CHAPITRE IX
EQUJLTI01V8 ET PEOPMÉTES QÉIVÉEALES DU
HoûvEMEirr v^ïju système db gorfs.
§ P', Équations générales de ce mous^ement.
53o. Puisque les forces perdues par tous les points du système pendant la durée de chaque instant doi-r vent se faire continudlement équilibre (n* 55o)y si l'on applique à ces forces le principe des vitesses virtuelles, on obtiendra une fonnule générale, de laquelle on pourra déduire, dans chaque cas, toutes les équations du mouvement, de même que Ton déduit toutes celles de l'équilibre , de l'équatiofi géné-^ raie des vitesses virtuelles. Quelque naturelle que paraisse cette combinaison du principe /général de la Dynamique avec celui de l'équilibre , on ne l'a pas faite cependant à l'époque où le premier de ces deux principes a été connu , et quoique le second eût été donne auparavant dans toute sa généralité. Ce rap* procfaement des deux principes est dû à Lagrange , qui a réduit, par là, à un procédé uniforme les solutions de tous les problèmes de Mécanique , ou du moins la formation des équations difierentielles dont
394 TRAITÉ DE BIÉCANIQUE.
ils dépendent. C'est ce procédé général qae nous allons maintenant exposer, en observant , toutefois, que Tordre qui a été suivi dans ce Traité, où Ton a résolu directement les problèiqes relatifs aux corps solides et aux corps flexibles, en allant du plus simple au plus composé» a paru plus propre k une étude approfondie de la «Mécanique et k renseignement de cette science , que l'on ne doit pas considérer seulement sous un point dé vue abstrait et indépendant des circonstances physiques.
53 1 . Soient m , m\ m", etc. , les masses des points du système dont nous allons nous occuper. Au bout du temps ^, compté depuis l'origine du mouvement, désignons par Jc^jr, z^ les trois coordonnées rectan* gulaires de m, et par X, Y, Z, les composantes de la force accélératrice appliquée à ce point matériel , dirigées suivant les prolongemens de or , ^, z^ dans le sens positif. Convenons aussi de représenter par les mêmes lettres, avec des accens, les quantités homologues qui répondent aux autres points m\ ni^ etc. Les composantes suivant les directions de X, Y, Z, de la force perdue par ce point quelconque m pendant Tinstant dt , seront
par conséquent, l'équilibre aura lieu dans le système, en supposant le point m sollicité par ces forces, et chacun des autres points ni^ m", etc. , par des forces semblables. Or, on formera l'équation générale de cet équilibre, en mettant dans lequation ((?)du n"" 54i^>
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. SgS
les trois Icomposantes précédentes à la place de X , Y^ Z; ce qui donne
les sommes 2 s'étendant à tous les points m, m\ ni\ etc., du système, et se composant» par conséquent, d'un nombre de parties égal au nombre de ces points.
Nous supposerons, comme dans le numéro cité, que les liaisons de ces points matériels sont exprin mées par les équations
L = o, L' = o, L'' = o, etc., (2)
daés lesquelles L, L', L'^, etc., sont des fonctions données des variables or, ^, 2, x', etc., ou d'une partie d'entre elles, qui peuvent aussi renfermer le temps t explicitement. Si, par exemple, le point m est assujetti, à demeurer sui^ une surface qui change de forme graduellement , ou qui soit en mouvement dans l'espace , et que L = o représente l'équation de cette surface, L sera alors une fonction donnée de
Quelque les forces dont l'équation (i) exprime l'équilibre répondent à des quantités de mouvement perdues pendant la durée du temps dt^ et que pendant cet instant les positions des points m,* w! ^ ni\ etc., changent infiniment peu, on peut, néanmoins, supposer que cet équilibre a lieu dans les positions que ces points occupent au bout du temps t , c'est-à-dire , que l'on peut faire abstraction de leur
3g6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
changement de position pendant Tinataot dii qui ne saurait altérer les quantités de mouyement perdnes pendant qa'il s'effectue, que d'un infiniment petit da second ordre , et les forces motrices oorrespondaijtes, que d'un infiniment petit du premier ordre. Les déplacemens infiniment petits que suppose le principe des vitesses virtuelles , et qui sont exprimés , suivant les directions des coordonnées, par J'jp, ^, J'z ^ pour le point m , par J'x', J^y, «Tz', pour le pioint m\ etc., doivent donc satis£siire aux conditions du système, telles qu'elles sont à la fin du temps t ; par conséquent, il ÊLudra que les équations (2) aient encore lieu quand on y mettra ^H-J^x,^-!- jy, z + /s, Jc'H- J^x', etc. , à la place dea:,jr, z, a/, etc. , sans fiûre varier le temps t qu'elles pourraient contenir explicitement; d'où l'on conclut, comme dans le n*> 541 ,
^ ^. + P:r + g J^^ H- g,J^^+etc.=o, ^ J^^+^' jy + ^ «^^ + ^crj:'+etc.=o,U)
etc. ^ »
Au n^oy en de ces équations , on éliminera dans le prefaiier membre de Téquation (i) une partie des quantités cAr, jy, etc. , puis on égalera à zéro les coefficiens de chacune des quantités restantes. En employant, comme dans le n"" 34a » la méthode des facteurs indéterminés , on sera conduit , de cette
ananiirpj aux équations
etc.,
dans lesquelles A , X', >!'^ etc. , sont des facteurs dont les valeurs feront connaître les forces provenant de la liaison des points du système , et de la résistance des surfaces ou des courbes sur lesquelles ils peuvent être astreints à se mouvoir (n^ 343).
Les équations (3) et (4) seront toujours en même nombre que toutes les inconnues du problème , savoir: les quantités A^ X', A'', etc. , en nombre égal k celai des équations (a) , et les coordonnées des points m f m% m", etc. , en nombre triple de celui de ces mobiles y et égal au nombre des équatiofas (4) ; elles suffiront doiic pour déterminer, dans tous les cas , les valeurs de toutes ces inconnues en fonctions du txnoips*
53:2. Supposons que les forces données qui agissent sttr tous les points du systèmfe se partagent en deux groupes , de sorte qu'en ait
X = P + U, Y==Q + V, Z = R + W, etc.;
3g8 TRAITÉ DE BIÉCANIQUE.
supposons aussi qu'on soit parvenu à intégrer les équations différentielles du problème, en ayant seulement égard aux forces P, Q, R, P', Q', R', etc.; et soient a, b, c, etc. , les constantes arbitraires que renfermeront ces intégrales. On étendra cette solution aux forces complètes X , Y, Z , X', Y', Z\ etc. , au moyen de la méthode fondée sur la variation des constantes arbitraires , dont le principe a été exposé dans le n^ 22g. Les différentielles des quantités a, b, c f etc., devenues variables, seront linéaires par rapport à U, V, W, U', \\ W, etc., et de h forme :
Aï = AU -f- BV -f- CW H- ATJ' -I- etc., db = A,U+ B,V-f- C.W-f- A.'U'+ etc., de = A.U-1. B,Vh- C.W-1- A^^U'^ etc., etc. ;
A, B, etc., étant des fonctions des mêmes inconnues a, b, c, etc. Par là, les équations différentielles secondes du problème se trouveront changées en un nombre double d'équations différentielles du premier ordre ; mais cette transformation sei*a principalement utile , lorsque les forces secondaires U, V, W, U', etc. , seront très petites par rapport aux forces primitives P, Q, R, P', etc. ;*ce qui permettra , dans une première approximation , de considérer comme constantes les quantités a, & , c, etc. , que renferment les coefficiens A, B, etc., et, conséquemment , de déduire des formules précédentes, par rintégration immédiate ou par la méthode des quadratures, les parties variables de ces inconnues.
DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 899
Cest Lagrange qui a ainsi étendu k tous les problèmes de la Mécanique la méthode de la variation des. constantes arbitraires, à laquelle il avait ramené^ autrefois , ImÊhéorie des solutions particulières des équations différentielles, et dont il avait aussi fait d'autres applications moins génëjales. Mais il s'était borné à donner les expressionUgénérales des quantités U, V, W, U', V, W, etc. , en fonctions linéaires des difierentielles da^ db, dc^ etc. ; et il restait à trouver les formules inverses qui donnent directement , dans le cas général , les différentielles des inconnues a y h^ c ^ etc., en fonctions linéaires des forces U, V, W, etc. , et à démontrer, d'une manière directe et générale, les propriétés importantes dont jouissent leurs çoefBciens A, B, C , etc. C'est ce qui a été fait dans les mémoires que j'ai insères, sur ce sujet, dans le i5* cahier du Journal de V École Polj^technique, et dans le tome !•' des Mémoires de Vjàcadémie des Sciences ^ et auxquels je me contente de renvoyer le lecteur, curieux de connaître cette théorie dans tous ses détails et les conséquences qu'on en a déduites. En appliquant successivement les expressions générales de da, db, de, etc. , au problème du mouvement d'un point matériel attiré vers un centre fixe suivant une fonction quelconque, et au problème du mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe, on obtient les mêmes expressions pour les différentielles des constantes homologues dans ces deux problèmes, si différens Fun de l'autre ; et par là les deux questions principales de l'Astronomie, savoir, la déter*:
4oo TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
mination du mouvement des corps célestes^ comme des points matériels isolés, et la déterminatioa du mouvement de ces corps autour de leurs cenlresÀ gravité respectif, se trouvent ramen^aa aux mêmes formules et dépendre de la même analj^.
533. U est évident que si l'une des équations (i) est une suite des ^tres. Tune des quantités A, A", a'', etc. , devra rester indéterminée , puisque alors on pourra $upprimer ou conserver ari>itrairemeiil cette équation superflue. Si a et 6 sont des constantes doanéegf et qu'en ait, par exemple ,
V = flL + bU,
chacune des trois premières, équations (a) n*ajoiH tera rien aux conditions exprimées par les deux autres, et, conséquemment , l'une des trois incomiues A, A', A'', devra rester indéterminée. C'est effectif veraent ce qui aura lieu; car si Ton fait
A + oA" = )tA , A' + M" = ijl',
ces trois inconnues se réduiront, dans les équations (4)9 aux deux quantités yu et yi!j qui pourront seules être déterminées au moyen de ces équationsy et dont on pourra seulement déduire les valeurs de deux des trois quantités A, A', A'^
SI le point matériel m est assujetti à rester à des distances constantes et données de trois points fixes A j A', A!' (fig. 28) , sa position sera complètemeot déteinninée ; ses coordonnées auront donc des valeurs constantes ; et les trois premières équations (4) se réduiront à des équations d'équilibre , qui déter-
mioeroat les tensions des fils Am, A'rrif A"m, par lesquels le . mobile m sera attaché aux trois points fixes. Si ce point matériel est assujetti à deq^urer à une distance constante d'un quatrième point fixe A!", lune des quatre distances Am, A'm, A"m,A"'m, sera déterminée d'après les trois autres ; Tune des quatre conditions données étant ainsi une suite de trois d'entre elles ^ la tension de l'un des quatre fils Am^ A'm^ A"m, A" m, demeurera indéterminée , d'après ce qu'on vient de dire^ et conformément à ce qu'on avait dit déjà dans le n^ 292. Appelons , en effet, l, r, C\ V'\ les quatre distances données ; désignons par a^bf c, les trois coordonnées de A, par a', b\ c\ celles de A', etc. ; nous aurons
L =\/('^— a)* + (jr 6/+(z~c)-— / =0,
pour les équations (2) ; et si l'on représente par a , C, y^ des valeurs constantes àex^j, z, qui satisfont à ces quatre équations, on aura
m£i-jr — j 1 j h — j, h — js — o,
pour les équations (4)^ qui laisseront indéterminée
4o9 TRAITÉ DE IfÉCANIQUE.
Ynne àeé qfuitre cpânlHës A, A^ A'', A'^, ItaquMn 90ntf conme oa Yà dit dans le n* 345 ^ let^ Mnrioiui des fils^m^ h^m, A!'m, A'" m. Mais, quelque peaez^ tetKÎbléÈ que soient ces fils, si l'on a égard k cette eireonstatice physrîqne, le peint matérid m fera de petites YÎlrations , qui seroilt complàtèaieiit détei» minëeSy ainsi que les tensions des quatre fib^ à dnn que izffrtànt.
554* Pour le laite voir, supposons, pour fixer lel iéëes^ que la force qui agit sur le point m soit k pe»' ssinteui^ f que nous représenterons par' g^ En pretiaflt Taxe des a yertioal et dirigé dans le sens 4le cette foite^ ses ti^is composantes seront Xstiîo,Y&20,Z ^^tg^ Appelons i, é', J\ ^"^ les eutensions que les quitre fils / y Tf r'f V^f éprouyeraient si le poids mg était suspendu fSrticâlëméât à \elxt éitréttiité inférieui^; soient Ç , tj^ ^^ ^^, les extensions de ces mêmes ffls au bout du temps t , pendant le mouvement ; leurs tensions au même instant auront pour valeurs (n* 288)
gi^ gm^' grnZ'' g^K"
Le mobile m n'étant plus assujetti à demeurer à des distances constantes de A, A', A", A"', on devra supprimer les terities de^ équations (4) y qui dût A , A', A", A'", pour facteurs^ et qui provenaient de ces conditions ; tnais , d'un autre côté , il faudra joindre aa poids de ce point matériel les quatre forces précé* dentés, dirigées de m vei^ A , de m vers A', de m vers A", de m vers A'"; ce qui revient à substituer , dans les équations (4) > 1^ valeurs précédentes de L , Vf
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. 4o3
U', U^, ûn y faisant f en nciéme temps,
Au bout dn temps t, soient anisi *
^9 ^fyf étant les mêmes constantes qne précédemment, et u, if, w, des yariable» très petites, dont nous n^ligerons les carrés et les produits ; il en r^ soltera
Ç = 7 [(« - a)ii + (ff - b)sf + (> - c>v],
et y relativement à cé& inconnues u, (^, fv, les équa-* tions (4) seront linéaires , et se réduiront a
+^j^ +— /7- +— r7~+— îv- J=^'
IF
Leurs intégrales s'^tiendront par les règles ordi*^ naires ; elles renfermeront six constantes arbitraires , que l'on délerminera de manière qu'à l'origine du QMttvement les fils An» A'nt , k^m^ A^m, aient leurs
4o4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
longueurs naturelles ly If, V, V^^ et que la vitesse
initiale de m soit zéro, cest-'à-dire, de manière que
1 • ^m.' du dv dw . ^ „
les SIX quantités '^j ^^ ^f 21 * 7i^ "dî* soient nulles
quaiM / = o. Cela fait, ces intégrales feront connaître, à un instant quelconque^ les valeurs de u^VpWf ou la position du point m ; et les extensions Ç , Vf a^f K'"f ^^ quatre fils, ainsi que leurs tensions au Tnême instant, seront aussi déterminées. La même analyse peut facilement s'étendre au cas ou le point m serait retenu par cinq ou un plus grand nombre de fils attachés à des points fixes.
Si l'on suppose nulles les quantités u, v , u^ , et qu'on supprime, en conséquence, les premiers termes des trois dernières des sept équations précédentes, les valeurs de w, i^, cv, ^, Ç', Ç", Ç'^, qu'on déduira de ces sept équations y répondront à l'état d'équilibre du poids de m et des quatre fils de suspension.
535. iNous avons expliqué, dans le n* 355 , comment le principe de D'Âlembert a aussi lieu dans le cas d'un changement brusque de vitesse , résultant de ce que des forces qu'on nomme impulsions ou percussions, agissent sur les mobiles avec de grandes intensités, pendant des intervalles de temps extrêmement petits, et leur impriment des vitesses qui peuvent être très grandes, sans que les points de ces corps soient déplacés sensiblement. L'équation fournie par la combinaison de ce principe avec celui des vitesses virtuelles, s appliquera donc également à ces ^ortes de cas. Ainsi , supposons que des forces de ce enre soient appliquées simultanément aux points
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. 4o5
matériels m , m', m", etc. , du syntème que nous cdusidérons. Désignons par A , B, C^ les vitesses données et parallèles aux axes des coordonnées, que ces forces imprimeraient au point m s^il était libre , et par a, b, c,les yitesses inconnues qu'il prendra réellement , suivant ces mêmes directions. Appelons A' , B', G\ d^ h\ c\ les quantités homologues relativement au point ni ; A'', B", C", d\ b", d\ celles qui rép<rtidcïit au point vfi^ ; etc. Les quantités de mouvement per«dues suivant les directions des coordonnées 'seront
pour le point m, et de même pour tous les autres;, par conséquent 9 si l'on applique à ce système de forces l'équation (e) du n^ 54x^ on aura <
2m [(A— a)J'x + (B — *)jy + (C — c)J^]= d j (5)
la somme 2 s'étendant h tous les points du système , et J)x, jy, J^z , étant les accroissemens qii*on attribue aux coordonnées du point quelconque m,
Si les liaisons des points du système sont toujours exprimées par les équations (2), il faudra que J^x , Jj^s J'z, et les accroissemens Saf^i^yi^j ^af'ye\c.^ des coordonnées des autres points ni\ ni[, etc.> satisfassent, aux équations (3); au moyen de ces équations^ on éliminera donc de la formule (5) une partie des quantités S'a:, Sjr^ etc.; puis on égalera à séro les coeffidens des quantités restantes. ' En employant; comme plus haut^ la méthode des -i&ctetirs iDdëtei'-^ minés , leurs valeurs feront connaitre les percussions ^'éprouveront les liens inatériels des points du sys^
4o6 TRAITÉ DE MËGANIQUE.
tèxne , par l'effet d'an cluingemeQt brusque de vitesse^ et les percussioiift Bormales aux stur&ceB ou avx conii^eft sur ksqueUes ces points sont astreints à se mouvoir.
536. Lorsqu'on voudra appliquer l'liquation (5) à un changement brusque de yitesse produit par le choc des corps du système entre eux , ou oontre des obstacles fixes » il y aura plusieurs observations im* portantes à £aire.
Soient M et M' (fig. ag) deux de ces corps solidesi K leur point de contact , JXKB! la normale commune à leurs surfaces en ce point. Les déplacemens des différens points de ces mcrinles pendant toute k durée du choc, étant regarda comme insenribles, l'équilibre des quantités de mouvement perdues peut se rapporter à tel instant qu'on voudra de œtte dnrée ( n* 353); en sorte qu'ayant pris pour A , B , C, les composantes de la vitesse d un point quelconque au commencement du choc, on peut prendre, en même temps, pour a, b, c, les composantes de sa vitesse à un instant quelconque de ce phénomène; et les vitesses de tous les points du système , qui varient très rapidement pendant cette durée , devront toujours satisfaire aux conditions de cet équilibre. Mais pour que ces conditions soient exprimées par l'équation des vitesses virtuelles , il faut que les déplacemens infiniment petits qu'on attribue aux pmnts du système , soient compatibles avec sa nature et avec la disposition relative de ses parties k l'instant que Ton considère; et, de |dus, il est nécessaire que la même pbose ait lieu à l'égard des déplacemens
DYNAMIQUE, SECONDE PAlTlE. 4»^
g»mtnàKH (a^ 53i). Ainsi, par «xcmpla, si «in point muiénel en ^ffnîlibns est pose sur la Aur&oe d'an tf>rp6 «oUée f contre lequel il «'appuie , os point peut ee tmmwcir «n tstus sens sur le jAan tang^na^ à oeMe lenifMe, et idans wat eens seulement sur la normale. €ek iélanl, l'équation ides vitesses ¥irtuelles a lie^ iponr «tons les déplacemens teogentiels , parce que les jAépiaeemens opposa sont également possibles $ nais ioHe ne eubsiste pas pour le dqplaoem^st nonnd , à cause de Timpossibilité du deplacemetit aontndre.
Il TCSKilte de cette obserYation que si 1^^ veut appliquer l'équaiiott (6) k «ne époque déterminée de la dftréedfudioCy et x{ue fOi eit /k' soient , à œt instant, Jbs points matériels de M et M' qui lépondent an point de contact K , on pourra attribuer à /u et pt/ des éhéplaeemens infimment petits, tout-rÀ«4ait ar^traires 4Bfc iodépcndans l'un de l'astoe, smTant le plan tuw ffmtmk K ( nais les défdacomens de /tt et ft' eoivant la ■OWjnelp, devropit être égaux et .dirigés snvr^nt la jnAne partie KH ou JtJi' de cette dnoke ; car s'ils étaient tnégauz , ou quSls n'anaseMt pas liau dans nu s , ces .iéplaœmens ou les ^éfdaccMnesis^ lies poiafts fe et fi'^ seraient impossiMes, m% réqBBtiom {S) 3ie leur serait fova^ .applicable. Cest 4atÊkt d'avoir fait atteption A oBl|te condi^pon .essentielle, «q^e quriqnes auleavf oot >mal inlerpcélé l!éqoalion xkNst il s agit.
Si ma trpjsième corps «solide MJ'iomAe M au pcmit K', m la normde comnmne à jeurs sorfaces ioat la droite lU'Ur^ que m' et m'^ soient les points mi^ének de fiT et If' qui lépondroift à K^ ^ l'instant .que
4o8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
l'on considère pendant la durée da choc y il fandn
aussi que les déplacemens infiniment petits, attribués
à tn^ et tnl' suivant cette normale, soient ^auz et de
même sens dans l'équation (5) ; et de même pour tons
les points de contact des corps du système , lorsque
. plusieurs d'entre eux viennent se choquer simultané-
. ment. Dans le cas du choc d'un de ces corps contre
.un obstacle fixe, le déplacement normal du point de
. contact devra être suji^posé nul, puisqu'il ne serait pas
possible dans le sens opposé.
557. Quand les deux mobiles M et M^ glisseront l'un sur l'antre pendant la durée da choc, il fiindra . avoir égard , dans l'équation (5) , au frottement qui . en résultera , et qui pourra être très considérable , comme on la dit dans le n* 355.
. . La quantité de mouvement infiniment petite q«e cette force enlèvera, pendant chaque instant^ aux deux mobiles M et M', en sens contraire des vitesses des points matériels fjL et f/ qui répondent au point de contact K , sera proportionnelle à celle que M aura communiquée à M' suivant KH'^ ou M' à M suivant KH , pendant le même instant. Donc , en supposant que le frottement conserve la même direction , pour chaque mobile , pendant toute la durée du choc , et qu'on représente par U la quantité finie de mouvement communiquée par un mobile à l'autre , suivant les parties KII ou KH' de la normale, pendant cette même durée, le frottement total. pourra être représenté par fH ; f étant un coefficient qui ne dépendra que de la nature des deux corps près de leur point de conU^ct. Cette force devra être appliquée à M
DYNAMIQUE, SEœNDE PAATIE.* 409
en sens contraire du glissement de fi ^ et a M^ ea sens contraire du glissement de fi'. En supposant donc que ces mouremens aient liieu suivant les ddux parties KF et KF' dune tangente FKF aux* deux mobiles , et qu'on repr^nte par p et // les protjectioDs sur cette droite , des déplacemeiis infiniment petits attribués y dans l'équation ($) ^ aux points^ et fi0% on aura
-f^ip + p'),
pour le terme qu'il faudra ajouter au premier membre de cette équation , à raison du frottement que nous considérons : la quantité p est positive on né^tive, selon que cette-projection tombera $nr la direction KF du mouvement de /t ou sur son prokmgement KF', et de même la projection p(. seva positive ou négative ^ suivant qu'elle tombera: svr KPonsurKF.
On introduira de semblaUes termes dans l'équa*tion (5)f pour tous les points dana lesquels deux des oorp^do système viendront se choquer. La constdé^ ration de ces termes est nécessaire dans la pratique^; l'exemple du n® 477 suffit pour mointrer ISofluenoe que ces termes, on les frottemens dont ilé.protâennent , peuvent avoir sur les pcvcussiéas ; ikiais 0a en fait abstraction lorsqu'il s'agît des théoorèmes généraux sup le choc des ccMrps; et, dans la suite, noua les supposerons nuls ou insensibles^ =
On néglige aussi les quantités de mouvement produites par le poids des soobiles pendant ladnréç éa choc, attendu que ces. quantités 'SOnt pco^«rtî<
4tx> • traihë de uÉcaionE.
œlles à cette durée, et, censëquemnciitt inMnwMtt. <^aiit mxx «puntitéi de mon vement pmdnitat par les «Itactioiis nuriecukiras qui se déreloppeat fendant le choe , soit id'un eorps à un autre, quand la dwtanoe idè leur surftce est devenue tnsensîfcle, aottdans Fintéiîeur de diaque ccMrps , k raison des oooaprassiaQS «u dilatations qu'il éptowm f on en a dbéjk tenu compte dans Téquation (5) , et leurs composant Uh' taies sont précisément les quantités qui ont été représentées par mA , mR , mC , pour le point quelconque m.
558* Lorsqu'nn 6]f«tème de points maiéiîels est lentièiieaieiit libfe sdans l'^espace , de aorte que les équations (a) tcpà exprimeiit leur liaison , ueoentiennant que les distances nautuelles de ces points^ dont jnemi n'est spqqposé fixe, on assujetti à demwmr eur «ne 8nrfiioeK>u sur une oonrbç donnée , on peut décomposer le mouvement d'un tel système dans l'espaoe, comme nous l'avons fait précédemment pour un oorps solide entièrement libre {n"* 4^3), «n deux moa- VMemens plus simples : Tun de translation , coafknna à loq^s les points du système, et qui sera celui de son oeotre de gravité; l'autre de. rotation autour de ce centre. Nous allons déduire successivement de la éormule (i) les ^piations différentielles de ces .deux n^uveroens.
D'après la nature du système, il est évident qu'^m peut déplacer à la ibis tous ses points d'une même quantité, suivant une même direction quelconque. Supposons qne «, C^ y, exprinaent les projections de oe déplaoement commun sur les trois âmes des coor-
DYNAMIQUE, SEOOKI» PARTIE. 4ii
donMMB; on asm «Ion
« ;;= (Azr = iaf = JV, etc.,
C a= «ly c= «ly = jy, etc.,
y f^ ^z a» J'z' ss ^jl', etc. j réqaatSon (i) deriendra donc
el oomiiie les trois quantitéi ^y ^ » >f s<Hit itiàépnrdaiitcs eotre elles, cette éqnatioa se déoKnpoien ea
Sm-^s^SiiX, ZiTt:^ acSinY, Sm^sssS^nZ. (6)
Or, si Ton appelle x^, J$f ^$9 les trois coordopnées do centre de gravité du système ^ Pa aura
l'on déduit
^Z/ii = Zing:,
^Z;ii = 2mgj par conséq«eiit, lOn aura ^ 2iii=2iiiX, ^' ïmasSwiY, ^' 2m=2inZ, (7)
pour les équatiom difiereotîelles du mommuciA du
4i2 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
centre de gravité, qui sera le monvement de trans* lation du système. £Ues montrent que le centre de gravité dé tout système entièrement libre, est le même que si les masses de tous les mobiles y étaient réunies, et que leurs forces motrices y fussent transportées parallèlement à leurs, directions, comme dans le cas d'un seul corps solide ( n"* 438 ).
, Si, parmi les points m,. m', ni'^ etc. , il y en avait qui fussent assujettis à se mouvoir sur des sur£sices doonées, les équations (6) et (7) pourraient encore subsister, en joignant aux forces données , d'antres forces inconnues en grandeur, perpendiculaires à ces surfaces, et qui exprimeraient leurs résistances; ce qui permettrait ensuite de faire abstraction dés snrfiices données, et de considérer les points m, m'^ ni', etc., comme appartenant à un système entièrement libre. 539. La nature d un tel système permet aussi de faire tourner à la fois tous ses points autour d'un même axe, et d'une même quantité angulaire, de manière que leurs distances mutuelles ne varient pas. Supposons que cette droite passe par l'origine des coordonnées. Soient A, ^t, y, les angles que fait sa direction arbitraire avec les axes des oc y y, z ; si nous faisons pour un moment
les cosinus des angles que fait la direction du dépU-» cément de m, avec des parallèles aux trois axes, menées par ce point, seront x • A ' 7" ^ ^^ comme cette direction est comprise danâ un plan perpendiculaire
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. 4i3
à Taxe de. rotation , il faudra qaon ait
i)r ^r iz
-r COS ^ + "T COS ffc + -T- COS V = O.
De plus f l'axe de rotation passant par l'origine des coordonnées, la quantité ^x* +^* + z* ne variera pas pendant le déplacement de m ; on aura donc aussi
et Fou tire sans difficulté, de ces deux dernières équations ,
Sz = (^cosA — xcosfÂ,)if )
S^jr = {œ COS V— z COS ^ ) €, ^ (8)
/d: = ( z COS f< — ^ COS V ) ^; î
£ étant un fadeur indéterminé. On aura de même
cT/ = {y COS A — or' COS iJL ) e', jy = {x' COS y — z' COS A ) é', cTj::' = ( / cosft — y cos v ) e';
e' étant aussi un facteur indéterminé qui devra ctre égal à é, pour que le mouvement de rotation soit le même pour m et pour wl^ et que la distance de ces deux points ne varie pas. En effet, le carré de cette distance étant [x — «r' )• + (^ — y / + ( ^ — ^' Y 9 et les formules précédentes rendant déjà constantes les deux parties x^+y+z'^ et ar'*-|-^'*+ z'* de cette quantité , il faut que la variation de xx' +jy + zz^ soit aussi nulle; d'où il résulte
x'^x -f- y J'Y + a' J'a -*- x^^' +J^y + zj'z' = o;
4i4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
oa bien, en mettant pour J'x f J'aff etc« f leurs trt^ leurs y
[(^ -^yx) cos F +{z'x — * jc'z) COSft
équation qui ne peut subsister pour tous les poinb du système , quVutant qu'on aura €' = i.
Je substitue les formules (8) à la place de J^or, jy, J^2, dans l'équation (i). En observant que <, cos A^ cosfc y cos y , sont des quantités communes à tous les points du système , il vient
.cos,2m[^(f-Y)-.,(^-X)] +iC08A»2m[z (^x)-a:(0- z)]
+ .cosX2m[r (^f-Z)-z(g:-Y)]=o,
et à cause que les coefBciens des sommes Z sont trois quantités indépendantes entre elles, cette équation se décomposera en trois autres , savoir :
lesquelles équations seront celles du mouvement de rotation d'un système entièrement libre , autour d'un point fixe qu'on peut prendre arbitrairement, et où Ton placera l'origine des coordonnées. Ces équations
DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. 4i5
sufamterant encore^ lorsque tous les pointt m^^ m\ m", etc. , oa une partie d'entre eux , sercmt assujettis à rester a des distances données de eette origine ^ puisque les valeurs de J'x $ J'x^ etc. , dont ou a &it usage, satisfont à cette condition.
Si le système se réduit à un seul point, le mouve-' ment dé rotation ne se distinguera pas du mouvement de translation ; les équations (9) ne seront efTéctivement qu'une combinaison des équations (6) ; et Ton voit, de plus , que chacune d'elles sera une suite des deux autres; car en supposant que le système se rér duise au point m , et ajoutant les équations (9) après les avoir multipliées par z, ^, x, il en résultera une équation identique.
Au lieu de faire tourner le système autour d'un axe quelconque , pour obtenir à la fois les trois équations (9), on obtiendrait plus simplement chacune d'elles, en faisant coïncider cette droite , comme dans le n* S40 , ftvec Pun des axes des coordonnées ; mais le (^Ictil précédent a l'avantage de montrer que la cotisidération d'un mouvetnent autour d'un axe quel* eotiqae ne peut dotmef que les trois équations (9), de même que la considération d'un mouvement parallèle à un axe quelconque ne peut donner que les trois équations (o).
S'il y a> dans le système , un axe fixe , et qu'on le prenne pour celui des Zp par exemple, la première équation (9) subsistera seule , et sera celle du mourvement de rotation autour d'un axe fixe , commç dans le cas d'un corps solide ( n"" 591 ).
S40. Dans le cas d'un système entièrement libre, ou
4ié * TâÀtTÉDBMÉCAVIQDK'^/' . é
let iéciMlibnft (6)'et (g) dot liea nmohinéiiilMli poirloil» l^rigitte des ooovdoniiëes iia.|ioiiit.dM sy»tkM :ilcliit la* coordonnées vtritUes aeroat npré-« fltedtëes iHtf i^if fxf h 9 relatiyiBment à la preidèra origine; etfiûsons, poar cela,
a!'=sJç.+.«/, yssjri-^y/, «'«.«.-j-i/, etc.; .
en aorte q[ne x,, f,, z,, x/, ^/, z/, etc., soient les coorâonnëes de m, m^ et&j rapportées à la noo- VéHe origine. La première équation (g) pourra d'à-* btfrd Vécrfre ainsi :
les termes multipliés par x, et j", se détruisent, en vertu des deux premières équations (6); et en acheyant la substitution des valeurs précédentes de x, ' jc'f etc. , dans la partie restante du premier membre, on aura
qaelle que soit l'origine mobile des coordonnées. Mail si ce point est le centre de gravité du système , les sommes Smx^ et ^mjr^ seront nulles ; par conséquent,
les termes multipliés par -— et -^ , disparaîtront
encore comme ceux qui avaient x^ eljr^ pour facteurs; ce qui simplifiera l'équation précédente. En faisant des réductions semblables sur les deux autres équations (9) , nous aurons
pour les trois équations du mouvement de rotation du système autour de son centre de gravité. En les comparant aux équations (9) ^ on voit que ce mouvement sera le même que si le centre de gravité était un point fixe , et que les forces données, qui agissent sur tous les points du système, ne fussent pas changées; propriété qui n'appartient qu'au centre de gravité, et que nous avions déjà trouvée (n* 4^^) ààns le cas d'un corps solide entièrement libre.
541 • Si l'on donne aux quantités eTx, jy, etc., que renferme l'équation (5), les mêmes valeurs que dans le n"" 538, on en déduira
2/7ia=:2mA, 2m6 = 2mB, Z77ic=:2mC; (11)
ce qui montre que dans les changemens brusques de vitesse, la somme des quantités de mouvement de tous les points d'un système entièrement libre demeure la même , parallèlement à chaque axe des coordonnées, et, par conséquent, suivant une direction quelconque. U en résulte aussi que la grandeur et la direction de la vitesse du centre de gra- 2. a;
iiS' : TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
yiii ne dbâDgent pas non plus; eu; leè eompotmt» .de tttte titeflBei myènt^ et après le ckangement hn»qa&f sopt les deux membres de .diacmie des éqna^ lions (il) y divisés par la massç totale Zm. Ainsi, dans le choc de deux on d'un pins grand nombre de corps 9 de nature et de fomo^e quelconques, la vitesse de leur centre de gravité et la quantité totale de mouvement suivant chaque direction, n'éprouvent jamais aucun changement, oomtne nous l'avons déjà vu dans un cas particulier (n** 564)*
Si a, b, Cf if, Vf df etxjv, sont les oooiiposaBttt .des vitesses initiales db m, lii^, etc. , et A, B, C, A% B^ Cp etc«, les composantes des vitesses qui lenir seraient imprimées d une manière qudconqne i l'origine du mouvement, si œs pmnta nutériels étaient isolÀ, on aura
et, par conséquent,
pour ^ = o ; équations qui feront connaître les composantes de la vitesse initiale du centre de gravité i d'après les vitesses données A , A', etc. , ou seulement d'après la somme totale des quantités de mouvement communiquées au système parallèlement aux troii axes des coordonnées.
Je mets encore dans l'équation (5) les fcurmules (8^ à la place de Sx^ cTr, cTz, et i'en conclus
2m {xb — jra) =z= 2m {xB — jA) , l 2m(z/z — xc)=2m(zA — xC), > (la) 2m (^c — zb) = 2m (j^C — zB) ; )
ce qui fait voir que^ dans les changemens brusques de vitesse p les momeas des quantités de mouvement de tous les points d'un système entièrement librt restent les mêmes , par rapport à un axe quelconque; théorème qui subsiste encore, lorsque le système renferme un ou plusieurs points fixes, pourvu que ces points appartiennent à l'axe des momens.
En supposant que ces équations (la) répondent k lorigine du mouvement, de sorte quW ait
djc dr t dz
pour ^ = 0, et en transportant, comme dans le numéro précédent , Torigine des coordonnées au centre <le gravité du système, qu'on suppose entièrement libre , on changera ces équations en celle-ci :
^'" ( ^' ^' ~" ''> A ) ~ 2m (z^ — x,C) , 2"»(r, S'- 2.f ) = 2/»(xC - Z.B),
dans lesquelles o*^, j^y z^, sont les coordonnées du point quelconque m , relativement à la nouyelle origine. Ces équations seront celles du mouvement initial du système autour de son centre de gravité ; et comme elles ne renferment pas les composantes de la
TÎtesse de ce point, il s'ensuit que œ momrement de rotation -sera le mime que si le centre de grmTité était an point fixe, et qae les vitesses données A, A% etc. f qui sont comprises dans les seconds membres ^ ne (lissent pas changées; r^ltat conforme à c»lui que nous avons déjà trouvé » d'une autre nunière, pour le cas d'un corps solide (n* 4^-
54a* Nous ferons remarquer que les équaticms (i i) et (la) peuvent se déduire des équations (6) et (9), en supposant^ dans ceUes-d, que mX^ mY, mZ, m'X^ mXf m'Z% etc., soient les composantes de forces motrices agissant sur les points m, mf, etc., avec une grande intensité , et susoeptiUes de produire pendant un tris court intervalle de temps, que nous représenterons par fl, des quantité de mouvement données inA| mB, mC, m'A', m^^ mfGp etc.
JEn effet, d'après cela , on aum
yjxrf^ = A, f^dt^zh, f^Zdt^C;
et si les points du système sont en repos au commencement du temps d, et que à^ b, c^ d^ h\ d^ etC| soient les composantes de lears vitesses à la fin de cet intervalle de temps y on aura aussi
pour le point quelconque m.
Or, en multipliant la première équation^6) par^ftf et intégrant ensuite ses deux membres depuis itsO jusqu'à i=sQ\ en a
DYNAMIQUE, SSœNDE PARTIE. ^ai
ce qoi coincide, d'après ce qui précède, avec la première équation (i i); et de même pour les deux autres équations (6) et (i i).
De plaSy si l'on fait abstraction des déplaceméns des points m^ni^ rri\ etc., pendant le temps 0, et que l'on considère, en conséquence, leurs coordonnées comme constantes pendant l'action des forces données , on déduira de la première équation (9)
ce qui n'est autre chose que la première équation (12), en vertu des suppositions précédentes; et l'on conclura de même les deux autres équations (12) des deux dernières équations (g).
543. Les accroissemens des coordonnées dont on a fait usage dans le n^ SSg, supposent que les distances des points du système entre eux et à l'origine des coordonnées, sont invariables; leurs expressions, divisées par dt, doivent donc coïncider avec les composantes de la vitesse, relatives aux élémens d'un corps solide , tournant autour d'un point fixe ; ce qu'il n» sera pas inutile de vérifier.
Pour cela , soient Ox , Oj', Oz (fig. 3o), les axes dea coordonnées , et 01 l'axe qui répond aux angles A , fi, V, du n° 539, autour duquel on fait tourner le système d'une quantité infiniment pelile. Dans co:
'noa^ement, les poipts du s^tis|f ^éenwat des ara rtf mrrlr nrmMthIrnf, ut nnt tniiiU mfmr riUiij «a . JpUaÛe; poar.U çoDualtre, ïl snfBra de déterminer j^ilt d'oli pràort K f cpi{ se trotlTait , par exemple , uif KuK Oz >n commencement de l'instant de. Or, pour oe pohit^ on a x ^ 0 et^ » o ; ce qui réduit las ibiuralM;^ il
^ '(ÀçssVÇM^t jyvR*mHO0aA» /aaK»;
ll'étens^àlMMriiiednipoIntKsendonc'
i^cante fb CM' A -|- ÇM* A« -f- OQs* p ss I . Sa distanc» i f axe OI ert X sÎQ p ; pir oorisëquent, od aura ^ pour sa vhesM angnlairef qaî •«« celle de toétte tjt^ «ème.
En Id représentant par w, on aura donc t^=:tidt; et si l'on &it
9CQsA=;;:j>, 0COSf<=f, ocospssr,'
1m formules (8) deTiendront
lesnltat» qui coïncident avec ceux du n" 4o8 , en pranailt, dans ceux-ci, les directions des axes mobUn Ox,^ Ojit ^*,f à l'instant que Ton coDsidère-, pour celles des axes fîxes et arbitraires Ox , Oft Qz.
On peut remarquer que si le plan triOz décrit d'abord nn an^e rdt autour de l'axe Ox, et que U mou-
yement ait liea de Ox vers Ojr^ ou dans le sens indi* que par la flèche s, on aura les accroissemens des coordonnées x^j^z^àu point m, en faisant p =o et ^ = o dans les valeurs de cTx , J'jr, J^z ; par conséquent, ses trois coordonnées deviendront
X — jrrdt , y + xrdt , j&;
Apres ce premier mouvement , si le plan mQy décrit un angle qdt autour de l'axe Ot*, et en allant de l'axe Oz vers Taxe Ox , les accroissemens des coordonnées de m s'obtiendront en faisant p = oetrr=o dans les valeurs de cTx, dy, eT^^, et y mettant ensuite les trois coordonnées précédentes à la place àiàx^j^ z; d'où il résulte qu'après ce second mouvement les coordonnées du point m seront
jc — yrdt^zqdt^ jT'^xrdt, z — {x "^ jrrdt) qdt i
et la troisième se réduira à z — xqdt , en négligeant l'infiniment petit du second ordre. Enfin ^ après le second mouvement , si le plan rM)x décrit un angle pdt autour de l'axe Ox, et en allant de Taxe Oy vers l'axe Oz, on trouvera, en négligeant les infiniment petits du second ordre ,
x+{^—jr)dty y+{xr—zp)dt, z+(yp'—xq)dt,
pour les trois coordonnées du point m, à la fin du troisième mouvement, qui étaient primitivement
On conclut de là que si un point m tourne successif vement autour de trois axes rectangulaires, avec des vitesses angulaires />, q, r, et pendant des iifstana
4a4 TRAITfi DE ^rtCANlQUE.
égaux f son déplacement Bual sera le même qac sll eût toorné pendant un de ces îastans, avec une vitesse angulaire ù) , autour d'un seul axe , faisant avec les trois premiers des angles dont les cosinus sont
-,-,-. Cette remarque , relative aux trois vitesses de
rotation p,'q,r, qa'oo appelle les con^ponuttet de la ^âto^M (n^4o7), s'ap^î^ye ëgalemàif tM9ooaq»|A- ■■àtes d'une vitesse de traiulMlon»
La compoaitîoii des TÎtenes de nMatiOD nk lai mèmeB ioïa, et est comprise dans lei uÉftaiefe (anàtàm que celle des vitesses de Vaoslation; en partant deeeîlt analogie àe oea deux sortes de moaremént, oo «a peut déduire l'identilé de la cfmipositioQ'des niaàtm et de la compositîim des forces, qoe. aomMfookûOé- due (n* aSi), d'une sembUble analogie entre lèi projectionB des lignes . drcnteB et 1er {wc^ectÛMli 4>* ' surfaces. ■ ■ . ■ ,
§ II. Lois générales des petites oscillations.
544' lodépendamment des mouTcmens de trans' lalîoQ et de rotatioa coiïiniuDS à tous les points d'un système quelconque, et dans lesqaeb leurs distances ne varient pas, il y a d'autres mouTemens o^ les mobiles s'éloignent et se rapprochent les uns des autres. Or, si leurs de'plaoeroens sont constamment très petits, on pent réduire le problème à des équations linéaires, etdéterminer, par approximation, les coordonnées des mobiles en fonctions du temps. Des phénomènes très nombreux et très variés dépendeal
de ces petits mouvemens oscillatoires , dont nous allons maintenant faire connaître les lois générales.
Soient i le nombre des mobiles m, m\ m", etc., et V le nombre des équations (2) du n^ 53i, qai expriment les conditions du système. Le nombre des coordonnées de ces points matériels sera Si , et si Ion fait 3/ — p =z n, les équations (2) détermineront un nombre p de coordonnées en fonctions des n autres , ou , plus généralement , toutes les coordonnées pourront être déterminées au moyen de ces équations, en fonctions de n variables indépendantes. Je représenterai par a, € , y, etc., les valeurs initiales de ces n variables, et par a-f"^> ^+ ^f > + ^1 etc., leurs valeurs au bout du temps ^; et je supposerai ' que les inconnues u, p, w, etc., soient de très petites quantités pendant toute la durée du mouvement. Chacune des coordonnées des mobiles sera une fonction donnée de a-|-^y^ + ^i> + ^9 e^^*» qui pourrait, en outre, renfermer le temps ^, si cette variable entrait explicitement -dans les équations (2). Ces fonctions pourront se développer en séries très convergentes , ordonnées suivant les puissances et les produits de u, v,Wf etc. Je repr&euterai ces développemens par
jr = p -f- aw H- 6p ^- cw -f- etc.
+ï^"*+t/^+- 7gW+ hw + kuw + Mv-f- etc., jr s=p^ 4- ^, w + 6,p -f- c,tv -f- etc.
+îe.«'+i/'.^+îg.H'»4-A , wi^+A:,im'+/,iwH- etc. ,
z ==/>, -t- aju 4- b^v -|- c^w + etc. + î^»«*-KA<^+ïg.H^4-*."H-*.«w-f-'. w' -f- etc . ,
TBAITÉ DE MÉCiKIQDE.
[',« -(- i',t' + c\w + etc.
-i-A',uiv-(- ^'.vn' + elc. , 3' î=: />', + a'.u + i'.u + c'.iv 4- etc.
+ A'.Mïv -t- i'.OTi' -(- etc. ,
et je supposerai que les équations ( 2 ) ne contiennent pas le terme t explicitement, auquel cas tons les coefficiens des puissances et des produits d« u^ V, \v, etc., dans ces séries, seront des constantes . données. Si le système avait un mouvement do* translation ou de rotation commun à tous ses points, il faudrait comprendre les parties variables de leurs coordonnées, qui en résulteraient « dans les [h«miers termes p t P%» C^^. ; mais, pour plus de simplicité, je supposerai qne cette circonstance a'a pu lien ; et ces premiers termes seront aussi des constantes données.
Les composantes des forces qui agissent sur les points m , m', m", etc. , étant des fonctions données de leure coordonnées , si l'on substitue dans leurs expressions les valeurs de .x , ^, etc. , 00 pourra ensuite les développer suivant les puissances et les produits de u» v, w, etc. De cette manière, on aura donc
X = P + A« + Bi^ + Cw -H etc., Y = P, H- A,M + B,p H- C,w + etc, , Z = P. + A.tt + B.i^ -H C.U/ 4- etc., X' = F + Mu +* BV + Gw + etc.,
F = F. 4- A',w-H B'.i;+ C'.tvH- etc., Z' = P',+ A'.M+ B>+ C'.TvH- etc., etc.;
les premiers termes P, P. , etc. , et tous les coeffidexis A , A, , etc. , étant des fonctions données de /i , /7|, etc., a, 6, etc., qui pourraient, en outre, renfermer le temps ^, si cette variable entrait explicitement dans les expressions des forces données. Nous supposerons que cela n'a pas lieu ; et nous regarderons les quantités P, Pt, etc.. A, A,, etc., comme des constantes données.
545. Cela posé, pour appliquer l'équation (i) du n* 53 1 au mouvement que nous considérons, il faudra attribuer aux variables indépendantes u^ v ^ IV, etc. , des accroissemens infiniment petits , qu'on représentera par S^u^ cT^^, cTu^, etc.; puis substituer, dans cette équation (i), les valeurs correspondantes de <Px, cjy, «Tz, qui seront, en négligeant les infiniment petits du second ordre ,
Jlr = (a + CM + Ap -4- kw + etc.)J^«
-H (* + y^ + hu -■{- Iw ^ etc.) S'v
+ {c + gw+ ku '^^ Iv -f- etc.)criv ' etc. ,
4^ TRUTÉ DE MÉCAHÏQDE. '
^ s=a (a,+ c.iiH- A,i'+ A:,w^+ «tc.)/tt
-H etc.,
J^i as (a.+ e.tt4- ^.^^4- A:,w+ etc.)J^tt + (*.-*-/.«' + *.«+ /.w + etc.) cf M -h (^•H-^.w+ A-,a+ 4^ + etc.)JV etc.;
formules d'où l'on déduira lès V^^^u^ AeJ'af, jy, Sz\ en ajoutant on trait snpdrieur k toutes les constantes; celles de JV, jy', J'J'f en en ajoutuit deux; etc. La substitution de ces valeurs de J'sif jy, etc., étant eflectu», on égalera à séro, dans le premier membre de l'équation (t), le ooeflSdent de chacune des quantités J^u^ ^"9^ cTtv, etc., qui sont arbitraires et indépendantes. De cette manière, oa aura
ImT^-g^ — X.Va.+ ew + Ai/ + Aw 4- etc.)
+ (^ — Y)(a.+ e.«+ V+ A:.w+ etc.)
+ (^ — Z)(^.+ «.«+ V+ ^â^H- etc.)] = o, ^
2/1» [(^—X) (6 +fu + kuJ^ Iw + etc.) -H(^ — y)(6. + >+ ;i,«+ l,w+ etc.) -♦- (^ - Z) (6. + /.P 4- *.« + i.w + etc.)] = o ,
DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 429
2m[^(^— X)(c +jw+ ku + h + etc.) + (^— Y)(c.+g.^+ *.«+ l^^ + etc.)
etc.;
les sommes Z s'étendant toujours à toos les points m, m\ m", etc., da système.
U restera encore à substituer dans ces équations , à la place de x , ^, etc. , X , Y, etc. , leurs valeurs pré* cédentes. La substitution faite, on négligera, dans une première approximation, les carrés et les pro^ duits de Uf {^, w, etc. , ainsi que les produits de ces inconnues et de leurs coefficiens différentiels d*u cîv d*w . • ^ ». • j ^-^ /
IF ^ "dF ^ "SF ^ ' ^* *^^* quantités
constamment très petites; il en résultera alors uu nombre n d'équations linéaires à coefBciens coustans, que nous indiquerons par (a), et dont cha^ cune sera de la forme :
d1!!14.E — 4.F— 4-etc )
