partie GB se séparera au bout du temps < = -• En
effet ^ à ce< instant, la tension T sera ilulle» et les vitesse^ h' et h des points g éi g^ permettront la di»* jonction dfes parties Â6 et GB. Apl*ès le choc, dont la
durée aura été - • comme dans le cas de c' = c , la
partie GB se mouvra avec la vite^ A , et bs parties AE et FG, avec la vitesse commune A^ La même chose aurait encore lieu si les trois parties AE , FG , GBy étaient elles-mêmes coupées et divisées en d'autres portions égales ou inégales p pourvu qu'aTant le choc toutes les portions de AE eussent une même vitesse h, et toutes les portions de FG et GB une vi* tesse commune h'.
Ainsi, supposons y par exemple, qu'une verge homogène, prismatique ou cylindrique, soit coupée en un nombre n-f-n' de parties égales; et imprimons une vitesse h aux n premières parties, av^c laquelle elles viendront choquer la série des n' autres parties , qui seront en repos avant cette percussion . Si n surpasse n', aucune partie ne se séparera, et elles seront toutes transportées dans le sens du choc , en oscillant suivant cette direction, et faisant entendre le ton correspondant h la longueur entière de la verge , libre par ses deux bouts; mais si Ton a n'> w , les
parties antérieures , au nombre de /i ^ se détacheront des antres^ poutr se mouvoir avec une vitesse commune et ^ale à A ^ et les n' autres parties demeureront en repos et juxtaposées. Ce r&ultat^ étendu par analogie à une série de sphères /comprend le phénomène dont il a été question dans le n* 365.
5o5. Considérons maintenant le cas où le point A est fixe. Avant le choc , supposons que la partie AE soit en repos, et que tous les points de la partie FB aient une vitesse commune et négative, que nous représenterons par — A:. 11 £siudra alors &ire usage de l'expression de u relative au second cas du n"* 49^ f dans laquelle on fera (p'x = o depuis ^ = o jusqu'à X = c , et p'x = — « A: depuis x =i c jusqu'à X =r c + ^'= '• À cause de ^x = o, pour toutes les valeurs de x, il en résultera
w^a (21 — ly a/ 2/ 2/ '
d OÙ Ton tire
4^- ' (^^ — iWc . (2« — i)jrx (li — iWa/
r=: — -Î-2-T — cos^ r-^ — suai— r~ — cos= r^-—
«- af"-! 21 2/ 2/
^ 4^^- » (^ — ï)«^ (2«-*-f)i»jr . (21 — i)'7Tat
T=:— 22-2-- — co«^ 7-i— cos^ r^ — sm^ ,^ —
formules dans lesquelles les séries sont du genre dis celles dont on sait déterminer tes sommes , et qui feront connaître exactement la vitesse et la tension , à chaque instant ^ en un point donné de Ae ou àeJU.
Oa emploiera , à cet effet , la formule connue
j=:cosB — ^cos36+ 4 C08 58 -|- etc. y (6)
ç|ui a lieu pour toutes les valeurs 4e fl comprises entre ±iT exclusivement ^ et qui se déduit, par exemple , de la formule (7) du. u^ 5^6 , en la dif-
férentiant après y nvoir mis jc au lieu de for; et en
y. fakant; ensuite -j = 6« •
5o6., En vertu de ia* seconde équation (5), la tension T est nulle en toqs )és ptiints des deux verges, lorsque t est zéro ou pu multiple . quelconque
Si t est zéro ou un multiple pair de —, la première équation (5) donne
vr L ai — I 2/ a* J
ou, ce qui est la même chose,
à cause de c + c' = / et sin ~ = — (— i)'.
Or, d'après l'état initial des deux verges, cette formule , en tant qu'elle se rapporte à ^ = o , doit se réduire à ^ = o pour x <C c , et à ^=: — k pour ^ > c ; et c'est d'abord ce qu'il s'agit de vériOer.
pn prenant ^^7 — • pour G dans l'équation (6),
JnWAHIQUE, SEœNDE PARTIE.
il en résulte
2 (riVcos^iir •)-<—''')-
at — 1
Qaand on a x <^ c , on peut . aussi inrendre
— T pour fl; ce qui donne -; ;:
2(=iO:cos^îi=:-)'(^+''')
al
et ces formules réduisent^ effectivement ^ Tëquation (7) à f^ = o. Quand on a x > c, on aura aussi al — or — c' < /; en prenant donc
et observant que
cos
(21— l)jr(x +V)
= — cos
la formule (6) donnera
au moyen de quoi et de la valeur précédente de
2 ^-r-j^cos ^ ^-y^ ' , 1 équation (7) se réduira
à (/=3— -A:, comme cela doit être.
Lorsque / est un multiple impair de — , la valeur
de i^, donnée par la première équation (5)^ est égale et de signe contraire à celle qui a lieu quand t est
246 TRAITÉ DE BIÉCANIQUE. .
zéro ou un multipU pair de — ; il s'ensuit donc quaii
bout d'un temps égal k — , tous les points ie Ae ont
de3 vitesses nulles , et tous ceux de /b, des vitesses positives et égales kk; et comme à cet instant la tension T est partout égale k séro , il en résulte que la verge FB se détachera de la verge AE ^ et sera ré* fléchie ayec une vitefise égale et coutraire à celle qu'elle avait avant le choc.
Ajinsi 9 le choc de la verge FB contre la verge AE, qui s'appuie en A contre Un obstacle fiie^ durera
pendant un temps égal à —, et sera conforme à ce
qui a été dit, dans le n* 36a # sur la réflexion d'un corpd par&itemeht élastique. On peut aussi remarquer qu'au milieu du choc, c'est-à«4ire , au boot
d*un temps égal à -, on aura (^ = 0, d'après la première équa|ion (5), pour toutes les valeurs de x; en sorte qu'à cet instant la verge choquante FB aura perdu toute sa vitesse, et la verge AE n'aura aussi aucun mouvement. Au même instant, on aura, en vcTlu de la seconde équation (5) ,
d'où l'on conclura, par le même calcul que pour l'équation (7), T = — — ou T = o, selon quoa aura j^ < c ou jc > c. Au milieu du choc , la tenr
sion est donc nuUe pour toute retendue de la vergt choquante; mais la rerge choquée est condensée tinw formément; et c'est la pression qu'elle exercé dans I0 sens ÂE, ou de dedans en dehors , qui fait rebondir la verge choquante.
S rV. Digression sur les intégrales des équations aust
différences partielles.
5oj. Si Ion excepte un petit nombre d'équations aux différences partielles, celles d'un ordre ^upé^ rieur au premier ne sont point infégrables sous forme finie, lors même qu'il s'agit d'équations It-i* néaires. Pour résoudre les problèmes qui conduisent à ces équations , on est donc obligé , le plus souvent , de recourir à leurs intégrales en séries ; et il faut alors qu'on soit certain, dans chaque cas, que la série dont on fiiit usage a toute la généralité que éomporte réquâtion donnée aux différences partielles, et qu'elle renferme des fonctions arbitraires en nom«bre suffisant pour exprimer l'intégrale complète de celte équation. Ok", il n'j a pas de règle générale à ce sujet : ce nombre peut être moindre que celui qui toarque Tordre de l'équation donnée , ou des différences partielles les plus élevées qu'elle renferme ; il change avec la quantité suivant les puis^ sanoes de laquelle la série est ordonnée ; et il peut même arriver que toutes les fonctions arbitraires disparaissent 9 et que la série ne contienne plus qu'un nombre infini de eopstantes arbitraires , sans qu'elle cesse, néanmoins, d^exprimer l'intégrale com«
348 TRAITÉ DE BfÉGAlflQUE.
plète. Ce sont ces diverses circonstances que nous allons examiner^ d'abord en général, et ensuite plus particulièrement, en ce qui concerne les équations linéaii^ auxquelles on est conduit dans la plupart des problèmes de Mécanique et de Physique.
5o8. Soit u une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes t^ oc ^ y^ z, etc. Sup- ]k>sons que cette fonction doive satisfaire à une équation donnée aux différences partielles , que nous représenterons par h'^'oi QueUe^que soit.la Yaleur de i^> lOD/.peut .toujours la coricevoip développée ea série ordonnée :shivaht lest puissances de Tune des variables t , xy jr^f z, etc., ou , plus généralement , d'une autre quantité 6 dépendante d'une ou plusieurs de ces variables. Soit donc
«t, €f y f etc., P, Q> R, etc. , étant des exposans et des coefficiens indéterminés. Si je substitue cette valeur de u dans l'équation L = o , que je développé ensuite L suivant les puissances de fl, et que j'égale séparément à zéro les coefficiens de tous les termes de ce développement, j'aurai une série d'équations, dont chacune renfermera une variable in* dépendante de moins que L = o ; et si je parviens à obtenir les valeurs les plus générales de a, C, y , etc. , P , Q , R , etc. , qui satisfassent à cette suite d équations , la série ( a ) sera aussi la valeur la plus générale de u qui satisfera à l'équation L = o. Selon la quantité G qu'on choisira, on aura ainsi différentes expressions de u en série ^ qui se-*
Tont toutes y sons des formes équivalentes , Fiittégnde complète de L = o ; en sorte qne si cette iot^pnde pent aussi s'exprimer sous forme finie, chacune de ces séries en sera un développement diflërént, et pourra toujours s'en déduire. Toutefois, lorsqu'on sera parvenu, d'aprfes les autres conditions du problème qui aura conduit à l'équation L=o^ à déterminer toutes les quantités arbitraires que contiendra la série (à) , il faudra qu'elle soit convergente pour qu'on en puisse faire usage ; et si elle devient divergente pour des valeurs de 8 , on devra changer cette quantité , et remplacer la série (a) par une autre , ordonnée suivant les puissances d'une variable différente.
Cela posé , en prenant pour L = o , des équations linéaires de différens ordres , on verra que les coefficiens P, Q, R, etc., déterminés de la manière la plus générale , peuvent néanmoins renfermer des nombres inégaux de fonctions arbitraires , selon que la série (a) sera ordonnée suivant les. puissances de telle ou telle variable 9; et l'on verra même, comme nous l'avons dit plus haut , qu'il pourra arriver que toutes les fonctions arbitraires disparaissent de cette série ^ qui ne renfermera plus alors que des constantes arbitraires en nombre infini , et qui n'en sera pas moins l'intégrale complète de l'équation L=o« Lé caractère distinctif de cette forme singulière de l'intégrale complète, sans aucune fonction arbitraire, d'une équation linéaire aux différences partielles^ consiste en ce que tous les termes de la série qui la représente se déterminent indépendainment les
.359 TRA|T£ S£ «lÉaNIQDS. , '
ni» des aatres, et $atis6>ot sëfn^rément ^ r^qfu^fâ^ dopn^, 4^ maïuir^ q«e la val^or gén^rfdia 4» ii $9t >. wiiim^ 4'iu9 iioîp])i« ioftai do yakiw» parti' çvAi^ ^ cette fiwMctioii.
\ 5ffQ..^ltf t^v «simple, r^qmtio» frjii m^
éaas laifaella o eft ana. coh)8taata doanëe. Si f aa dareloppa la valaw de ic tuivast las poissuoea éa4t Ml traa^a pour la série k plM.grfnérale qu iaditÊÊÉÊ à>jpalte ëqoatioa
^ ëtaot «ne fonction arintraira. Sou œtte forme; riatëgialé complète de l'équation (b) ne comporte donc qu'une seule fonction arbitraire^, laquelle re^ présente la valeur de u qui répond k t=so. Mais si Ton développe la valeur générale de u suivant les puissances de jcr , on trouve
>P^ et 'i^/ étant deux fonctions arbitraires, qui expriment les valeurs de i< et ^ , relatives à x=o. Par conséquent, sous cette autre forme, Finlégrale comr
DYNAMIQUE, SEGOKDE PARTIE. 35i
plète de l'ëquatiob {b) renferme deux fonetions ailM» traires.
Ces deux séries s'obtiennent par la méthode des coefficMBs et des exposans indéterminés ^ en faisant successivement A ss ^ et 6 ss op dans la série (a). On les déduit aussi du théorème de Taylor; car on a, d'après ce théorème ,
«=U+(<-.a)D'4-^VH-^~if|a)*H-etc.,
en désignant par a une valeur particulière de ^ ^ et supposant
ponr cette valeur f = a. Or^ l'équation {b) et ses différentielles snccessives par rapport ii t donnent • •
etc.
if'U
dx* dx*
Uit\ « u •
d'V dx^ »
dx»
La quantité l) restera donc seule arbitraire , et l'on aura
ii = U4-A(/-*)jj + -ij-;^;^+etc.;
ce qui coïncide avec la série Çc)^ quand on prend zéro pour la constante a, c'est-à-dire, quand on développe suivant les puissances de l, el que Ton
35a TRAITÉ DE MÉCAHIQUE.
fait U = Çx. On obtiendra semblablement la série [d).
Ces deux séries (c) et {d) peuvent, au reste, se transformer l'une dans l'autre. Eu effet, développons ^x suivant les puissances de :r , et soit
OÙ l'on désigne par A, B« C, B, E, F, etc., des censtantes arbitraires; nous aurons
li'^x
«B i»^i»i it ifiàilttlé» (^ Utimài ■■ - ..ii«.
+ (b H- D<a + î^ + «c. ) X + (C + Eat + etc.) ^ + (D + F<tf + et<:.)^, + etc.
Or, si l'on fait
A + Gu + ïî^ + etc. = 4( , B + D<il + — + etc. =x= *« ,
■\t et 'i't senint deux fonctions arbitnires-.et joâér
DYNâMIQUE, SBOBNOB PARTIE. 353
pendantes Tune de l'antre ; on en déduiira
