etc.; et si l'on feit
Ae" 4- Be«' + 0>* + etc. =fx, 9x sera une Cooction arbitnire, on aura
DYNAMIQUE, SEGOHDE PARTIE. 355
A«»c^+Bg»/' + Cyey, + etc. = ^s . ; .
etc. ,
et la série (é) coïncidera avec la série (c). On fera de même coïncider la série {e) avec la série (d) , çi^ développant la première suivant les puissances de a:, pour la rendre comparable à la seconde.
5i I . Chacune des deux séries (c) et (e) peut être «sprimée sous forme finie, au moyen.d'une même inl^prale définie.
D'abord, eu désignant par n un nombre entier positif, on a évidemment
Soit aussi
/ e~**rf« ^= k ;
en daignant par g une constante positive, et mettant
(à v/g et \/gdùà à la place d^'ai et dcùf lès Uiiiiies de cette int^rale ne seront pas changées, et f ttn
aura
/oo - • vr
d'où Ton tire
/oo ^, ^j I.3.5.. .a« -^i . ,.
en diiférentiant /i fois de suite par rapport è* g , et
faisant ensuite g^ i. Au mo^cn de ces valeurs, la
fonmule (c) pourra s'écrire ainsi :
. 8ir'fl(l/â/ d^tx i6«Vf d'mx , \
-1 L^— -^ -\ 5-; -5—- + etc. Je—o'dM.
et, d'après le tb^rcme de Taylor, elle se réduira à
QoeUe que soit la couslaote et, on ae chaDgera pas non plus les limites de l'intégrale f e— *W«o, en y mettant & — cl ^at au lieu de o; on aura donc
d'où Ton tire
OïliOplûn^n d« nièiuqlw aigres exponeutielles ^u> i^tr^t 4«u la ««nfi,(e)b b^ieUe deviendra, de celle manière ,
+ Co (' + »• V^> + etc.] e— "dw.
Or, si ng^ inUèi^i 'cdrii'me-pto luftit,
DYN^iQUE, SaOMKDE PARITIE. 967
nous aurons, en xaéroe temps,
ce qui fait coïncider la valeur précédente de u avec la formule (/).
Cette équation {f) est , sous forme finie , llnt^ràle complète de Féquatioa (b) ; elle 9e hnilfemie^ comme on voit, qu'une seule fonction arbitraire, qui se déterminera immédiatement d'après la valeur de u relative à ^ = o. Toutefois , cette forme de Tintégrale complète suppose que cette valeur de u , qui sera celle de ^x, croisse avec la variable dans un moindre rapport que e**, et que le produit e-"*"^jc s'évanouisse pour or = d= 00 , sans quoi la quantité comprise sous le signe / croîtrait indéfiniment avec a>, pour toutes les valeurs de t différentes de zéro, et l'intégrale définie , dont les limites sont a» = db 00 , aurait gênéi*aleraent une valeur infinie, ce qui est inadmissible.
Si nous faisons , pour un moment ,
nous déduirons de l'équation (y*),
du a r^ — «i»^/ / , . /— :\ •A»
« "^ = J /r„ ^""'"P" (^ + 2« Vât) da; en inic'grant par partie, et supposant que le produit *.
35S '.>TBAnti OB*|BtoAlHQDB. '•
de flr-** et ^' (or -f- a« ^^Mlûntaite an deu mites, on « - ,
- ' • . ' M à ■ mf.m^ k ' "
oe qai finit coindder la yileiir de ^r ^▼k ^^Dé de
]^'Ea piurtiEn]^ éie'^ sérié (d), on pairiéndrait k n'iie ifit^nde ^u fi[>râ^' finie de oetteéqiuitioii, moim î^qEiqple '(^e la ifiùrmnle (/), el qni contiendrait deux fonctions lurUfnotes, ''/^ jSTiÀ.^LaTdenr coiinné'de là quantité k, renfermée
'obtient.
y^riaUés dâSs^entes sons le^sispae A de manièie qu on ait
d'où Ton condut
à cause que les deux variables xeijr sont indcpea^ dantes Tune de Fautre. Si donc on fait
d'où il rësoltera
lOO
et si l'on regarde x^jr^ z, comme les coordonnées courantes d'une surface , t^ sera le volume . terminé par cette surface de révolution , et prolongé indéfiniment autour de son axe de figure, qui sera Taxe des z. Or, on obtiendra la valeur de ce volume en le décomposant en un nombre infini de tranches cylindriques, dont cette droite sera Taxe commun. Le volume de Tune de ces tranches , infiniment minces, dont les surfaces intérieure et extérieure auront r et r^dr pour rayons, sera égal au produit de sa base TfFrdr^ multiplié par sa hauteur z ou e^^'; le volume entier s'en déduira , évideinment , en int^prant depuis r t= o jusqu'à r =s oo ; par conséquent, on aura
f^fdr = TT
et A: = V^ ; ce qu'il s'agissait de trouver.
Je ferai remarquer qu'en prenant ^xsscos j:, et mettant a* au lieu de at dans l'équation (c), on aura
M= (i — «•+ A ^ — ÎL-- -f. etc.^ cos jrr ,
ou , oe qui est la même
u s= ér-*"cosx.
L'équation (/) devient , en même temps*,
u=s —T, I e-***cos(a:H-a««)a«;
mais on a évidemment
36o T&AITÉ DE BfÉCANlQUE.
d'oii Ton conclut
e| en égidant cette valeur de << s^ lune des précédentes, pu a
On peut donner une valeur imaginaife à la cons^
tante et dans cette équation; etsironynurta \/ — i au lieu de a y on aura
On a souvent occasion d'employer ces formules , qui se présentaient ici naturellement , et que Ton ob* tient aussi par d'autres moyens.
5i3. Les équations aux différences partielles auxquelles on est conduit , dans la plupart des problèmes de Mécanique ou de Physique , sont linéaires à l'égard d'une inconnue u, dn premier ou du second ordre par rapport au temps, et généralement à quatre variables indépendantes, dont u est fonction, savoir, le temps, que nous représenterons par t, et les trois coordonnées d'un point quelconque du système dont on s'occupe ; que nous désignerons par jt.
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. 36i
jpZ.Si Ton exoepte lear dernier terme , indëpendant de tt et qu'oD peut toajoars faire disparaître , elles ne contiennent pas cette variable I explicitement , c^est* à-dire , que dans ces équations les coefficiens ne sont fonctions que deXfjr, z.Or, Ls=:o étant une de ces équations sans dernier terme , si Ton prend 0 s: e*, la série (a) deviendra
iis=Pe^4-Qe^ + Rev^+etc. ; (g) '
et si Ton substitue, dans h, cette série (g) au lieu ie u, il est aisé de voir qu'il en résultera
L = (M«- + N« + 0)e^ + (M'C* + N'ê + (y)eû ^ (ftp/y + N"> + Of') c^^+ etc. ;
My Ny 0^ étant des quantité qui ne contiennent que rinconnue P, d'où se déduiront M'^ N', 0', en y mettant Q au lieu de P^ puis M'', N"t 0'', par la substitution de R à la place de Q^ et ainsi de suite* Toutes les quantités M, M', M'', etc., seront nulles, lorsque Véquation L := o ne sera que du premier ordre, par rapport à L Dans tous les cas, cette équation donnée L = o se décomposera en celles-ci :
MX' + N'e
etc.
Br>*+ N">H- ^" * ^*^
Par conséquent, les exposans et, 6, y, etc. , seront des constantes arbitraires; les coefficiens P, Q, Ry etc. y se détermineront indépendamment Tun de lautref au moyen de ces équations (h)^ qui sont toutes semblables; et tous les termes de la série (g),
36a TRAITÉ DE MËCANIQDE.
c'est-à-dire, de l'intégrale complète de Fëquation L ^ o y ordonna suivant les pnissances de Texponenfiell^e ef^ seront des intégrales particolières de cette même équation.
Les équations (A) seront linéaires , comme L = o , par rapport à l'inconnue que chacune d'elles renfermera. Si L ne contient qu'une seule des trois coordonnées x^ y ^ z, elles seront simplement des équations différentielles ; et alors la série (g) ne renfermera que des constantes arbitraires p savoir, ^p^t y, etc. y et les constantes qui seront introduites par l'intégration des équations (h). Quand elles Seront aoi différences partielles , on pourra souvent les traiter comme l'équation L=sO| et exprimer leurs intégrales complètes en séries d'intégrales particulières.
5i4- On peut donner une autre forme à la série (g), en y changeant les exponentielles en sinus et cosinus. Soient y en effet, X, ft, p, etc., d^autres constantes arbitraires, et /?, ç, r, etc., p', c(y r', etc., d'autres inconnues. Si l'on met dans cette série
dbx V — I* =*=J^ V— I, =1=1/ \f — I, etc., au lieu de a, S, ^, etc. ; qu'on y remplace P, Q, R, etc. , par
ip±ijt>y— 1, 7?=^^?; V^i, irrfciK V— I, etc.; et que l'on prenne ensuite la somme des valeurs de u
qui répondront aux deux signes de V — i * oa aura
i4=zp cos M + q cos fJLt + r cos vt + etc. \ (*\ + p' sin M -|- y' sin [jLt + r' sîn vt + etc. j
Pour la généralité de l'intégrale de Ls=o, .exprimée indifféremment par cette dernière formule ou
DYUAMIQUE, SECONDE PARTIE. 363
par la série (g) , il faudra que les constantes A » ft ^ p, etc. y aussi bien que ^, Cpy, etc., soient réelles ou imaginaires ; m^s il y a des problèmes dans lesquels les valeurs déterminées de X, fi, p, etc. , seront toutes réelles y et d'autres dans lesquels aucune des valeurs de a, €, y, etc. , ne sera imaginaire. Dans le premier cas , il conviendra d'employer la formule (i ), et dans le second, la formule (g); et lors même que réquation L =3 o sera intégrable sous forme finie , il arrivera souvent , dans des problèmes de Mécanique^ ou de Physique , que l'expression de son intégrale , au moyen de l'une ou l'autre de ces deux séries , sera plus propre que l'intégrale sous forme finie, à faire découvrir toutes les circonstances du phénomène; dont on s'occupera. Les questions relatives aux petites oscillations des points d'un corps élastique ou d'un fluide , qu'on a un peu écartés de leur état d'équilibre, sont celles où il conviendra d 'employer les expressions des inconnues sous la forme dé lasérie (î).
Lorsque les valeurs générales de P, Q , R , etc., et, par suite, celles de p, 9, r, etc. , p\ q', /, etc. , ne renfermeront que des constantes arbitraires, la for^ mule {£) s'écrira plus brièvement de cette manière :
^ u ^=^ 1p cos Xt -f- ^p' sin Xt ;
les caractéristiques 2 indiquant des sommes qui s'étendent à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires de A et des autres constantes arbitraires, contenues dans p et p'. On pourra , si l'on veut , faire croître ces valeurs par degrés infiniment petits , et remplacer les sommes Z par des intégrales; mais
364 TRAITÉ DE BfÉCANIQUE.
cette aaire forme équivalente de Texpression de u D a aacan avantage ; et il vaut mieux conserver la précédente. «
5i5. Indépendamment des équations aux diflerences partielles qui conviennent k tons les points du système y il j a toujours, dans les divers problèmes de Physique ou de Mécanique, d'autres équati<ws qui n'ont lieu que pour les points extrêmes; telles sont y par exemple , dans le problème des vibrations longitudinales d'une verge âastique , les équations relatives ht la fixité ou k Tentière liberté des deux bouts de oette verge. Ces équations particulières serviront^ dans chaque cas, à déterminer les valeurs d'une partie des quantités arbitraires que renfermera la série (g) ou la série (i); quant à oelles de ces quantités qui resteront encore indéterminées après qu'on aura eu égard k toutes les équations de ce genre, elles dépendront de l'état initial du système. Pour en obtenir les valeurs , j'ai suivi, dans un grand nombre de problèmes dlflerens , un procédé uniforme , que je crois applicable à tous les cas, soit que la question ne présente qu'une seule inconnue u, et ne conduise qu'à une seule équatioa L = o , soit qu'il y ait à déterminer plusieurs inconnues dépendantes d'un égal nombre d'équations aux différences partielles , linéaires et simultanées. Ce procédé général a aussi lavantage de fournir, dans chaque exemple, la démonstration de la réalité des coustantes a, ^^ y, etc.» ou des constautes A , fi , v , e^c. , qui dépendent d'équations transcendantes quelquefois très compliquées^
DYNAMIQUE , SECONDE PARTIE. a65
et dont il serai! souvent difficile de déterminer autre* ment la nature des racines.
L'exemple que nous donnerons de l'application de cette méthode , dans le paragraplw suivant , sui^ fira pour l'expliquer , et pour qu'on puisse l'employer dans d'autres problèmes. Au moyen de cette méthode, on déterminera, sans aucune difficulté^ les vibrations longitudinales des verges élastiques, dans les trois cas du n* 49^1 ^^ ^^on sera conduit, d'une manière plus directe, aux mêmes formules que dans ce numéro. Pqur exemple d'une question dépendante de plusieurs équations ' aux différences partielles, j'indiquerai le choc longitudinal de deux ou plusieurs verges élastiques, formées de matières différentes ; question qui a été résolue dans le pa-* ragraphe précédent, pour le cas particulier de l'ho* mogénéité, et dont je supprime ici la solution gé^ nérale, à cause de la longueur des formules qui sy rapportent.
5i6* Supposons que le temps i smt compté i partir de l'cnrigine du mouvement ; et soient
u=z/(a:,jr,z), ^ = F(a:,jr, 2},
les valeurs de l'inconnue u et de son coeflicient diff^ rentiel par rapport à t , qui répondent à ^ s= o ; de sorte que /(x, jr, z) et F {ûc^ jr, z) soient des fonc-* tions données arbitrairement pour toutes les valeurs des coordonnées oc, jr^ z, qui répondent aux points d'un système dont on considère les vibrations. Après qu'on aura déterminé toutes les quantités arbitraires
qne renferme la série (i) , d après Tétat initial de ce système , et en ayant égard aux équations particulières qui peuvent avoir lieu à ses extrémité , il faudra que cette série et son coefficient différentiel coïncident y pour ^ = o ^ avec les fonctions fipc^y^ z) et V{x p jr^ z)j dans les limites du système. Ainsi , il faudra qu'on ait
/(^f ^1 a) = P + ? 4- r 4- etc. , 1 .^. F(x, j^, z) =:?ip'+,jL(jf+,/+ etc.; j ^ ^
ce qui fournira un développement, ou une transformation d'un genre particulier, pour chacune des fonctions quelconques f{x, ^^ ^) et F(jc, j^, 2); transformation qui ne sera pas identique , et n*aura lieu que pour des 'valeurs limitées des yariables x.
Quoique le plus souvent on ne puisse pas démontrer directement l'exactitude de ces équations (A:), cependant il ne peut rester aucun doute à cet égard. En effet, d'après les considérations précédentes , la série (i) représente certainement l'intégrale complète de 1 équation L = o , c'est-à-dire , la valeur la plus générale de u qui puisse satisfaire à cette équation. Par hypothèse, on a déterminé les quantités arbitraires que cette série renferme , au moyen des autres conditions du problème qui a conduit à cette équation L = o ; si ces conditions ne sont pas incompatibles, et que le problème soit susceptible d'une solution , il faut donc qu'après cette détermination, la série (/) exprime la valeur de e£ à un instant quelconque et en un point quelconque da
DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 367
système; par conséquent, en faisant ^ = 0 dans eette série et dans celle qu'on en déduit par la différentiation relative à ^, elles devront repr^nter
les valeurs initiales de u et j- , c'est - à - dire • les
% al ' .
fonctions fÇx , jr, 2) tt F (x ^ jr, z) , quelles qu'elles soient, mais seulement pour les valeurs de a?, jr y Zy comprises dans les limites du système que l'on considère.
Dans l'exemple du mouvement longitudinal d'une verge élastique, les séries {k) représenteront, pour toute la longueur de cette verge , et dans les différentes hypothèses relatives à ses extrémités , les deux fonctions arbitraires qu'on a désignées par (px et q/x dans le n^ 49^» ^^ ^^^ séries coïncideront avec les expressions de px et ^'xy dont on a fait usage dans ce numéro, et qu'on avait démontrées auparavant.
517. La conclusion de tout ce qui précède est que, pour exprimer dans un problème relatif aux petites vibrations des corps, et dans d'autres questions de Physique, chaque inconnue, au moyen de la série {g) ou (1% il est nécessaire d'avoir démontré, préalablement, que cette série représente la valeur la plus générale de l'inconnue qui puisse satisfaire à l'équation aux diffi^nces partielles dont elle dépend , et , ensuite, de déterminer toutes les quantités arbitraires que cette série renferme, au moyen des données particulières du problème, qui répondent aux extrémités du système et à son état initial ; ou bien , il &ut omnaltre , à priori, comme dans le n^ 49^^ des expressions en série de la valeur initiale et arbitraire
de chaque inconnue, dont tous les termes » multipliés par des sinus ou eosinus d'arcs proporfionnds au temps I ou par des exponentielles, satisfassent isolément à réquation donnée aux différences partielles et aux autres équations relatives aux points extrêmes du système. On doit regarder^nmie incomplète une solution dans laquelle on n a pas démontré , à priori, la généralité de la série (g) ou (i) dont on &it usage, ou dans laquelle on ne vérifie pas , à posteriori , que cette série peut représenter la valeur initiale de chaque inconnue, quelle que soit cette valeur, dans tonte retendue du système , y compris les points extrêmes. D'après ce qui précède, la première méthode sert toujours apfriiicable; la seconde ne le serait que dans un très petit nombre de cas particuliers.
§ V. F'ibrations transversales dune verge
élastique.
5i8. Les verges élastiques sont susceptibles de quatre sortes de vibrations, auxquelles répondent des tons différens, et qui peuvent coexister dans une même verge, droite ou courbe dans son état naturel. Ces vibrations sont longitudinales, transversales» normales, tournantes ou produites par la torsion. Les vibrations normales consistent en des dilatations et condensations alternatives des sections de la verge, perpendiculaires à sa longueur ; elles n'ont pas encore été déterminées par la théorie. Les trois autres espèces de vibrations l'ont été; etlaualysema fait connaître, entre les tons qui leur correspondent, des rapports
que L'expérience a confirma, ou que les phjsîcîeiis avaient déjà remarqués. Telle est, par exemple, l'obeenration curieuse que Ton doit ht Chladni^ l^ suivant laquelle une verge encastrée par un bout et libre par Tautre, rend un ton plus grave d une quinte^ lorsqu'on la fait vibrer par torsion , que quand ellfe vibre hmgitndinalement ; cela revient à dire que 1% *' ton qu'elle rend dans le premier cas est le Aréme que celui qu'elle ferait entendre dans le second, si sa longueur était augmentée dans le rapport de 3 à 3 ; or, j'ai trouvé que ce rapport devrait être celui dé
^Tô à 2; œ qui diffère k peine d'un vihgtiènie du résultat que Chladni a énoncé en nombre rond.
Je renverrai, pour les développemens de tette partie importante de la Physique mathématique , au mémonre s^r V Équilibre et le tnoupement des corps élastiques, que j'ai déjà cité (n^ 5o6), et où je me suis aussi occupé des vibrations des membranes tiexi- Uea et des plaques élastiques. Il suffira , dans ce Traité , d'avoir considéré les cas les moins compliqués de ce genre de questions , qui sont ceux des cordes vibrantes et des vibrations longitudinales des verges élastiques , auxquels nous allons encore ajouter le Cis «des vibrations transversales.
5 19. Nous supposerons, comme dans le cas des vibretioiis longitudinales (n*49')f V^*^ s'agisse d'une MTge homogèiie , et , dans son état naturel , prismatique ou cylindrique ; nous supposerons , de plus , qu'elle n'éprouve aucune torsion sur elle-même ; en sorte que tous lei points de chaque filet longitudinal 2. 24
3^o TRAITÉ DE BiÉGANIQUE.
ne sortent pas d'un. même plan pendant toute la dorée du mouvement.
Soient AMB (fig*. 2j)'\9L' direction rectiligne du filet moyen dans Tétat naturel de la vei^e ^ Z sa longueur, et 0? la distance ÂM du point quelconque H à Textremite A. Au bout du temps t ^ supposons que M soit transporté en M^; abaissons de M' la perpendico-^ laire Ml^sur AB ; et faisons
Si ces deux variables uetjr sont supposées constamment très petites, et qu'on n^lige , en conséquence; leurs carrés et leurs produits , leurs valeurs en fonctions de ^ et 0? dépendront , comme dans le cas des cordes vibrantes (n* 4^3) , d'équations linéaires dans lesquelles ces inconnues seront séparées ; les mouvemens très petits , dans le sens longitudinal et dans le sens transversal , coexisteront donc sans s'influencer mutuellement; et comme nous avons déterminé, d'une manière complète, le mouvement longitudinal, nous pourrons maintenant en faire abstraction. Je ferai donc uz=zo,de sorte que tous les points du filet moyen oscilleront sur des droites perpendiculaires à sa direction naturelle , et que xeijr seront , à un instant quelconque , les coordonnées courantes de la courbe plane A^M'B', formée par ce filet. Je ferai aussi abstraction des petits mouvemens de dilatation ou de condensation qui pourront avoir lieu dans chaque section de la verge , perpendiculaire à sa longueur ; le mouvement qu'il s'agira de déterminer sera alors le même pour tous les points d'une même
DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 3)i
section; et il suffira de considérer celui du point qui appartient au filet moyen.
L'équation de ce mouvement transversal se déduira de réquation {/) du n* 3iio ^ en y mettant
Y — ^, OU simplement — ^, au lieu de Y, à
Ton suppose qu'aucune force donnée n'est appliquée aux différens points de la verge. Cette équation sera donc
b^ étant une constante positive, qui dépendra de la matière de la verge , de l'étendue et de la figure de la section normale.
Outre cette qquation ( i ), commune à tous les points du filet moyen, il y aura des équations relatives à ses extrémités , qui seront les mêmes que dans le prO^ blême de l'équilibre. A cet égard, il pourra se présenter' six cas différens , selon qu'à chacun des deux bouts la verge sera encastrée, ou seulement appuyée^ ou entSèremmit libre. Mais* comme ces six cas se traiteraient de la même manière, nous nous bornerons à en considérer un seul en détail , et nous supposerons que la verge soit entièrement libre à ses deui^ bouts A et B , auxquels ne sera d'ailleurs appliquée aucune force particulière.
Cela étant, pour toutes les valeurs de e, nous aurons ( n"" 3ao )
à l'extrémité A^ et
l7> TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
k rextrémitë B^.
A Torigine du mouvement, la courbe du filet
ipoyen Qt los vitesses imprimées à tous ses points se* ^ ront connues ; si donc on compte le temps t à partir
de cette origine, et quon représente par ^x et ^'x • des fonctions données depuis x^so jusqu'à x =: / ,
on aura , à la fois ,
« = 0, jr = ^x, ^ = (p'a:. (4)
Ces fonctioQs arbitraires ^x et 9^'x devront , tonte-? fois , remplir les conditions relatives à or ss o et X^=^lf qui seront exprimées par la% équations (2) et (3) pour la fonction ^ , et par lenrs d^érenlielles rçlatiye^ k t pour la fonction ^'x*
Ainsi, la question que nous aurons à résoudre ood* sistera à trouver la valeur de j-, en fonction de ^ et x, qui satisfait aux équations (i), {7)^ (3), (4)» dont la première est la seule qui ait lieu pour tontes les valeurs de ces deux variables. Mais, auparavant, il est bon de comparer, pour une même vei^e élastique, le coefficient b qui entre dans l'équation de son mour vement transversal, et le coefficient a contenu dans l'équation de son mouvement longitudinal.
5ao, En désignant par g la gravité , par p le poids de la verge, et par q la tension qu'il faudrait employer pour doubler sa longueur /, on a (n^ 494)
DYNAMIQUE, SECONDE PAftTIE. 3^5
Le produit de la densité de la verge et de Faire de sa
section normale sera égal à ^ ; et d'après Tiequa-^
lion (f) da n"" Sao^ d'an Ton a déduit Féqyalioil (i) du mouvement transversal^ ou aura
b^^^^fl^^du; (5)
u, sf, k, k'p ayant la même signification que dans lé n"" 3i4> et la constante « du même numéro étant la valeur de ^^ rapportée à Tunité de surface^ de sorte qu on a
en aj^peUnt m Taire de la section nomiale àû tat verge^ Faîaoqs aussi
r sn^du =;= (êh^;
h sera une ligne dont la valeur dépendra^ de réten«> due et de la forme de son contour; et il en résulterai
d'où Ton conclut
Si la section normale de la verge est un rectan^ite dont la base soit perpendiculaire au plan de la courbe A^B', et ta hauteur égale 2l ut, on aura
ùd = ai^é , A:' = A: = 6 , wh* = ^ / "*^" = {y^y
* ■ et il en résultera
$74 TlUnt DE MÉGANIQinL
Ikm k ctt d'iine v«ff^ cjKndrique 9 dont le njOB •era reprâenté pir ê, on apra
d'où Ton dëdoira d'abord
trt y ensuite y
Sni^posons enoore qve la section normale de la Terge soit nn triangle isoscàle, 4]» ait sa base perpendicnlaire an plan de la oonrbc AHIV; et, pour fixer les idées, supposons anssi que ce plan s<nt vertical , et que la base du triangle réponde à la bœ supérieure de la verge. Appelons A cette base, et 2S la l^auteur ; nous aurons toujours
mais la valeur de k sera différeute, selou que la face supérieure de la vei^e tournera sa convexité par en haut ou par en bas (n* 5i5). Dans le premier cas, on gara
d'où il résultera
et, par conséquent,.*
* = ^- Dans le second cas, on aura
aAi'
on en déduira et, entité,
Ces résultats nous serviront, plus loin, à compa«rer entre eux les tons d une même verge élastique , lorsqu'elle exécute des vibrations longitudinales , ou des vibrations transversales.
521. Maintenant, soient f? et g des fonctions de x, et m une constante par rapport à i^ et à qo. Pour sa-^. tisfaire à Téquation (i), prenons
cette équation devant subsister pour toutes les valeurs de ^, il faudra qu'on ait
et, en intégrant ces deux équations différentielles du quatrième ordre, il vient
• p :» Asinmj: + A'cMmx ■ '
y ^ Cunnuc + G' «m nu;
A,k% h, B';, C« CVI># B'^ étont le« Imii; o
A cause de k forme Upifaire de Téqaà^nm (i)', m 7 HtMen encore en^nyMBl ^''
et étendant les sommes S à toutes les Talenrs possibles, réelles ou imaginaires, de m et des huit autres constantes A, A', etc. De plus , cette valeur de^ sera l'intégrale complète de l'équation (i), d'après les considérations qu'on a exposées dans le paragraphe précédent.
- ' Si OB la sn1»titne dans les équations (a) et (3), qoi ont lien ponr tontes leé Talenrs de /, et, par comé^ qnent, ponr tons les termes des sommes 2 pris séparément, OQ aura
poar X = o ^t pour x ^ /. En mettant ponr p et f leurs Talenrs précédentes, il en résulte d'abord
et, eu outre,
DYNAMIQUE, SECOKDE PARTIE. 377
Al (2 sîn m/ — e"' 4" ^"""O = A'(e" ' + e"""' — 2 cosml), A'(asÎQ 111Z+ e^ — e"^*) = A (ii cos m/ — e"' — e~"^), C (2 sînm/— e-' + e— 'J =C'(e-' + e— '— a cosml)^ C (2 sîn/n/+ e"' — e"'^) == C (2 cos m/ — e"' — 6-"'J.
Or, en multipliant membre à membre les denx premières ou les deux dernières de ces quatre équationSi et supprimant , dans les produits, le facteur commun AA^ ou ce, on a
4 sin*m/ — (e"'-^e"""'/-|-(2COsm/ — e"'— c''"')*= o,
ou bien, en réduisant ^
(c"' 4- ^^■^) cosm/ — 2 s:s o ; (n)
équation qui servira à déterminer les valeurs de m. Les valeurs de A , A% etc. , qu'on tirera des équations précédentes, seront d'ailleurs
B = A s E(6"' 4- e— ' — 2 cosm/), B'= A'=^ E(2sinai»/— e-' + r^), D ss; C a= F(è^ 4- «-^ — 2 cos m/), ITœ C = E'(2sin2m/ — 6^4- iT-»;,-
E et F étant deux nouvelles constantes qili resteront indéterminés.
En faisant , pour abréger ,
X «: («"'4^ e"^' — 2COS JdiZ) (ainiiw: -f- ï e~ — ^ e^**) 4-(2 sini»/— c^4- ^■""') (cos mx 4- Jc^ 4-t^'"*^)^
la valeur précédente de jr deviendra
jr = 2X (E sin m'bt + E' cos m^bt) ; (b)
3j9 'WÊêXÈ m lÊickWS^PÊj Miti
kfomme S s?<tei4Mit,to«igwpff4 ;tgBtet.>i,.yilttii. jtapïMenjk» E eitEf, mus.sevlçpent à^jUMi^t ^nfMpt dttmiltmiâis ÎMrr&raatMm (a), j^ôur tmrtnciv tlh*
' r' ,^^ MM. m»V' '»./^l.. • . />j..^
des Meflidem E^t^F^ tcMms I èhhqM ifUèiir étin^
b n* 5i5. . , ,.^4 ; : ], .^ y, w ^ ^tj:u-Jr# j^iq
Remarquons d'abord que si m est ime radne « réquation (aj/il en sera de même à Tégard de —m,
m V — ïf — *m V— I ; de pins, les valeurs -correspondantes de X ne différerpnt entre elles qne parle
signe, on par on facteur V— i; d'où il r&ulte qu'on pourra réunir en un seul terme , dans la formule (b)f les termes qui répondent à ces quatre racines, et n'étendre ensuite la somme Z qu'à des valeurs réelles et positives de m, ou bien, à des valeurs composées d'une partie réelle et d'une partie imajginaire , s'il en existait , dont la partie réelle - serait positive. J)e cette manière . si m et m^ sont deux racines de l'é- . qiiation (a) dont on fera usage \ ni et m'* différeront de db m et d= m».
DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 379
Cela étant convenu , je multiplie Téquation (i) par Xi2r, puis j'intègre depuis x=o jusqu'à xs^l; ce qui donne ^ '
En intég;rant par partie, on aora
Jo dx* \ dx* dx dx'^dx' dx^d^yj
r^d'j- dKd'j- , j'X^r d'à n,rfd*x ,
"~L rfï^~"aï dx^'^'dP dx^'ap^sKIo'SFi^
Les termes compris entre les parenthèses répondent à x=:lf et ceux qui sont renfermés entre des crochets, à 0? = o ; ils se détruisent les uns et les autres, en Tertu des équations {2) , (3) , (4) , relatives à ces limites ; et , d'après Féquation {d) , qui a lieu pour toutes les valeurs de a?, si Ton met m^X à la place de
j-f sous le signe j, on aura Donc I à cause de
Jo^dë~^— — 3? '
nous aurons
L'intégrale complète de cette équation différentieUe du second ordre est
9^ . iinutsTÈ'va WÉCÊÊtMfm:^^
fl et ff daignant les deux constinl Pour 1^ d^iteniMnfif I j« fias < =t o d«|i ^Wla finmude et dans sa ^SBeréotMfe pair rapport k #} et^ en ayant ^fd an équations (4J^ g cnj^f^^ , ,^ , ,,
a<^>, o« tara doue , ,^
iiie«i|i#;a^|i« «o^ileMiit fae œa «Iti* ef .M«4ii4l m'est une racine de Tëquation (a), telle que mf et m'* différent de db m et =b m*, comme on Ta supposé tout à l'heure, il fundra que le terme correspondant à m' disparaisse du premier membre; ce qui exige qu'on ait
f^\Kfdx = Oi (J)
X' désignant ce que X devient quand on y change m en m\ Mais pour le cas de m'szm, on conclura de œttt même équation (e) ,
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. 38t
ce qui (en connaître les valeurs de E et E' en fonc-tions de m y au moyen desquelles la formule (fi) deviendra
I— ri
= îX
/Xfxdx I X^x dx
*mW X*Ac
Cette expression de^ et la valeur de ^ qui s'en
déduit^ ne renfermant plus rien d'inconnu, elles feront connaître , k chaque instant , Tordonnëe et la vitesse d'un point quelconque M' de la courbe AIVTB' ; ce qdi ist la solution complète du problème. L'intégrale 1 \*dx s'obtiendra , sous forme finie f par
les règles ordinaires; les valeurs des intégrales j X^^rviret j Xjp'xdx, ne pourront , généralement, se calculer que par la méthode des quadratures. 5^3. Si l'on fait t^sio dans les expressions de 7*
dy
et ^ , on aura , d'après les équations (4) et (g) ,
Ces deux formules semblables auront lieu pour des
382 TRAITÉ DE MÉCADIQUE. .
ioDCtions quelconques ^x et ^x continues ou dis* continues, mais seulement depuis a? s= o jusqu'à X z=: t, et en observant qu'elles ne conyiendront aux valeurs extrêmes de x que quand celles de ces fonctions rempliront la condition énoncée précé* demment (n^ ^19)* Quoique nous ne puissions pas démontrer ces formules directement, elles n'en sont pas moins certaines, ainsi qu'on l'a expliqué dans le n* 5i6.
Dans le cas particulier où tous les points de la verge ont i^çu primitivement une vitesse commune et une vitesse proportionnelle à leurs distances à son milieu, il est évident qu'elle doit prendre un mouvement de translation et un mouvement de rotation, sans aucune courbure ni vibrations. Cest aussi ce qu'on peut conclure de ces équations (h) et de la foimule (g).
En désignant par c et y deux quantités constantes, on a alors
(px=:o, q>'x = c + y{x — il);
et si Ton dîfférentie la seconde équation (h), et qu'on ait égard à l'équation (d), on en conclut
I étant un nombre entier et positif. Par conséquent , le développement suivant les puissances de ^, de la partie
DYKÂMIQtlE, SECONDE PARTIE. 383
X an fn*bt dx
de la formule (g) , se réduira à son premier ferme
ts.1 ■>'
X<p'xdx\
lequel aura pour valeur t^'x , en vertu de la seconde équation (A). Donc^ à cause de ^o? = o et de la va • leur de ç'or, la formule (g) sera simplement
comme cela doit être.
534* Au moyen de l'équation (/)^ on peut prou-* ver que lequation (a) n admet aucune racine composée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire.
En effet , supposons qu'il existe une racine telle que
/ + gr V — i; il y en aura une autre qui ne différera de
celle-là que par le signe de \/ — 1, et setzf — g^ — i j on pourra donc prendre , dans l'équation {f) ^
y* et g désignant des quantités réelles dont aucune n'est zéro. On aura , en méma.temps ,
F et G étant aussi des quantités réelles. Par oonsé^
384 TllAITÉ DE MÉCÀNIQIIE.
quent , Técpiation (/) deviendra
équation impossible , puisqu'il faudrait , pour qu elle eût Heu p qu'une intégrale dont tous les élémens sont positifs, et qui en exprime la somme (n"^ i5), f&t égale à zéro. Donc aussi la supposition d'une racine
f + g V^ — I est inadmissible.
Cette dernière équation serait encore inadmissible si f OVL g était 2séro; mais alors on ne pourrait plus
prendre f-^-g V— i et / — gV^~i pour m et m'; car réquation (/) suppose que m' et m'* diffèrent de db m et zbni^ } oe qui n'aurait pas lieu dans le cas où l'une des deux quantités / et g serait nulle.
5!i5. Pour la racine m =s o de Téquation (a) , le terme œrveapondant de la formule (jg) se présente sous la forme ^ ; on obtiendra sa véritable valeur en supposant que m soit seulement une quantité infiniment petite. On aura alors
X = /^mH\x — ^Z) , cos m^bt = i , sin m^bt =. m*bt ;
et le terme dont il s'agît sera
Il répond à des mouvemens de translation et de rotation communs à tous lès points de la verge; nous en ferons abstraction ; et en n ayant point égard à la racine m = o, tous les termes de la série (g) seront périodiques.
Mais si Tcm fait attention que les différentes valeurs de m sont incommensurables y on voit qu'il n'arrivera pas, en général;» que tous les points de la yerge reyieotient, en même temps , à leur état' primitif , ou , autrement dit , une verge élastique n'exécutera pas dans tous les cas , comme une corde tendue , des vibrations transversales isochrones. Pour que Fisochronisme ait lieu, et pour que la verge fasse en* tendre un son unique et appréciable , il faudra que , d'après sa courbure et les vitesses de ses points à l'o^ rigine du mouvement , tous les termes de la foi^% mule (g) disparaissent, excepté un seul, et qu'elle se réduise à ia forme
^ = X(E sin m^bt + F cos m*bt) , (î)
où l'on a remis, pour abréger, les constantes E et E' à la place de leurs valeurs trouvées plus haut. Lorsque la foanule (g) se réduira à un petit npnibre de termes, la verge fera entendre à la fois plusieurs sons distincts, dont les tons ne pourront pas être comparés
entre eux exactement.
