Désignons par A une valeur numérique de

mi tirée de l'équation (à), de sorte qu'on ait m =: ?.

Soit T la durée d'une vibration entière de la vei^e , correspondante à cette racine m , et n le nombre de vibrations dans l'unité de temps. D'après l'équa-* âon (i), on aura

en sorte que les diflerens tons cfue peut faire entendre une Yèrge pliée dans le même sens, vibrant transyei^ salement et libne par ses deui^bouts , dépendront des valeurs de A , et le plus grave , ou le ton fondamental , répondra à la plus petite de ces valeurs.

Il est évident que la quantité b*, donnée par la Formule (5) , ne dépend pas de la longueur / de la verge; s'il s'agit d'une verge cylindrique ou circulaire, on voit aussi que cette quantité est proportionnelle au carré du diamètre. Pour deux verges cylindriques et formées de la même matière, et pour le même ordre de vibrations, c'est-à-dire , pour la même valeur de X, le nombre n sera donc en raison directe de l'épaisseur et inverse du carré de la longueur.

S'il s'agit d'une verge prismatique, elle fera entendre , en général , deux sons différens , selon qu elle vibrera transversalement dans un sens ou dans un autre. Ainsi, en supposant, par exemple, que la section normale soit un rectangle, et qu'on fasse vibrer successivement la verge, de manière que la base ou la hauteur du rectangle soit perpendiculaire au plan de la courbe A'M'B', les valeurs successives de n seront entre elles comme cette hauteur et cette base , pour le même ordre de vibrations. Lorsque la section normale sera triangulaire, comme dans le troisième exemple du n* 520, la valeur de A' ne sera pas la même pendant deux demivibrations successives ; leurs durées seront donc inégales; ce qui n'empêchera pas les vibrations entières

d'être isochrones , en supposant toujours que la formule (g) se réduise à un seul terme.

En égalant à zéro le facteur .X de la formule (i), on déterminera les valeurs de x qui répondent aux nœuds de vibrations, c'est-à-dire, aux points immobiles sur la droite ÂB , pour chaque valeur de m, ou pour chaque ton que la verge peut faire entendre.

537. Lorsque la verge élastique que nous considérons sera encastrée à son extrémité A et libre à son autre bout, le filet moyen demeurera tangent en A, à la droite AB, pendant toute la durée du mcfuvement ; de sorte que les équations (2) du problème précédent devront être remplacées par

dr •

On modifiera, en conséquence et sans aucune difficulté, Tanalyse précédente; et l'on trouvera que la valeur générale de jr sera encore exprimée par la formule; {g); mais les valeurs de m, qu'on j devra employer, devront être tirées de Téquation

(e-* 4. c-"') cos mZ -|- 3 = o , (a')

<{ui ne diffère de l'équation (a) que par le signe du dernier terme : I9 valeur qu'on prendra pour X sera, en même temps,

X= (c"'+ €r^+ 2 cos ml) (sin mx — { «"'+ î ^r-"*) H-(2sin m/+e^— e— ')(cosiilï: — ie"'— ïe-~).

Pour que la verge ^ vibrant ainsi transversalement ,

ne fiasse entendre qu'nn seul son, il £atadra que, d'après son état initial , la formnle (g) se réduise à un seul terme ou à ja formule (i) , comme dans le cas précédent. Si Ton désigne par A' une valeur positive dé nU, tirée de l'équation (a'); par "F la du-

rée d'une vibration correspondante à m = v , et par

n' le nombre de vibrations dans l'unité de temps, on aura

et tout ce que Ton a dit, dans le numéro précédent, Snr là comparaison des tons des verges IflSres à leurs deux bouts, s'ap{>liquéni également au cas des verges encastrées à l'une de leurs extrémités : on dé« terminera aussi les noeuds de vibrations qui accompagneront chaque ton rendu par une même verge , en égalant a zéro la valeur précédente de X.

528. Pour résoudre , par approximation , les équa* tions (a) et (a'), je désigne par / un nombre entier positif ou zéro, et je fais

m/ = A == ^(21 + i)sT zfz cT, dans l'équation (a), et

m/ = A' = f (21 + i)<7r ± cT',

dans réquation {a'); / et eT' étant des quantités positives et qui ne peuvent pas surpasser j-pr. Je prends les signes supérieurs ou inférieurs devant ces nouvelles inconnues, selon que i est pair ou impair;

et /de cette manière, les équations {à) et (pT) deviennent

D'après les limites de ^T et /', il est aisé de voir que chacune de ces inconnues n'aura qu'une seule valeur pour chaque valeur de i; celle de J^, pour £=0, sera J" = jTT ; et comme elle répopd à m = o, il en faudra faire abstraction. Pour £=1, on a ^==0,01797, en négligeant cT dans le second membre de la pre^ mière équation (A:) ; et si l'on y substitue cette première valeur approchée de J^, on aura, plus exactement,

eT = 0,01765.

I^es valeurs de J^ relatives à î = 2 , f = 3 , etc. , seront encore plus petites que celle-ci 3 les valeurs de A différeront donc très peu des multiples impairs de 7 ^ ; et , d'après l'expression du nombre n , les tons de la verge libre par les deux bouts fonxieront, à très peu près , une série croissante comme les carrés des nombres 3, 5, 7, etc. La plus petite valeur de X, correspondante au son le plus grave , est

Dans le cas de £=:o, après quelques essais, OB^ trouve , à un degré suffisant d'approximation ^

cT' ff= 0,3043 1.

3go TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

La plus petite valeur de A' sera donc

X' = ^TT H- /' = i,87Qir.

En comparant donc son carré à celui de la valeur pré* cédente de A ^ et observant que ces carres sont entre eux comme les nombres rJ et n des vibrations, on aura

pour le rapport du ton le plus grave de la verge encastrée par un de ses bouts, à celui de la même verge libre à ses deux extrémités. Les autres valeurs de J' sont très petites; les valeurs* correspondantes de X' seront donc , à très peu près , les multiples 3,5, 7 , etc. , de ■£ ^ ; et les tons de la verge encastrée, le ton le plus grave excepté, formeront une série croissante comme les carrés de ces nombres impairs.

L'expérience a confirmé depuis long-temps tout ce que la théorie a fait connaître relativement aux séries de tons que font entendre les verges élastiques, libres ou gênées par leurs extrémités, à la position des nœuds qui accompagnent ces difTérens modes de vibrations , et aux rapports des tons, suivant les longueurs et les épaisseurs» Nous allons maintenant cornparer entre eux les tons, ou les nombres de vibrations transversales et longitudinales d'une même verge élastique. L'observation a aussi confirmé, sur ce point, les résultats du calcul.