On en déduit comme conséquences immédiates

!**• Que la somme des forces vives est constante, toutes les fois que les points du système ne sont soumis à aucune force motrice, et que leurs vitesses ne varient, en grandeur et en direction , qu'à raison de leurs liaisons mutuelles, on de Tobligation on ils peuvent être de se mouvoir sur des sur&ces ou sur des courbes fixes et données.

:2*. Que si tous les points du système occupent les mêmes portions à deux époques différentes, les sommes de leurs forces vives seront aussi les mêmes à ces deux époques.

Les forces qui produisent le choc des corps de nature quelconque, étant les actions réciproques de leurs molécules (n^ 553), il s'ensuit que Téquation (b) a lieu pendant toute la durée de ce phénomène. Or , dans le choc des corps doués d'une élasticité parfaite , on suppose que les mobiles reprennent exactement , après la percussion , la forme qu'ils avaient auparavant , et que tous leurs points reviennent à leurs positions primitives; si donc cela a lieu effectivement pour deux ou plusieurs corps de forme quelconque , lorsqu'ils commencent à se séparer après s'être choqués, ia somme des forces vives de tous leurs points sera la même à cet instant , que dans le premier moment de la percussion , ou , autrement dit , il n'y aura aucune perte de force vive dans le système, ainsi que nous l'avons déjà vu(n'' Sôi)^ dans le cas par-

480 TRAITÉ DE MÉCANIQCE.

ticulier de deux spbères homogènes , dont les centm

se meuvent suivant nue même droite,

56ê. St Von représente par R la force d'attraction ou de répulsion qui émane duo centre fixe, et agît snr le point m , et qu'on appelle r la distance mutuelle de ces deux points, on aura (o* i58),

mpicLv 4- V^ + Zdz) = ± Rrfr; le signe supérieur ayant lieu dans le cas de la Ibroe répulsive , et te signe ioFc ;ur dans le cas de la foroe attractive, et R désignant une fonction donnée der, que l'on regardera toujours comme une quantité |)Ositive. Far conseillent , sî la distance r est A à l'origine du mouvement, et u au bout du temps t, On aura ± 2 / Yi.dr pour ta variation de la force vive du système, produite par la force R, pendaDi le temps t, c'est -à-dïrc , pour la partie du second memlïre de l'érpiation (h) , qui répond à cette force. Lorsqu'elle sera re'polsive , ÎJ y uira donc aoginaH' tatioa ou cHminutiou de force Tive, flelon qoç umiauœ r aura augmenté ou dïmmné; et fe confMÎR aura fieu quand ta force R sera attractive.

D'après ce qu'on a vu dans le n" 546 , il ea ien

de même Ji Tegard des actions mutuelles des pimA

du système; el, en effet, sî Ton appelle, comide ilui

le n" 554 f F Taclion mutuelle de m et m', par ercin'

. pie, et p la distance irtm' , on anra

DYNAMtQUE, SECONDE PARTIE, 481

selon qoé la force F sera répulsive 00 attractive i à cause de -

= (i— yXir — (fa') il en résultera donc

+7n' (X'rfa:' -j- ^Jf-^Z'(b') = zfc F.^p ,

pour la partie du second membre de l'équatioD (d), qui répond à la force F, et par conséquent, ±2 / ¥dp pour la variation de la force vive du système qui produira cetle force , pendant que la distance p passera de p = a à p = «. Le signe supérieur ajant lieu dans le cas d'un action répulsive, et la quantité F étant toujours positive, on voit qu'il y aura augmentation ou diniinuttoo de force vive, selon que Ton aura u>a ou u<C.a, c'est-à-dire, selon que la distance p aura augmenté ou diminué : un en conclut, par exemple, que l'action mutuelle des molécules d'uu gaz qui tend a augmenter leurs distances mutuelles, produit toujoui's une augmenl:ltion de force vive, dans le sjstènie dont ce Auïde fait partie, lorequ'il se dilate effectivement, et une diminution quand il se condense. Le signe inférieur aura lieu devant la quantité précédente, et la force F produira des effets inverses, lorsqu'elle sera atiractivE.

On voit encore qu'un poids P appliqué à une ma-' 3t

484 TRAITÉ DE NOÈCANIQUE.

cette yariaticm ; mais il est facile ée pronyer qtie Teffet du frottement sera toujours une dîminntkm de force vive. \ ,

En effet , à cause que ïfi frottement est proportionnel à la pression , on pourra représenter celui du pbint m , contre là surface dont Téquation est L = o, par fîi f en désignant par f une fraction donna» qui sera une quantité positive» ainsi que l'inconnue N. De plus 9 la direction du frottement étant tangente à la trajectoire du mobile , et dirigée en sens contraire de savitesse, si Ton appelle ^ rave décrit par le point m pendant le temps t , les composantes de la force JTi , seront

. -/Nf, -/Nf, -/N*,

parallèlement aux axes des x,jr, z ; donc^ à cause de da:^*i'djr^ + d;^=ids*, le terme du second memlure de Téquation (a) , qui provient de cette force , se réduira à — f^cls; et il en résultera , dans le second membre de Téquation (i), un terme — oJ/Hids, dans lequel on prendra l'intégrale de manière qu elle s évanouisse avec s, et qui exprimera évidemment une diminution de force vive.

Ce résultat conviendra également au cas où un corps du système glissera sur lautre : en prenant pour fis l'élément de la courbe décrite par leur point de contact en vertu de ce glissement^ pour N la pression réciproque de ces deux corps, et pour^ un coefficient dépendant de la nature de leur surface, la quantité *— rxjy^ds exprimera encore la diminution de force vive due à ce frottement.

DYNâMI(îI}E , SECONDE PARTIE. 485

On y^rra de même que Ja r^stance d'un milieu produira aussi constamment une fliminution de force vive, qui dépendra de la vitesse des mobiles. Ainsi ^ les frottemens des parties d un système , entre elles ou contre des obstacles fixie$^ et les résistances du milieu que les mobiles traversent , diminuent conti-* nuellement la somme des forces vives de tous ces corps; et c'est de cette manière que ces forces finis^ sent toujours par réduh^ au repos le système entier , s'il a été mis en mouvement, puis ensuite abandonné à lui-même, sans être soumis k d'autres forces motrices qui puissent reproduire incessamment les forces vives détruites par ces résistances. Cest ce que fait , par exemple, la force du ressort dans les pendules ordinaires : son action restitue au corps oscillant la force vive qu'il aurait perdue sans cela, à chaque retour à la verticale, et le fait ainsi remonter constamment à la même hauteur, maigre la résistance de l'air et les frottemens. Dans les horloges à poids , la force vive perdue est restituée au pendule par un poids, qui descend un tant soit peu pendant chaque oscillation.

56g. Si Ton représente par a:, , ^i, Zt, les coordon-r nées du centre de gravité du système des points ma-r tériels m, m% m", etc. , à un instant quelconque, et qu'on fasse

a: =s X, + x^, .y —jr.-^-jr^, z ^ z, + z^^

de sorte que x^^j^^ z^, soient les coordonnées du point quelconque m, rapportées à ce centre comme origine^ on aura.

et à cause de

3 en résultera

OV 9 ce qui est la même chose ,

en désîgnailt par v^ la vitesse do centre de gravite , et par i^^ ia vitesse du i)oint m dans son mouvement autour de ce centre. Par conséquent , on aura la somme àe& forces vives abfiiblues de tous les points do sjstèmei en ajoutant le produit du carré de la vitesse de leur centre de gravité et de la somme de leurs masses , à la somme des forces vives de tous ces mêmes points dans leur mouvement relatif autour de ce centre.

D'après ce théorème, si Ton appelle m la masse de Tun descorps célestes, U la somme des forées vives de tous ses points dans son mouvement de rotation autour de son centime de gravité, et qu'on désigne par u la vitesse de ce centre dans l'espace, on aura U+ nui*^ pour la somme des forces vives absolues de m. En appliquant l'équation {b) au système solaire, on aura donc

2U +2mw* = D + 2<p(:r, j-, z;, j:', etc.); les sommes 2 s'étcndant au soleil, aux planètes, aux

DYNAMIQUE, SEœNDE PARTIE. 487

satellites, et même aux comètes, si leurs masses étaient conuties;D étant une constante arbitraire dépendante des positions et des vitesses de tous ces corps à un instant donné; et (p désignant une fonction relative à leurs attractions mutuelles. En vertu du même théorème f on aura aussi

en désignant par V la vitesse du centre de gravité du système solaire dans l'espace, et par x^y y^^ z^, les coordonnées du centre de figura de m , rapportées à ce centre de gravité comme origine. Par conséquent^ réquation des forces vives deviendra

= D + 2<p {pc, jr, z, x\ etc.). {c)

Pour obtenir l'expression de la fonction (p\ obser*vons qu'à raison de la forme à peu près sphénque des corps célestes, et de la petitesse de leurs dimensions par rapport aux distances qui les séparent, on peut les considérer comme des masses réunies à leurs centres de gravité (n® ^42). Soient donc y^ l'intensité de l'attraction universelle à l'unité de distance et rapportée à des masses prises pour unité, m et m' les masses de deux de ces corps, et p la distance de leurs centres de gravité; leur attraction mutuelle sera

— -r f ^^ le terme correspondant de la fonction ^ aura pour valeur — ; d'où il résultera

tm ' * ><ihlàITÉ.J)E l|&UlJlIQIi^'-

pqrar n valedr'ooaiplke; la somnip £ VâenduA, ar tous les corpâ célestes, t>ns.deax à^i^axr . '* -

Observons maintenant, pour simiflifier ^ Té^pàati6n (c), qne si Ton ne tient pas compte de Pàttîon deS étoiles fiir les corps du système sQkire , le nioinrement de son centre de gravité est fectiligné et nnî> ^MPme, et la vitesse, Y ^ iioe quantité constante; de pins, abstraction dite ^es p^rtUrb^ations du monye- «nent 4^ rotation d^ chacun des corps c^esteSi^* qui pirfmennent Iles attraçtiops de tous les antres sur la partie non sph^rique dft celui quç Von considère, Ja quantité U est aussi constante pour chaque corps en particulier (a^J^^g); si donc çn n^lige H partie yar riaMe de ZU, et qu*on mette une autre constante C , 2i la place de D — 2mU — r V*2/?i , l'équation (c) deviendra

Si l'on veut transporter roriginedescoordonnéesao centre de figure du soleil , on désignera par g , h, k, les coordonnées de ce point, dont l'origine est au centre de gravité du système solaire; par x, jr, z, les coordonnées du centre de m, rapportées à celui da soleil , de sorte qu'on ait

X, z= X — g, Y,^jr — h, z, = z — k, pour les coordonnées du centre de nt, dontrorigine

est au cestre de gravité du système. Il en'içsultera

et à cat^ de

dt di di di ^4H àt >

réquation (d^ se changera en celle-ci :

après leliminatioa des quantités -j. "J"? "T-

Les sommes 2 , excepté Hm et 2 , ne comprendront plus la masse du soleil. On peut aus^i séparer de ces deux sommes les termes relatif à cet astre , lesquels sont

• • Mm Mm' Mm* M,— ^, —p-, ~i5r> etc.,

en appelant M la masse du soleil, et r, r' , r^' , etc. , les distances des centres de m, m', m", etc., an centre de M. De cette manière l'équation des forces vives, appliquée au système solaires deviendra fins^-* lement

4ç)o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

les sommes Z ne s'ëtendant plus qu'aux planètes , aux satellites et- aux comètes, s'il est possible; et Tongine de leurs coordonnées étant actuellement air * centra du soleil.

Nous ferons remarquer, à cette occasion, que le mfoyen le plus direct de savoir si l'edsemble des actions des comètes exerce une influence sensible dans le système du monde, serait de calculer, a des époques éloignées Tune de l'autre , la valeur de la quantité C, déduite de cette équation , d'après les vitesses relatives, les distances mutuelles, et les masses des autres corps célestes, à ces différentes époques : si Ton trouvait des valeurs de C sensiblement inégales, on pourrait attribuer leurs variations à raclion des comètes, en négligeant toujours l'action des étoiles , et en supposant qu'il n'y ait eu ni choc, ni explosion dans rintervallc; car on verra bientôt que les changemens brusques de vitesse allèrent la somme des forces vives du système, et font changer, par conséquent, la valeur de la quantité C.

570. D'après ce qu'on a vu dans le n* ^^46, la fonction désignée par (p dans l'équation (/>), est un niaxiniuni o\\ un minimum pour les valeurs des coordonnées Xy jy Zy x\ ctc. , qui repondent à une position d'équilibre du système; il s'ensuit donc que la somme des forces vives de tous ses poipts cesse

d^augmenter ou de diminuer , toutes les fois que le système, pendant son mouvement, passe dans une position où il demeurerait en équilibre, si ses points n'avaient pas de vitesses acquises ; et comme les maxima et les minima de cette fonction du temps devront être alternatifs^ il en résulte aussi que les positions d'équilibre par lesquelles le système passera, seront alternativement stables et non stables; cellesci répondant aux minima de la fonction ^ , et celles-là à ses maxima.

Toutefois, le caractère distinctif des deux états d'équilibre a été seulement énoncé dans le n"" 547; et il nous reste à prouver qu'en eflet, la stabilité de l'équilibre a lieu , quand la fonction ^ est un maximum; ce que nous allons faire au moyen de l'équation (b).

Pour cela supposons que a^ b, c, a' , b' , c\ etc., soient les coordonnées des points m, m', m", etc., dans un état d'équilibre du système; supposons aussi qu'on les écarte un tant soit peu de leurs positions, et qu'on leur imprime de très petites vitesses k, k' , k!'f etc.; au bout du temps t, soient

X =2 a + p, jr=zb + q, z = c + r, x'= a'+ p\ y=b^+ /, z'= c'+ r', etc.,

les coordonnées des mêmes points; il s'agira de faire voir que les variables pf q, r, p' , etc. , demeureront toujours très petites, si la quantité ^ {a, b, c, a', etc.), est un maximum.

En effet, je développe ^ (x, jr, z, x\ etc.), suivant les puissances et les produits de p, q, r,

492 HlAITÉ DE BiÉCANIQUE. ^

jfy etc. Par la propriété commune aux maxima €l aux minima , la somme des termes dépendans des premières puissances de ces Tariablés sera toujours nulle, quel que soit le nombre des variables indépendantes que la question comporte. Oh démontre aussi , dans le calcul différentiel , que la somme des termes dépendans des carrés et des produits de p, qf r, p\ etc., c'est-à<-dire, la somme des termes du second ordre par rapport à ces quantités, pourra se décomposer dans le cas du maximum^ en plusieurs carrés , pris avec le signe — , et dont le nombre est celui des variables indépendantes. En désignant par R , le reste de la série comprenant les termes du troisième ordre et des ordres supérieurs, on aura donc

9 (x, Y yZ ^ af ^ etc.) ssz ç^a, b, c, al ^ etc.)

— (j* + y + /'• + etc.) + R ;

Sj s\ y, etc., étant des fonctions linéaires de/>,y, r f p' f etc. , qui seront toutes nulles en même temps que ces variables. La substitution de cette valeur de (p dans réquatioQ (a) donne

i- 2mt^» = ^ 2mÂ:» — (^» + /• + ^"•+ etc.) -f- R.

Or, au commencement du mouvement, les variables Pf qf r^ p' f etc., sont d abord très petites; tant qu'il en est ainsi, les quantités s , s', /', etc. , sont également très petites ; et , réciproquement, à des valeui's très petites de s, s', s", etc. , correspondent toujours de semblables valeurs de /?, ^, /\, //, etc. D ailleurs, pour de telles valeurs^ chaque terme du second

r DYNAMJQUE, SECONDE PARTIE. 4ç(3 Tl

ordre esl plus grand , abstraction faite de signe, que R, qui ne renferme que des termes d'un ordre supérieur au second ; par conséquent, tant que tous les . carrés s* , /*, /'•, etc., sont encore très petits, chacun d'eux surpasse la valeur de R.

Cela posé , nous sommes en droit de conclure que toutes les quantités s, /, /', etc., demeureront toujonrs très petites , et que chacune d'elles ne surpassera jamais y/^Xk'} car, ces quantités variant par degrés continus, cela ne pourrait arriver avant que la plus grande d'entre elles, qui sera s, par exemple , ne soit devenue égale à V^^ 2A'; et comme cette valeur de s serait encore très petite, puisque toutes tes quantités k, U, A", etc., sont très petites, par hypothèse, on aurait à la fois

i» = lSA', /'>R, j"'>R, etc., 1 SmV = — (5'* -f 4"' -H etc.) -f- R ;

ce qui serait absurde, puisque 7 2mc* est essentiellement une quantité positive. Donc aussi les variables p,q, r, p', etc., resteront constamment très petites, et le système ne fera qu'osciller autour de sa position d'équilibre, qui est alors un équilibre stable; ce qu'on se proposait de démontrer.

Lorsque la quantité ^(rt, h, c, a', de.) est un minimum, la somme des termes du second ordre, dans le développement de ^(sc,/, z, x', etc.), est une quantité positive; l'équation des forces vives peut alors subsister, sans que les variables p,q,r, p' , etc., tenent toujours très petites; mais cela ne sniBt ]

pour en conclure qu'elles cesseront, en effet, dei'ètre au bout d'un certain temps, quelque petites quoa le& siq)pose à l'origine du mouvement , ainsi que les vitesses initiales k, I^f k'\ etc.; et ce n'est qu'en déterminant, dans chaque problème, leurs valeurs en fonctions 4e f, qu'on pourra s'assurer qu'elles ne sont pas limitées.

571. Les vitesses initiales, dont les composantes ont été représentées par a, b, c, a\ b\ c\ etc. , dans le n* 535, et que les points m, m', rri\ etc., ont prises «flectivement, quand le mouvement du système a commencé , satisfont nécessairement aux coudîtioos données qui lient les mobiles entre eux et à d'autres points de l'espace; et comme, par hypothèse, ces conditions sont exprimées par des équations, savoir, par les équations (2) du n^ 53i, il s'ensuit que si Ton désigne par € un temps infiniment petit, et qu'on prenne

Sx^:=iaiy ^jz=zhiy S'zzizLCiy S^ x' ^=z o! i j etc.,

les déplacemens des points ni , w', /n'\ etc. , qui répondent à ces accroîssemens de leurs coordonnées, et aussi les déplacemens contraires, satisferont atix conditions données, c est-a-dire, aux équations (5), qui ont été déduites des équations (2) dans le n° 53 1. On pourra donc employer ces valeurs de Jlr, cT;-, etc., dans l'équation (5) du a' 535 ; en sorte qu'à lorîgine du mouvement, et en supprimant le facteur é commun a tous les termes, on aura cette équation

entre les composantes A , B, C, A', etc., des vitesses que les points m, rd^ rri\ etc., prendraieat s'ils étaient libres et isolés, et celles des vitesses qu'ils prennent réellement.

Il est facile de vérifier cette équation dans le mouvement initial de rotation d'un corps solide autour d'un point fixe. En effet, changeons m en dm et 2 en y, et faisons

de sorte que h représente la somme des forces vives de tous les points du corps. L'équation précédente deviendra

/(Aa + B6 + Ce) dm = h. (f)

D'ailleurs , on aura (n® 4^)

oc^^ y^j z^j étant les trois coordonnées de dm^ rapportées aux axes principaux du corps qui se coupent au point fixe ,^t p ^ q , r , désignant les composantes (\e la vitesse de rotation autour de ces mêmes axes. De plus, en appelant k le moment principal, relatif au point fixe, des quantités de mouvement imprimées à tous les points du corps , et a^ G, y, les angles que l'axe de ce moment fait avec les axes de ^ifJ,f Z;, on aura

S (Bjc^ — A^^) dm = k cos y ,

S (Az^ — Ca:^)dm = k cos G ,

S (Cjf?, — Bz^) dfn = k cos a ;

4g6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

car il est évident que les premiers membres de ces équations sont les momens, par rapport aux axes des ^ifJif^i> ^^ quantités de mouvement dont k est le moment principal; en sorte que les valeurs de ces intégrales doivent se déduire de la valeur de A:, en la multipliant par cos^^, cos C^ cosci (n° a8i). Or, si Ion substitue les valeurs de a, b, c, dans Téquation (/), et qu'on ait égard à ces dernières équations, il vient

A' ( /> cos a + 9 cos C + r cos >) =s A ;

donc, en désignant par 9 la composante de la vitesse angulaire de rotation autour de l'axe du moment principal , de sorte qu'on ait

4ar=p cos a -f- y cos €+ t cos y ,

il en résultera

kfsr = A;

ce qui s'accorde avec le théorème du n* 419^ d'après lequel cette composante de la vltesss de rotation est égale à la somme des forces vives, divisée par le moment principal des quantités de mouvement.

672, Maintenant, s'il survient pendant le mouvement un changement brusque dans les vitesses des mobiles, on pourra prendre pour J'jCf Sj-, etc., dans l'équation (5) du n^ 535, les déplacemens infiniment petits de tous les points du système , qui ont effectivement lieu à une époque quelconque de ce changement, pourvu qu'à cet instant, comme on l'a expliqué dans le numéro suivant, les points par lesquels les parties du

DYNAMIQUE , SSœNDE PARTIE. 497

système sont en contact y aient une même vitesse ^ pour les deux parties adjacentes, dans le sens normal à leur surface commune. Cela étante il y aura deux cas distincts à examiner.

I®. Si le changement brusque est produit par la rencontre de deux ou plusieurs corps du système, ou •par le choc de ces mobiles contre des obstacles fixes, la condition dont il s'agit sera remplie à l'instant de la plus grande compression (n** 468). En supposant donc que les composantes a, hj c, ci y etc., des vitesses des mobiles se rapportent à cet instant, çt A, B, C, A^ etc., au commencement du choc, on pourra prendre, comme dans le numéro précédent ,

Sxz=:^(Uf S^j"==.htj J^z^s^ce, J^^=û'€, etc.;

et l'équation (é) aura lieu entre les composantes des vitesses à ces deux époques, qui seront celles du commencement et de la fin du choc, lorsque les mobiles n'auront aucune élasticité. Or, cette équation (é) donne

2m (Aa+ B6 + Ce) = ^m(a^ + b^ + c^); et comme on a identiquement

— a2m (Aa + B6 + Ce) , il en résulte

2iii(A*+B* + e*) — 2m(a-+** + ^) = 2m[(A— €i)* + (B— J)*H-(C — c)*];

498 TRAITÉ DE MÉGANIQUE,

en sorte que Fexces de la somme des forces vives de tous les points du système avant le choc, sur la somme des forces vives après le choc , est uoe certaine somme de forces vives, et, consequemment, une quantité positive. Par conséquent, dans les changemens brusques de vitesse, provenant du choc des corps dénués d'élasticité, entre eux ou contre des obstacles fixes, il y a toujours perte de force vive, ainsi que nous lavons déjà vu , dans le choc de deax corps sphériques et homogènes, dont les centres se meuvent sur une même droite (n^ 36 1).

2^. Lorsque le changcmeilt brusque sera produit par des explosions intérieures qui briseront an oa plusieurs corps du système, ce sont les composantes A, B, C, A', etc., des vitesses au commencement da phénomène, et non pas les composantes a, 6, c, i/, etc., des vitesses finales, qui satisferont à la coodition du n** 556; en sorte que, dans ce cas, ou ne pourra plus emplo^'cr les valeurs précédentes de cTx, jy, etc. , dans réquation (5) du n*" 555. Mais en désignant toujours par é un temps infiniment petit, on pourra prendre

crJc = A6, J> = B€, crJ3 = C6, cr^' = A'é, etc.,-

ce qui changera 1 équation (5) en celle-ci :

2m[(A — a)A + (B — ^^)BH-(C — c)q = o; d/où Ton déduit

J/n (a» -}- *• -f- c') — 2m(A' -j- B' -+- C») = ^mla — A)* + (* — B)»-f-(c — C/] ;

ce qui' montre que la somme des forces vives de tons les points des parties des mobiles , après l'explosion , est toujours plus grande que la somme de leurs forces vives avant l'explosion. U est évident^ en effet, que si les mobiles sont en repos avant la séparation de leurs parties, cette séparation sera toujours suivie d'une augmentation de force vive; mais, en vertu du théorème qu'on vient d'énoncer, quels que soient les mouvemens de translation et de rotation d'un corps, le changement brusque produit par une explosion intérieure, donnera toujours lieu à une augmentation de force vive, et non pas à une diminution, comme dans le cas d'une rencontre de corps dénués d'élasticité.

Sans qu'il soit nécessaire de rien ajouter à ce que nous avons dit, dans le n^ 4^ > ^^^' ^^ choc des corps élastiques , on voit que la première partie de ce phénomène, depuis le commencement jusqu'à l'instant de la plus grande compression , peut être assimilée au premier des deux cas précédens , et la seconde partie , depuis cet instant jusqu'à la séparation des mobiles , au second de ces deux cas : il y a donc perte de force vive pendant la première partie , et accroissement pendant la seconde. De plus, ai les mobiles sont parfaitement élastiques, de sorte qu'ils reprennent, en se séparant , la même forme qu'ils avaient avant le choc , et que les deux parties du phénomène soient exactement semblables , l'augmentation de force vive, pendant la seconde partie , sera égale à la diminution qui aura eu lien pendant la première ; par conséquent, la somme des forces vives du système sera

même avant et après le choc, conformément à œ qn'on a vu dans le n*" 565. Gela sappose, toutefois, qu'on fesse abstraction de la perte de force vive , qui aura toujours lieu ( n* 568 ) . s'il y a glissement et frottement des corps l'un contre l'autre pendant la durée de leur contact.

575. Le principe de la moindre action^ qu'il nons reste à considérer, consiste en ce que , dans le mouvement d'un système de corps pour lequel le principe des forces vives a lieu , si l'on fait le produit de la vitesse de chaque point matériel du système , de sa masse et de l'élément de^sa trajectoire; que l'on prenne la somme des produits semblables pour tous les mobiles; et qu'on intègre cette somme, depuis une position donnée du système jusqu'à une autre position aussi donnée, la valeur de cette intégrale sera généralement un minimum.

Ce théorème est une extension de celui du n** 160, et se démontre de la même manière ; c'est pourquoi nous en supprimerons la démonstration , pour abréger. Si l'on appelle ds l'élément de la trajectoire de m y dont la vitesse est i*, ce sera l'intégrale de ^m\>ds qui aura, en général, une valeur minima; mais dans quelques cas, comme dans celui du mouvement d'un point matériel sur une surface fermée, le minimum pourra être remplacé par le maximum; et ce que l'on démontre seulement , c'est que la variation infiniment petite de /l,m^^ds est toujours égale à zéro.

A cause de dsz=witf l'intégrale dont il s'agit est la même chose que /Vrf/, en faisant ¥== Z/nc'*. liC

DYNAMIQUE, SECONDE PA&TIE. 5m

priucipe de la moindre action revient 4ooc i diïé que l'intégrale du juroduit de la force vive du sys-* tème et de rélément du temps , est généralement un nUnimwn; en sorte que, dans la nature, un système de corps est transporté d'une position dans une autre, en dépensant la moindre quantité possible de force vive. Lorsque les mobiles ne sont soumis à aucune force motrice, la quantité Y est constante (n^ 565)^ et c'est le temps du trajet qui est un minimum.

Si l'on compare le principe de la moindre action aux principes des forces vives , de la cQ§servation du mouvement du centre de gravité , et de la conservation des aires, on voit que le premier n'est qu'une règle pour former les équations différentielles du mouvement, maintenant inutile, puisqu'on obtient ces équations d'une manière plus directe et plus générale , au moyen de la formule ( i ) du n* 53 1 ; tandis que les autres principes , outre qu'ils renfennent des propriétés importantes du mouvement, ont encore Favantage de fournir des intégrales de ces équations différentielles , qui sont les seules que l'on connaisse dans la plupart des problèmes.

IjC principe de la conservation du mouvement du centre de gravité fournit trois intégrales en quantitéss finies, savoir :

Imjc = aim + A/,

^my = 62m + B^^ 2/wz = c2/n + C/;

A,. Z^,^ c, A, B, C, étant les six constantes arbitraires^.

5oa TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

dont les trois premières représentent les coordonnées du centre de gravité du système à Torigine du mouvement, et les trois autres sont les sommes des quantités de mouvement imprimées, k cette époque, a tous les points du système, parallèlement aax axes des coordonnées.

Les intégrales qui résultent du principe de la conservation des aires sont trois intégrales premières , savoir :

2m (âcdjr — j'dx) == cde ,

%m{zdx — xdz) = c'dt y

TLm (jrdz — zdjr) = c"dt ;

e, c\ d\ étant les trois constantes arbitraires qui expriment les momens des quantités de mouvement initiales de tous les points du système , par rapport aux axes des z^y^x^on le double des aires décrites, dans l'unité de temps, autour de ces mêmes axes.

Enfin , le principe des forces vives ne fournit qu'une seule intégrale, qui est 1 équation (^) du n* 564 j ^^ qu'on peut écrire ainsi :

1 2„i^ ^^ j == D H- (p (.r , y, z, x\ etc.) ;

D étant une constante arbitraire.

%fci>Aj»%tA/»a>«l»«««>««**>>««a«»«««««.»««>««^«««....>.^.^.,..^^y^py^,yy^.^^,^^^^^^^^.^^.^^^^^^