j^-- + etc
qui sera la seconde racine réelle de cette équation.
Pour de plus grands détails sur cette importante théorie et sur son application à la figure de la terre , je renverrai aux tomes II et V de la Mécanique céleste.
595. Il y a une difierence essentielle entre les surfaces de niveau , tracées dans l'intérieur d'un liquide soumis à l'action mutuelle de tous ses points , et celles qui sont décrites dans un fluide dont les points
ne sont sollicites que par des forces étrangères ^ c'est-à-dire, par des attractions ' on répulsions qni émanent de centres fixes , et sont fonctions des distances à ces centres. Supposons que ABCD (fig. 37) soit la surface libre d'un liquide en repos , ou tournant, pour plus de généralité, autour d'un axe fixe. Soit EFGH une surface de niveau tracée dans son intérieur; et appelons R la résultante de toutes les forces qui agissent au point quelconque M de cette surface. Dans les deux cas quW vient de distinguer, cette force sera dirigée suivant la normale NMP en ce point; or, dans le second cas, sa grandeur et sa direction ne dépendant d'aucune action des points du fluide, elle restera encore perpendiculaire à la surface EFGH , si l'on enlève la couche du liquide comprise entre EFGH et ABCD; de sorte qu'après cette soustraction , le liquide terminé par EFGH demeurera encore en équilibre : mais dans le cas des actions mutuelles des points du système , la force R dépendra de l'action de ce liquide intérieur et de celle de la couche extérieure ; elle changera , en général , de grandeur et de direction, lorsqu'on supprimera la couche comprise entre ABG) et EFGH, et l'équilibre du liquide terminé par EFGH n'aura plus lieu. Pour qu'il se rétablisse, il faudra que la surface IP'GH change , et devienne perpendiculaire , en chaque point' M , à la seule partie de la force R qui subsistera.
L'action de la couche extérieure, comprise entre ABCD et EFGH, sera nulle sur tous les points du fluide intérieur et de la surface EFGH, lorsque la
Gffi TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
jnasse entière du fluide sera homogène, qu'elle se* cartera peu de la flgure sphériqne , et que ses points ne seront sollicités que par leurs attractions mutuelles en raison inverse du carré des distances, et par la •ftnrce centrifuge. En etTet, toutes les surfaces de ni- Tftau sont alors des ellipsoïdes semblables, et, oonsé- •qiiemment , la couche comprise entre deux de ces sur- . faces ABCD et EFGH, n'exerce aucune action sur les points situés dans Tespace intérieur (n* io5). Mais ,oette nullité de Faction d'une couche terminée par deux surfaces de niveau , sur le fluide intérieur, n'est pas une condition de l'équilibre des fluides; les forces étant toujours celles qu'on vient de supposer, elle n'a plus lieu f par exemple , lorsque le liquide est bëténogène ; ce qui rend dissemblables les surfaces dé niveau , qui sont encore elliptiques , et telles que l'dlipticité de la snrface quelconque EFGH dépend de l'épaisseur et de la constitution de la couche extérieure (*).
Dans le cas particulier de rhomogénéité , on peut enlever ou rétablir à volonté la couche elliptique comprise entre ABCD et EFGH , sans troubler l'équilibre ni changer la forme du fluide intérieur, en supposant que la vitesse de rotation soit toujours la même. Mais il y a aussi d'autres couches qu'on peut ajouter au fluide terminé par EFGH , et qui ne troublent pas son équilibre, quoique leur attraction ne soit pas nulle sur les points de ce liquide. H est évident que la
(*) Mécanique céleste, tome II, pages 85 et suivantes.
HYDROSTATIQUE. « 54«y
surfaoB exiéiieure de la couche additîve peut être ùik ellipscndt semblable à EFGH, et ayant pour centre uo point de Taxe de rotation diflerént du point 0. La surfinre extérieure de cette couche peut aussi aroà^ ce point pour centre ^ et être un ellipsoïde dont l'aplâtissement soit différent de celui de la surface iaté^ rieure. Pour le Satire voir, soient ABCD et Alb'.CSy (flg. 58) les deux ellîpsdides différens qui satisfont à la condition d'équilibre d'un mènie fluide honoogèDéty tournant autour d'un axe fixe avec une vitesse v^gu-t laire donnée (n^ Sgi) ; soient aussi EFGH et ET'G'H' deux surfaces de niveau , tracées dans l'intérieur de ces ellipsoïdes, semblables aux surfaces extérieures^ ayant le même centre 0 que celles-ci^ et se. cou-* pant au point M : sans troubler l'équilibre du li-^quide terminé par EFGH, on y pourra ajouter la couche comprise entre les deux surfaces EFGH et A3'CD', dissemblables et concentriques. On remar* quera que non •seulement l'action de cette couche additive sur les points du liquidé intérieur et de la surface EFGH , n'est gas nuUe , mais que cette action sur chaque point de la surface n'est pas dirigée suivant la normale. Ainsi , au point ii., Faction de la couche comprise entre les surfaces EFGH et A'B'C'D', n'est pas dirigée suivant la normale NMP à la première surfaice ; car déjà Taction du liquide intérieur, terniiné par cette surface ^ est dirigée suivant NMP ; et si l'action de la couche additive avait aussi cette direction , l'action de la masse totale ^ terminée par la surface A^'CD', serait encore dirigée suivant cette normale y tandis qu'elle doit l'être
55o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
suivant la normale N'MP^ à Fautre snrface de ni** veauET'G'H'.
Quelles que soient les forces cpii agissent sur un fluide homogène ou hétérogène tournant autour d'un axe fixe, on ne doit pas perdre de vue que la seule condition d'équilibre est l'existence d'une quantité p qui satisfasse à l'équation (a) , et qui soit nulle ou constante à la surface libre du liquide. Toute autre condition qu'on y voudrait ajouter est déjà |:omprise dans celle-là , ou ne se vérifiera pas. 594* Parmi les différentes lois d'attraction > il y en a une qui n'est pas celle de la nature , mais qui jouit d'une propriété remarquable. Cette loi est celle d'une action mutuelle en raison directe de la distance, et la propriété dont il s'agit consiste en ce que la résultante des actions de tous les points d'un corps, sur un point quelconque, est indépendante de la forme et de la constitution de ce corps, homogène ou hétérogène , et la même que si la masse entière était réunie à son centre de gravité.
En effet , soient a: , y , z, les coordonnées du point attiré, x\ y y z', celles d'un point attirant, fJL la masse de ce second point matériel , u la distance des deux points, k}xu la force accélératrice dirigée du premier point vers le second ; k étant un coeflicient constant. Les composantes de cette force suivant des parallèles aux axes des coordonnées , menées par le point attiré , seront kfjL^x' — x), kfJL(y — j)f kfjL{z' — z), puisque les cosinus des angles que fait sa direction avec ces droites sont les différences o^' —- x , j^' — ^ , z*^ -^ z , divisées
HYDROSTATIQUE. 55t
par II. Far oonsécpient / sî^Kon appelle X , Y , Z , les composantes totales de la force accélératrice du poiat attiré, on aura
X = kl, fia/ — kx:E/i, Y = /ûLf^y — ty^fj^, Z =z k2fiz' — kz:2fA;
les sommes 2 s'étendant à tous les peints du corps attirant. Or, si Ton appelle m la masse entière de ce corps , et œ^, j-^, js. , les trois coordonnées de son centre de gra?ité, on aura
il en résultera donc
X = km{x^ — a:), Y =km{j^ — f)^ Z = A7n(z, — z);.
équations qui renferment évidemment la proposition qu'il s'agissait de démontrer.
En substituant ces valeurs de. X , Y, Z , dans l'é-
quation (6), et faisant, pour abréger, t- =< ^^ il vient
(x.. — ce) ctc -f Cr. — /) <(r + (2. — ^) <=&
Cette ëqiutiopr. . Kf* ^lè^ ^B". nrfiièee de niTcn diiis un liqmde:|Mni»Dt-j|utf^^ Taxe des %, dpnt les points s'attirent en nison directe de k d»«
t^Msr^Mla^ttlirttrilr fM tGMiih:eêi''s&flMiitt«e^ ttocéitiiywi <» àà seoottAj'^ègMf.i Dte '{Mis > «I i%k Iteiiyai le i Wgiae ^des^ ooMlMinëé» i leitt éBiittt Goôiniiin , c'e8t4-dii«)<Mi omttë éé |lM!hé'iltf Ikili^ les premières pnisssnoes des coordonnées oonianlei devront di^aialtrej'ce qai !nê pent avoir lien, à moins qn*on n'ait Jt; = 077*1—0, S|:=o. L'éqna* tion prëoëdente se rédiîit doné à'
«'+(«--«)(«*+Jr)=cî (f)
par conséquent^ les surfaces de niveau sont des ellipsoïdes ou des hypcrboloîdes de i^volution, seloo qu'on a£«<ioUfi>i;et, dans les deux cas , elles ont toutes le même axe de figure, qui est Taxe de rotation.
Le volume du liquide étant donné p lliyperboloide n'est possible que quand le fluide est contenu dans un vase , et alors Téquation (y) s'applique seulement k la partie libre de sa snrftioe. Lors donc qu'on â € >> I , la figure permanente d'un liquide libre de toutes {9bts est impossible , dans le cas des forces qne nous considérons. Si l'on a < << i , toutes les surfims de niveau smit des ellipsoïdes qui difierent par les
HYDROSTATIQUE. 55af
valeurs de c. Pour déterminer la valeur de cette quantité qui repond à la surface extérieure, on égalera le volume de Tellipsoïde , dont Fexpression est
^i'cyc ^^ yolume donné du liquide. Il est remar-
quable que , dans cet ettittple f là loi des deilsités des couches du fluide n'a aucune influence sur sa figure exténeure et sur ceUe de ses couches de niveau.
554 TRAITÉ DE HËCAMlQUE.
