GM4-Hi; + Kw4-ctc. = Q;S

les coefficiens D, E, F, etc., 6, H, K, etc., ainsi que la quantité Q , désignant des fonctions données des constantes qui entrent dans les valeurs précédentes de x,jr, etc. , X , Y, etc.

Après avoir déterminé les valeurs approchées de u, P,w^ etc. 9 au moyen de ces n équations, on tes

s«l»titpete dao^ les terpes des éqm^^

^éa ft ni^igiâ cEETiui cette prtiiiiière âpprôrimittoii jf |

* des premières en ce que leurs seconcjb membres, .tu . ^i rlMi d^temh-ccmstftfis^.àertal .de» Jcnietioiis oonéMs de*^! ; on en déduira d*autres valeurs de tt, p, ii% Je^^ plus approchées que les premières; et ainsi de siute, perla méthode des aj^irovii^^ nous bomerans à la premièie ftppr&idmêtioD ^ sdhraÉl l'oitfÉ ordBnaive dànt l«a ^uestlmi de ce jpette.

; 'iiiâilvo inBmy les éepationa {^BÈf se diatigerèiit «ft . dij^tiotiiosfttr iKS^pcei partiittMi eoMûMîMii'i ipMwleip^ti di| s|rslèm#, et dont lé ndinhte ÉM > Hiyoun i%aVà alitt dM indouttuéi tf| <^/ii^^ «MM CMt ce q^e l'on a TU , par exemple^ dMto le 0^^ des cordes vibrantes (n* 4^)^ ^^ ^^ mCOamài sont au nombre de trois , qui eicpriment les déplace mens d'un point quelconque de la corde suivant trois directions rectangulaires ^ et dont les valeurs dépendent de trois équations aux différences partielles, du second ordre par rapport à t.

546. Les seconds membres des équations (a) et les coefficiens qui entrent dans les premiers , étant des quantités constantes , on pourra toujours faire dispa-r raltre ces seconds membres , en augmentant chacune des inconnues u, is u^, etc. , dWe quantité constante y qu'on déterminera facilement. Sans restreindre la généralité de la question ^ nous pouvons donc supposer qu'on a Q = o dans chacune des équations (a) ; ce qui revient à dire que les valeuis iai^

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. 43f

tialeà a, €,y, etc. , des n variables indépendantes, répondent à un état d'équilibre du système, dont on Ta écarté en déplaçant un tant soit peu les points m , m', m", etc. , et leur imprimant de très petites vitesses. Ces déplacemens et ces vitesses devant être compatibles avec les liaison^ des points du système, ce ne sont pas les valeurs initiales des coordonnées or,/, etc., et de leurs premiers coeffidens différent

tîels ^> 37» etc., qui sont données arbitrairement

dans chaque cas , maïs seulement les valeurs initiales des inconnues indépendantes u, {f, tv, etc., et de

leurs coefficiens différentiels 21 * T^ 7"' ^*^*

On satisfera aux équations {a) sans seconds membres, en prenant

« = RN sin {t V/p — r) , j

V = RN'sinC^V'p — r), ( ,^v

IV = RN''sin(^Vp — r)/ etc.;

R et r étant des constantes arbitraires , dont la seconde pourra être supposée positive et moindre que Trj et p, N, W, N'^ etc., désignant des constantes qu'il s agira de déterminer. La substitution de ces valeurs àe u^ Vy Wy etc., dans les équations (a), donnera évidemment un nombre n d'équations de cette forme :

(DN+EN'H-FN"+etc.)p==GN+HN'+KN"+ etcv

En éliminant entre elles un nombre n — i des quan-^ tités N , N', N", etc., la n""*' s'en ira en même temps.

et ToQ aura, pour déterminer p, une équation du de^ gré n , que je représenterai par

De plus, les valeurs de /t — i des quantités N, N', Pî", etc., par exemple ,^e N', N", etc. , qu'on tirera de ces mêmes équations, seront des fractions rationnelles du degré n, par rapport à p, ayant un dénominateur commun, et multipliées toutes par la quantité N, qui restera indéterminée. En faisant celle-ci égale au dénominateur commun , les n quantités N, N', N", etc., seront exprimées symétriquement par des polynômes du degré n relatiTcment à p. Or, à cause de la forme linéaire des équations (a), on y satisfera non-seulement par les valeurs précédentes de i/, (^, iv, etc., relatives à telle racine qu'on voudra de Féquation A = o , mais aussi en prenant pour w, i^, tv, etc. , les sommes de toutes ces valeurs particulières, dans lesquelles on pourra changer les constantes R et r en même temps que la racine de A = o. Si donc on appelle f, Pi» f%f c^c. , les racines de cette équation, et qu'on représente par N, N, , N^, etc., les valeurs correspondantes de N; par N', N', , N'., etc., celles de N'; etc., on satisfera aux équations (a) au moyen de

M=RN sin(Vp— ^)+R.N, sin(V^— ^>-|-etc.,i

i^ ===RN'sin(Vp— 0^-R.N^siQ(^V^— r,>4-etc.,/ ^^

sv=Ri\'sin(Vf— ^-^-^ N' sin( Vp .— r.)+etc.,l etc.; 1

R, R,, R,, etc., r, r, , r^, etc., étant des constantes arbitraires; et comme elles sont au nombre de 2n , il s'ensuit que ces formules (c) seront les n intégrales complètes des équations (à) , dont chacune est du second ordre.

Dans chaque cas, on déterminera les valeurs de R cos r , R, cos r, , etc. , R sin r , R, sin r, , etc. , au moyen des valeurs données pour ^ = o , des an quan-

*•* ' . du dv dw ^ m .

tites u, if, w, etc. , ^9^9 ^, etc. Toutes ces valeurs étant supposées très petites, celles de R, R, , R«, etc., le seront aussi; par conséquent, si toutes les racines p » Pi , p., etc. , de l'équation A = o, sont réelles et positives, les valeurs de u, {f, w, etc., en fonctions de t, seront périodiques et demeureront très petites, comme on l'a supposé pendant toute la durée du mouvement. Mais si une ou plusieurs de ces racines sont imaginaires ou négatives, les termes qui leur correspondront dans les équations (8) se changeront, par les formules connues, en exponentielles, et croîtront indéfiniment; par conséquent, les valeurs de £i , (> , tv , etc. , quelque petites qu'elles aient été à l'origine du mouvement, finiront par cesser de l'être ; et les formules (c) ne pourront plus représenter les valeurs approchées de ces inconnues, que pendant un temps peu considérable. Dans le premier cas, que nous allons examiner spécialement , l'état d'équilibre, d'où le système a été un peu écarté , est un état stable ; dans le second cas , cet équilibre est non stable , du moins relativement aux dérangemens primitifs, pour liesquek les coeflficiens R; R, , R,^ etc., 2. 18

.434 TRAITÉ DE BiÉCANIQDE.

des termes non périodiques, ne sont pas égaux à zéro.

547* Lorsque tous les coefficiens R, R,, R., etc., sont nuls, excepté le premier, par exemple , les formules (c) se réduisent aux formules (b). En négligeant toujours les carrés et les produits de p^ u, Wf etc., on aura donc simplement (n^ ^44)

x—p +{àS{ + 6N'-f- cN"-l-etc.)Rsin(^V^— r), j =p, + (^.N-f- 6.N'-^ c,N"^- etc.)Rsin (t\/p—r), z =p,-^(a.N-h6JîJ'+c^N''+etc.)Rsin(Vp--r), x'=ip' + (a'N H-6W+ c'N"-hetc.)Rsin(Vf— r), y=p\+ (a'.N-l-A'.N'4-c'.N'+etc.)Rsin ( Vf— r) , y =p'.-f-(a'.N+*'.N'+c',N'+etc.)îlsin {t\/^—r), etc.

Les premiers termes p, Pif etc., étant constans, ainsi que les coeiEciens des seconds termes , il s'ensuit que, dans ce cas, tous les points du système feront, suivant la direction de chacune de leurs coordonnées , des oscillations isochrones et d'une amplitude constante , dont la durée sera la même et égale

à — zr, pour tous ces mobiles, et dans toutes les

Vf

directions. Les rapports des amplitudes pour deux points ou deux directions difierentes, seront déterminés, et dépendront de la nature du système et de la racine p de l'équation A =^ o. Leur grandeur absolue, dépendante du facteur R, sera arbitraire, et n'influera pas sur la durée des oscillations. Tous les mobiles reviendront ' à la fois à leur position

DYNAkiQUE, SECONDE PARTIE. 435

d'équilibre , qui répondent , par hypothèse (n'' 546) ,

à f/ = o, (^ = o, w sso, etc. , on k X ss p ,

j-zinp^^ etc.; le premier retour aura lieu au bout

d'un temps t = — = , qui dépendra , ainsi que R ,

Vf de leur dérangement primitif.

Un système de points matériels ^ dans lequel la liaison de ces points laisse un nombre n de varia-* blés indépendantes y et qu'on dérangera un tant soit peu d'un état d'équilibre^ pourra prendre un nombre n de mouvemens semblables au précédent j qui répondront aux n racines de l'équation A = o. De plus y en vertu des formules {c) et des valeurs correspondantes des^ coordonnées x , y y etc. , tous ces petits mouveiAens ^ ou seulement quelques uns d'entre eux, pourront avoir lieu en même temps dans ce système; et réciproquement , quel que soit son dérangement initial y on pourra toujours décomposer le mouvement de chacun de ces points, parallèlement à chaque axe des coordonnées, en un nombre n^ ou moindre que /i, d'oscillations simples, comme celles qui répondent aux équations (£/), dont les durées indépendantes du dérangement initial «eront

-^ , -^ , --rz. , etc. Quand ces durées seront toutes

Vf Vf, i/p.

commensurables , le système entier reviendra au même état au bout de chaque intervalle de temps égal à la plus longue; c'est ce qui a lieu , par exemple, dans le mouvement des cordes vibrantes, et n'a pas lieu dans le mouvement transversal des verges élastiques (n~ 49^ e* 5a5).

436 TRAITÉ OË MÉCANIQUE.

Cest dans ce thëorèfne général que consiste le principe de la coexistence des petites oscillations. Il a encore lieu lorsque le nombre des points mp mf, m", etc. I du système est infini; le nombre des oscillations simples, qui sont alors possibles, peut être aussi infini ; mais leurs durées et les rapports de leurs amplitudes n'en sont pas moins des quantités dâerminées. Ainsi , dans le mouvement transyersal d'vne c?orde tendue, dont la longueur, le poids et la tension sont /, p et 49*, et en désignant par g la grayité, les durées des oscillations simples ne peuvent être

que la quantité 2 W— et ses sous-multiples ; et ,

d'après la formule {d) du n^ 4^ 9*1^ amplitudes de rosciUation qui répond au sous-multiple quelcon-

que /, sont entre elles dans le rapport de sin -7- à

sin -j- > P^^^ ^^^ points de la corde , dont x ei x'

sont les distances à Tune de ses extrémités.

548. Lorsque les points m, n/, m" , etc. , oscilleront dans un milieu résistant , les composantes X , Y, etc., des forces qui les sollicitent, renfermeront dans

leui*s expressions les composantes -r $ -^ f etc. , des

vitesses de ces mobiles. Si la résistance du milieu est proportionnelle au carré ou à une puissance supérieure de la vitesse, elle n'inAuera pas sur le mouvement du système , au degré d'approximation où nous

nous sommes arrête, parce que les termes ^, 77, -j-^ , etc. , qui en résulteraient dans les

de X , Y , etc. ^ sODt da niéine ordre de petitesse que les quantités qui ont été n^ligées. Mais si les moavemenB des points m , m', m" y etc. , sont peu rapides, il faudra , comme dans le cas des très petites oscillations d'un pendule simple (n"" 187 ), supposer la ré^ sistance proportionnelle à la première puissance de la vitesse ; supposition qui introduira daiis les expressions Xy Y, etc.^ et par suite dans les équations (a), des termes multipliés par 'jf'^9'^9 ^(c.,

qu'on ne devra pas négliger.

Ces équations, que j'indiquerai par (e)y seront alors de la forme

D— 4*E^^-F— ^etc -|- Gii + Hp + Kw + etc. > (e)

D% £^ F', etc.', étant aussi des coefficiens constans,. qui seront proportionnels à la densité du milieu , et généralement très petits par rapport à ceux qui entrent dans le premier membre. Or, on satisfera à ce système d'équations au moyen des formules (B) multipliées par des exponentielles , c'est-li-dire , en prenant

u ï= RNsin(e v/p — ^)e""*^ j

V = RN'sîn (f V^ — t^)e^'^\ > (f)

w = RN"sin (tV} — r)r'*S ) etc. ;.

438 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

e désignant la base des logarithmes népériens, et «#, a»', (J'j etc., étant des quantités constantes et très petites. Je négligerai leurs carrés et les produits de ces inconnues et des coefficiens D', E', F', etc. Les valeurs deii, u,Wf etc. , satisfaisant déjà aux équations («) sans seconds membres, lorsque l'on fait abstraction des exponentielles , leur substitution dans les équa-* tions (e) donnera un nombre n d'équations de la forme ,

aDN^+aEN'û^'+aFNW+etc.rz^D'N+FN'+ctc,

d'où l'on tirera les valeurs des n inconnues cê, ùà\ a", etc.

Ces valeurs seront positives, parce que l'effet de la résistance d un milieu est de diminuer graduellement les amplitudes des oscillations. Cette diminution sera plus ou moins rapide pour les diverses variables indépendantes UjVy w^ etc. ; elle dépendra aussi de la racine p de l'équation A = o^ qui entre dans les valeurs de N , N', N", etc. ; en sorte que les amplitudes des oscillations simples dont le système est susceptible y ne décroîtront pas toutes avec une même rapidité. La résistance du milieu n'aura d'ailleurs aucune influence sur la durée de chaque sorte

d'oscillation , qui sera toujours — — pour celle qui

répond à la racine p. En prenant les sommes des formules {f)f relatives à toutes les racines de l'équation . A = o, on aura, comme précédemment, les valeurs les plus générales de w , i' , u' , etc.

549. 11 résulte du principe du n* 547, que si les points d'un système sout tellement liés entre eux.

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. 4îg

qu'il ne reste qu'une seule variable indépendante , ils ne pourront faire qu'une seule espèce d'oscillations , pour lesquelles la durée et les rapports des amplitudes relatives aux difierens mobiles , dépendront des forces qui les sollicitent^ et de la nature du système. Ce cas aura lieu, par exemple , dans le mouvement de deux points matériels m et m\ attachés l'un à l'autre par un fil d'une longueur constante, et obligés de se mouvoir sur des courbes données.

Si, au contraire, les points m, m', m\ etc., ne sont pas liés entre eux ni assujettis à demeurer sur des surfaces ou sur des courbes données , ce qui n'empêche pas qu'ils ne soient soumis à leurs attractions ou répulsions mutuelles et à d'autres forces semblables dirigées vers des points fixes , toutes leurs coordonnées seront des variables indépendantes; et , dans ce cas , inverse du précédent , le nombre des oscillations simples qui pourront avoir lieu, sera triple de celui de ces points matériels. C'est ce qui arrive efiectivement dans le problème du n"* 534 f relatif au mouvement très, petit d'un point m , considéré comme entièrement libre , et soumis à des forces dirigées vers quatre points fixes.

Pour donner encore un exemple de l'application du principe précédent, considérons les petites oscillations d'un point matériel pesant m, sur la surface d'un ellipsoïde dont l'un des axes est vertical. Soient 2c\b. longueur de cet axe, 2a et 2b celles des deux axesr horizontaux , et conséquemment

^* j- -^^ u. îl — .

;ïr -1- 7;r -t- ^. — I ^

44o XaAlTÉ DE MÉCANIQUE,

l'équation de la surface , quand l'origixie des coordoiinées est à sou centre. Si Ton transporte cette origine au point le plus bas, et que les z positives soient dirigées de bas en haut , il faudra mettre c—Zf au lieu de z, dans cette équation. Les oscillations du mobile étant supposées très petites, de part et d autre de ce point inférieur, les abscisses horizontales x etjr de m le seront aussi, et son ordonnée verticale z sera très petite par rapport à a: et ^. En négligeao^ le carré de z, après la substitution de c — z à la place de Zf on aura alors

car* j^ çf '

et si Ton appelle het k les rayons de courbure des deux sections principales de la surface , relatifs à son point le plus bas , ou à a: == o et j" = o , on en déduira

Cela posé, dans cette question, les variables indépendantes sont au nombre de deux , savoir x et j^; le mobile ne peut donc exécuter que deux sortes d'oscillations simples; et son mouvement le plus général, résultera de la coexistence de ces deux mouvemens particuliers. Or, si Ton écartait le mobile du point le plus bas de lellipsoïde , dans la section dont Taxe horizontal est 2a, et quon lui imprimât une vitesse dirigée dans le plan de cette section , il est évident qu'il n'en sortirait pas pendant tout son mouvement. En désignant par g la gravité, la dui*ée de ces pe-

tites oscillations serait alors 27ri/- , comme celle du V g'

pendule simple dont la longueur est h (n* ]85) ; et ,

à un instant quelconque, on aurait

j: = R sin( t y/| — A , > = o ;

R et r étant, comme précédemment, deux constantes arbitraires. Dans le cas ouïes petites oscillations auraient lieu dans le plan de la section dont l'axe horizontal est ab , leur durée serait iitKf - , et l'on au- ' V g'

rait, à un instant quelconque ,

P j: = o, 7 = R'sin(i\/f — r');

R'et r' étant aussi deux constantes arbitraires. Donc, les valeurs tes plus générales de x et jr seront les sommes de ces valeurs particulières, c'est-à-dire

X = Rsi-ti( < y/f - r), ^ = R'im(t\/i- /).

Pour déterminer les quatre constantes arbitraires R, R' , r, r", supposous qu'on a, à l'origine du mouvement,

dx I dr '

il en résultera

R sior = — Pf R'sia/ := — q, R cos I- = p' y - , R' cos / = î' y - ;

44^ TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

par conséquent, en ayant égard aux valeurs de h et kf nous aurons , à un instant quelconque,

X = pco&t î-^ + -^s sin t 5155

Dans le cas de as^bs=:Cp ces formules doivent coïncider avec celles du n^ 2oj , en faisant , conune dans celles-ci ,

X z=z a^ cos 4/ , ^ = a8 sin 4* En effet , elles deviennent alors

aflcos4. =;?cos^^| + /^|sin^^J,

a fl sin ^^ = 9 cos f y/| + q' ^^ sin t \/^ ;

mais dans ce numéro on a supposé

9=a, 4 = 0, ^==0, a^-^^Cs/ga,

quand ^ = o ; ce qui exige qu'on prenne

p = act, p' = o, q = o, q'=zey/8^; il en résultera donc

6 cos 4 = fit cos 1 1/ -> 6 sin 4 = ^ sin 1 1/- ; d'où l'on lire

atang4=Çtang^^|,

comme dans le numéro cité.

55o* Supposons généralement qu'on ait

M = U, p = V, fvs=W, etc.,

pour les i^aleurs des variables indépendantes à un instant quelconque^ quand on a

uz=zu^^ i; =s 1^, , tv = IV, , etc. ,

du dv dvi^

à Torigine du mouvement; supposons qu'oii ait aussi , à un instant quelconque ,

M=U', i^ = V', fv=W', etc-,

lorsqu'on a

uz=zu/f (^=si;/, iv = fv/, etc.,

du , dv f rftv , .

pour t = o; et ainsi de saite. Je dis qu'on aura, au bout du temps t quelconque ,

« = U + U' + U" + etc.,

V = V + V 4- V" 4- etc., . , .

w = W + W + W" + etc., ' ^^

lorsqu'on suppose , à l'origine du mouvement.

444 IVAITË D£ HÉCàHIQUE.

«=«, + «,' + u' -f» etc., i» = V. 4- f .' H- »»,• + etc. , wss w, + w,'4- w,'+ etc., etc.,

^ = «, + »/ + «/ + etc. , ^ = i»^ + p/ + i»; + etc.,

— == ïv^+ w; + fv/ 4- etc., etc.

En effet, d'après les premières suppositions qu*OD a faites sur les valeurs initiales de k, v, w^ etc.,

^ , ^ , -T- , etc. , les formules {g) satisferont évidemment pour ttssio à ces dernières équations ; de plus y les valeurs particulières de u^ ^, tv, etc., satisfaisant, par hypothèse, aux équations différentielles du mouvement y leurs sommes ou les formules {g) y satisferont aussi, puisque ces équations sont linéaires, et ne renferment pas de termes indépendans des inconnues m, v^ w, etc. (n* 546); les formules (g) rempliront donc toutes les conditions de la question, et seront , par conséquent , les valeurs des inconnues à un instant quelconque.

55 1. Ce théorème général peut être appelé le principe de la superposition des petits mouveinens. On ne doit pas le confondre avec celui de la coexistence des petites oscillations : il est indépendant des lois particulières des petits mouvemens que Ton considère , et résulte seulement de ce que les déplace-^

mens et les vitesses des niobiles sont traites comme des infiniment petits, puisqu'on néglige lenrs pro* dnils et leurs puissances supérieures à la première.

En vertu de ce principe , les ondes sonores qui partent de différens points , se propagent et se superposent dans l'air sans se modifier; en sorle qu'à chaque instant le déplacement et la vitesse d'une mo-* lécule d'air^ suivant une direction cfueleonque, sont les sommes des déplacemens et des vitesses qui répondraient à toutes ces ondes considérées isolément ; ce qui nous permet d'entendre distinctement et sans confusion plusieurs sons & la fois, produits par dififijrens corps sonores. Les sons simultanés peuvent aussi résulter de la coexistence des petites oscillations dans un même corps sonore. Ainsi, par exemple , lorsqu'une corde tendue exécute, en même temps', lés oscillations isochrones qui répondent j| sa longueur entière , et celles dont la durée correspond au tiers de cette longueur, le Ynouvement de Pair est le jnéme que si deux cordes, dont les longueurs seraient entre elles comme un fst a trois , exécutaient simultanément les vibrations les plus lentes dont elles sont susceptibles ; et Ton entend , en même temps , le ton fondamental de la corde donnée, et un autre ton jrfus élevé , qui est la qumie de Yoctave supérieure. C'est aussi pour cela qut l'on entend distinctement les sons (rôdttits par les vibrations longitudinales et par les vibrations transversales, qui ont lieu à la fois dans une même corde tendue, ou dans «Ae même Wrge élastique.

D'après le même principe , les ondes produites eu

(46 TRàlTÊ DE HÉGAHK^E.

fhukms poînts de k snAce et Teau, te {yropagent fUiiiiltuiéiMnt «atotir de ces centres dtflBfmift, et penrent se croifler en tons seoeà cette snrfiMae, ssni se modifier mntaellement ; de tnaniàre qu'à nn iostint qaeloonqne rélérattcm de Tean, en te| point qn^on vondra^est le somme des élévations positives on négatives qni enraient lien en verin de tontes lies fmdes considérées isdément* • •

L'explication qn*on donne dn phénomène des ni* •Ê^fkfÊÊCêi, dans là tbéorie des ondulations Imni-

anssi fondée snr le principe delasiqpep- BjQwwmunSy qu est^ comme en 'voslwsnseenliUade nesidmnaBS anDiicatiOlia. : . Pour le compléter^ nons ajonteons qur si des Jbroes émanées de centres mobiles sgisnfnf enr^lss points dn sysl&me, les seconds memhpea dee éqna lions (a) deleurs petits monvemens {vf 545) » seeent des fonctions linéaires des composantes de ces forces données. U en sera de ménïe à Fégard des intégrales complètes de ces mêmes équations différentielles; d'où Ton conclut que les parties de u, p, w, etc. , iiH dépendantes de l'état initial du système , et, psr suite y les parties semblables des coordonnées deà mobiles , seront les sommes des valeurs qu'elles auraient si les forces données agissaient séparément. Ainsi ^ par exemple, dans le phénomène des marées, l'élévation totale de la mer en chaque point et à chaque instant est la somme des élévations, prises avec leftrs signes, qui seraient causées par les actions isolées du soleil et de la lune; et c'est pour cela que, toutes choses égales d'ailleurs, les

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 447

haates mers sont les {^us considérables dans les sjzjrgies, et les moindres dans les quadratures.

§ n. Principes de la conseivation du mous^ement du centre de gras^ité^ et de la consen^ation desaire^.

55a.* Puisque le mourement du centre de gravité d'un système entièrement libre est le même que si les masses de tous les mobiles y étaient réunies f et que leurs forces motrices y fussent transportées parallèlement à leurs directions, il s'ensuit que les forces données dont les composantes paral- ^les à chaque coordonnée seront égales et contraires, n'entreront pas dans les équations différentielles de ce mouvement. Or, ce cas est celui des forces mo< trices provenant des actions mutuelles des points du système , en vertu de la loi générale de Yaction égale à la réaction, qui s'observe toujours dans la nature , ainsi qu'on va l'expliquer.

Si un point matériel situé en M agit sur un autre point situé en M% et lui imprime ou tend à lui imprimer, dans un instant, une quantité de mouvement infiniment petite, que je représenterai par /et, on obsene toujours :

I*. Que cette action est dirigée suivant la droite menée du point M' ve«s le point M, ou suivant son prolongement au-ddà de M';

a^. Qu'en même teiÉips le point situé en M^ réagit sur le point situé en M, suivant la droite qui va de M vers M', ou suivrait son prolongement de M.

3*. Que cette reaction oamniDnîqae oa tend à communiquer an point sitné en M une qoantitë de moavement précisément égale à ft.

On dit qu il y a attraction ou répulsion entre ces deux points matériels, selon que leur action mutuelle tend à augmenter ou à diminuer la distance BfM'; s'ils sont entièrement libres , et que leurs masses soient représentées par m et m'^ les TÎteeses qu'ik

prendront seront — et -^ , c*est-à -dire , en raison

inverse de leurs masses, et les quantités dont ik se rapprocheront ou s'écarteront , pendant un temps infiniment petit, seront égales à ces vitesses multipliées par la moitié de ce temps (n® 1 14) : d'aillenn, la quantité fc pourra dépendre de la nature des corps auxquels m et m' appartiennent, ou en être indépendante et proportionnelle au produit mmf de ces masses (n"" ^40> comme dans le cas de Tattraction universelle.

La première des trois propositions qu'on vient d'énoncer peut être regardée comme évidente en elle-même; car des quantités de matière m et m', étant réduites à des dimensions infiniment petites, et placées à une distance finie Tune de l'autre, il n'y aurait aucune raison pour que l'action d'un de ces points sur l'antre s'exerçàtd'un côté déterminé de la droite qui les joint, et autour de laquelle tout est semblable ; mais les deux autres propositions ne peuvent être pour nous que les résultats de l'expérience, généralises par induction et confirmés par toutes les conséquences qui s'en déduisent. En eflfet.

DYNAMIQUE , SEœNDE PARTIE. 449

nous ne pouvons regarder comme impossible, à priori j qu'un point matériel iti agisse surun autre m'y sans que celui-ci réagisse sur le premier, en sens contraire et avec une égale intensité. Ainsi , nous ad« mettrons le principe de la réaction égale et contraire à l'action comme une loi générale de la nature , qui nous est donnée par l'observation , de même que la loide l'attraction universelle , en raison inverse du carré de la distance.

553. Cela posé, si tous les points matériels d'un système entièrement libre ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles, ces forces motrices, transportées au centre de gravité du système, s'y détruiront deux à deux; le mouvement de ce centre sera donc rectiligne et uniforme^ et conservera constamment sa vitesse et sa direction initiales ; ce qui a fait donner à ce théorème le nom de principe de la conservation du niou^ cernent du centre de granté.

Ce mouvement n'est pas altéré par le choc des corps, quel que soit leur degré d'élasticité (n® 540; et, en ; effet, le phénomène du choc est produit, comme nous l'avons déjà dit (n''4^)^ P^ 1^ actions mutuelles^des molécules du corps choquant et du corps choqué, qui s'exercent à des distances insensibles, mais de grandeur finie , et pour lesquelles la loi de la réaction , égale et contraire à l'action , ne peut manquer d'avoir lieu. Par la même raison , si un corps solide est en mouvement , et qu'il soit brisé par une explosion intérieure, la direction et la vitesse du centre de gravité de toutes ses parties ^ après cette explosion , seront les mêmes que la direction et la vi-: 2. 29

45o TRAITÉ DE BDËCANIQUE.

tesse du centre de gravifé qui avaient lieu auparayant. En génër&l , les cbangemens brusques de vitesse qui accompagnent les chocs ou les explosions , sont les effets des actions mutuelles des molécules ; ces forces varient dans de très grands rapports, quand les molécules se rapprochent ou s^éloignent les unes des autres ; et , par suite , elles font varier de même les vitesses des corps pendant de très courts intervalles de temps.

Le principe dont il s'agit est indépendant de la liaison des points du système , pourvu qu'aucun d'eux ne soit lié à d'autres points étrangers au système que Ton considère / et ne soit pas assujetti k se mouvoir sur une sur&ce ou sur une courbe fixe ou mobile. Des. conditions de cette espèce, s'il en existait, donneraient naissance k des forces qu'il faudrait tranaporter au centre de gravité, et qui pourraient (airs varier sa vitesse. Il en sera de même, lorsqu'il y aura des forces appliquées aux points du système qui ne proviendront pas de leurs actions mutuelles ; et , dans ce cas, les actions mutuelles pourront influer indirect tement sur le mouvement du centre de gravité, en diminuant ou augmentant les distances des points du système aux points fixes ou mobiles d'où émanent les forces étrangères, et changeant , par conséquent , leurs intensités.

L'inertie d'un point matériel consiste en ce qu'il ne peut se mettre de lui-même en mouvement, ni modifier aucunement le mouvement qu'il a reçu , sans le secours de forces émanant d'autres points; l'inertie d'un système de corps consiste, de même»

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 45i

en ce que l'action mutaelle de ses parties ne peiit prpdaire ni modifier le mouvement de son centre de gravité , sans le secours de points d'appui ou de forces étrangères. Ainsi , le mouvement du centre de gravité du soleil , des planètes , des satellites et des comètes, doit être rectiligne et uniforme dans l'espace^ abstraction faite de l'action exercée par les étoiles sur tous ces corps , et de la résistance du milieu , si elle existe.

La manière dont les différentes parties d'un muscle agissent l'une sur l'autre , pour produire ses mouvemens ^ nous est inconnue j nous ignorerons peut-être toujours par quel moyen. la volonté met ces parties de nature diverse dans la disposition respective, nécessaire pour qu'elles exercent actuellement leurs attractions ou répulsions mutuelles : quoi qu'il en soit, nous ne pouvons pas douter que ces actions ne soient soumises à la loi de réciprocité, comme toutes les autres forces naturelles; d'oii il résulte qu'an animal , dé quelque manière quil s y prenne, ne peut jamais déplacer son centre de gravité par sa seule volonté , et sans le secours d'un point d'appui extérieur. L'homme et les animaux peuvent élever ou abaisser verticalement leur centre de gravité, en s'appuyant sur la terre ; ils peuvent aussi s'avancer horizontale^ ment, à l'aide du frottement contre sa' surface; mais la locomotion leur serait impossible sur un plan parÊiitement poli , où cette résistance serait tout-à<rfait inseo'sible. Dans le vol des oiseaux, c'eât le centre de gra^ vite de l'animal et de toute la masse d'air qu'il met en mouvement, qui demeure constamment en repos;

4Si TIULITÉ DE MÉGAHIQUE.

etf dans le yide, il ne poorrait piinreiiir à dëplacer jMm propre etatre de gravite, <|Be]le' que îtkt la rapidite du moairement de ses ailes.

n n'y a pas de doute, non .plos, qne les'flnides impondérables ne soient soumis à la loi de réaction ^ale et contraire à l'action, et que le principe de la conservation du mouvement du centre de gravité , qjiii en est la conséquence, ne doive aussi s'observer dans leurs mouvemens, comme dans celui de' tontes les autres substances, dont' ils nè'difl%rent que ptr leur extrême ténuité. Ainsi, lorsque l'électrictté, la Âaleur, la lumière, s'écli|ippent d'un mobile par un seul c6té, ce corps doit fiQCuler en sens contraire , ^afiii. que le centre de grajfité du système entier de^ meure en repos; mais la quantité de mouvement quH prendra ne sera sensible, qu'autant que odle du fluide impondérable le sera éfflemeat, malgré . la petitesse de sa masse, et à raison de la grandeur de sa vitesse. Cest ce qui ne peut-être décidé que par des expériences très délicates.

554* Non-seulement les forces provenant de l'action mutuelle des points m, m% m" , etc. , d'un système entièrement libre, n entrent pas dans les équations (7) de leur mouvement de translation , mais elles disparaissent aussi des équations (9) de son mouvement de* rotation autour de l'origine des coordonnées (n""' 558 et SSg).

En effet, soit F la force provenant de Faction mutuelle de m et m', qui est la même pour ces deux points matériels, et dirigée, si on' la suppose attractive , de m vers m! pour le point m , et de m'

Ters m pour le point m\ Eq appelant p la distance de ces deux points , les cosinus des angles que fait la droite mm! , avec des parallèles aux axes des x>. j^fZ, menées par le point m , seront

relativement à la force F , on aura donc

pour les composantes de la force motrice du point m / et Ton trouvera de même

pour les composantes de la force motrice de m% provenant de cette force F. Or^ d'après ces valeurs , noua aurons

m{xX — jUi) + m'{an' — flL!) = o, m(zX — xZ) + m' (z'X' — x'Z") = o> m{jZ - z\) + m'Cr'Z' - z'X") == o;

par conséquent, les termes provenant de Faction mutuelle des points du système , se détruisent deux à deux dans les seconds membres des équations (9) du n* 559.

Si donc il n'y a pas d'autres forces motrices qui agissent sur les points m, m'y ni\ etc., le mou-^ vement de rotation du système autour de Torigine des coordonnées , sera uniquement dû aux vitesses.

194 tÊkàiTÈ m mç0i»m^ j

IritfiJmi ^ CHil élii ilipriMfak è ^«s foiolsi w

seule action ikiatpelle 4e «M pArfits^' Mi i|^8lèiw ^peloonqae de corps ne peut prodoirç aiicaii moii^ Tement de transbrtioa dn dé rots^on cooiaiim à tons ses points, ni xnodiflîer, en inconè mvoSIkep cdoi qu'il a Mtçtt (Mciliiltivêu^tt.

9Si. Les jieconds n^embires des ëqiatioiis (9) se- ^ffiolt édooire'ÈÊcù, IcHrs4ue les points du s jstèmê, indépendamment de^nrsactÎQns mtitnelieSySerontaMB iûfiidMf par dés' jfoit^^ dir^ées'^Ti^ IWigine 4el Coordonnées; car pour nnib Sitôllaiite mte, iqp» pial|néoaa pointillé |ese<mipoiuites mS.,niï,m^ éoiat entre et£^ comiaoe les coordonnées ir, / , s ^ de ce point ; on a donc

et le terme qui en provient disparaît de chacune des équations (9).

Ainsi y dans tout système ëntiàrenlént libre , ou qui ne renferme qu'un seul point fîxe> et dont les points m, m\ ih', etc. , sont soumis à leurs actions mutudles et à des forces dirigées Vers ce point fixe, en le prenant pour origine des coordonnées , on aura

^"^ (^ dt^

^'"O'rfi-

DYJNAMIQUË, SECONDE PARTIE. 45$

S'il n'y a aucun point fixe dans le système , et que les mobiles soient uniquement soumis à leurs actions mutuelles, on pourra prendre tel point qu'on vou* dra pour origine des coordonnées; et comme daxis ce même cas, les équations (7) du n"" 538, se réduiront à

il s'ensuit qu'on pourra aussi prendre pour cette origine, un point qui ait un mouvement rectiligne et uniforme dans l'espace.

En effet, en désignant para, €, ^^ les coordonnées de ce point mobile^ on aura

dF ~ ^' df^ ~ ^' dt- ~

pour y transporter l'origine des coordonnées, il faudra faire

relativement au point quelconque m ; or, en substituant ces valeurs , dans la première équation (a) , on peut la mettre sous la forme

au moyen des équations précédentes , elle se réduira donc à

456 TRAITE DE MÉCAWIQCE.

et l'on trouvera de même que les deux antres éqna-

tïoDs (a) ne changent pas de forme, et deviennent

quand on transporte l'origine des coordonnées an point dont le mouvement est rectiligne et uoifonne. Dans ]e cas dont il s'agit, le mouvement du centre de gravite du système étant rectiligne et uniforme (o" 553), il en résulte que les équations (a) devront subsister en prenant ce centre pour origine des coordonnées.

556. En multipliant les équations Ça) par dt, et observant qu'on a

"^ di ^ dt — '^\^ dt ^ dt)' tfx dH j / dx <fe\

Ar tPr ,f da dr\

intégrant et désignant par c, c', c*, les constantM arintraires, il vient

équations qui montrent que dans le mouyement d'un système entièrement libre , où les mobiles ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles, ou à des forces dirigées vers un centre fixe , les momens des quantités de mouvement de tous les points du système, par rapport a trois axes rectangulaires qui, se coupent en ce point, et par conséquent, par rapport à toute autre droite menée par ce même point , sont des quantités constantes. Ces momens ne changeront pas de valeur, dans le choc des corps du système, ou dans l'explosion d'un ou de plusieurs d'entre eux, puisque les forces qui produisent ces phénomènes , sont des actions mutuelles de leurs molécules; ce qui s'accorde avec le résultat du n* 54 1*

S'il n'y a pas de forces dirigées vers un point fixe, il résulte du numéro précédent, que ce théorème aura encore lieu, par rapport à un axe quelconque qui se meut parallèlement à lui-même , en passant constamment par le centre de gravité du système, ou, plus généralement, par un point dont le mouvement est rectiligne et uniforme. Dans ce même cas, on conclut des équations (b) , que les sommes des quantités de mouvement de tous les points du système, suivant trois directions rectangulaires, et conséquemment suivant une direction quelconque, sont également des quantités constantes; théorème qu'on peut aussi regarder comme renfermé dans celui qui répond aux mon^ens de ces forces, en éloignant à l'infini le centre des momens et l'origine des coordonnées.

557. Les valeurs des constantes c, &, c", dépendront de la direction des axes rectangulaires.

.'tSa TfUITË DE MÉCANIQUE. ^^

qu'on prendra pour ceux des coordoaaées ; mais si l'oo Ëùt

Il qtiantité -y sera iion-sealement iodépendaate de l, mais aussi de cette directloD ; car elle exprime le moment principal' d'un système de forces (n' a8i), doot la valeur ne pent pas dépendre de la direction arbitraire des droites suivant lesquelles ces forres sont décomposées. Lorsqu'il n'existe pas de point Oxe dans le système» on trouvera donc une même valeur de y , en U calculant à deux époques différentes du mouvement, et prenant te centre de gravité pour origine des coordonnées, quelle que soit d'ailleurs leur direction, di0ërenlc ou ta même, à ces deux époques. Dans ces calculs, on n'emploiera que des positions et des vitesses relatives des moliiles aux époques données, savoir, les perj^endiculaires ^tT' ^' aI>AÎ^ées de cbaqne point m Stir trois pitni rectangulaires, menés arbitrairetneat par Ee centre de

gravité, et les excès ^» ■£ * j, » des composantes de la vitesse de m, parallèles à leurs intersectioiis^ . sur les composantes de la vitesse du centre de gr»* vite suivant les mêmes directions. Lors itiâma tpti serait survenu entre les deux époques ponr lesqndles on anra ainsi calculé la valeur àe y, nn ofl .phi^* sieurs chocs ou explosîotis des corps du sjstètaMi cette valeur ne serait pas changée, pourvu que ^ dus le cas d'une explosion , (hi comprit dans le calcul d* la seconde époque toutes les perdes du corps Ixîsé. Si donc on la trouvait diiërente à la second* épOtp»

de ce qu'elle était à la première , on en pourrait coi dure que des forces étrangères ont agi, dans Tinter* yalle, sur les mobiles , ou bien qu'ils ont choqué d'autres corps qui ne font pas partie du système.

Si l'on appelle a, a\ a", les angles que fait Taxe du moment principal avec les axes des z, y f Xj dont l'origine est au centre de gravité, od aura (n* 281 ) ^*

cos a = - , cos a' = - , cos a" = — ; y y y

en supposant donc que ces axes soient constamment parallèles à eux-mêmes, les quantité c, c^, d'^ ne changeront pas, et la direction de l'axe du moment principal sera aussi invariable , comme la grandeur (lu moment qui s'y rapporte. La même chose a lieu par rapport à un point fixe , lorsqu'il y en a un dans le systètne , et qu*on le prend pour origine des coor-* données; ce qu'on à déjà vu dans le n* 4i6> rela^ tivement à un corps solide.

558. Il est important d'observer que le6 termes provenant de l'action mutuelle du système disparaissent dans les seconds membres des équations (9) du n®539, lors même que l'intensité de cette action varie avec le temps , indépendamment de la distance , c'est-ànlire , lorsque les composantes de cette force renferment le temps t explicitement. Les équations (o), et, par conséquent, l'invariabilité du moment principal et de la direction de son axe , ont donc encore lieu dan» ce cas, qui se pr^ente, par exemple*, quand les points du système perdent , sous forme rayondAfite , une partie de leur chaleur propre; ce qui dimi*

46o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

nue y à distance égale, Finteiinté de leur action imitoelle. .

,: ^ Ainsi ,.'en faisant abstraction de Faction dn soleil et de la Inné sur la masse de la terré, et supposant ^pie notre planète , autrefois à Tëtat gazeux , a'est solidifiée par le refroidissement, sans perdre aucune parlie de a matière pondérable, on peut assurer que, ' dans cette Innsfonnation , le moment, principal des quantités de mouTement de tous ses points n'a pas diangé de grandeur, ni son axe de direction. Cette droite est devenue Taxe de figure de la terre, autour duquel elle tourne maintenant; et, dans ce mouvement , il est aisé de voir (n* 586) que Ton a

pour la valeur du moment principal ; a» étant la vi* tesse angulaire de rotation, M la masse, et Btt*!^ moment d'inertie par rapport à Taxe de figure. Si le refroidissement et la rotation de la terre continuent encore actuellement , et que son rayon diminue en conséquence , la valeur de k diminuera dans le même rapport; à cause que la quantité y est constante, la valeur de c^ augmentera donc en raison inverse da carré de A:, et la durée du jour décroîtra proportion- 'nellement au carré du rayon. Une diminution , due à cette cause, d'un dix-millionième sur la durée du jour, supposerait un décroîssement d'un vingt-mil-* lionième sur la longueur du rayon ; et comme on est certain que le jour n a pas éprouvé cette diminution depuis sSoo ans (n* 44^) ^ il ^^ résulte que le rayon moyen de la terre n'a pas varié d'un vingt-millio^

nième , ou d a peu près 3 mètres , dans ce long intervalle de temps, par Teffet du refroidissement, si la température moyenne de la terre n'est pas encore parvenue à un état permanent.

Les tremblemens de terre , les explosions volcaniques, le souffle des vents contre les côtes, les frottemens et les pressions de la mer sur la partie solide du sphéroïde terrestre, répondant à des actions mutuelles des parties du système, il n'en peut résulter aucune' variation de la quantité y; et les déplacemens de ces. parties qui ont lieu dans toutes ces circonstances, n'étant pas assez considérables pour produire des çhangemens sensibles dans la valeur de A:, ces causes diverses ne produiront aucune altération appréciable dans la rapidité de la vitesse o? , ni dans la durée du jour.

55g. Les théorèmes qui se déduisent des équations (c) peuvent encore s'énoncer d'une autre mar nière.

Observons, pour cela , que la formule j(xdjr—yda:) est l'aire décrite pendant l'instant elt, ou la d^Térentielle de l'aire décrite pendant le temps ty par le rayon vecteur de la projection du point m sur le plan des x et jr, en allant de Taxe des a: positives vers l'axe des jr positives ( n* i54)« La formule ^ (zdx — jcdz) est de même la différentielle de l'aire décrite par le rayon vecteur de la projection du même point m, sur le plan des z et x, en allant de l'axe des z vers l'axe des ûc; et ^ {jdz — zdjr) exprime la différentielle de l'aire décrite par le rayon vecteur de la projection de ce point sur le plan

des jr et z, en allant de l'axe des x ^^^^ ^'^^^ des 0.

Cela posé , considérons les aires comme des quantités positives ou négatives , selon qu'elles sont décrites sur chaque plan , dans le sens qu'on vient d'îodiquer^ ou dans le sens opposé. Soit ~ X la somme des aires décrites^ pendant le temps t , par les rayons vecteurs des projections de tous les points du système, et multipliées respectivement par leurs masses m, m% ni'f m!", etc. Appelons ^X' la somme des aires décrites sur le plan des zei x^ pendant le même tempSt par les rayons vecteurs des projections de ces points matériels, et multipliée aussi par leurs masses. Soit enfin 7 >!' la somme des aires décrites sur le plan des/ eïZy pendant ce temps / , par les rayons vecteurs des projections de ces mêmes points, multipliées de même par leurs masses. Ces trois sommes seront des fonctions de t, dont les valeurs s'évanouiront avec cette variable , et qui auront pour différentielles

ï rfA' = ^ 2m [zdjc — xdz) , i d^!'^ 1 2m {fdz — zdj).

En vertu des équations {c) , on aura donc

dK — cdt, dK'=ic'dt, d\''=c''dt; et, en intégrant^ on en déduit

A = ct, ?sfz=zc't, h"=c''t.

Doue, dans le mouvement d'un système entièi^ment

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 4^3

libre, dont les points ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles, les sommes des aires représentées par 7 A , \\'p { a", sont proportionnelles au temps employé à les décrire /et les sonmies des aires décrites pendant Vunité de temps, conservent leurs valeurs initiales pendant toute la durée du nïouvement; le centre des aires étant un point fixe , le centre de gravité du systèine, ou tout autre point dont le mouvement est rectiligne et uniforme.

C'est en cela que consiste le principe de la conservation des aires. Il a encore lieu lorsqull existe dans le système un point fixe vers lequel sont dirigées des forces agissant sur un ou plusieurs des mobiles, pourvu que l'on prenne alors ce point fixe pour centre des aires; ce qui comprend le théorème du n^ i54> relatif il un point matériel isolé.

Npus ferons remarquer que, quand télT points m, n/, m", etc., tournent dans un même sens autour du centre des aires, comme les centres des planètes autour du soleil, il en sera de même à Tégard de leurs projections sur les plans des coordonnées; de sorte que tous les termes des sommes -j A , ^ X', jX", auront le même signe : ils auront, au contraire, des signes différens, et ces sommes pourront être des quantités positives ou négatives, lorsqu'une partie des mobiles tournera dans un sens, et l'autre partie dans le sens opposé , comme dans le mouvement des comètes autouf du soleil.

56o. Maintenant, soient 0 (fig. 3i ), le centre des aires , fixe ou mobile ; Ox, Ojr, Oz, les directions des axes rectangulaires des coordonnées; M et M^

les positions du point quelconque m au bout des temps t et t -^ dt; P et P, les projections de M et M^ sur le plan des x et y. Le triangle MOM^ sera l'aire plane décrite, pendant Finstant dt , par le rayon vecteur de m, et il aura pour projection sur le plan des x et ^ , le triangle POP^ ,^ ou Taire décrite pendant cet instant , par le rayon yecteur de la projection de m sur ce plan. Les projections de MOM^ sur les deux autres plans des coordonnées , seront aussi les aires décrites par les rayons vecteurs des projections de m sur ces plans. Il en sera de même pour les aires décrites dans l'espace , pendant toutes les parties infiniment petites du temps t, par les rayons vecteurs de tous les points du système , et multipliées par leurs masses, ou , autrement dit , pour toutes ces aires augmentées dans le rapport des masses m, m% m", etc. , à l'unité. Par conséquent, les quantités 7A, i X% 7 A'', qu'on vient de considérer, seront les sommes des projections de ces aires infiniment petites , sur les trois plans des coordonnées ; et Ton pourra appliquer à ce système d'aires planes et à leurs projections, les théorèmes des n°* 1176 et suivans.

Ainsi , parmi tous les plans qu on peut faire passer par le point 0, il y en a un sur lequel la somme des projections des aires planes , prises avec les signes qui résultent du sens du mouvement pour chacune d'elles , est un maximufn. Si Ton désigne par fi la valeur de cette aire maxima, on aura

ft' = A- + A'* + A"»;

DYNilMIQDE, SSœNDE PAlA*I£. 46S

et f A (XL est llr petpeiidiciilrire à son- plan , et quW fasse

2OH = C, yOVL = C, xOVL == &\

on aura aussi cos

tf = — , GOS^iA— , cosff"=— .

Or^ d'après les râleurs de A^ X'y 7^', ces formtdes sont la même chose que

C JBt» C

COsffsSt-, COsff^ss— , COS^'s:^— ; ((/)' y y > ^

€, c'yif', y, étant las m^èmes constantes <pie précédJeniraent. Il en n^sulte donc que ta direction d^ phn: de Taire maxima demeurera constante peÀdiânt lonAe la durée du Aiouyement , et que k normale ^ce plan menée pair lexentre des aires coîncidiera tMi^ jours avec l'acse du moment pri»cipat dés quancitëi de mouvement de tous les points du* système.

On conclut de là que dans le moiv^ement de tout s^rstraie entièrement Ubre^ dont les poiMs matériels ne 90nt soumis qnfà kucs actions mutaelles^ il existe vnt phoy passant patr le cettitre de' gravité"^ qui de^ meure constamment parallèfo à Kii^méme, et dont, on pettt» à cfaaqne instant , déterminer' k direction', «u nMiyen des masses de feus ces points, de leurs coordonnées rapportées au centre éà- gravité comme origine^ et des excès des composanfes^ de leurs vi*tesses SUT celles de la vitesse de ce centre.

Ce tliéorème est dû: h Laplaw^ qui a dontll^ au plan dont il s'agit» k dénomination de plan ins^a^

rit s, et qui a proposé d'en faire osage, en Aslro-

iie, pour rapporter à sa direction constante les

., jctioQs variables (n* a44) des plans des orbites

1 Détaîres.

L 61. Cest au plan de l'orbile de la terre , et à une o.«ite menée, dans ce plan, par le centre du soleil et parallèlement à la ligue des équiuoxes, que les astronomes rapportent les positions des astres et les directions des plans dans lesquels ils se meuvent. L'écliptique vraie et la ligne des équinoxes étant en mouvement dans l'espace, on détermine leurs posi-

• lions, à un instant douné, en les comparant à celles des étoiles ; mais on peut craindre que les mouvemeos propres des étoiles, qni sont inconnus pour la plupart, ne nous induisent en erreur sur les déplaccmens absolus de l'orbile de la terre, après plusieurs siècles ; et , pour pi-évenir cet embarras, il est bon de pouvoir assigner sa direction vraie à un instant quelconque.

; SopposoDs donc que le plan dies j; et ^ sok le plan

* de l'écliptique à na instant donné» on, plus exactement , un plan parallèle ii celai de cette édiptiqw et qnené par le centre de gravité 0 du système a»- Ifire. Far le point 0 (fîg. Sa), menons arbitrairement dans ce plan les «ses Oo: et 0;';et d'après les coordonnées et les vitesses actaelles de tous les points dn sjrttème solaire, rapportées aux axes rectangulaires Or, QjTf Oz, et les masses de ces points, supposons awisi qu'on ait calculé les valeurs des quantités c , c', e". Si OH est la perpendicolaire «i plan invariable de ce système , et E^E' l'intersection de ce plan a\'ec

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 467

celai des x et /, les équations {d) donneront

cosHOz=-, tangEOx=^; (c)

ce qui fait connaître la direction du plan inyaiiable par rapport à celui dçs Ji? g!irj\*Mm .ipoxxv en conclure, réciproquement,, la dî^rectlta/^bscllue du plan de récliptique, parallèle à celui dos Jb et '^, il faut encore qu'il existe, sur le plan invariable, une droite qui demeure tonstanunent parallèle à elle-même , et dont la direction soit connue à chaque instant. iX, étant cette droite, on connaîtra Fangle KOx à l'époque que Ton considère; de cet angle, joint à HOz et EOo:, on déduira l'angle EOK; et les deux angles HOz et EOK détermineront complètement la direc«tion absolue du plan de l'édiptique.

Or, l'existence du plan invariable , dans le système solaire, suppose^ implicitement, que Ton fait abstraction de l'action des étoiles sur le soleil et sur les planètes , et que toutes les parties du système sont soumises uniquement à leurs actions mutuelles. Mais, dans ce cas , le mouvement du centre de gravité 0 est rectiligne et uniforme; par conséquent, à moins que la direction de ce mouvement ne soit exactement perpendiculaire au plan invariable , on aura une droite OK, toujours parallèle à elle-même, en projetant sur ce plan la droite que décrit le point 0 dans l'espace. On ne voit pas une autre ligne qu'on puisse prendre pour la droite OK ; mais pour faire usage de celle que nous- indiquons , il faut /qu'on ait préalablement déterminé; par l'observation, la direction

^68 TKAITÉ DK MÉCANIQUE,

du mouvement du centre de gravité de notre univers, (tue nous ne connaissons encore que très imparfaitement.

En comparant les valeurs des angles HO: et EOK , déterminées à deux époques différentes, on connaîtra IcB dépUceinens réels de lecliptique qui ont eu lieu dans l'intervalle, et que le seul angle HOz, inclinaison du plan mobile sur le plan invariable , ne suffirait pas pourdéterminerc-omplètenienl. Toutefois, fii les quantités c' et tf" sont très petites par rapport à c, l'angle HOs sera aussi très petit, et de très petites différences dans les valeurs de c' et c'' en produiront de très grandes dans les valeurs de £0x, et, par «itte, de l'angle EOK; en sorte qu'il paraîtrait, dans ce cas, que l'intersection OE de l'écliptiqne et da plan invariable aurait éprouvé un déplacement très considérable sur ce plan. Mais, en généra), ce déplacement ne serait pas réel; car les petites différences im Tftlenn de c' et c" prOTiendront , en grande partic * des erreurs inéritâblea dans les obserrations qm «rreat à détenniner ces râleurs, et des quanthét qa'ion cal obligé de neiger en les calculant.

Au reste , quand l'angle HOz est très petit , c*est-àdus, c[«and l'édiptique est très peu iDclînée sur le |dan invariable, l'angle EOK, qu'on peut alors très dHEcUtment déterminer, n'a qôe très peu d'influence Mr la direction vraie du plan de l'orbite de la tem.

563* Le nombre et tes masses des comètes nous âtant înconatu , 0a sera obligé de négliger les termes qui leur correspondent dans les râleurs de c, c', c*.

DYNAMIQUE^ SEGÛHI» PAITTIE. 46$

relatives au sy^ème sokire; mm les valevr^de df ef^ c'^9 données par les formules (c)8er€iit frespettalléf^ par cette omission ^ vu la petitesse* de ces masses , et parce que les termes de ce» formules^ qui correspon-* dent aux comètes , se détruisent , en grande partie , par ro{q|K>sîtioa des signes^ (n^ 55g)v

On calculera de la mai^ière suÂTante kt pmti«r àa c f c\ d'j qui répondent au soleil, aux plaaèles ci aux satellites.

Soient M la masse d'un de ces corpa^ et àm Félé^ ment de cette aiasse, dont x^ y y z, sont les cowdoi»* nées rapportées aux axes Oar ^ Gyr, Oz. Appelons- ^, f jTty Zfp les coordonnées èxi centre de graTité de M ^ par rapport aux mêmes axes^ et x^^j^j z^, les coor«données de dm ,. rapportées à des parallèles à ces axss^ menées par ce centre de gravité; de sorte qu'on ait|f à un instant quelconque ,

x = x,+x^, jr zsf, ^j^, z^t^+z^y

d^^ di '^ di^ dt — dt^dt^ dt'^ dt'^di'

L'origine des coordonnées x^^ jr^j z^, étaat ann centre de gravité de M ^ on a

fxjdm = o, /jr,dm ss o, fzj^ =: o,

et , par conséquent ,

/^.^ = o, /%*. = «, /t*.= o; les intégrales s'étendant à lamasse entière. D'après cela^

dx ^r d%

si l'on substitue les valeurs àe Xfjr, z, ^>-?> ^^

470 TItAlTË DE MËCAHIQCE.

dans U première ëquatîoo (c), et qa'oD y change n

et £ en tfm et /, on trouve

ce crai montre que le momenl des qaanlilés de mot)' Tentent de M , par rapport à l'axe 0^ , se compose de deux parties : la première ne dépend que do mouvement du centre de graTÎté de M, et est b même qae si cette masse était concentrée en ce point; b seconde est indépendante de ce monTemenl, et la même que si le centre de gravité de M était en repos, et que l'axe Os fût transporté en ce point, parallèlement à lui-même. Le même résultat s'applique ans quantités c* et c", et a encore lien par rapport à nn axe quelconque.

Maintenant, soient A, B,C, les momens d'inertie de H, par rapport à ses trois axes principaux qui >e ooopent àsoD centre de gravité; ptq, r, les ecHuposantesdesa vitesse angulaire de rotation, relatrra anx mêmes axes; ^, ft, r, les angles qne font leon directions avec une parallèle à Taxe Oz , menée par leur point d'intersection; d*a{»ès ce qn'on a vn dans le n*> 409, nous aurons

J{fi~df~Ji ■^')c6»=A/>cosA+Bjco«/*+Cpcosf,

pour le moment , par rapport à cette parallèle , des quantités de monvement de tous les points de H, provenant de sa rotation autour de son centre de gravité. Il s'ensuit (}ue la valeur complète de c sen

BTNAHIQUE, SECONDE PARTIE. 471

i?=2M (j:,^i-:r,^) +2 (A^ cos A+BçGOsH-CrcoffO ; (/)

les deux sommes 2 s'étendant aji soleil , à toates les planètes et à leurs satellites, et se composant par conséquent de 3o termes. Or , les rapports de A , B ^ C, à M, dépendant de la constitution intérieure de ce corps M , ils nous seront , sans doute , toujours inconnus : nous savons seulement que ces trois rapports différent peu l'un de l'autre , à cause de la forme à peu près sphérique des corps célestes; et qu'ils sont moindres que si ces corps étaient homogènes , parce que les densités des couches concentriques vont en décroissant du centre à la surface de M . U senit donc impossible de calculer la valeur de c ^ et de même , les valeurs de c' et c", si l'on devait avoir égard à la partie de chacune de ces quantité ^ qui provient de la rotation des corps célestes. Mais quelles que soient la forme de M et sa constitution intérieure, bipartie de A/icosX + B^cosft + Crcosy^ qui est due à rétat initial de ce corps solide , demeure cons« tante pendant toute la durée de son mouvement (n® 4^6); en sorte que cette quantité ne peut varier, pour chaque corps céleste , qu'à raison des attractions des autres corps, en tant que leur résultante ne passe pas exactement par le centre de gravité de M, c'est-à-dire^ en tant qu'elles s'exercent sur la partie non sphérique de M. U en résulte que pour chaque corps céleste, la partie variable du. second terme de la formule (f) est très petite, et peut être négligée par rapport à la partie du premier textosi^

4f4 KtlACnt JMS MtCOHfllK ^

relatiTe au même corps. Aiori, par exemple, en ^gipMit pfur i len^wi 4v glab» »y*wtw, par m la vitesse angulaire de son mouvement de rotation , ^ a lien autoor de son on 4e fignse, et par ^ Eaufl^ qneîfiptcet axe jwreeh pamiifclc à FaxeOisyle «BAo^é latine .dp la Avraskile (/^^ ^ Hpond à la

torre^ sera' îpouidrtp vue — b- a» ços (fV^ W serait la

vale^v^ si Ja^tsrreaftsfe fceoMgèaef seientanasi p il 4 Inaigfxm mbjnB-de l'oiftils ^ la terveet sa wlHse aasgjDeone dans: aeta éso vffwent naniieif )e pasnisr 4e^i|:temàle //> w^nlUk k taive, aom par fÊf/ê^ffÊmr ^vatoar; ^, si faxe Os paiipanJBdttuaè an flan dé eetle ^orbiM, anqnel i*-iÉpiqéseaiera l!oUiqnitrf de MelipliqiHi, «mi vana ^'«aeiaariation de cinq degrÀ dans la grandenrde . oafSa9|^nefroddraitpasnnevarialiand»mlavnieiir

de —g-cûCOBj", qui soit i^n ceat-inillionième de la

qoantf té Mp*0. On s en assurera , en otiaervant qnç le vapporl de û» à 8 excàdeà peine 566 , qne oelui de p à &<est environ a4ooo, et Tangle J^ ,k peu près a 3* ad'. B^n sera df même à Tégard de toutes les autres pUn BÀtes* Far raj^ort au soleil^ il y a lieu de oroire quf la partie variable du second terine de la formule (/) qui lui correspond , est tout-4i*-fait insen^Ue, à causa de sa forme sphorique qui résulte des observatioas, et que Ton peut aussi supposer fi ses pouches i«té« rilrares, à raison de la petitesse de la force centri|«ge comparée à la pesanteur , dans les différens points de ce corps (n^ 260); d'où Ton conclut que la résol-

DYNAMIQUE, SSCOUDi flVtlE. 4^

tante des attractions des plai^ètai doit piuaer €Xm^ tamment par son centre d^^avité , et ne pilaire auccme pertnrbaticm dans soRiouvemetit^te i^ation autour de ce point.

D'après ces eonstdéralîoBs , «i Ten &it passtr ^mile premier membre de Téqualion (f), le second terme de son aecond memlane, on fMMnnra compceodue dans la constante c, la partie inrariable de ce aeoond terme, prise aviec m ngne contrave; et en néf^ géant seulement sa partie variable, et opérant de même sur les iquatioos qui dounent les valeurs de i/ et c" , on aura, avec une approximation l)ien supérieure à celle des observations,

IM(r.^

563. Les coordonnées x^^y^^ z^, qui entrent dant ces formules , ont leur origine au centre de gravité du système solaire; pour plus de oiMnmodké, il est bon de la transporter au centre de gravité du soleil.

Pour cela, soient gf, h y A:, les coordoonées de ce point rapportées aux mêmes axes que Xtf jr^p z^; appelons oc, yj z, les coordonnées du centre de gravité de M, rapporta à dea axe^ parallèles, passant par le centre de gravité du soleil ; nous aurons

x, s= x — g, y, =y — k, z, = z —k; en substituant ces valeurs dans la première équa-

■4t4 traite de mécanique.

tiOB ijgy, die deviendra dooc

et l'on transformera de même les expressions de c'd c". D'ailleurs, l'origine des coordonnées x,,^,^ s,, étant au centre de gravité du système, on en coaclut

gSM = 2Mx, hSM = 2M7-, *2M == 2M:,

et, par conséquent;

dt ' dt

An moyen de ces équations, j'élimine g, h^ k, di* It* "di' ^ *îtpi«*M<»w de c, c*, c", qui derieiH neot fiDaleniiBttt

-â(ïM'-2M^-ï«k.SM^),

DYNAMIQUE, SBœNDE JPARTIE. 475 '

Les coordonnée» x^ jr^ s, du centre de grtivité de chaqoe planète on satellite, et les composantes

Â" ' "T"* It^ de sa vitesse , pourront être regardées

comme des données de l'observation anx différentes époques pour lesquelles on voudra calculer les valeurs de Cf c\ é\ et, par suite, les angles HOz et EOx relatifs à la direction du plan invariable, au moyen des équations (e). L'origine des coordonnées étant actuellement le centre du soleil , les sommes Z qui s'y rapportent, ne contiendront pas la masse du soleil , laquelle se trouvera seulement dans ZM , et • rendra conséquemment très petit le second terme de chacune des formules Qi) par rapport au premier.

s IV. Principes des forces vives et de la moindre

action.

564* Lorsque les équations (2) du n* 53 1 ne ^ renfermeront pas le temps explicitement, on satisfera aux équations (3) du même numéro , en prenant pour /x, jy, cTz, cTor^ etc., les différentielles dxp djr, dz, dad , etc. , relatives à cette variable ; car alors ces dernières équations deviendront les différentielles complètes des premières, savoir :

i/L = o, dV! = 0, dU'^zsz o, etc.;

et les quantités L, L^, L'', etc., étant nulles par hypothèse , pendant toute la durée du mouvement , leurs difierentielles complètes , prises en considérant

476 MTAAlT&SEBftGAMItpIE. f

a;, j9%r ^ f ^^•p cooune de» fiMictioiui d« t. Mot

timiégiksà idro*Maift ai L, ptr exemple^ feaferme

le temps explidtement, 8a diffëreatielle ooo^ilèlt

^ dLi^^dt+^dx + f ^ + etc.;

Qt tt pnlwit

' ^sijssidx^ ijr^s^dj^ J'zssidt^ S'xf^^djf^ etc.»

w|irMuefe éijuafioii (5^ ne s^sccxircteta âvéc Fei{iutUHi A esKO, que poar \b& Yakimp parliciilières de <j| ià

* en ei^te , pour. lesqueDcs on aun -^ :s= o. Je snp-

pomw dMB w qui Ti 8iifTre>q]ie ks qrstème de poiotB matériels m, m^, m^, etc., ezpriméee par Les équations (a)» sont indépendantesr |b temps il les quantités L , L^, îfp etc. » seront, d*ttl-'

leurs 9 des fonctions quelconques des coordonnées de ^ ces mobiles, qui ne contiendront pas seulement leurs

distances mutuelles, et le sjstème pourra renfermer ^ des points fixes et àes points assujettis à demeurer

sur des surfaces ou sur iç& courbes immobiles* Cela étant , si Ton substitue les valeurs précédentes

de S'Xy 9y^ etc., dans Téquation (i) du numéro cité,

elle deviendra

2'»(^g/t«: + ^ rfj- + ^ <3fe)

Ea appelaot ^, t^^ /, etc., les vitesses des points wt, ni, ni' , etc. , àtt bout du temps t , on aura^ iekiliv«raeBk

au point quelconque m ,

dC^ ^ d^ ^ d^ ^ ^

et en différentiant par rapport à <, il en résultera

ce qui changera Tëquation précédente en celle-ci : -irf.Zmp* = ^mpLda: + Ydj + Zà). (a)

Maintenant, si les points du sy^me sont attirés ou repoussés par des centres fixes , et que ces forces soient des fonctions quelconques de la distance , la formule Xdlr -f- Yt// + Z^b sera une différentielle exacte (n"" i58), pour chacun des mobiles en parti* culier. Si les points m, m', m", etc. , sont, en outre, soumis à leurs actions mutuelles, dout les intensités soient aussi des fonctions de la distance, et qui satisfassent à la loi de la réaction, égale et contraire a l'action , la somme des quantités Xd[r + Hdj- + Zdz et X'dx' + Vdy+Z'dz', relatives à Faction mutuelle de m et m' , sera encore une différentielle exacte (n* 346); et de même pour toutes les autres parties de la somme Z, fUrises deux à deux. Il suit donc de là que s'il n'y a dans le système aucune force dirigée vers un centre mobile étranger, qui introduirait le temps t dans les expressions de X , Y, etc., ni aucune résistance d'un milieu, pour laquelle ces expressions renfermeraient les vitesses des mobiles, et que les points m, m\ m", etc. , *ne soient soumis

^■jQ TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

qu'à leurs actions mutnelles , et à des attractions oo

répulsions, émanant de centres fixes, on aura

Xm(S.da:-\-\dx-i-Zdz) = (i<pÇx, /, z, x*, etc.);

p désignant une fonction donnée des coordonnées de m, Tn' , m', etc., qai dépendra des lois de ces forces en fonctions des distances.

Alors, en intégrant l'équation (a) et désignaot par I C la constante arbitraire, nous aurons

Smc' = C + 3Ç(x, jr^ z, af , etc.).

Poar éliminer C, soient k,k. A", etc., les vitesses initiales de m, m', m", etc.; désignons par a, b, c, les coordonnées initiales de m, par a' , b' , c*, celles de m% etc.; on aura à l'origine du mouvement J^H

irof = C + a^(«, *, c,a't etc.)î ^^

et en retranchant cette ëqnation de la précédente, il en résultera , à nn instant quelconque ,

Soie*— ImAf=:2^a:,7', »,a:',etc.)— a^a, b, c, a'), (ft)

Les quantités Imv^eX XmÀ* sont les sommes des fixca vives' de tous les points c|p système à cet instant et àl'origine dunloovement; cette équation signifie à»at que la différence de ces deux sommes ne dépend que des coordonnées des mobiles , à ces deux époques, et nullement de leurs liaisons ni des chemins quik ont suivis pour passer de leurs positions initiales à celles qu'ils occupent au bout du temps t. Cest en cela

DYNAMIQUE, SfiœNIMS PARTIE. 47g

que consiste la loi da mouvement, à laquelle on a donné le nom de principe des forces vives.