en parties égales, jointes par des points qni demearent immobiles pendant toute la durée du mouYement; ce qui élève le ton proportionnellement sa nombre de ces parties aliquotes. . .
Si les points de la corde n'ont pas de vitesses ini- ^iiales, on aura simplement
j^ = i EF + lET' , I = j(tang^F/-t«ng*r/;;
En considérant avec attention la forme de la . coudre représentée par la figure :2i, on verra que toutes ks
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. 3o5
fois quelle sera un mnltiple quelconque de l, la vitesse
j- sera nulle , et la corde reprendra la même figure ,
mais située dans des positions alternativement inverses l'une de l'autre. ACB (fîg. 2?) étant sa figure, ]uand ^ = o y ce sera encore sa figure et ^a position ^ i]uand ai sera un multiplç^, jciif* ,dp, hiV^^^^ lorsqup <i( sera un multiple impair de /^ i H çojrde, prendra la portion inverse ACB , telle qu'en faisant AD'=s BD , cm ait D'Ci =s — DC. Dans ces deux positions extrêmes ACB et ACB, les vitesses transversales de tous les points de la corde seront zéro ; et la corde emploiera le temps ^T d'une demi - vibration , à passer de Tune à l'autre.
488. En général , les parties des lignes que représentent les figures 21 et 22 ne sont pas les prolongemens analytiques Tune de Vautre; ces lignes forment des courbes discontinues, c'est - à •*' dire , des courbes dont tous les points ne sont pas assujettis à la même équation entre labscissc et l'ordonnée; mais, aux points de jonction A^, B^^ A, B, A', B^^ etc. ( fig. 21 ) , A, , H^ , A, H, A', ir, etc. (fig, 22 ) , de deux portions difierentes , la tangente est toujours commune aux deux parties adjacentes. La courbe relative à la forme initiale de la corde ^ et celle qui représente la loi des vitesses imprimées à tous ses points, peuvent aussi être des courbes discontinues, pourvu qu'en chacun des points où leur forme cbange, la tangente reste néanmoins la même pour les deux parties adjacentes.
Cette restriction est fondée sur ce que par leur
