CHAPITRE PREMIER

NOTIONS PRELUUNAI^.

574* V Hjrdmsiatiqiie est la partie de la Statique qui traite de l'équilibre des fluides. On y coosidèro un fluide comme un amas de points matériels qui cèdent au moindre eflbrt que Ton fait pour les sépa-t rer les uns des autres. Les fluides que la nature nous présente approchent plus ou moins de cet état de fluidité parfaite; ladhérence qui existe entre les mo^ lécules de plusieurs de ces substances, et qui produit ce quon appelle leur viscosité, s'oppose à la sépara-* tion de leurs parties ; mais , dans la théorie que nous allons exposer, nous ne nous occuperons que des fluides parfaits; et, si Ton excepte quelques liquidea où la viscosité est très considérable, les lois de Té- Cfuilibre auxquelles nous parviendrons sapplique-i ront, sans erreur sensible, à tous les autres fluides..

5o4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Ces substances, comme les corps solides, sont composées de molécules disjointes , et séparées par des espaces vides; mais si l'on divise un fluide en parties d'une étendue insensible, dont chacune renferme, néanmoins , un nombre immense de molécules , on pourra admettre que les conditions dequilibre de chaque partie sont les mêmes que si elle était infiniment petite, <|ii'elle conservât toujours sa fluidité, et qu elle eût pour densité celle du corps, telle qu'on l'a définie dans le n^ 98. Cela revient à considérer un fluide comme une masse continue, dont la densité est constante, ou variable par degrés insensibles.

576. On distingue deux sortes de fluides, savoir: les liquides et les fluides Mrijàrmes.

On appelle aussi les liquides des fluides incompres" sibles; mais, dans la réalité, ce sont des substances qui ne se compriment sensiblement que sous des pressions extrêmement grandes. Si , par exemple , un cylindre vertical est rempli d eau jusqu'à une certaine hauteur; que cette eau n'éprouve dabord aucune pression à sa partie supérieure , et qu'elle soit ensuite chargée d'un poids équivalent à la pression atmosphérique, Tobservation a fait voir que la hauteur primitive de l'eau diminue seulement de 46 millionièmes, en supposant que le cylindre conserve sou diamètre , et que ses parois ne cèdent pas à la pression qui leur est transmise par le liquide. En augmentant la charge du liquide, et la portant à plusieurs centaines de pressions atmosphériques, l'expérience a donné une condensation de l'eau croissante dans le même rapport que cette charge. Le mercure est eii-

BYDROSTATIQUE. 5o5

core moins compressible que Teaa; e!^ qnelcpie eflTort que Foir ait fait , on n'est pas parvenu à diminueF son volume d une manière apprëciaUe.

Les fluides aérîformes , comprenant Taîr atnosphë^ rique et les difierens gaz , sont compressibles, et doués d'une par&ite élasticité; en sorte qu'ils peuvent chan-» ger, à la fois, de forme et de volume parla comprts^ sion , et revenir exactement a leur forme primitive des que cette compression a cessé. On le& nomme aussi ^ pour cette raison, desjbûdes élastiques.

Les nmpeiars sont également des fluides élastiques; mais f pour une tenorpérature donnée, un espace aussi donné ne peut contenir qu'une quantité déterminée de vapeur ; de manière que si la vapeur a atteint cette limite , et qu'on diminue un tant soit peu, soit l'espace, soit la température, une portion de vapeur ae liquéfie. L'expérience a prouvé que ce maxùman de vapeur est le même , à température égale, dans un espace vide d'air et dans un espace rempli d'air plus ou m<^ns dilaté ou comprimé. La densité de la vapeur est, en général, peu ccmsidérable , relativement i celle du liquide dont elle provient; mais, quand un liquide est contenu dans un vase fiermé , dont il occupe, par exemple, le tiers ou la moitié, et qu'on élève sa température à un très baut degré , le liquide tout entier , après s'être dilaté , se réduit subitement en une vapeur transparente dont la densité est le tiers ou la moitié de la densité primitive de ce même liquide.

L'air et les gaz sont appelés des fluides pemnmens, par opposition aux vapeurs ; mais il y a lien de croire

5o6 TRAITÉ DE MÉCAMIQUË.

qu'ils peuTent être liquéfiés par une très grande com^ pression ou par an très grand refroidissement; et c'est, en effet, ce que Ton a yérifié à l'égard de plusieurs d'entre eux.

576. La propriété caractéristique des fluides , qui les distingue essentiellement des corps solides et qui servira de base à la théorie de leur équjlibre , est la faculté qu'ils ont de transmettre également, en tous sens, les pressions exercées à leurs surfaces. Dans mon Mémoire sur les Équations générales de réqui-libre et du mous^ement des corps élastiques et des Jhddes (^), j'ai £siit voir comment cette propriété provient d'une disposition respective des molécules du fluide, à laquelle il revient très rapidement quand il a été comprimé ou dilaté; et comment la résultante des attractions et répulsions moléculaires , qui produit les pressions intérieures , peut varier dans un très grand rapport, pour les très petites variations de distance des molécules ^ qui ont lieu dans les liquides. Mais, dans cet ouvrage, on regardera la propriété dont il s agit comme une donnée de l'expérience , admise par tous les physiciens et les géomètres qui se sont occupés de l'Hydrostatique, et dont l'exactitude ne peut laisser aucun doute. C'est ainsi qu'en traitant de l'équilibre de la lame élastique (n° 3o6) , nous sommes partis d'un principe secondaire , au lieu de remonter aux actions moléculaires dont il dérive.

(*') Jou/naldc l'École PolytCi:hmqHc, :*o* cahier.

577. Four nous former une idée précise du principe de régalité de pression en tous sens, considérons d'abord les fluides incompressibles.

Supposons qu'un vase prismatique , droit et posé sur un plan horizontal , dont ÂBCD (fig. 33) représente une section verticale, soit rempli jusqu'en £F d'un liquide, tel que l'eau, par exemple; supposons aussi que l'on recouvre celte eau d'un piston horizontal qui ferme le vase exactement. Pour simplifier la question, faisons abstraction de la pesanteur de l'eau, de sorte que ce fluide n'exerce, par lui-même, aucune pression sur les parois du vase; enfin, posons sur le piston un poids donné P, comprenant le poids même du piston. Il est évident que la base horizontale du prisme sera pressée de la même manière que si le poids F était posé immédiatement sur cette base, et qu'il fut distribué imiformément sur toute soa étendue. Tous ses points éprouveront des pressions verticales égales entre elles; la pression qui en résultera, pour une portion quelconque a de cette base , sera proportionnelle à ol : elle équivaudra à une force verticale, appliquée au centre de gravité de l'aire ot,

et exprimée par — ', en désignant par a Taire de la

base entière du prisme, qui est aussi celle de la base du piston en contact avec le liquide. Or, Je principe de l'égalité de pression en tous sens , consiste en ee que la pressiou que le poids P exei*ce à la partie supérieure de leau , se transmet, par l'intermédiaire du fluide, non-seulement sur la base du vase, n\ais encore sur ses faces latérales : tous les points du vase

5o8 TRAITÉ DE MECANIQUE.

sont également pressés dans des directions perpendiealaures aux paroi»; et une aire a, prise sur une des faces latérales du prisme , éprouve la même pression

— , que si elle faisait partie de sa base horizontale.

Généralement , supposons que le vase ait la forme d'oa polyèdre quelconque^ dont la figure 34 Kpréeente une section. Ce vase étant fermé de toutes parts I et fîxement attaché , concevons qu'il soit rempli exactement d'un liquide sans pesanteur. Si l'on enlève une face de ce vase , et qu'on la remplace par «n piston , auquel on applique une force donnée P, perpendiculaire à la surface du liquide adjacent , le vase et le fluide demeureront en repos , et , d'après le principe que nous expliquons, la pression que la force P exerce sur la surÊice adjacente , se transmettra, par l'intermédiaire du liquide, sur toutes les faces du polyèdre. Tous les points du vase , en y comprenant les points de la base du piston, seront également pressés de dedans en dehors, suivant les directions perpendiculaires aux parois; et, relativement à une aire a, prise sur une de ces parois, ou sur la surface du piston, la pression sera une force perpendiculaire à son plan, appliquée à son

centre de gravité, et égale à — ; a étant Taire entière de la base du piston, en contact avec le li* quide.

Cette pression transmise s'exerce de la même manière dans l'intérieur du liquide; et si l'on y considère une portion du liquide terminée par des faces planes,»

ou un polyèdre solide qui y soit plongé , chzqne pai^ lie CL de Tune des faces éprouvera aussi , de dehors

en dedans , la pression normale égale à — .

On étend, sans difficulté, ces résultats au cas où la surface pressée n'est plus supposée plane; il suffit alors de la décomposer en élémens infiniment petits,, que Ton regardera comme les faces planes d'un po^ lyèdre infinitésimal ; et si l'on d&igne par cj l'aire

d'un de ces élémens , on aura — pour la pression

normale qu'il éprouve ; a étant toujours l'aire' du piston , et P la force perpendiculaire qui y est appli-' quée. En désignant par p la pression constante qu'éprouverait une aire plane égale à l'unité, on aura

- = p , et les produits pcû et pa exprimeront les,

pressions sur l'élément 19 et sur l'aire plane égale k a.

Si le liquide a un certain degré de viscosité, la propriété de presser également en tous sens a encore lieu; seulement, il arrive que la pression ne se trans« met pas latéralement avec la même rapidité que suivant la direction même de la force P; mais, après un temps convenable , la pression latérale devient égale à la pression directe ; et c'est à cet instant que l'on considère l'équilibre du liquide.

578. Quand le liquide contenu dans un vase est pesant, il transmet les pressions que l'on exerce k sa surface , de la même manière que quand il est dénué de pesanteur ; mais il exerce en outre, sur les parois du vase, une pression due à son poids et variable

5io TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

d'un point à un autre : il en est de même à Tégard d'un liquide dont les points sont sollicités par la pesanteur et par d'autres forces données, et qui demeure en équilibre dans un vase. Si les parois du vase sont nécessaires à 1 équilibre , en sorte qu'on n'y puisse pas faire une ouverture sans que le liquide ne s'échappe aussitôt , il en faudra conclure que les parois éprouvent y en chaque point, une pression particulière, dirigée de dedans en dehors, suivant une normale à la surface du vase ; car ce n'est que suivant cette direction quune surface peut empêcher de se mouvoir un point matériel en contact avec elle, et détruire, par sa résistance, la force motrice de ce mobile.

La même chose a lieu dans l'intérieur du liquide, comme on la dit dans le numéro pi*écédent, soit sur des portions du liquide même, soit sur des corps qui j sont plongés. La pression en un point quelconque est unequanlité inconnue, que nous déterminerons dans la suite, et qui dépendra de la position de ce point et des forces motrices appliquées au fluide. Comme elle change, en général, d'un point à un autre, on ne peut la supposer rigoureusement constante que dans une étendue infiniment petite; or, pour mesurer la pression exereée sur un élénîent déterminé d'une surface, on conçoit une aire plane, que Ton prend pour unité, et qui éprouve, dans toute son étendue, la même pression que cet élément : p étant la pression totale que cette aire supporte, et cj letendue infiniment petite de cet élément, le produit pcj sera la pression correspondante à cet élément , et normale à

HYDROSTATIQUE. 5it

la surface dont il fait partie, (je coefficient p sera une fonction des coordonnas de ce même élément , que nous appellerons la pression rapportée à f unité de surface.

Cela posé, si Ton enlève une portion plane de la surface dû vase , qu'on la remplace par un piston de même étendue , et qu on applique à ce piston une force égale et contraire a celle que cette portion du vase éprouvait, il est évident que lequilibre subsistera comme auparavant. De plus, si le vase est fermé de toutes parts, partout en contact avec le liquide , et fixement attaché , l'équilibre ne sera pas non plus troublé en ajoutant à cette première . force une autre force quelconque P; car les forces appliquées aux points du fluide étant en équilibre, tout doit se passer, relativement à cette force P, comme si ces forces n'existaient pas, et de même que dans le numéro précédent. Par conséquent, la pression exercée par cette force P, sur la surface du liquide en contact avec le piston , sera transmise également en tous sens , par l'intermédiaire du fluide , et la pression p , rapportée à l'unité de surface , se trouvera augmentée , en chaque point , d'une

/ . P quantité constante et égale à -; a étant toujours

l'aire du piston , en contact avec le liquide.

Il est important de distinguer, comme nous le fisiisons ici, les deux sortes de pressions qui sont exercées sur les parois d'un vase contenant un liquide en équilibre, ou que supportent les parties mêmes de ce fluide : l'une de ces pressions, qui

5ia TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

varie d'an point à pn antre» est due au poids et aux autres forces motrices de la niasse flnide ; Tautte, cpii est partout la même , provient des forces appliquées à sa surface, et transmises par son intermédiaire. Ces deux pressions s'ajoutent en chaque point, pour former la pression totale.

579. D'après la prapriëté de transmettre également en tous sens les pressions exercées sur sa surface, un âuide incompressible 9 contenu dans un vase fixement attaché y doit être regardé comme une véritable machine ; car une machine est, en général , un appareil au moyen duquel une force agit sur des points qui sont hors de sa direction , et exerce sur ces points des efforts plus grands ou plus petits que si elle y était immédiatement appliquée, ce qui est le cas de la force P, .que nous avons considérée dans les numéros précédens.

Le principe des vitesses virtuelles s'observe dans 1 équilibre de cette machine, comme dans celui de toutes les autres machines connues. Pour le prouver, considérons un vase immobile et de forme quelconque ( Hg. 35 ) , qui ait un nombre quelconque d'ouvertures; à chacune de ces ouvertures, appliquons un cylindre qui se prolonge indéfiniment en dehors du vase; emplissons ce vase d'un liquide, tel que l'eau, dont nous ne considérerons pas la pesanteur; supposons que l'eau s'étende dans tous les cylindres , jusqu'à une certaine distance de leurs orifices, et qu elle y soit terminée par des surfaces planes, perpendiculaires aux longueurs des cylindres ; enfin , })OSons sur ces surfaces EF , E'F', E'T", etc. , des

HYDROSTATIQUE. 5i3

pistons qai les recouvrent exactement ,. et qni pnis^ sent , néanmoins , glisser sans frottemffnl; le long des cylindres. Soient a^d^ d\ etc., les bases.de ces pistons, qui sont aussi celles des cylindres; appliquons à ces corps des forces P> P-, F^.etc^ peipemdiculaii^s il leurs bases , et dirigées de. d^l^osted .dedap^;.et supposons que ces forces données,' qui; agiront Tune sur l'autre par l'intermédiaire de Tean, se fassent équilibre. Dans cet état, la pression rapportée à Tunilé de surface doit être la même sur. toutes les parois du vase, en y comprenant les bases des pistons (n* 577). Si donc on la représente par p y on aura pa , p^a , ^*a , etc. , pour les pressions totales que supportent de dedans en dehors les bases des pistons. Pour l'équilibre , ces pressions doivent être respectivement égales aux forces P, P'^ F', etc. ; par conséquent , on aura

Y — ap, F = «>, V':=zal'p, etc. (a)

L'une de ces équations servira à déterminer la valeur de p} et en la substituant dans toutes les autres , on aura les équations d'équilibre du système, qui sesonl en nombre égal à celui des pistons moins un.

Maintenant , imaginons , conformément à l'énoncé du principe des vitesses virtuelles , que l'on déplace les parties du système, de manière que les pistons répondent actuellement aux sections CD , CD' , CÎ)", etQ., des cylindres. Une partie de ces corps aura avancé, et l'autre partie aura reculé ; je repré-» senterai leurs déplacemens par h , A% h'*, etc. ; et je considérerai ces quantités comme positives ou comme 2. 33

5i4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

négatives ^ selon que les pistons auront avance oo re* cnlé. Ainsi, dans la figure, la distance h comprise entre les sections EF et CD, est positive, et la distance hf comprise entre les sections FP et CD', est ii^[ative. Les volumes d'eau qui sortent des cylindres pour entrer dans le v^Lse , répondent aux valeurs positives de A, h\ h!'p etc. ,. et ceux qui sortent du vase pour entrer dans les cylindres, à leurs valeurs n^atives ; les uns et les autres seront exprimés par les produits ah, a'h\ a^'h', etc., abstraction faite des signes. Par conséquent , Teau étant considérée comme incompressible , et la figure du vase comme invariable, la somme de ces produits, positifs ou n^;ati6, devra être nulle, et Ton aura

ah + dV 4- û"A" 4- etc. = o. (A)

Je multiplie cette équation par /i ; et en ayant égaid

aux équations {ci) , il vient

P^ + Yh! + Y^K' + etc. = o ; (c)

ce qui est Téquation résultante du principe des vitesses virtuelles, appliqué aux forces P, P', Y\ etc., et aux déplacemens h , A', A", etc. , de leurs points d'application.

La condition du système, qai est ici l'invariabilité du volume du liquide , est exprimée par l'équation {b). Non -seulement les déplacemens h, A', Wj etc. , remplissent cette condition , mais aussi les déplacemens contraires — A, — A', — }i\ etc. , ainsi que Fexige le principe des vitesses virtuelles (n* 53 1). Les quantités //, A', A", etc., peuvent avoir des

HYDROSTATIQUE. Bii

grandeurs finies , poarva qu'aocon des pistons n'en^ Ire dans le Tase, et ne sorte du cylindre où il doit être contenu*

58o. Le principe de l'ëgalité de pression en tons sens convient anx fluides élastiques comme aux liquides; mais relativement aux premiers ^ il nW pas nécessaire que des forces motrices agissent sur leurs molécules, ou qu'on etetce des pressions sur leurs surfaces , pour qu'ils pressent euxHOiémes les parois des vases qui les contiennent; il itafl^t pour cela de leur élasticité, en vertu de laquelle ces fluides font continuellement efibrt pour occuper un plus grand volume. En supposant donc qu'une masse d'air, d'un gaz ou d'une vapeur, soit contenue dans un vaâe fermé de toutes parts , et qu'on fasse abstraction de la pesanteur du fluide, les parois du vase éprouveront des pressions égales en tous leurs points, et dirigées de dedans en dehors, suivant les normales à ces parois. La pression rapportée à l'unité de surface sera la même dans toute l'étendue du vase; pour k déterminer, on fera une ouverture en un endroit du vase , pris au hasard ; on y appliquera un piston , et à ce cprps , la force nécessaire pour le maintenir en équilibre; en divisant cette force par l'aire de la base du piston en contact avec le fluide^ on aura la pression demandée; et Ion trouvera toujours le même quotient , quel que soit l'endroit où le piston aura été appliqué. Si , par exemple , le vase représenté par la figure 35, est rempli d'un fluide élastique, les forces P , F , F' , etc. , qu'on devra appliquer aux pistons qui ferment les cylindres, pour les empêcher

5i6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

de glisser y seront proportionnelles aux bases a^ d ^ d' y etc. ; le rapport de chaque force à la base correspondante, sera le même pour tous les pistons; et l'équation (c) aura encore lieu , mais seulement pour les mouvemens du système dans lesquels le volume total du fluide ne changera pas.

Cette pression constante qu'un fluide élastique exerce sur les parois du vase qui le renferme, dépçnd de sa matière , de sa densité et de sa température. On la nomme aussi la force élastique da fluide. L'expérience prouve que pour un même fluide, et la température ne changeant pas , la force élastique est proportionnelle à la densité; de sorte qu'en désignant par p la mesure de la force élastique, c'est-à-dire, la pression rapportée à l'unité de surface , et par p la densité , on a dans chaque fluide ,

P — kp;

k étant un coefficient qui ne dépend plus que de la matière et de la température du fluide.

Lorsqu'on aura égard à la pesanteur du fluide ou plus généralement, lorsque ses molécules seront sollicitées par des forces données, la pression p variera d'un point à un autre du vase , suivant une loi dépendante de ces forces, et qu'on déterminera dans la suite.

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