ao

3o6 TKAITÉ DE MÉCANIQUE.

nature , la force accélératrice d'an point matériel et la vitesse dont il est animé , sont toujours des quantités finies, existantes et mesurables; en sorte que, dans les problèmes de Dynamique, les fonctions du temps qui expriment les vitesses et les forces accélératrices des différens points d^un mobile , ne doivent jamais devenir infinies. Ici , la condition relative aux vitesses est remplie ; car les vitesses transversales s'expriment par la formule (b), au moyen des tangentes de certains angles , multipliées par la constante a ; et par hypothèse , ces angles ne s'élèvent jamais à 90"*, et sont, au contraire, toujours très petits. Quant aux forces accélératrices , elles deviendraient infinies , dans les pointa où deux portions de la corde se couperaient sous un angle fini , et ces forces croltraient sans limite, près de semblables points de jonction.

En effet , soient m et m' ( fig. 20 ) deux points de la corde , très rapprochés de M ^ , et dont nous rendrons ensuite les distances à ce point infiniment petites. Considérons, a un instant quelconque, les forces qui agissent sur la portion mM'mf de la corde, c'est-à-dire, les tensions qui ont lieu à ses extrémités , et sont dirigées suivant les parties mh et m'h' des tangentes en /n et /n^ Repréisentons ces tensions par H et H' , et par fjt, la masse de mM'm\ Pour que la force accélératrice, parallèle à AB , de cette petite masse, ne devienne pas infinie, quand jul sera infi« niment petite , il faudra que la différence H — Hf soit très petite et au moins proportionnelle à ^t. De plus, les composantes de H et H' perpendiculaires à AU

et pandlèles à Taxe des j, seront H (^ et H'fjn,

«n rabstituaot ^ à ^ , comme dans le n® 4^3 , et

daignant par f^\ et [^ j les valeurs de ^ qui répondent à m et m'« La force motrice qui tire /t vers AB f aura alors pour valeur

«(©-«'Ci3

Pour que la force accélératrice correspondante ne soit pas extrêmement grande , et ne devienne pas iafinie^ quand la masse fc sera infiniment petite , il sera donc nécessaire que cette différence soit aussi très petite, et au moins proportionnelle k /ul; et commfe les quantités H et H' différent déjà très peu Tune de l'autre , il faudra qu'il en soît de méâlé à Fégard

, dont la différence devra être infiniment petite y quand les points m et m! seront infiniment rapprochés de M^ Donc , en aucun endroit de la corde et à aucun instant, les tangentes mh et m^h', en deux points infiniment voisins , ne pourront se couper sous un angle fini ; ce qu'il s'agissait de faire voir.

Cette conclusion aura encore lien, lorsque la cord^ sera composée de deux parties de matières diffé^ rentes : k leur point de jonction , l'ordonnée^ et son

coefficient différentiel -y- devront avoir constamment

une même valeur pour ces deux parties; ce qui fovrr-

a. (rs .. [$

3o6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

nira, comme la fixité des poiats extrêmes, des équations indispensables pour la détermination des fonctions arbitraires , et sans lesquelles la solution du problème serait indéterminée (^).

48g. D'Alembert a résolu le premier le problème des cordes vibrantes ;• la solution qu'il en a donnée est celle qu'on vient d'exposer , et qui est fondée sur l'intégration, sous forme finie, de l'équation

-^ = a* 2^; mais au moyen de la formule (a)

du n* Sj3, on peut aussi résoudre cette question d'une autre manière.

Quelles que soient les fonctions données ^ et f 'x, pourvu qu'elles scAent nulles , quand x = o et quand âp =s /, on a, d'après la formule

fx = j 2(/Sin ^ (p^dic') sîn iyi , ^'x=J.2(/;siaiî^(pV^')sin^^ ^^""^

pour toutes les valeurs de x, depuis x:r=o jusqua x=/ inclusivement, c'est-à-dire, pour toute la longueur de la corde-; i étant un nombre entier et positif, et les caractéristiques Z indiquant des sommes qui s'étendent à toutes les valeurs de /, depuis /=i jusqu'à £ = 00 . D'un autre côté , toute expression telle que #

(♦) Voyez y pour cette solution, le Journal de l'École Polytechnique, XVIII' cahier, page 442-

DYNAMIQUE, SEGONDfi PARTIE. 309

j zBs (h sin état + B.cos aat)sin(eix + C)j. (b)

satisfait, comme il est facile de le vérifier, à Yé-^ qoatioQ donnée

AyB, CL, 6 , étant des constantes arbitraires. D'après cela , si Ton prend

cette valeur de j^ satisfera à toutes les couditions du problème, et en renfermera, conséquemment , la solution.

En effet , chacun des termes des sommes Z satisfera séparément à Téquation (c); par conséquent, ces sommes y satisferont aussi , puisque cette équation est linéaire. Si Ton fait a:z=o ou a::=zl dans la formule {d) , on ^jz^o, quel que soit t} ce qui remplit la condition de la fixité des points extrêmes de la corde. Enfin, la formule (d) doAne

ï=7^Uo sm^ipor'.ir'jsm-j-cos-^ p"^V / sin— ^ ^xaor'J/sm-y- sm-j-;

et si Ton fait tz^Oé^iws ces valeurs de^* et ;^ ^

3io TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

deviennent ^x et ^'x, en yertu de l'équation (a); ce qui satisfait à Tétat initial de la corde , dans tonte st généralité.

Cette autre solution du problème est due k Lagrange» qui a aussi fait voir qu'elle coïncide avec celle de D'Alembert.

Avant Lagrange , D. Bernouilli avait déjà résolu }e problèinç des cordes vibrantes , en prenant pour j une valeur composée de termes compris dans la formule {b) , et assujettis à devenir nuls, quel que soit t, pour xa=o et pour xsnl, c'est-à-dire , au moyen de l'expression

2irX

A sm -7 -|- 13 cos -T- J sm -j- -|- (A sin -j- -|- B'cos — 7~ ) sm -y

+ (A 'sm —j — [-B 'cos —j-j sm -y- , etc..

dans laquelle A, A', A", etc., B, B', B", etc., sont des constantes arbitraires. Il manquait à cette solution, pour être complète , la détermination de ces coefiiciens , d'après un ctat initial de la corde, donné arbitrairement; ce qui était, sous le rapport de l'analyse, la difliculté principale de la question : cette formule (J^) suffisait, d'ailleurs, pour faire connaître les différens modes de vibrations transversales des cordes sonores , et les lois de ces vibrations.

490. Les formules (d) et (e) mettent en évidence les lois du mouvement de la corcfe vibrante, que Ton

a énoncées dans le n* 4^7 ; elles montrent aussi que le ton peut quelquefois s'élever, comme on la dit dans ce numéro , et le nombre n des ribrations dans l'unité de temps, devenir un multiple de sa valeuir générale, sans que K tçnsion de la corde ait été changée.

En effet , supposons que les yaletlrs de ^af et ^'x' soient telles que Ton ait

/ ^x' sin -~ dx' = o , f ^'tr' sin -^££r'= o, (g)

pour toutes les valeurs de i qui ne sont pas des multiples d'un nombre donné m; conditions que Ton peut remplir d'une infinité de manières différentes. Les formules (d) et (e) ne renfermeront que des sinus et cosinus des multiples de --7— ; par conséquent , l'état et la position de la corde redeviéridrotlt les mêmes toutes les fois que at augmentera d'un

multiple de — ; et d'après la valeur de a,^ celle du nom-

bre n , d'où dépend l'élévation du ton (n** 4S7) 9- sera

c'e8t-à-4ire, qu'il se trouvera Àugndenté dans-le rapport de m à l'unité.

Datis ce cas , la formule (d) ne contiendra que le^

sinus des niultiples de ^^^ ; (m aura donc consfâïtt-

ment ^ sa o pour les points équidistans N , N', N"j, ef€ , de là corde (fig. 24)» ^"^ répondent, à

3i^ TRAITÉ D£ MÉCANIQUE. " '

0?=— , =— f =-> etc.; en sorte que ces points,, •

9u nombre de m — i , demeureront immobiles , comme les points extrêmes A et B , pendant toute la durée du mouvement. Pour cette raison^ on appelle les points N , N', N", etc. , des nœuds de t^ibnUions. A Torigine du mouvement , ils n'auront reçu aucune vitesse, et n'auront pas .été écartés de la droite AB^ Les parties de la corde ACN, NCW, N'CW, etc., situés alternativement d'un côté et de l'autre de AB, vibreront comme des cordes isolées, dont les longueurs AN, NN'* NW, etc., sont toutes égales à - , et dont les vibrations isochrones et simultanées s'effectueront dans un temps égal à — .

La manière la plus simple de satisfaire aux conditions exprimées par les équations (g), est de prendrCi par exemple,

<px = h sm —j— , ^ a: = o ;

h étant une constante donnée. Cela suppose que les points de la corde n'ont pas reçu de vitesses initiales^ et qu'à loriglne du mouvement elle était formée de m parties égales et situées alternativement djun côté et de l'autre de AB. Chacune de ces parties de courbe est ce qu'on appelle une trochoïde^ qui a pour Ion-

gueur —, et pour hauteur A. Dans ce cas, la forr

piule [d) se réduit au seul terme de la première partie, qui répond à i:^m. En effectuant Imtégra^iou

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 3i3

• relative àV, on a simplement

y = /tsin -y- cos -j— j

la figare de la corde est donc composée, pendant tonte la durée du mouvement , d'un nombre m de trochoideSj d une largeur constante et d'une hauteur variable ; et elle coïncide avec la droite ÂB^ toutes les

fois que (U est un multiple impair de — . Cette solution particulière du problème des cbcdes yibfantes est celle que Taylor avait donnée /avant qiié Ta' solution générale fût connue.

491 • Tout ce que nous avons dit par rapport aux vibrations transversales s'applique immédiatement aux vibrations longitudinales. U suffira, pour avoir a un instant quelconque l'expression de la variable ik du n* 482 , de mettre dans celle qu'on a trouvée pour jj la constante tt du n° 4^^ ^ ^^ place de a* On pren* dra alors pour ^x le déplacement du point M (Gg. 20) à l'origine du mouvement, suivant la longueur de la corde, c'est-à-dire, la valeur initiale de MF; et ^^x exprimera la vitesse initiale du point M , suivant MB ou MA, selon qu'elle sera positive ou négative. Ces fonctions ^x et ^'x seront données arbitrairement , depuis X s= o jusqu'à x=:l; et si elles changent de forme dans cet intervalle , il faudra que , pour les valeurs de x où cela arrivera , chacune de ces fonctions et son coefficient différentiel aient cependant la piême valeur dans les deux parties adjacentes de la corde.

3i4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Il résulte de là que si Ton appelle T^ la durée eu- # tière d'une vibration longitudinale , c'est-à-dire , Fin* tervalle entre deux états identiques de la corde , et n' le nombre de ces vibrations dans l'unité de temps ^ nous aurons (n* 4^?)

Ce nombre n' et le ton de la corde qu^il détermine, ne dépendent pas de sa tension ^ar; cependant Tobservation indique que le ton longitudinal s*élève un peu quand la tension augmente ; circonstance qu'on peut attribuer à ce que la longueur de la corde, comprise entre les points A et B, restant la même» son poids p diminue quand on Tétend davantage.

49a. En comparant ce nombre n^ à celui des vibrations transversales de la même corde, on a

en sorte que, toutes choses d'ailleurs égales, le tOD provenant des vibrations longitudinales sera plus aigu que celui qui répond aux vibrations transversales , dans le rapport de \/q à V^<zsr.

Le poids 9 est la tension qu'il faudrait employer pour doubler la longueur naturelle de la corde, en supposant que la loi de son extension fat constante. En effet, si Ton suppose que, pour une tension donnée A, la longueur d'une partie quelconque de la corde augmente dans le rapport de i + J^ à l'unité,

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. 3i5

rélément adjacent au point M , qui éprouve succe»sivement les tensions « et T dans 1 état d'équilibre et dans letat de niouyement, augmentera dans les rap-

hm /T

ports de 1+ — et de i + -r- à l'unité; les longueurs

dx et dsy dans ces deux états, seront donc entre elles comme A + J^^ est à A -|- ^T ; en sorte que l'on aura

ds A + n:

d'où l'on tire

dx

- A+fit'

ds

— dx dx

en négligeant le carré de la fraction «T. D'après les valeurs de ds'-^dxet de T— « du n® 4^^^ ^° ^^^ donc

par conséquent , q sera la tension qui répondrait à cT = I , ou qui doublerait la longueur de la corde , si son allongement croissait toujours uniformément.

Comme la tension w. d'une corde sonore est toujours très éloignée de celle qu'il faudrait employer pour en doubler la longueur, il s'ensuit que le rapport

^ de n' à n est toujours très considérable. On

peut le déterminer, à priori^ d'après l'allongement de la corde produit par la tension nsr, et mesuré directement; car si l'on appelle y cet allongement, on aura

3i6 TRAITÉ DÉ MÉCANIQUE.

puisque J'tesl celui qui répond à la tension A; et en substituant cette yaleur de ^ar et celle de q dans Tex-

pression de —, il vient

d'où Ton coiiclut, réciproquement.

pour la valeur de rallongement y, d'après celle de 4. ' '

Ce rapport très simple du nombre dès* vibrations longitudinales à celui des vibrations transversales d'une même corde , a ét;^ vérifié par une expérience que M. Cagniard-Latotir a faite sur une corde très longue, dont les vibrations transversales étaient visibles et assez lentes pour qu'on pût les compter.

§ II. Plhtniions longitudinales dune verge

élastique.

495* Cette verge sera homogène ; et, dans son état naturel , je la supposerai prismatique ou cylindrique: la figure 2^ représente alors une section faite par le filet moyen AB , c'est-à-dire , par la droite qui passe par les centres de gravité de toutes les sections de la verge perpendiculaire à sa longueur (n* 3i4)- Si la verge est, par exemple, un cylindre à base circulairCi AB est son axe de figure; son diamètre est très petit,

DTHriMIQUE, SEœNDE PARTIE. 3i^

•et, dans tons les cas, les dimeasioDS des sections normaies sont très petites par rapport à la longueur de cette droite; mais elles sont, cependant, assez grandes pour que la verge résiste à la flexion , et soit ce qu'on appelle une vei^e élastique (n* 3o6)«

Dans le mouvement longitudinal de cette verge , que nous allons d'abord considérer , tous les points appartenant à une même section normale auront, à chaque instant, la même vitesse parallèle à ÂB; en sorte qu'il suffira de déterminer le mouvement d'un point quelconque M de cette droite.

Prenons sur cette droite un point fixe C ; et , dans l'état naturel de la verge , représentons par oc la distance CM , qui sera positive ou négative , selon que M appartiendra à la partie CB ou à la partie CA de AB. Dans l'état de mouvement, soit M', au bout du temps t , la position que prendra ce point M ; faisons MM' z=z u; et considérons u comme une quantité positive ou négative, selon que ce déplacement aura lieu du côté de B ou du côté de A, de sorte qu'on ait toujours CM':=x-^u. Il s'agira de déterminer la valeur de ii, en fonction de x et t.

Appelons p le poids de la verge, / sa longueur AB, et g la gravité. Dans l'état naturel de la verge, la masse de l'élément qui répond au point M , et

qui a dx pour longueur, sera ^-j- . Cette masse ne

changera pas pendant le mouvement ; et si l'élçment est sollicité par une force accélératrice X , dirigée dans le sens M'B ou M'A, selon qu'elle sera posi-

3i8 TRAITE DE MÉCANIQUE.

ti¥6 ou négative, sa force perdue pendant Tînir

tant dt sera

pdx /^ d^tt\

Désignons par T la tension du même élément qui agit à son extrémité M', et sera une quantité positive ou négative, selon qu'elle aura lieu du dedans en dehors , ou du dehors en dedans;

T+§dx exprimera la ten«OD qui agi», en «s

contraire de T, à Fautre extrémité de c^ élément; il sera donc tiré , dans le sens M^ , par une force

égale à j-dxi et , pour l'équilibre de cette force et

4le la préoédente, il fiiudra qu'on ait

ce qui s'accorde avec l'équation (a) du n* 5 16.

Aux deux bouts A et B, il faudra, en outre, que la valeur de T soit égale à une force particunère, qui agira suivant AB à lextrémité A, et suivant le prolongement de AB à l'extrémité B.

494* LiA longueur naturelle de Felément que nous considérons étant dx , et sa longueur devenant dx + du, quand il est soumis à la tension T, on aura

f désignant un coefficient constant, dont la valeur.

DYNAMIQUE, SECSONDB PARTIE. 819

doqiiëe par rabservaiion ^ sera

si Ton représente par i'I rallongement total de la verge, lorsqu'elle est soumise à une tension constante et donnée A (n° 49^)*

Je supposerai qu'aucune force donnée n'agit sur les points de la verge ; on fera alors X = o dans l'équation du mouvement ; et en y mettant pour T sa valeur, il en résultera

OÙ Ton a fait, pour abréger,

P On aura , ea outre ,

du du m

"""^li* '^Tx' ^=^*'

fB d9sig«ant par t' la vitesse dn point Mf , et par s la dilatation de la verge en ce même point. Quand la valeui! de s s»a négative,, cette' dilatatioa se chapger^. eni une contraction ; et k tension T agira daaa le sews M'A ou dans k sens M^fi, selon qu'il y aura , effectivement , dilatation ou contraction.

L'état de la verge , à un instant quelconque , sera donc connu , lorsqu'on aura déterminé u en fonction de X et ^ ; mais , pour obtenir sa valeur, il faudra joindre à l'équation (1) celtes qui répoudeni à l'état

3sto TRAITÉ DE IIÊCARIQUE.

initial de la verge et à ses extrémités. Or , quand tz=zo,je supposerai qu'on ait

de sorte que ^x et ç'x soient des fonctions données arbitrairement , depuis a:=: o jusqu'à a:s=zl, en prenant pour C la position initiale de A. De plus, à chaque extrémité fixe de la verge , il faudra qu'on ait u = o, pendant toute la durée du mouvement ; et T exprimera la pression que ce point fixe aura à supporter. A chaque extrémité libre qui ne sera sollicitée par aucune forcé donnée , il faudra qu'on ait

de même T=:OyOu ^ = o, pour toutes les valeurs de t.

495. On résoudra ce système d'équations de la même manière que celles qui répondent aux cordes vibrantes, soit en partant de l'intégrale sous forme finie de l'équation (i) , soit par des formules sembla» blés à celles du n* 489. Voici , en employant ces formules/ les résultats qui répondent aux différentes hypothèses qu'on peut faire sur les extrémités de la verge •

] ^. Si les deux points A et B sont fixes , il faudra que les fonctions données (px et (p^x soient nulles pour x = o et pour x=zl, et l'on aura, comme dans le numéro cité ,

z^ = j 2( / sm —j— (pxdx )sm -v- cos -j-

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 3ai

Toates les fois que at augmentera de 2I,' cette yaleiir de u et celles de i^ et ^ qui s'en dëdnisent ^ et par suite l'état de la verge , redeviendront les mêmes qu'auparavant; par conséquent , si l'on appelle T la durée d'une vibration entière , et n le nombre des vibrations dans l'unité de temps , on aura

a y gÇ ^V pi ^

en sorte que le ton sera le même que si la verge était une corde flexible vibrant longitodinalement.

a®. Si le point A est fixe et le point B entièrement libre, il faudra que les fonctions ça: et (p^œ soient nuP-

les, quand a:=o, et que l'on ait aussi ^ = o quand

x:ssl; l'expression de if sera alors

les sommes 2 s'étendant toujours à toutes les valeurs du nombre entier i, depuis 1=1 jusqu'à î := 00 . En eflct , tous les termes de cette valeur de u satisfont à l'équation (i); ils remplissent, quel que soit ^, les

conditions iis=o quand a:=o, et -^'r^o quand

xs=/, qui répondent à ce second cas ; et , pour ^ = 0, on en déduit

œ qoi est effectivement vrai , ëh vertu de Vëqua*lion (7) du n^ 526.

La valeur de « et celles de 9 et de s qu'on en déduit^ redeviendront les mêmes > toutes les Ms que aê augmentera d'un multiple quelconque de 4h f^ conséquent , si Ton aj^Ue T' la durée d'une vibration entière de la verge ^ ou l'iatervalle compris entre deux retours consccutifii de la verge au même ëtat , on aura

Gptte durée sera donc double de celle qui avait lieu dans le premier cas ^ et le nombre des vibrations dans l'unité de temps sera seulement moitié. Donc le ton longitudinal d'une verge fixe à un bout et libre à son autre extrémité'^ est à une octave au-dessous* da ton de la même verge fixe par ses deux bouts; ce qui est effectivement confirmé par l'expérience. S"". Enfin , si la verge est libre à ses deux bouts, ks

valeurs de -^^ devront être nulles pour x = o et

pour a* == / , et l'on aura, daos ce cas,

U-=r. j J ^Xdx +j2( I C08— y-fx'Éfcr J COS -j- C08 —.—

les sommes 2 s'étendant, comme précédemment, à toutes les valeurs du nombre entier i^ depuis i^s i jusqu'à 1=00 .

Cette valeur de u satisfait, effectivement, à l'équa-^

DYNAMIQUE, SEœNDB PARTIE. 3a3

Ûoû (i), ainsi qa*à la Goodicion ^= o pour xcs o

et pour xrsilp qui doit svoir lieu, quel- que soit t^ dans ce troi$ièaie eas. Pour / sb.o ^ elle donne

ce qui s^accorde avec la formule (8) du n"" 326.

Lorsque j ^'x'djc'iiest pas sero, la verge ^ i

pendamoient de ses vibrations, a un monvenient prog^-essif et uniforme» dont la vitesse , commune à tous ses points, est égale à cette intégrale divisée par /• Si on la suppose nulle, la verge reviendra au même état, pour l» vdeiur» de t qui dîfféreronf entre elles ,

d'un midtiple de — ; en s<Mrte que la durée de cha-

cune de ses vibrations , et leur nombre dans l'unité de temps, seront lesi mémeir que dans le premier cas. n en résultera donc que le ton d une verge fixe par les deux bouts , est à Vimisson de celu^ de la même verge entièrement libre ; ce qui est aussi conforme à Texpérience.

Au reste, il ne s'agit , dans ce qui précède^ qn^ du ton fondamental f ou le plus bas, d^me verge élastique* La rennrque du n"" 49^ ^^^ ^ nœuds de vibrations et sur les élévations de ton qui leur correspondent , s'étendra sans difficulté au ttiouvéïiléiit de cette verge ^ dana diacun des cas qu'on vient desamiNer*

ai.*

324 TRAITÉ DE HÉCAHIQUE.

496. Qaand la vei^e dont nous considéroiis le moaTement longitudinal, s'étendra indéfiniment de part et d'antre du point C , on n'aura plus à tenir compte de ce qui arrive à ses deux bouts^ et les valeurs de la vitesse (^ et de la dilatation s , relatives à un point et' un instant quelconques, se dëdniront immédiatement de rintégrale de Téquation (i) sous forme finie, dans laquelle i} suffira de déterminer les deux fonctions arbitraires , d après les valeurs initiales de i^eiSj qui seront données en fonctions de x*

Cette intégrale est

u = ^ j: + fl^) + 4(^ ~" ^)j f et ^ indiquant les deux fonctions arbitraires. On en déduit, à un instant quelconque,

5F — '' — ^V— as 5 j!

dk dp(x + at) d^{x — ai)

^"^ dx '' dx *

Pour ^ = o, je suppose qu'on ait

p s=z foc, s =z Fx.

Dans le cas que nous considérons , ces deux fonctions seront données pour toutes les valeurs positives ou négatives de la variable; eu faisant ^ = 0 dans les formules précédentes , on aura

dçx d^x y. dmx . dix «,

d'où l'on tire

dx

=ÎFx+i/x, ^'=iF«Jj/x,

OTNAMK^ , SECONDE PARTIE. 3a5

et y par conséquent ,

i» (x + al) I „ ,^, ^,\, i v./ , ^v

3g-^ = -F(ar-a/)--/(x — ai).

Qaels que 'soient tel a:, oa aura donc

P==^/(xH.af)H.i/(a:-a^)

formules qui feront connaître Tétat de • la yerge à un instant quelconque; ce, qui est la solution complète du problème.

497* Ces équations (2) renferment les lois de la propagation des ondes spnores le long d'une verge élastique , et, généralement^ dans une barre solide ^ homogène , d'une longueur indéfinie , et dont les sections perpendiculaires a cette longueur sont partout les mêmes et d nne petite étendue.

Le son partant du point C ^ la barre aura été ébranlée , à l'origine du mouvement , dans nne éten» due peu considérable^ de part et d'autre de ce point. En désignant par 2cl la longueur . de l'ébranlement primitif, les fonctions fx et Vx seront nulles depuis xss a jusqu'à x= oo, et depuis a: 2= — a jusqu'à X = — 00 ; elles seront données arbitraire* ment et indépendamment l'une de l'autre , pour toutes les yaleiirs de x comprises entre dzaj et lei

3«6 T1UIT£ de BOÊCAM^QIIS. .

fonctions /(ar4- o^), f{x—ai)j F(jrwM<)t f(a>-<<^)r n'anront aussi de valeurs différentes de zéro que quand U quantité ^ «f- ^^ ou x — o^ , contenue sous le signe y ou F , sera plus grande que *— « » et pl^s petite que a^ en ayant ^rd aux signes et en regardant a comme une quantité positiTC.

D'après cela 9 dès que o^aura surpassé aa> on aura i; = o et s^ss^o pour tous k$ pointe compris dans rétendue de Tébranlemant primitif; en sorte que le mouvemeift de cette partie de la barre ne durera que

pendant un temps ^^1 à — «Pour un p<»nt M situé

au-delà de cet ébranlement ^ du côté des x positives, on aura

. et les équations (a) se réduiront à

^ = - ~/(^-«<)4- î F (X - a«) î d'où il résulte

Tant qu'on aura a: > £ï« -f- a , ces valeurs de v ^\s seront nulles ; elles le redeviendront dès qu'on aura jr < ^^— " *î l'ébranlement parviendra donc au point

M au bout d'un temps égal à ; sa durée sera

— ; et la partie de la barre qui sera ébranlée à la fois, et dont M fera partie, aura aa pour longueur. Les

DYNAMIQUE, S£GOMP£ PARTIE. 327

némei résollmU auront lies du côté des x nëgn-^ tives.

Ainsi , de part et d'autre de rëbranlement primitif, il se produira une onde sonore^ dune étendue constante et ^[ale à celle de cet ébranlement y qui se pit^Migera uniformément avec la Vitesse a. Les vitesses propres que prendront siiccessivement les points de la barre , ne varieront pas avec leurs distances au lieu de rébranlemént primitif ; en sorte que riutensité du son , qui dépend de la grandeur de ces vitesses, sera constante, et ne s'affaiblira pas en se propageant; ce qui tient à ce que cette propagation a lieu dans une barre cylindrique ou prismatique.

Dans rétendue d'une onde sonore, la vitesse ne sera pas , eorome en tous les points de Tébranlement [irimitif , indépendante de la dilatation correspondante i l'une sera proportionnelle à l'autre , en vertu de l'équation v^sst^^^as^ qui montre que la vitesse v du point quelconque M est une fraction de la vitesse de propagation, exprimée par la dilatation s qui répond au même point , et que le mouvement propre de M aura lieu en sens contraire ou dans le sens de la propagation , selon qu'il y aura en ce point dilatation ou condensation*

U est important de remarquer que c'est à raison de ce rapport entre y et ^, que chaque onde sonore produite ne se partage pas en deux autres , et se propage dans un seul sens. Si ce rapport existait dans tonte rétendue de l'ébranlement primitif, le mouvement ae se propagerait aussi que d'un seul côté. Ainsi , eu

3a8 TRAITÉ DE BfÉGANIQUE.

snpposant qu'on 9\Xfx = — - àSXf lés équations (2)

se réduiront à

pour les valeurs de x négatives et plus grandes que — a^ abstraction faite du signe , on aura donc v ss o et ^ = o ; en sorte que le mouvement ne se propagera pas au-delà de l'ébranlement primitif du ràté des X négatives. Il en serait de même du côté des x posi*^ tives y si l'on supposait fx =: àSx.

D'après ce qu'on a vu dans le n^ 49^ 9 ^^ vitesse a de la propagation du son dans une barre indéfinie, pourra se conclure de la dorée des vibrations longitudinales d'une verge élastique, de la même matière et d'une longueur donnée. En supposant cette verge fixe ou libre à ses deux bouts , la valeur de a sera égale au double de sa longueur divisée par la durée de chacune de ses vibrations , laquelle durée se déduira de leur nombre dans l'unité de temps, et, par conséquent, du ton le plus bas de la veige: on doublerait le résultat de cette division, si la verge était fixe à une seule extrémité.

498. Au lieu de s'étendre indéfiniment dans le sens des x positives, si la barre est terminée en un point B, situé en dehors de l'ébranlement primitif, le son , après être parvenu en B , sera réfléchi vers le point C ; et il se formera un écho en ce point B, soit qu'on le suppose fixe , ou qu'il soit entièrement libre.

Je représente par c la distance CB , qui sera plus

DYNAMIQUE, SEOONDB PARTIE. 329

grande i{iie a. Dans le cas où B est nn point fixe , il faudra qu'on ait constamment 1^=0 pour ar=sc. Or, on remplira cette condition en remplaçant les formules (2) par celles-ci :

-♦--F(x+a/)---F(a:~a/)4--F(2C— or— a^),

+ iT{x + at)+^F(a: — a/) H-^ F(2C-a:-aO,

sans que ces expressions cessent de repr&enter Fétat initial de la barre , et sans que la yaleur de u , qui s'en déduit d'après les équations

du du

cesse de satisfaire à l'équation (i).

En effet y la variable a: n'étant plus grande que c pour aucun point de la barre , et c sui^passant a , on a 2C — Jf > «, et, conséquemment , y(ac— ar) :=o et F (ne — x) = o ; d'où il résulte v'=^fx et ^ =Fj:, quand ^ s=: o. A cause de c ^ et , on a aussi

f{c -I- ^) = o et F (c + ^0 ^== ^ ! ^ ^î donne v = o, poura^=c et quel que soit t. Enfin, on a

identiquement ^ = ^ ; et la valeur de .11, dont la

différentielle complète est s^^sdx^ sera la somme d'une fonction de x — at et d'une fonction de X + atf qui satisfera , par conséquent , à l'équation (1).

33o TRAITÉ DE MÉCAJfIQUE.

GeU posé , pour un point M tel que Toii ait x^^a,. les <|.ttaQtitë8 f{a: -|- ai) et F (x -f« ai) seront nnller,. et les yaleurs précédentes de p et ^ se rédairont à

en faisant , pour abréger^

- F(!2C — jc — at) f^ac — x — ai) == i'^.

La quantité v' œssera d'être nulle quand on aura a^ > X — a; elle le redeviendra pour a/ = a: 4* «t le temps continuant de croître , i^^ cessera d*étre xéro pour a/ = 2C — X — a y et le redeviendra pour at=s2C — x+a; d*oii Ton concltit que le point M éprouvera deux ébranlemens séparés Tun de l'autre

par un intervalle de temps égal à ^^-^^ ^. Le

premier sera le son direct, et le second le son réfléchi ; ils auront lun et l'autre la même intensité, et se propageront avec la même vitesse a ; et commet d'après le sens de la propagation, l'un répondra à v' et l'autre à — (^,, on voit qu'il y aura , pour tous les deux » le même rapport entre la vitesse propre du point M et la dilatation positive ou négative dont elle sera accompagnée. On trouvera les mêmes résultats en supposant que le point B soit entièrement libre , auquel cas on devra avoir constamment 5 = 0 pour xts^c. Ces lois de la propagation et de la réflexion du son dans une barre solide , ont également lieu dans le cas*

DYHAMIQDB, SBCOHDt PARTIE. 33>

ée Tair OMteon daas ud canal cjKndnque ou prisiM-tique, très étroit; «elles des ▼ibratiotiS'^loogitodf-* nales d'une Ytfge âastiqae ,. qu'on a exposées dans le 9* 4gS f (COwrifinneBt aussi anx vibrations de l'air reo-fisrmé d^is un tnyau d'une loognenr donnée, ouvert ou fermé à ses eatrémitëSf e'est-à-^ire , aux sons.des fiâtes^ en faisant abstraction» toutefois, des modifia cations qui sont dues à rembonchure (^).'

§ m» Choc Um^iiudmàl des verges Mastiques.

499< L^ fimnules du n"* 49^ s'appliquent au cho^ de deux ou plusieurs vergés élastiques , formées d'une même matière^ ajant la même section nor^ malf , et dont les filets moyens se meuvent sur une mèous ligne ditoite. Pour cela, pendant toute la du«* rée du contact de ees corps » on les considérera oomme wie seule verge élastique, cylindrique on^ prismatique, dont l'état, variaUe d'un instant à rantarei^ra déterminé par ces formules dans toute sa longuenr, excepté dans une étendue de grandenr insensible, de part et d'autre des points de jooctk>n»

JS9 effet, considérons seulement deux terges élastiques dont A£ et FB (fiig. a6) soient les fileta moyws. Lorsqu'en se rapprocbant à raison de la

(^; Wqfez, sar ce point , mon Mémoire sur le Moui^ement éss Jflmidcs élastiques dans les tuyaux (^Hndriques et sur là Tliéom dûs imsirumens à vent, q«î fait partie du tome II des Mimmrss dcfJcaHémir des Sciences.

33a TRAITÉ DE MÉCANItjUE.

différence de. leurs vitesses ^ la distance EF de leurs extrémités £ et F sera devenue insensible ^ et ne^nrpassera pins le rayon d'activité des forces moléenlaires , les molécules extrêmes de FiyM des deux verges commenceront k agir sur celles de Faotre, et réciproquement ; cette action mutuelle subsistera, en variant . d'intensité , tant que la distancç EF sera moindre que le. rayon- d'activité ; la force totale pourra être répulsive ou attractive ; et c'est réellement dans cette action à distance insensible, des points extrêmes des deux corps, que consiste le phénomène du choc. Or, la loi de l'action moléculaire en fonction de la distance nous étant inconnue, on ne pourra pas déterminer la valeur de EF en fonction du temps, non plus que les variations de vitesse que les points extrêmes des deux verges éprouveroM en vertu de cette force; en sorte que- si e et f MA des points de AE et FB^ situés à des distances^ de E et F y insensibles et moindres que le rayon d'activité moléculaire, les vitesses des points matériels appartenant aux tranches qui ont eE et F/* pour épaisseurs , seront inconnues pendant toute la durée du choc. Mais au-delà de e et y, et dans toute l'étendue de Kt et f^f l'équation (i) du n* 494 ^^^ lieu^ et l'état de ces deux parties de la verge totale se déterminera, à un instant quelconque , au moyen de l'intégrale de cette équation , suivant Thypothèse que l'on fera sur les deux bouts A et B, fixes ou mobiles, c'est-à-dire, au moyeu des différentes formules du n® 49^ f àm& lesquelles on n'aura plus qu'à mettre des valeurs convenables pour les fonctions arbiti^aires (px et f'x^

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 333

5oo. Les forces moléculaires rariant très rajndement arec la dislance , il s'ensuit que les vitesses inconnues des points extrêmes des deux verges varié* TOnt de même ; de sorte qu'à un instant quelconque les vitesses des points E et F pourront différer beaucoup de celles des points e et jf , quoique les distances eE et yr soient insensibles» U en sera de même à l'égard des vitesses des points e et f, comparées Tune'à Tautre , que nous déterminerons d'après leurs valeurs initiales, et qui seront inégales et pourront même avoir des signes différens ; mais on démontrera , comme dans le n* ^SS, que la tension T, positive ou négative , devra être sensiblement la même en ces points e et ff sans quoi la force accélératrice de la maMe de grandeur insensible , comprise entre les sections normales en. ces mêmes points, deviendrait extrêmement grande et comme infinie.

Avant le choc , nous supposerons que chacune des deux verges a ]a même vitesse dans toute son étendue; dans cet état, la tension T sera nulle pour tons les points des deux mobiles : au commencement du dmc, c'est-a-dire , lorsque la distance EF atteindra le rajon d'activité moléculaire, on aura donc Tss o aux points e et f, comme dans tous les autres. La tension, toujours égale pour ces deux points extrêmes, cessera ensuite d'être nulle : nous en déterminerons la valeur ; et l'on verra qu'elle redeviendra aéro après un certain intervalle de temps. Or, si à * cette époque les vitesses des points eeif permettent que les deux- verges se séparent, c'est-à-dire , si ces vitesses sont dirigées en sens -contraires, ou bien , si

ellMsont dirigées dans le même setis, et que hi yitesse du point qui va devant soit la ptnê grande, IM deux verges se à^revont effectivement , et le dMe sera tei^miné. Mais si, à Tépoqae.dont il s'agit, les vi» tessea de e et y* ne remplissent pas Fnne de ces deux conditions , le choc recommencera , pour mui dire ; la tension^ ^^ ^^^ points e et /, reparaîtra ; puis elle redeviendra nulle an bout d'un nouvel intervalle de* temps ; et ainsi de suite , de manière q«e les deux Y^ff^es ne se sépareront pas, et vibreront comme une yerge unique , dont la longueur est AB.

Ainsi p la condition nécessaire et suffisante poar qne le choc se termine, et que Fune des étax^rtrgti se détache de Tautiu, est le concours de ces dea circonstances: i*. il est nécessaire que la tension soit nulle aux points e et /*, afin que lee'deux vergei ne s appuient pas Tune contre l'aiftre i 2\ il ikèit , en même temps , que les vitesses de ces deux points soient dirigées en sens contraire, ou bien, qu'elles soient dirigées dans le même sens, et que celle da point qui va devant soit la plus grande.

Quant aux deux bouts A et B , nous supposerom successivement qu'ils sont libres tous les deux, et qu'un seul est libre et l'autre fixe.

5oi. Désignons par c et c' les longueurs AB et FB des deux verges, et par l la distance totale AB; de sorte qu'en négligeant la distance insensible EP, on ait c + c' sK Z pendant toute la durée du choe. Soit M un point quelconque appartenaM à AE ou FB; immédiatement avant le choc, appelons x U distance du point M à un point fixe, pris sur h

DYNAMIQUE, SBCOVVE PARTIE. 33S

droite AB, et qoi sera la position du point A à cet instant. Au bout du temps t , compté de cette époque, mit a: -^ u \si distance du même point M k ce point fixe; nous aurons

a étant une constante qui représentera la vitesse de la propagation du son dans la matière dont les deux Tcrges sont formées (n* 497)* On aura^ en même temps ,

pour la vitesse u du point M , et pour la tension T, positive ou négative , qui aura lieu en ce même point; q daignant une constante donnée. La dilatation qui accompagne la vitesse 9 se déduira de T ,

et aura - T pour valeur.

Ces trois équations auront lieu pour toutes les valeurs de se, depuis ^ = o jusqu'à x^=zl^ excepté celles qui répondrarient à des points situés entre e et f, et qpi différeraient ^ conséquemment, de c d une quantité insensible en plus ou en moins.

5oa. Pour t=:Op on aura ii=o dans toute, la longueur de AB; ainsi ^ il faudra supprimer le terme dépendant de fx, dans les formules du n^ 495. Examinons d abord le cas où les deux bouts A et B sont entièfement libres.

Soit h la vitesse commune à tous les points de AE, il llnstant 011 le choc commence, laquelle vitesse

sera supposée positive ^ ou dirigée de A. vers B. Sent aussi hl la vitesse des points de FB, au même instant, qui sera positive ou native, selon que. les deux verges iront à la suite ou à la rencontre Tune de l'autre. Ces constantes h et K seront données , et leur différence h — K devra être une quantité positive , afin que le choc ait lieu. Dans l'expression de u rela^ve an troisième cas du n® 49^ f ^ faudra prendre pour ^'x une fonction qui soit égale à A , depuis AT =r o jusqu'à une valeur de x un tant soit peu moindre que Cy et égale à h\ depuis une valeur de or un tant soit peu plus grande que c ^ jusqu'à xss If ou , sensiblement , ^ = c + ^* On aura alors , sans erreur appréciable ,

f^f'x'dx' = Ac + AV,

V^co» *^dx'= 4- (h — h') un ^;

► ^ / ITT ^ ^ / '

eif à cause de ^x' = o, l'expression de u deviendra u=(hC'+'h'c) j + -;^(A — A ;2 jg sm -^cos-y- sin -y- ;

la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs du nombre entier et positif i, depuis î = i jusqu'à / = oo . On aura donc , dans ce premier cas ,

T= -{h — A ;2 -sm -j- sm -j- sm — j— ;

et si l'on appelle m. et m' les masses des deux verges

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 337

propoitipniielles à leurs longueurs c el c% le pre- * mier terme de cette valeur de i^ est . la vitesse

; — 7- de leur centre de gravité. Si les deux

vitesses A et h' sont égales et de même signe , on aura constamment v=ih et Tc=o; et, en effet ^ les deux verges vont alors à la suite Tune de l'autre, avec une vitesse commune, et sans se comprimer.

Les séries périodiques' et convergentes que ces formules renferment sont comprisei/parmi' celles dont on sait déterminer les sommes exactement* Pour toutes les valeurs données de â: et ^, ces sommes se déduiront , sans difficulté, de la formule connue

iÔ = sine— isinaS-f-lsinSe— Jsin494-etc., (5)

d^ns laquelle 6 est une variable renfermée entre les limites =b^ exclusivement. On pourra donc calculer les valeurs exactes de la vitesse sf et de la tension T, à chaque instant et en un point quelconque de Ae et y*B; ce qui est la solution complète du problème.

n y a plusieurs manières de parvenir à la formule (3). On l'obtient, par exemple, en différentiant par rapport k x, Téquation (8) du n*" 3^6, après y avoir mis a^ pour (px ; ce qui donne

équation qui a lieu pour les valeurs de x moindres que /, et dans laquelle la somme Z s'étend à toutes les valeurs du nombre entier i, depuis t= i jusqu'à

a. aa

3S8 tRAITÉ DE MËCAIIIQOB.

j 99» 00 » Ea effectuant rimégntiiHi ptr les lèglea ordinaiires» on a

on Mit donc

— * sa ■*• 2 ■ 1 ■ nn

frfmltat qoi coinoide avec Téquliaii (S), en ftoiiBC

5oS. Ea yerta de la isGonde ëqMliiHi (i)^ la ?a^ leur de T ert nulle, non-eeulement quand tsso, mais M8|i qMnd. f eat un imdtiple qndcoiuiiie

de -; elle, l'est 9mA^ quel ^^m ieit I» «v deu

bo^nte A et 9f ^{ca repMident a x ss 6 et jt dss /.

Si ^ est zéro ou un multiple pair de -, la première

équation (a) donne

ou, ce qui est la même chose ,

à cause de c +^' =: ^ et cosôr =: (— i)'. Or, on peut

DYNAMIQUE, SBGOIfDE PAMIE. 339

prendfe -^-^ — ^ pour 6 dans la formule (S) ; et il e« rëralle

Si Ton a jr <<c, cW-Ji-dire^ si le point M appartient à Ae, on pourra aussi prendre pour 8 la quantité

"T f <|ui sera moindre qi^e ^| on aura 4onc

«t cea valeurs nédniront Téquation (4) à (^ «= ^. Si ^ au contraire y le point M appartient à fB, on aura oc > c et 2/ — c' — j: < / ; on pouir» donc prendre

à caufiç de

an — r^ = — SMï — af — '

la formule (3) donnerai