FLUIDES

58 1 . Pour traiter la question de la manière la plus générale , considérons nne masse fluide ABCD (fig. 56), homogène ou hétérogène, compressible ou incompressible, dont tous les points matériels sont sollicités par des forces données, et proposons-nous d'exprimer par des équations les conditions de soh équilibre.

• Soient x , ^ , z , les coordonnées d'un point quelconque M de cette masse , parallèles aux axes rectam gulaires 0:r , 0/ , Oz ; nous supposerons, pour fixer les idées , le plan des x et jr horizontal , Taxe Oz dirigé dans le sens de la pesanteur, et la masse ABCD comprise au-dessous du plan des x etjr, dans Fangle trièd|re des trois plans des coordonnées positives. Partageons la masse fluide en parties que nous traiterons comme des élémens infiniment petits , d'après ce qu'on a dit précédemment (n^ ^74)» supposons ces élémens compris entre des plans infiniment rag«> proches l'un de l'autre^ et parallèles à ceux des coordonnées ; de sorte que ces élémens soient des parallélépipèdes rectangles, dont les côtés adjacens seront parallèles aux axes et égaux aux différentielles des coordonnées : les deux bases horizontales àfi celui qui

5i8 TRAITÉ DE MECANIQUE.

répond au point quelconque M ^ et qui est repre* sente dans la figure^ seront égales à dxdjr; il aura dz pour sa hauteur verticale MM', et dxdjrdz pour son yolume.

En appelant p, la densité du fluide en ce point M, telle qu'elle a été définie dans le n* 98, et désignant par dm l'élément différentiel de la masse correspondant à ce même point , on aura donc

dm = pdxdjrdz.

Le facteur p sera une quantité constante dans les liquides homogènes, abstraction faite des petites compressions qu'ils éprouveront et qui pourront être inégales en des points différens ; f sera une fonction connue ou inconnue des coordonnées x^ jTf z^ dans les liquides hétérogènes, et dans les fluides élastiqiies qui ne seront pas partout également comprimes.

Soient aussi 1/Ldm, Ydm, Zdm, les composantes parallèles aux axes des jc^jr^z^dehi force motrice donnée qui agit sur lelément dm, de sorte que X, Y , Z , soient les composantes de cette force rapportée à l'unité de masse, ou de la force accélératrice relative au point M. Chacune de ces trois quantités sera une fonction de x, j-, z, dont on regardera les valeurs comme positives ou comme négatives, selon que la force qu'elle représente tendra à augmenter ou à diminuer la coordonnée à laquelle elle est parallèle. L élément dm sera , en outre , pressé de dehors en dedans sur ses six faces, par le fluide environnant; et, pour qu'il demeure en repos, ces pressions ex té-

rieures devront faire écpiilibre aux forces intérieures Hdm, Yi/m^ Zdm.

Cela étant, désignons par pdxdj, la pression Verticale qui d'exercé sur la base supérieure dxdf^ dans le sens de la pesanteur, de manière que p exprime la pression rapportée à TuBÎté de suriace, qui répond à cette base infiniment petite (n* 577)4 Cette quantité p sera une fonction inconnve des coordonnées x^ y, %} wl point M% dont les coor^

données sont x^j, z-^dz, elle deviendra P+^^^r

et elle exprimera la pression verticale, rapportée à l'unité de surface et relative à la base inférieure dçdm. -Cette* seconde base éprouvera donc , dans le sens de la

pesanteur, une pression égale à ff + -^ ^} dxdj] la

résistance du fluide sur lequel l'élément dmesi appu)ré^. sera une forceégale et contraire à cette pression; en sorte que cet élément sera poussé verticalement parles deux

forces contraires ;«terfret(/» + J<fa)^dr, ou p.f

une force égale à leur différence -^dxdjdz et dirigée

du bas en haut. Or , pour que cet élément dm Yie s'élève ni ne s'abaisse , il faudra que cette force soit égide à la composante verticale Zdm de la force- motrice, qui agit dans le sens opposé ; par conséquent , on aura d'abord

^ dxdjrdz =:*Zc/m.

Ou trouvera de même les équations

5ao TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

j-dûcdjrdzzzzXdmy —dxdjrdz :=^\jdm,

qui seront nécessaires pour que rëlément dm ne se meuve ni dans le sens des j^, ni dans le sens des x, et dans lesquelles 9 et r représentent les pressions rapportées à Tunité de surface , qui répondent aux faces de dm , parallèles aux plans des or et z et des j et z y et les plus voisines de ces plans. £n substituant dans ces trois équations, la valeur précédente de dm, et supprimant le facteur commun dxdjrdz, elks deviennent

• |=pZ, | = ,ï. * = pX. (.,

582. Observons actuellement que si les élémeos dans lesquels nous avons partagé la masse ABCD, étaient solides, de sorte que cette. masse fût un assemblage de parallclépipèdes rectangles, solides et juxtaposés, il n'y aurait aucune relation nécessaire entre les pressions que chacun de ces parallélépipèdes éprouverait sur ses faces non parallèles; l'élémeot dm pourrait, par exemple, éprouver une pression quelconque sur ses bases horizontales, et n*eu éprouver aucune sur ses faces verticales; mais cet élément infiniment petit devant être considéré comme fluide, aussi bien que toutes les parties de la masse totale, qui auraient une grandeur finie (n® 5'j/^), il suit de la propriété fondamentale des fluides, que les trois quautités p , (/y r, doivent être égales entre elles, ou du moins, qu'il ne peut exister entre elles qu'une difië-

HYDROSTATIQUE. Ssi

reace infiaiment petite , négligeable dans les équations (i).

En effet, la pression que le fluide environnant exerce sur chacune des ' faces du parallélépipède dœdjrdZf se transmet sur les autres faces, par Tintermédiaire du fluide , dont l'élément dm est compose ; cette transmission se fait de la manière que Ton a expliquée précédemment, et d'où il résulte qu'ayant appelé pdxdy IdL pression qui a lieu de dehors en dedans , sur la base horizontale supérieure, il faudra représenter, en même temps, par pdx dz et pdjrdz, les pressions transmises sur les faces latérales , et qui s'exerceront de dedans en dehors; de plus, à ces pressions transmises, il faudra ajouter celles qui rér sultent de la force motrice dû Auide dm; par consé-* quent , si l'on appelle y la pression due à cette force , et exercée, par exemple, sur la face djrdzy la plus voisine du plan des^ et z ^ on aura pdjr dz + y po?r la pression totale, qui a lieu de dedans en dehors, on de droite à gauche , sur cette même £ice. D'un autre côté, la pression provenant du fluide environnant, et exercée de dehors en dedans, ou de gauche à droite, sur cette face djrdz, a été représentée par rdjrdz; cette force est la résistance que le fluide environnant oppose à la pression intérieure pdjr dz^y; par cou-* séquent il faut qu'on ait

rdjrdz = pdydz ■+• y.

Or, quoique la valeur de y soit inconnue, nous sommes certain , néanmoins , que cette quantité ne peut être qu'un infiniment petit du troisième ordre.

comme la force motrice de £//», dont elle provient j* en négligeant donc y par rapport à pdjr dz, nous aurons rzapf et Ton prouvera de même que Fou doit aussi avoir çsssp.

La conclusion serait encore la même , si Féléaieot dmp au lieu d'être un parallélépipède rectangle, était un polyèdre quelconque dont touteis les dimensioiis fussent toujours infiniment petites; et Yon démon* trerait de la même manière, que la pression extérieure exercée normalement sur toutes ses fiices parle fluide environnant, est proportionnelle à leurs aires respec* tiyes , et indépendante de la force motrice du polyèdre. Il s'ensuit donc que tous les élémens de snrfiioe qui passent par le point M , éprouvent une même pression rapportée à Tnnité de sur&ce , et que si m est Taire de Tun d'entre eux, la pression normale qu'il supporte , sur l'un ou l'autre de ses deux côtés , est ^ale à pco y quelle que soit la direction du plan auquel il appartient.

D'après la condition r = q:=p, les équations (i) deviennent

et elles sont maintenant les équations générales de l'Hydrostatique , qu'il s agissait de trouver.

583. Les conditions d'équilibre qu'elles expriment se réduisent, dans chaque cas particulier, à ce quon puisse trouver pour y? une fonction de jc, y ^ z, qui satisfasse en même temps à ces trois équations. Or^ si ou les ajoute après les avoir multipliées par dx.

HYDAOSTATIQUE. 5!i3

djr, dskj il vient

dp = p ÇUx + \dj + Zdz) ; (5)

il faudra donc, pour que la valeur de p soit possible^ que le produit de p et de la formule 'Xdx+Ydy+Zdzp soit une différentielle exacte d'une fonction de trois variables indépendantes a:,jr,z. Réciproquement ^ quand cette condition sera remplie , on prendra pour p Fintégrale de ce produit, et Ton satisfera de cette manière aux équations {2).

En mettant dans cette valeur de p , à la place de ^ 9 J i ^«1^ coordonnées dW point quelconque de la surface de ABCD , on aura la pression qui aura lieu en ce point sur la paroi du vase dans lequel cette masse fluide sera contenue; pression qui sera toujours détruite , pourvu que cette paroi soit fixe et susceptible dune r^istaince indéfinie; mais dans les endroits oii le vase est ouvert , et où le fluide est entièrement libre , *rien ne pourra détruire U pres-r sion p\ par conséquent, il fisindra que sa valeur soit nulle t pour tous les points de la surface libre d'une masse fluide en équilibre ; ce qui donne

Xdlr + ^dy + Zdz = o, (4)

pour lequation différentielle de cette surface.

Cette équation subsistera encore lorsqu'on exercera une pression constante à la sur&ce libre du fluide ; dur alors il faudra qu'on ait d(p s=s o , pour tous ses points ; et la densité f n'étant pas nulle , Téquation (4) résulte alors de la formule (S). Si Ton exerçait, par un moyen quelconque, une pression variable d'un

point à un autre de la surface libre d'un fluide , et que cette pression rap^rtée k Tunite de sur&ce , fût représentée -parfÇxfjr^ z), il faudrait que la valeur de p y tirée de Téquation (4) 9 coïncidât, pour tous les points delà surface libre, avec cette fionction donnée àe Xfjr p z; eif dans ce cas, l'équation différentielle de cette surface serait

Dans la suite, nous supposerons toujours que la pression extérieure est nulle ou constante dans toute l'étendue de la surface libre d'un fluide en équilibre.

La pression p étant proportionnelle à la densité, dans les fluides élastiques (n* 58o), il s'ensuit que cette pression ne peut jamais être zéro dans un fluide de cette nature, tant que la densité n'est pas nulle , c'est-à-*dire , tant que le fluide existe, et qu'il n^a pts perdu, parle froid, toute sa force élastique. Un fluide élastique ne peut donc être en équilibre que quand il est contenu dans un vase fermé de toutes parts, oa bien lorsqu'on exerce à sa surface des pressions dirigées de dehors en dedans.

584. Il suit de réquatiou (4), que la résultante des forces accélératrices X , Y , Z , qui agissent sur chaque point d'un liquide en équilibre, appartenant à sa surface libre , est perpendiculaire à cette surface, soit qu'il n'y ait aucune pression extérieure, soit qu'on exerce à cette syrfacc une pression constante d'un point à un autre. En effet, traçons sur la surface libre une courbe quelconque, et soit ds Télénient diflérentiel de cette courbe, correspondant au point

dont les coordonnées isont oc^ j^ z^ de sorte que

j-9 ^f -^fSoientlescosinus des angles que latangenté

à cette eourbe^ en ce même point , ùit avec des parallè^ les aux axes des coordonnées. Appelons R la résultante des forces X, Y, Z; les cosinus des angles que fait sa

direction avec ces parallèles, seront ^r, r'R^^^^^^ Ton divise Téquation (4) par Kds, on aora

K ds^K ds'^^Iids — ^^

ce qui montre que la direction de la force R , et la tangente à la courbe qu'on a tracée arbitrairement sur la surface , sont perpendiculaires Tune à Tautre , et, par conséquent, que cette direction coïncide avec la normale au point que l'on considère. Cette force agira, en général, de dehors en dedans; mais quand la pression extérieure ne sera pas nulle , elle pourra être dirigée , au contraire , de dedans en dehors/

Si Ton intègre Téquâtion (4) , et qu'on donne à la constante arbitraire , contenue dans son intégrale , autant de valeurs particulières quW voudra, les équations déterminées qui en résulteront, appartiendront à autant de surfaces ,' dont chacune aura l'é-* qoation (4) pour équation différentielle, et jouira, par conséquent , des propriétés d'être également pressée dans toute son étendue et de couper à angle droit , en tous ses points, la direction de la résultante des forces X, Y, Z. Celles de ces surfisices qui pasAit dans l'intérieur du fluide, d'après la valeur de la

constante arbitraire^ sont ce qu'on appelle des sur* faces de niveau. Si Ton (ait croître cette conatanle par degrés infiniment petits ^ on divisera la masse fluide en une infinité de couches* infiniment minces, et comprises entre deux surfaces de niveau consécutives, que Ton nomme, pour cette raison, des couches de niveau.

La valeur de la constante qui répond à la snr&œ extérieure se déterminera, dans chaqne cas, d*après le volume donné du liquide ; en sorte que la pressioa extérieure n'aura aucune influence, ni sur la figure d'équilibre, ni sur les dimensions de ce fluide re^udé comme incompressible. L'équilibre ne sera pas trot* blé si le liquide vient à se'solidifier ; il s'ensuit donc qu'une pression constante et normale , exercée de dehors en dedans sur tous les élémens de la ani&oe d'un corps liquide ou solide, se détruit d'elle-même, et ne peut imprimer à ce corps aucun mouvemeot de translation ou de rotation. Pour un liquide , cet équilibre des pressions extérieures résulte de la propriété caractéristique des fluides, de transmettre <^lement en tous sens les pressions exercées à leur surface (n** 577); on vérifiera, par la suite, qu'il est indépendant de cette propriété, et qu'il a également lieu pour un corps solide de forme quelconcjue.

585. Supposons actuellement que le fluide en équilibre soit formé d*une matière homogène, et qu'il ait partout la même température et la même densité. La quantité f étant constante, il faudra, d'après Té" qnation (5) , que la formule \dx + Xdjr-^Zdz soit la différentielle exacte d'une fonction de trois varia-

blés indëpendantes. Si cela n'a pas lieu, rét{iulibre est impossible dans la masse fluide » quelque forme cfu'on lui donne y et lors même qu'elle serait ren* fermée dans un vase ferme de toutes parts.

Mais la condition d'intégrabilité est toujours remplie à l'égard des forces de la nature , qui sont des attractions ou des répulsions , dont les intensités ya-^* rient en fonctions des distances aux centrée dont elles émanent (n^ i58). L'équilibre d'un liquide homogène, soumis à de semblables forces, sera donc possible; et pour qu'il ait lieu effectivement , il faudra donner au fluide une forme , telle que sa surface libre coupe à angle droit, dans toute son étendue, la résultante de ces forces attractives ou répulsives^.

Si , par exemple , la masse fluide est entièrement libre ; que Ton' exerce à sa surface une pression constante , et qu'il n'y ait qu'une seule force dirigée vers vn centre fixe, la figure de la masse ABCD, en équilibre autour de ce point , sera une sphère qui aura ce point pour centre, et dont le rayon se déduira du volume donné de cette masse. En supposant que la force dirigée vers le centre fixe soit une attraction en raison inverse du carré de la distance, désignant par g l'intensité de cette force accélératrice à la surface du liquide, par a son rayon, et par nar là près-

sion extérieure, ^ sera l'attraction à la distance /*•

et l'on conclura de l'équation (4)

p := asr +^ g fa,

pour la pression à la même distance. La mémo chose

528 TMITÉ DE MÉCANIQUE.

'^ura li^u si Foo remplace le centre fixe par une spbère solide dont tous les points attirent ceux du liquide en rauon inverse du carre de la distance; mais alon c étant le rayon de cette sphère » la valeur de p nt s'appliquera qu'aux valeurs de r comprises depuis r=c jusqu'à r=a« Lorsqu'on changera l'attraction en une force répulsive^ il sufiurade changer le signe de g ; en sorte que l'on aura

P == « + gf« — ^.

La plus petite valeur de p repondra à r = c , et sera

p = fsr — »

Il faudra qu'elle soit positive , sans quoi la couche li« quide se détacherait du corps solide î et serait dispersée dans l'espace ; par conséquent , il £radn que la pression extérieure ^tar surpasse la quantité

gfo[a c; j,^ général , il est nécessaire, dans l'équi-

libre d'un fluide, que la pression p ait une valeur positive dans toute l'étendue de sa masse , afin que les parties contiguës s'appuient partout Tune contre l'autre , et que le fluide ne se divise pas.

Quand le rayon c est très grand, la force attractive dirigée vers le centre de la sphère est sensiblement parallèle, et la surface du liquide, sensiblement plane et perpendiculaire a la direction de cette force, dans une étendue peu considérable. Ce cas est celui d'un liquide pesant, que nous considérerons spécialement dans le chapitre suivant.

HYDROSTATIQUE. Sag

586. Quelles que soient les forces d'atteaction oa de répulsion dirigées vers des centres fixes qui agissent sur tous les points d'une masse fluide ABCD , faisons

Xdx + Y(fy + Zdzs= d<p;

p désignant une fonction des coordoAnée3 x, j-, z, dépendante des lois de ces forces en fonctions des distances.

L'équation (3) deviendra alors

dp = fd^.

Pour qu'elle subsiste quand la densité p sera variable, il faudra que cette densité soit une fonction de la quantité ^ ; et , réciproquement , lorsque cette condition sera remplie , il y aura toujours une valeur de p qui satisfera à cette équation d'équilibre. Or, d'après réquation (4)^ la quantité (p est constante dans toute rétendue de chaque couche de niveau; dans un fluide hétérogène et dans un fluide compressible en équilibre, il est donc nécessaire que la densité soit constante dans toute l'étendue d'une même couche ; et la couche superficielle , soumise à une pression constante et donnée, étant une couche de niveau, il faut aussi qu'elle ait une même densité dans toute son étendue.

Si le fluide est incompressible , la densité p pourra être une fonction quelconque , continue ou discontinue , de la quantité (p ; quand elle sera donnée , on en conclura la valeur de p en fonction de p , en inté«

53o TRAITÉ DE MÉCAMIQUE.

grant la formule fdp , et dëtenniqant la constante arbitraire d'après la grandeur constante , et aussi donnée , de la pression extérieure.

Dans le cas d'un liquide hétérogène soumis ii une force centrale^ il faudra, pour 1 équilibre, que sa masse soit formée de couches sphériques et concentriques, dont la densilà sera la même dans tonte 1 étendue de chacune d'elles, et pourrai varier arbitrairement iTnne couche à une autre. De même , si plusieurs liquide» pesans sont contenus dans un vase , il faudra , pour l'équilibre , que chaque couche horizontale et infiniment mince ne contienne qu'un seul liquide ; condidition qui sera remplie, si la surface supérieure, qu'on suppose soumise à une pression constante , et les sur&ces de séparation de deux liquides consécutifs, sont toutes planes et horizontales. La stabililé de l'équilibre exigera , de plus , que les densités des liquides superposés décroissent, en allant du liquide le plus bas au liquide le plus élevé , afin que le centre de gravité de ce système de corps pesans, soit le plus bas possible (n* 548).

587. Dans un fluide élastique, la densité est liçeà la pression (n** 58o) , et ne peut plus être donnée arbitrairement, comme dans un fluide incompressible et hétérogène. En divisant les équations dpz=pd^ et p = kp l'une par Tautrc, il vient

Si la température est partout la même, k sera une quantité constante; et , en intégrant, on aura

HYBROSTATIQUE. 63 1

/i = W, p=je*, , (6)

pour exprimer les lois de la pression et de la densité ^ dans l'état d'équilibre du fluide ; e désignant la basé des logarithmes népériens , et 9 étant une constante arbitraire , qui exprimera une certaine pression , et se déterminera d après la pression qui aura lieu en un point donné. ^

Si la température varie d'nn point à un autre , k variera égalepient; Qiais pour que l'équation (5) subsiste, il faudra que cette quantité soit une fonction de (f, qui pourra être donnée arbitrairement. La température devra donc être aussi une fonction de (p; par conspuent, la température est constante dans toute rétendue de chaque couche de niveau d'un fluide élastique en équilibre. Cette condition étant remplie, il faudra remplacer les équations (6) par celles-ci :

Abstraction faite de la force centrifuge et de la nonsphéricité 4e I4 terre ^ la pesanteur des molécules d'air est dirigée vers le centre de la terre, et les couches de niveau de }a terre sont sphériques et concentriques. Pour qu^ r^tmospbère demeurât en équi^libre, il faudrait dope que la température fut partout I4 même, à une même hauteur aundessus de la surface de la terre, et qu'elle ne variât qu'avec l'élévation des couches concentriques. Or, il n'eu est pas

ainsi ; et le soleil échaufTe inégalement les diffërens points de la surface de la terre et de cbaqi\e couche atmosphérique. La température dépendant de la latitude, cette circonstance empêche Tcquilibre da- Yoir lieu , et produit des vents permanens^ que Ton observe , en effet , près de Téquateur. Au reste , la condition de Téquilibre des couches atmosphériques ne pourrait rien nous apprendre , relativement à li variation de la température dans le sens vertical; eu 1 équation (5) a lieu , quelle que soit la valeur de k en fonction dé ^, et, par conséquent, quelle que soit la loi de cette variation.

Lorsque la masse ÂBCD est composée de plusieon gaz de nature diverse, les conditions d'équilibre peuvent être remplies de deux manières différentes: quand ces gaz sont parfaitement mêlés ensemble, de sorte qu'ils forment un fluide homogène dans toutes ses parties; et quand ils sont, au contraire, disposés en couclies superposées , dont les surfaces de séparation sont toutes des surfaces de niveau. Le premier cas a lieu dans l'atmosphère dont la composition a été trouvée la même à toutes les hauteurs. Cet état d'un mélange parfait est celui de l'équilibre le plus stable ; et quand deux gaz différens sont superposés dans un vase fermé de toutes parts, ik finissent, à la longue, par se mêler exactement, à moins qu'on ne parvienne à garantir le vase qui contient ces fluides , des plus petites agitations.

588. Les centres des forces attractives ou répulsives, qui agissent sur chaque point M de la masse fluide ABCD, peuvent être tous les autres points ma-

tériels de cette masse. Dans ce cas ^ les composantes X , Y, Z , de la force accélératrice totale du point M, se composeront d'nne infinité de termes; ce qui n'empêchera pas qu'elles ne soient de certaines fonctions de x^ jy Zf communes à tous les points des fluides^ en supposant que la loi naturelle de l'action égale et contraire à la réaction , ait lieu dans leurs attractions et répulsions mutuelles, et que tous ces points soient d'ailleurs soumis aux mêmes forces étrangères.

Dans la nature, ces actions mutuelles sont de deux sortes di£férentes : les unes varient en raison inverse du carré de la distance, et les intensités des autres sont exprimées par des fonctions qui décroissent avec une extrême rapidité et n'ont de valeurs sensibles que pour des distances insensibles. On calculera les composantes totales X, Y, Z, des forces de la première espèce, en partageant la masse de ABCD en élémens infiniment petits (n* 98) , et faisant ensuite , par le calcul intégral ^ les sommet des attractions ou répulsions de tous ces points , suivant chaque direction. Quant aux actions de la seconde espèce, que l'on appelle proprement les forces moléculaires^ et qui sont attractives ou répulsives, selon que l'attraction de la matière pondérable est plus grande ou plus petite que la répulsion calorifique, on ne devra pas en tenir compte dans le calcul des forces X , Y, Z , relatives à un point intérieur M; car ce sont précisément ces forces moléculaires qui produisent la prèssion/>, égale en tous sens autour de M, à laquelle en a déjà eu égard en formant les équations d'équilibre.

n résalte de t^tte dernière considération , que les é<}ûation$ (a) auxquelles on est parvenu , sont ïes conditions d'éqnilibre^ nécessaire}^ et suffisanies, de toutes les forces, y compris les actions moléclilaires, qui agissent sur un élément quelconque dm de la masse fluide ; ^n sorte que Tëquilibré li lieu , certain nemént > quand il existe une valeur dé p q^î satisfait à ces équations pour tous les points du fluide , qui coïncide avec la valeur donnée dir^ecf^hvetit de la pression à la surface libre, et qui ne devient hëgatire en aucun point > afin que les parties dU IRuide restent contiguës.

Si la loi des fotx^es nNoléculaires , en fonction de k distance , était donnée , et 'qu'on put déduira de ces forces l'expression de la quantité p en fonction de riûtervalle moyen des molécules (n^ 98) , on substituerait cette expression dans les équations (2) ; Tune d'elles déterminerait là grandeur de cet intervalle, qui a lieu , dans Tétat d équilibre, autour du point M; et les deux autres exprimeraient les conditions de cet équilibre. La valeur numérique de p résulterait ensuite de celle de l'intervalle moyen , ou de la valeur correspondante de la densité; et j'ai expliqué ^ dans le mémoire cité précédemment (n* 576), comment cette pression p peut varier, dans de très grands rapports, pour les très petites variations de la densité qu'on observe dans les liquides. Mais la détermination directe de la pression p étant impossible , on est obligé de déduire sa valeur des conditions mêmes de 1 équilibre, ou de la formule (5), qui en est la conséquence.

Lorsque le poidt M est situé à la surface du fluide y ou qu'il n en est éloigné que d*iine. distance moindre que le nyon d'actiyité dçs forces nH>lécu» laires, on doit avoir égard à ces forces et à la va-* riation rapide de la densité superficielle , dans le calcul des composantes X ^ \, Z, et^ par suite, de là râleur de p, déduite de la formule (3). Il en résulte une influence des forces moléenlaires snr la figure du liquide en équilibre, qui n'est pas sensible, en général, et qui ne le devient que dans les espaces capillaires. On n j aura point égard dans ce Traité; et, pour tout ce qui concerne 1^ pfaéno<^ mènes de la capillarité , je renverrai k la Nouvelle théorie de t Action capillaire^ que j'ai publiée il y a denx ans.

689. Si nn liquide homogène ou hétérogèafe tourne uniformément autour d'un axe fixe , les for* mules précédentes feront connaître les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il conserve une figure permanente, et se meuve comme un corps solide. Il suffira pour cela, de joindre aux composantes X> Y^ Z, celles de la force centrifuge qui résulte de cette rotation.

Prenons alors Taxe de rotation pour celui des s. Soit r- la distance du point quelconque M à cette droite , de sorte qu'on ait

Appelons a la vitesse angulaire constante . et com* raune à tous les points du fluide ; ra sera la vitesse absolue du point M ; et comme il décrira un cercle

dont le rayon est r^ la force centrifuge aura ree* pour valeur (n* 174)- Cette force étant dirigée suivant le prolongement de r, on obtiendra ses composantes parallèles aux axes des x et des j^ en la multipliant

par -et"^; ce qui donnera* et^a*, qu'il £siudra

ajouter aux forces X et Y; et comme la force Z ne changera pas, la formule (3) deviendra '

dp^fÇSJx + Ydj+Zdz+a^xdx+xyifyy (a)

La quantité comprise entre les parenthèses sera encore u^e différentielle exacte, savoir, la différentielle de la fonction (p du n^ 586, augmentée de xa'(x'+j^), oude^aV. Par conséquent, la forme permanente sera possible; et si la surface libre da liquide épipuve une pression constante dans toute son étendue , Téquation commune à x^ette surÊice et à toutes les surfaces de niveau sera

Xdjo + Ydj + Zdz + a' (jcdx + jdj) = o. {b)

Dans le cas d un liquide homogène , il suffira que la surface libre soit déterminée parl'intégrale de cette équation différentielle, dont on déterminera la constante arbitraire, d après le volume entier du liquide, comme on le verra tout à l'heure par un exemple. Dans le cas d'un liquide hétérogène, il faudra, de plus, qu'il se compose de couclies homogènes, dont les figures seront aussi déterminées par l'intégrale de cette même équation, et qui ne différeront de la figure extérieure, que par les valeurs de la constante arbitraire.

5go. Appliquons l'équation (b) au cas d'un liquide homogène^ soumis à la pesanteur, tournant autour d'un axe vertical , et contenu dans un vase ouvert à sa partie supérieure.

En appelant g la gravité , et comptant les z positives dans le sens contraire à cette force, nous aurons * X = o, Y s= o, Z = — g.

L'équation (b) deviendra donc

gdz = a» (xdûc + jrdjr) ;

d'où l'on tire en intégrant , et désignant par c la coustante arbitraire

ce qui montre que la figure libre du liquide sera celle d'un paraboloide de révolution dont l'axe sera celui de la rotation.

Pour déterminer la constante c, supposons que le vase soit un cylindre vertical à base circulaire, dont l'axe de figure soit Taxe des z ou de rotation. Appelons a son rayon , et à la hauteur due a la vitesse absolue act de la surface, de sorte qu'on ait

a^a^ = 2gh , et par conséquent z sss — -f- c. Soit

aussi b la hauteur de l'eau avant le mouvement; 'Tra^b sera le volume du liquide qui ne changera pas pendant la rotation; or, en divisant le paraboloïde en couches cylindriques et infiniment minces , qui aient pour axe commun celui des z, on aura TTrrdr pour

la base , et ikvrzrdr pour le volume de la couche dont le rajron est ret Tëpaisseur dr; ce yolume total s'obtiendra donc eu intégrant 27rzrdr, depuis r=s:o jusqu'à r=a; d'où Ton conclut

a^b z=: 21 zrdr.

En substituant pour r sa valeur et effectuant Tintégration , on en ddduit

pour la valeur de c.

L'équation de la surface supérieure du liquide sen dotIC

z = ^ + i - lA.

La plus petite et la plus grande . valeur de 2 qui répondent à /* = o et r =s /i , seront b — \h A A-f-^A; en sorte que rabaissement du liquide dans l'axe et son élëvalion à la circonférence, qui résulteront de la rotation, seront les mêmes, et auront pour valeur la moitié de la hauteur due a la vitesse de la circonférence.

591. Quand les forces dont X, Y, Z, sont les composantes, proviennent des attractions de tous les points du liquide, en raison inverse du carré des distances , ou suivant d'autres lois , les valeurs totales de X , Y, Z, dépendent , en général, de la forme du liquide et de ses couches de niveau; et, réciproquement^ cette forme dépend des valeurs de ces composantes. Cette dépendance mutuelle des attractions du fluide et de sa iigure , rend la détermination de celle-

ci très difficile au moyen de 1 eqilittion (&)• Lotà même qUe le liquide est homogène^ on n est parvenu à résoudre ce problème , dans le cas ordinaire de Tat-* traction en raison inverse du carré des dislances, qu'eu supposant la (ùtce centrifuge peti considérable, de manière que le fluide s'écarte peu de la forme sphérique qu'il pourrait prendre si cette forcé était tout-à-fait nulle 9 c'est-à-dire , si le fluide était en repos. On démontre alol*s , par une analyse fondée sur la considération des séries , et qui ne peut pas trouver place ici , que la figure du fluide est nécessaii'eraciit celle d'uà ellipsoïde de révolution y dont on déteritiine l'aplatissement, d'après la grandeur dé la force centrifuge à l'équateur , comparée à l'at^ traction du fluide âu même point.

Mais p il est facile de vérifier que la figure ellipti« que satisfait toujours à l'équation {b)y lorsque la vitesse «ne dépasse pas ime certaine limite, et qu'il •y a alors deux ellipsoïdes de révolution qui repon*^ dent à une même valeur de cette vitesse de rotation. Supposons, en efi*et , que la surface du fluide, dans son état permanent, a pour équation

qui est celle d'un ellipsoïde de révolution , dont Taxé de figure et le diamètre Ae l'équateur ont 2c et

ac\/i ^y* pour longueurs. Appelons X, Y, Z, les composantes de la force accélératrice provenant dé Tattraction totale de ce corps sur le point de sa surface qui répond sl x, jr, z, et dirigées suivant les

54o TRAITÉ DU MÉCANIQUE.

prolongemeas de ces coordoanéeSy c'est- à-»dire, eo sens contraire des composantes dont on a donné les expressions dans le n^ i o6. En changeant les signes de ces expressions , et observant que f ^TCpc^ ( i -|* >*} est la masse de l'ellipsoïde , nous aurons

Z ^MLi+Z> [an: (tang ==:,)-->];

f étant, comme dans le n^ cité, Fintensilé^ de Fattraction à l'unité de distance, et entre des masses dont chacune est égale à l'unité. Il s'agira donc de prouver que ces valeurs, jointes à l'équation (c), sat^ tisfont à l'équation (b). Or, en les substituant dans cette équation , multipliant tous ses termes par y, ce qui suppose que y ne soit pas zéro, et faisant pour abréger

et»

vient

[r > - T ( 1 + >0 arc (lang = y) + éy'] ÇoocLv +jdf) + (i + >') [ai'C (tang = y)—y] ziiz z= o;

eu diflerentiant 1 équation (c), on a

xdx + jdj + ( I + >*) zclz = o ;

et, pour que cette équation différentielle coïncide avec la précédente, 11 est nécessaire et il suffit qu'où ait

ï y—i ( 1 4->')a^c (tang=>)+éy = arc (tang=>)— 7, ou bien en réduisapt

en sorte qu'il ne restera plus qu'à s'assurer si cette équation a des racines réelles ; et à en déterminer le nombre.

Pour cela, je représente par Ç son premier membre > et je suppose que l'on trace la courbe dont yet€ sont l'abscisse et l'ordonnée courantes : cette courbe coupera l'axe des abscisses à l'origine ; mais la racine y =z= o est étrangère à la question , tant que la vitesse a et par suite € n'est pas zéro. Les autres racines de l'équation (d) sont deux à deux égales et de signes contraires; mais il suiEra de considérer ses racines positives, par exemple, attendu que l'équation (c) ne contient que le carré de y.

Cela étant, si l'on égale à zéro la difTérentielle de 6, on trouve

pour déterminer les abscisses correspondantes aux Truzxima et aux minima de cette ordonnée. Or , cette équation étant du second degré par rapport à ^*, il s'ensuit qu'il ne peut exister qu'un maximum et un minimum de chaque côté de l'origine des abscisses ; d'où l'on conclut d'abord que la courbe ne pourra couper qu'en deux points l'axe des abscisses positives, au-delà de cette origine ; en sorte qu'il existera , au

plus, deux racioes réelles et positives de l'équation (//). Observons en outre, que si les équations (d) et (é) ont lieu pour une même valeur de y, la courbe toucfaera l'axe des abscisses en un point qui répondra à une racine double de Téquatiou (d). Ov, pn tire de Tequation (e),

en substituant cette valeur dans l'équation (/d), il vient

équation qui ne peut avoir qu'une seule racine positive , outre ^ = o. Cette racine existe effectivement; et par des essais, oh trouve pour sa vateor approchée

La valeur correspondante do 6 est

d oii nous pouvons conclure que pour des valeurs de 6 plus petites que cette fraclion, il y a deux intersections distinctes de Taxe des abscisses positives, ol deux racines inégales de 1 équation (d); que pour cette valeur de g, ces intersections se changent en un contact, et les deux racines deviennent égales; et qu'enfin , pour des valeurs plus grandes de c, les intersections n'ont plus lieu, non plus que les racines réelles de l'équation {d). il est certain que ces racines répondent aux n^oindros valeurs de ê, et non

pas anx plus grandes; car pouf € ss oo , Tëquation (d) na aucune racine différente de zéro; et, ati con>^ traire , quand 6 est une très petite fraction , on détermine aisément les deux racines réelles de cette équation.

Lorsqu'on aura déterminé^ au moyen de Féquation (d), les deux valeurs approchées de 7^ qui répondent à une valeur donnée de e moindre que la fraction précédente , les valeurs précédentes de X, Y, Z, feront connaître l'attraction du fluide en un point quelconque de son intérieur ou de sa surface , et on déduira les valeurs de c, du volume aussi donné du Uquide. Quand la valeur de g surpassera cette fraction , on ne sera pas en droit d'en conclure que la ligure permanente du liquide soit impossible , mais seulement qu'elle ne peut pas être uu ellipsoïde de révolution ; car si l'on excepte le cas où Ton suppose cette figure très peu différente d'une sphère, on n'a point encore démontré que la figure elliptique dé révolution soit la seule qui convienne à Féquilibre des forces centrifuges et des actions mutuelles des molÀniles : on n'a même pas prouvé que )a sphère soit la seule figurô que puisse prendre une masse fluide en repos , dont les molécules s'attirent mutuellement, quelque naturel que cela paraisse. * 592^ Si 1^ quantité f est une très petite fraction , on satisfait a l'équation {d) en prenapt pour y une quantité très petite. On a alors

arc (tang = y) zr;;: y ^ ^y + etc.,

et en substituant ces valeurs dans Féquation (d)f supprimant le facteur y , conunun à tous les termes, et négligeant ensuite les puissances de y sopérienres î la première, on trouve

ce qui répond à un ellipsoïde très peu aplati. L*a[datissement sera à peu près iy^y puisque les deux

demi-axes sont c et c v/i + >** On pourra prendre a^c pour la force centrifuge à l'cquateur, et ^"xfpc pour l'attraction en un point de la surface ; ce qui serait les valeurs exactes de ces deux forces , si le corps était exactement sphérique. Le rapport de la première à la seconde est égal à Se ; par conséquent, lorsqu'on fluide homogène tourne autour d'un axe fixe, et s'écarte très peu de la figure sphérique , son aplatissement est égal à cinq fois la force centrifuge à l'équation divisée par quatre fois l'attraction à la surface. On démontre aussi que si le fluide est composé de couches très peu aplaties, dont les densités décroissent du centre à la surface ^ l'aplatissement sera toujours plus petit que dans le cas de l'homogénéité, et cependant plus grand que les deux cinquièmes de celui qui répond à ce cas.

Dans le mouvement de rotation de la terre, le rapport de la force centrifuge a la pesanteur, ou à l'attraction terrestre , est environ -^ {^'* 177) à l'cquateur. Si la terre était une masse fluide homogène, son aplatissement serait donc ^j^ , dont les deux cinquièmes sont — ^0; sa valeur j^, qui résulte de

robsenriktiqiiy est comprise entre ces deux limites, comme dans le cas d une masse fluide doiit hk dfmité décroît du ceotre à la sur&jice.'

Eu faisailt

dans les valeurs de Z et V^X'-f- Y*, et développant ^Qsuite suivit i^ puisfai^^ de y , on trouve

pour les attractions qui ont lieu aux pôles et à Téqua* teur. J ajoute à la seconde la force centrifuge a^c, dont la valeur est ^fi^f^^p ^ \^ prad^i( de | vrfyc ^t

dé ^ , d'après ce qui précède ; îl vient

VXr+Y-+«'c=-M-^(,-2^-hetc.), -

pour la pesanteur à Téquateur. En en retranchant la pesanteur Z au pôle> et divisant par celle-ci , on a

en sorte qu'en négligeant le carré de y^ , ce rapport

est égal à laplatisseptent -y^ et par conséqùei^J,

la somme de ces deux quantités a pour valeur cinq f<À» U fwce centrifiige divisée par le double de là

546 TRAITÉ DE BIÉCANIQUE.

pesanteur h l'éqnatenr, conformémeiit au théorème

cite dans le n* igS.

Dans ce même cas d'one tràs petite yalenr de ê, on satisfait encore à l'éqnation (d) au moyen d^ene très grande valeur de y. On a identiquement

arc(tang = >) = i^ — arc(tang=^);

pour une semblable valeur de y ^ on aoni donc , en série convergente,

arc(tang = >)=-^ — -H-jP — 5^4-etc.;

on a de même

et en substituant ces développemens dans Tëquation (d) y on eu déduira ensuite une valeur de y or-» donnée suivant les puissances croissantes de €, sa-

voir.