CHAPITRE m

DE L>EQIIILniE£DB8. FLUIDES PESAlVa.

595. Soit ABCD (fig. 39) UD vase ouvert à sa partie supérieure , et dont la base horizontale AB est posée sur un plan fixe. Supposons qu'un liquide pesant et homogène s'élève dans ce vase jusqu'en A'B'. Pour l'équilibre de ce liquide, il faudra que la surface libre A'B' soit horizontale ou perpendiculaire à la direction de la pesanteur, et cet équilibre ne sert pas troublé, si l'on exerce sur cette surface une pression constante et de grandeur quelconque,

La pression rapportée à l'unité de surface sera b même dans toute l'étendue de chaque section hori* zontale du liquide; en la désignant par p à la profondeur z au-dessous de â'B', et appelant f la densité constante du liquide , et g la gravité, on aura dp = fgdz , d'après l'équation (3) du n* 585. En intégrant , on aura donc

<Z9- étant la pression extérieure, qui sera généralement la pression atmosphérique qui répond a z=zo. Cette pression constante se transmettra, sans altération , sur tous les élémens des parois du vase et des corps plongés dans le liquide ; elle s'ajoutera , en chaque

point (0^578), à la pression variable due à la pesanteor da liquide. Il sera donc toujours fiicile d*y avoir égard ; et , pour plus de simplicité , nous pouvons la supposer nulle, et réduire Téquation précédente à

P = fg--

Soient b la base AB du vase , P la pression totale exercée sur celte base , A la distanqp de A'B' à cette même base , ou la hauteur du liquide ; nous aurons à la fois

z = A , P = 6p = fghh ;

ce qui montre que la pression exercée sur la base ho* rizontale du vase est égale au poids d'un cylindre rempli du liquide, qui aurait pour base celle du vase, pour hauteur celle du liquide, et dont le volume et la masse seraient , conséqueninient, bh et fbh. Cette pression P est donc indépendante de la forme da vase ; en sorte que pour les trois vases représentés par la figure 40 , qui ont des bases équivalentes , posées sur un même plan horizontal , et dans lesquels un même liquide s'élève à une hauteur qui est aussi la même , les pressions exercées sur leurs bases sont égales, quoique Fun des vases soit un cylindre droit, qu*aB autre s'élargisse en partant de la base, et que le troisième aille en se rétrécissant. Cette pression est, pour chacune des trois bases, le poids du liquide contenu dans le vase cylindrique ; r^ultat très remarquable, qui est pleinement confirmé par rexpérience.

Dans le cas de plusieui^ liquides. superposés dans

556 TRAITÉ DE HÉGANIQUE.

un vase, il suffira^ et il sera nécessaire ponr leur équilibre, que la surfisice de séparation de deox Kquides ooosécotirs soit horizontale (n* 586) ^ et, en effet , si cela est , chaque noureau liquide snperposé exercera sur tous les points de sa base uw pression constante , qui ne troublera pas rëqnilibie du liquide inférieur. Voici comment on pourra déterminer la pre^ion totale exercée sur le fond d« rase.

596. Versons sur le fluide en équilibre dans le vase ABCD (fig. 39) un nouveau liquide , dont li densité soit p', qui ait sa surface supérieure A*V horizontale, comme celle du premier, et qui ^élèrre k .une hauteur h' an-dessus du niveau AV ds premier; ces deux fluides demeureront en équilibre dans le vase. En appelant b' Faire de A'B', qui cit la base du second fluide, il exercera sur cette boe une pression égale à p'ghIV. Cette pression sera transmise, par Finterraédiaire du liquide inférieur, sur le fond AB du vase ; et l'aire de AB étant b , il en résultera, sur cette surface plane, une pression exprimée par p'gh'b (n* 577); par conséquent, la pression totale exercée par les deux fluides sur la base horizontale du vase , sera pghb -f- p'gh'b.

Si Ion verse un troisième liquide dans le vase, dont la surface S!"V" soit encore horizontale, 1 équilibre ne sera pas troublé; p'' étant sa densité, V la hauteur de son niveau A'"B'" au-dessus de la surftœ supérieure A"B" du second liquide, et ^" l'aire de celte dernière surface , ce troisième liquide exercera sur sa base A"B'', uno pression égale à p'gA'V/', qui sera

par le second liquide, et deviendra f"gh"bf sur la turface supérieure A'B' ou b' du liquide inférieur; cette pression sera transmise de même, par llntermëdiaire du liquide inférieur, et deviendra f/'gK'b sur le fond AB du vase; par conséquent, les tnns liquides superposés exerceront sur le fond du vase une pression égale à pgAi + p'gh'b-^p'gh"b, oa {fh-hf'h'+p"h")sb.

En continuant ainsi, on voit que quand un nombre quelconque de liquides de diflëren tes densités, sont superposés et en équilibre dans un vase , la pression qu'ils exercent sur la base horizontale de ce vase, ne dépend que de l'étendue de cette base, des qpaMMurs des différens fluides , et de leurs densités. Dans le cas d'un vase cylindrique et vertical, die sera énle à là somme des poids de tous les fluides t et die ne Tariera pas quand on changera la forme du vaie, ponrvn que sa base ne change pas d'étendue, nOD plus que l'épaisseur et la densité de chaque liqûde.

Ce rnultat étant indépendant de l'épaisseur des coudiM horizontales, il subsisteencore lorsque ces couches wat infiniment minces, c'est-à-dire, lorsque la densité de la masse fluide varie par degrés continua dam le sens vertical, et convient, par conséquent, aux flnides compressibles. Il est c'gatemcnt vrai quand la pesanteur varie d'une couche a l'autre avec la àenàié i ce qui arrive lorsque la hauteur du fluide n'est pas négligeable par rapport au nytm de la terre. Cesl iVUBÎ ce que l'pn peut déduire de l'équation dpssfg^t, qui convient à l'équilibre de tous les

fluides pesansy compressibles ou non, et dans laquelle on peut supposer la gravité g et la densité p, fonctioai de l'ordonnée verticale z.

597. Considérons actuellement l'équilibre* des liquides pesans contenus dans plusieurs vases , et qm peuvent s'écouler de l'un dans Tautre par des oqvertures latérales. Si l'on ferme à la fois toutes ce ouvertures, l'équilibre ne sera pas troublé; il tanin donc d'abord que les liquides soient disposés , dans chaque vase, par couches horizontales; mais cette condition ne suffira pas ; et il faudra encore , quand les ouvertures ne seront plus fermées, qu*il existe tu certain rapport entre les élévations des liquides dans les vases différens , qui dépendra du rapport de leuis densités. «

S'il n'y a qu'un seul liquide répandu dans plusiems vases communiquans , il faudra que le niveau de œ liquide soit le même clans tous ces vases. En effet, considérons un liquide homogène contenu dans deux vases, par exemple, qui communiquent latéralement par le canal EF (fig. 40' ^^ ^^^ ^^^"^ posés sur des plans fixes horizontaux. Supposons que ce liquide s'élève jusquY'n AB dans Tun des vases, et jusqu'en CD dans l'autre, et que ces deux sections horizontales ne soient pas dans un même plan, de sorte qu'en prolongeant le plan de la section CD de l'un des vases , il vienne couper l'autre vase, suivant une section a6 située à une distance cT au-dessous de AB. Si Téquilibre existe dans cet état , il ne sera pas troublé en remplaçant la section ouverte CD par une paroi Rxe: le fVuide compris entre AB et a€, exercera sur af une

HYDROSTATIQUE. S5g

preasioii égale à fgyj^f en appelant p sa densité f et ^ Faire de cette section a€; cette pression se transmettra^ par rintennédiaire dn liquide contenu dans les deux Taaes, jusque sur la paroi CD; et il en résultera, sur ce plan horizontal , une pression dirigée de bas en haut et exprimée par fgyc , en désignant par c Taire de CD. Par conséquent, l'équilibre n'aura plus lieu des que Ton enlèvera la paroi CD , à moins que la diffiérenoe de niveau ^ du liquide dans les deux vases, ne soit nulle ; ce qu'il s'agissait de démontrer.

Les deux sections AB et CD étant comprises dans on même plan , si l'on verse au-dessus de AB un fiquide qui s'élève jusqu'en A^' , et dont la densité loit f^p il exercera sur AB une pression égale à f^gbhf b et h étant l'aire de AB et la distance comprise entre les sections horizontales AB et A'B'. Cette pres^ mon se transmettra sur CD , où elle sera égale à f'gch^ et s'exercera de bas en haut; et pour la détruire, il budra fermer le vase en CD par une paroi fixe, ou verser an -dessus de CD un fluide dont la pression sur CD soit égale et contraire à p'gck. Dans ce dernier cas, si le fluide s'él^K jusqu'en CD', que Ton représente par ff sa densité , et par k la distance comprise entre CD' et CD , la pression exercée par ce fluide sur CD^sera fjgkc; et pour l'équilibre, il fiiudra qu'on ait p^k =5 f'h.

On voit donc que pour l'équilibre des liquides di(fiérens contenus dans des vases communiquans, il est nécessaire que leurs densités soient en raison inverse de leurs élévations au-dessus des sections de ces vases, eûtes par un même plan horizontal. Si l'on verse de

j56o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

nouveaux liquides au-dessus de ceux qu*on viéot de considérer , on verra de même qu'en dësigoanl pu Â, Kf A" 9 etc., les épaisseurs de ces liquides dim l'un des vases ^ et par p', p' , f\ etc., leurs densitn, et en représentant par k,k^, k,^ , e!c. , p^ , p^^ , p^^^ , etc., les quantités analogues dans nn autre vase, il faudn qu'on ait l'équation

f 'A +pT + p'WH- etc. = p^^h-pA + p„AJH- ««c;

d'où il résultera que les pressions rapportées à rnoité de surface seront égales sur les deux surfaces supérieures AB et CD du liquide homogène qui va d'im yase à l'autre, et qui peut être celui dont U denâté .est p', ou celui dont la densité est p^, ou plus généralement un autre liquide quelconque, pourvu que la deux surfaces A3 et CD, qui le terminent, soient comprises dans un même plan horizontal.

On peut remarquer que des couches infiniment minces, comprises dans des vases diflerens, et conte- .nues entre les mêmes plans horizontaux, éprouveroot la même pression rapportée à l'uiité de surface ; mais au-dessus du plan qui termine^e liquide inférieur, elles pourront contenir des liquides diflerens; en sorte que les propriétés des couches de nivea^ , ou perpendiculaires «1 la direction de la pesanteur, ont bien lien, quant à Tégalité des pressions , mais non plus quant à rhoniogénéitédu liquide (n" 586), lorsque ses couches sont interrompues par des parois fixes.

5c)8. Les lois de 1 équilibre des fluides pesans, daiis des vases communiquans, sont susceptibles d'un grand

HYDROSTATIQUE. 5Gi

nomlire d'applicstion;: dont nous uous bornerons à imlifjucr les plus comnimies.

Celle qui se présente la première, et que nous ne ferons qu'énoncer, est la théorie des nivellcmens et des instrumens qu'on appelle des niveaujc.

Dans le j//ï/;on, dont les deux branches s'ouvrent h leur partie supérieure, et qui contient de l'eau ou un antre liquide, l'équilibre a lieu quand les deux extrémités du fluide honl comprises dans un mémo plan, quelle que soit la f^randcur de la pression atmo=plicrîquc en ces deux points. L'équilibre pcntanssi exister dans le siphon renversé, pourvu qu'aloi-s la pression atmosphérique ait une grandeur convenable. Soient ABC(fig. 43), ce tube renverse, Jison point le plus haut, E et F les points ou le liquide s'arrêlo dans ses deux branches, et qui sont situés dans un même plan horizonlal. Si l'on appelle p la densité du liquide et h la hauteur du point B au-dessus de ce plan, la pression rapportée à l'unité de surface, exercée par le liquide en ces points E et F sera égale à fgh; et en appelant '^s■ la pression atmosphérique qui s'iixeree de bas en haut en chacun de ces points, il faudra donc qu'on ait '^ff';^ ^gh, ou tout au plus, 'îïr = FgA, pour que cette pression empêche le liquide de s'écouier.Dansle second cas, la pression au point B sera nulle; dans le premier, elle sera égale à ijff — fg/i; et si l'on avait ■w-c^pg^, la pression au point B serait négative , le liquide se diviserait en ce point, cl s'écoulerait par les deux branches du siphon. Au reste, dans le siphon renversé, l'équilibre du liquide ji'est qu'înstanlauc, et ne peu ts'observer qu'à raison de

l'adhérence de ses molécales entre elles ou contre l'intérieur du tube; dès que son extrémité F est un peu au-dessous ou au-dessus de son extrémité E, l'excès de la pression atmosphérique sur la pression du liquide, est pins grand ou plus petit au point E qu'au point F , et le liquide s'écoule par la branche BC ou par la branche BA du siphon. Dans Tusage ordinaire de ce tube renversé , la branche la pins courte BA est plongée dans un vase H , contenant uo liquide qui s'élève jusqu'au point D du tube; on ùiï le vide, en aspirant l'air que ce tube renferme; le liquide s'élève au-dessus de son niveau primitif, jusqu'à ce qu'il ait atteint le sommet B du tube ; il descend ensuite jusqu'au point C, puis il s'écoule par cette extrémité du tube. L'écoulement s'arrêterait » lorsque le point D, en s'abaissant dans la branche BA, se trouverait au-dessous du point C; ce qui ne peut arriver, puisqu'on suppose que AB est la plus courte des deux branches du tube.

La presse hydraulique , dont l'invention est attribuée à Pascal, consiste en une caisse prismatique et verticale II (fig. 45), ouverte a sa partie supérieure» et remplie d'eau jusqu'en AB. Un couvercle placé sur ABy lerme exactement la caisse, et peut cependant glisser le long de ses parois. Au-dessous de AB se trouve une ouverture C , à laquelle on adapte un tube coudé CDE, dont la branche verticale DE est ouverte à sa partie supérieure E. L'eau de la caisse s'écoule par rorifice C; et, à cause du couvercle posé sur AB, ce liquide s élève, dans le tube DE, jusqu'au point F, situe au-dessus du prolongement de cette

HYDHOSTATIQUE. 563

seclion horizontale AIÎ. Cela étant , si l'on ajoute an poids (lu couvercle un nouveau poids X, le liquide s'abaissera en A'B' dans la caisse H, et s'élevcra en F' dans le lube DE. Par cette addition de X, la pression rapportée à l'unité de surface sera plus grande en A'B'

qu'en AIÎ, de la quanlilé y , en désignant par b l'aire

tle la section liorizoatale de H; en même temps, la pression, aufisi rapportée à l'unité de surface, et duc au poids de leau amienue dans le tube vertical DE, augmentera d'une quantité fgo: , en désignant par p la densité du liquide , et par x l'élévation du point ¥' au-dessus du point F. Pour que l'équilibre subsiste, il faudra donc qu'on ait

X = fgbx;

équation qui fera connaître le poids X d'après l'observation de a.'. On a soîo que b soit une très grande surface, ah'n que des élévations peu considérables de l'eau dans le tube vertical, puissent répondre à de très grandes charges du couvercle mobile, et servir à les mesurer. La section horizontale du tube est très petite par rapport à ^, et il en résulte que les abaissemens du couvercle dans la caisse H sont très petits, par rapport aux élévations du liquide dans le tube ; car si l'on appelle^ la dislance comprise entre AB et A'B', et c la section horizontale du tube , on anra hr= ex , puisque le volume total de l'eau doit être invariable. Le tube DE pourrait, au reste, n'être ni vertical, ni cylindrique; et la formule précédente donnerait toujours la valeur de X, pourvu que x fût

■ji'l TiîAITÉ DL; MftCtNiyUE.

la disLiiice comprise entre les d«ux niveaux da liquide en F et en F'.

Un baromètre est, eu [jéiicrsl, un tube ABC [{i^. 44) , dont les deux hiaiiches lîA cl BC sont verticales, et qui est ieruié à rextrémîté A de BA , el ouvert à l'exlicniilé C de BC. On fait exactement le vide dans ce lube, puis on y verse du mercure, qiii s clève j Hsqu'en D dans la branche AB, et à «ne moindre hauteur, jus(|u'en G, dans la branche ouverte Cit. Si l'on mène par le point E un plan horizontal qui conpc en F la branche AB, le mercure situé nu-dcssous de ce plan sera de lui-même en èquilil>rc; et, pour que cet état finl>siiile , il faudra que les prcwîoiB rapportées à l'unité du surface , qui sont exercées en F par le mercure FD , et eu E par l'atmosphère, soient égales entre elles. D'après cela , j'appelle ■» b pi-cssion atmosphérique, je désigne par m la densité du mercure, el par h la hauteur verticale du point D au-dessus du point F, c'est-à-dire, la dilTércnce des niveaux M et F du fluide dans les deux branches iln baromètre; la pression du mercure an point F aura pour valeur le produit nif^h, et l'on aura, consêquemmcnt,

II' équilibre du mercure ne sera pas trouble, si. imagine que la branche BC se prolonge vertical»* ment jusqu'à rexliémilé do l'atmosphère ; par conséquent, la pression atmosphérique 'le, qui fait équilibre à celle du mercure, n'est autre chose que le poids de l'air contenu dans un cylindre vertîoiJ

llïnnnSTATlQCI-.

ayant pour hase l'iinUé de surface, et s'efcndaiit iiKlcfuiiment dans l'atmosphère : il dépend du dJci'ois.sement de la pesanteur, à mosorc que l'on selève an-dessus de la surface de la terre, de la densité et de la température des couches d'aïr, ot des quantités de vapeur d'eau qu'elles peuvent contenir. Ce poids pouvant varier dans un miiiue licTi de la terre , la hauteur barométrique h varie aussi; elle cliangc encore de grandeur, à raison des vents verticaux, qui rendent la pression atmospliéi'iquc plus grande on plus petite qu'elle ne seniit dnnu l'état de repos de l'air: à Paris, la valeur la plus commune de h est <i'",-G.

Si l'on remplaçait le mercure par un autre liquide dans le baromètre, la liauteur h clianijLTatl en raison inverse de la dctmîté de ce liquide, "comparée à telle du mercure, en supposant toujours qu'il y ait un vide sensiblement parfait, au-dessus da niveau D, dans la branebe fermée du baromètre. Pour l'eau, cette élévation h est d'envîixm iO",4; et c'est aussi la plus grande hauteur à laquelle l'eau puisse s'élev.ei* dans une /toiitpe, audessus de sou niveau cjt^ieur. Quand il existe une couche d'air entre la surface du liquide et le piston, cet air se dilate; il exerce sur le liquide intérieur une pression moindre que celle de l'atmosphère, .mais qui diminue l'éiévatioii de l'eau, et la réduit k une grandeur que nous déterminerons dans un autre chapitre.

5;)g. Nous allons maintenant nous occuper du calcul des pressions exercées par les liquides pesaus

566 TRAITÉ DE MÊGâNIQL'E.

sur les parois inclinées ou courbes des vases qui les contiennent I et sur les surfaces des corps solides qui y sont plongés*

La pression exercée par un liquide homogène sur une paroi plane inclinée, est égale au poids d'un prisme de ce liquide qui aurait pour base cette paroi, et pour hauteur la distance de son centre de gravité an niveau du liquide. £n effet , soient a un élément de cette paroi, et z sa distance au nivean du liquide ; la pression sur cet élément sera pa ou Fgzo», en mettant pour p sa valeur précédente (n* SgS); et comme les pressions sur tous les élémens sont perpendiculaires à la paroi plane , la résultante de ces forces parallèles aura pour valeur le produit de fg et de l-intégrale de zù>, étendue à la paroi en* tière. Or, cette intégrale est égale à hz^, en appelant b l'aire de la paroi, et z^ la distance de son centre de gravité au niveau du liquide ; la valeur de la pression sur le plan incliné sera donc fgbz^^ conformément a renoncé du thcorème.

Dans le cas de plusieurs liquides superposés dans le vase , on déterminera séparément les pressions exercées ou transmises sift#la paroi inclinée, par chacun de ces liquides; et leur somme sera la pression totale que cette surface plane aura à supporter. La pression <2sr de l'atmosphère augmentera cette pression totale d'une quantité égale à b<ef.

Tous les points de la base horizontale du vase éprouvant des pressions égales , la résultante de ces forces parallèles passe par le centre de gravité de cette base; mais, dans le cas d'une paroi inclinée,

les élémens inférieais éprouveront des pressions plus grandes qae celles des élémens supérieurs; et le point où la résultante totale vient percer la paroi f qu'on peut appeler le centre de pression^ sera toujours plus bas que le centre de gravité de cette même surface. Quand une paroi plane , plongée dans un liquide homogène f tourne autour de son centre de gravité ^ la pression qu'elle éprouve ne change pas de grandeur, mais le point d'application de cette force normale et constante change de position sur cette surface.

6oo* Pour donner un exemple de la détermina-* tion du centre de pression , supposons que la paroi plane soit un trapèze ABCD (fig. 4^) , dont les deux bases AB et CD sont horizontales. Si nous partageons cette surface en élémens parallèles à ces bases et d'une hauteur infiniment petite, chacun de ces élémens éprouvera la même pression dans tonte sa longueur, et son centre de pression sera situé à son milieu ; or, si l'on prolonge les côtés AC et BD du trapèze , jusqu'en leur point de rencontre K , et qu'on mène la droite KH, qui va de ce point au milieu H de AB, cette droite passera aussi par le milieu G de CD, et par les milieux de tous les élémens du trapèze ; elle renfermera donc le centre de pression demandé ; et il ne s'agira que de déterminer la distance de ce point à AB.

Soient af cette distance, x celle d'un élément quelconque à la même base AB , m la longueur MN de cet élément, z sa distance au niveau du fluide, h la hauteur du trapèze. L'aire de cet élément et la pression qull éprouve seront udx et (^zudx ; la près-

aiS TRAITÉ DE MÉCAMCHlli.

hiuii totale aura pour valeur / fgzudxy ut d'après

b llieorie des momeus des foi-ces parallètcs , on aun

Soit aussi c la distance de AB au niveau du li- <|uiiJ[:; appeJoiis a l'angle compris entre le plan vertical, qui va de cette droÏEe au niveau du liquide, et le prolongement du plan du trapèze; on aura

3 = c + X cos a ;

et si l'on sabstttae cette valeur de z dans l'équation précédente, et qu'on supprime le facteur gp constant et commua à ses deux membre», il en rcsullcra

x' (c ( udx + cos a . I cctiffjc)

:^c( xudx -\- cos X. j x'iuijc.

Je désignerai par a et i les longueurs des deux bases Alt et CD, et par A: la perpendiculaire abaissée du point K sur CD ou b. La perpendiculaire abaissée da même point sur AB ou a bcra lc-\-h, et sur MM ou «, elle sera k-\- h — a:; et ces droites a^ 6, u, étant parallèles, on aura

Je tiré la valeur de A, de la seconde proporiroii, puis je la substitue dans la première; ce q^uî doiiu«

HYDROSTATIQUE. 5tir>

, Lh a}t — ia—h)x

V-n nicltanl cette valeur de u dans lequalïou precé- «leute, et cfTecluant les iulégratîoiis, on en dédait

», aAc (« + a/)) + fi- [/i + 3i) cos ■ ■^ 6cta + A) + 2A(a -j-2i)cosa "

Par conséquent, si l'on mène à celle distance x' , une parallèle EF à la droite AB, le point P, où elle coupera la ligue GU, qui va du milieu de AB à celui de CD, sera le centre de pression du trapèze.

La figure 45 suppose que la base supérieure AB sott la plus grande; si le contraire avait lieu, îl est aisé de voir qu'il sutBrait de remplacer l'angtc a. par soD supplément, ou de chauger le signe de cosa, dans cette formule.

Dajis le cas de a = go**, la paroi est horizontale, et la formule se réduit à

ce qui coïncide, eETectivement, avec la distance du ceitli'e de gravité du trapèze à sa base a.

Quel que soit l'angle a, si celte base esta /leur <reau, on a t' = o, et la valeur générale de x' devient

^tfl + ai)'

de sorte qu'elle est, dans ce cas, indépendante de l'inclipaisoii de la paroi. Le trapèze se cbangcra en un

â<70 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

parallclogramme^ quand on suppose b= n; cl Ton a

alors

il se change en un triangle dans les deux cas de b ^o et a = o ; pour lesquels on aura

x' = ih, x' = Ih.

Dans le premier cas , c'est la base du triangle qui ot -à fleur deauy et or' est la distance du centre de pression à cette base; dans le second cas, or^ est h distance au sommet qui se trouve à la surÊtœ du liquide.

60 1. Sur une portion de surface courbe, les prêt' sions se détermineront en décomposant d'abord b pression normale à chaque élément, en trois foroei parallèles aux axes des coordonnées, et calculant ensuite par des intégrales doubles , les composantes totales suivant ces trois directions, lesquelles composantes se réduiront au moins à deux forces, qui pourront, le plus souvent, n'être pas réductibles à une seule (n® 26 î). Mais quand il s'agira des pressions exercées sur la surface entière d'un corps plongé daos un fluide, la réduction à une seule force aura tou^ jours lieu, et cette résultante unique sera verticale, ainsi qu'on va le voir.

Soit AMB (fig. 46) le corps dont il est question; désignons par x^y^ z^ les coordonnées rectangulaires (lu point quelconque M de sa surface, et prenons le niveau du Auide pour le plan des x et j-, et Taie des z vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur.

Appelons û» rélëment diflëi^ntiel de la sarface, et p la pression rapportée à l'unité de surface , qui répondent au point M , de sorte que pto soit la pression exercée sur cet élément, et dirigée suivantla normale intérieure MN. La valeur de p sera la même pour tous les points qui sont à la même distance z du niveau du liquide, soit que ce fluide stagnant soit homogène , ou qu'il soit seulement composé de couches horizontales dont la densité ne varie que d'une couche à une autre. Soient encore a^^^y^leB angles que fait la normale MN avec des parallèles aux axes des jp, j'fZ^ menées par le point M dans l'intérieur du corps. Enfin, projetons cp sur les trois plans des coordonnées, et désignons les projections de cet élément, para sur le plan des^ elz^ par b sur celui des z et or, et par c sur celui des x eljr. En observant que ^9 ^ f y^ sont aussi les inclinaisons du plan tangent en M sur ces trois plans , nous aurons (n* i o)

a z=z a)cosa, b = fi^cos^, c = oicos}^;

et si Ion multiplie ces équations par p^ il en résultera

pa =:pa} cos et , pb =/?« cos S, pc z=zpcj cosy;

ce qui montre que les produits pa, pb , pCp sont les composantes parallèles aux axes des x ,y, iï, de la pression normale ptù\ en sorte que la composante perpendiculaire à chaque plan des coordonnées, et^ généralement à un plan quelconque , se déduit de/M9 , en y remplaçant l'élément a? par sa projection sur ce plan.

5^2 TRAlTfi DIL Mf:CANlQtJE.

Cela posé, le corps AMB étant terminé de toatas parts, il y a, au moin!;, un second clément Je sa soir face qui a la même projection sur ciiaque plan tlonnr, que 1 elémetit a. Ainsi, eu abaissant du point N, une perpendiculaire MPsur le plan dcs?'et z, cctie perpendiculaire, ou son piolongenient, rencontrera b surface du corps en uu point M', et la projection dt 1 élément û)' qui répond à ce point, sera égale à nsatce plan, comme celle de a. Les deux élémens étant situé à la même distance du niveau du liquide, cproiireront les pressions normales pM et pcji' , qui senwl entre elles comme les aires « et ai', dont le rapport peut avoir une grandeur quelconque. Mais leurs composantes parallèles à l'axe des .r, auix>nt noc valeur commune pa, et les forces pa> et p'j>' ai;issatil suivant les normales intérieures M^ et M'?i', cet composantes égales agiront évidemment en sons co»* traire l'une de l'autre, savoir, de M vers M' au pOÎol M, et de M' vers M au point M'. Par conséquent la composante parallèle à l'axe des .r, de la pression exercée sur w, sera détruite par la composaote suivant la même direction, de la pression exercée sur un autre élément w'. On verra de même que la composante de p'^ , parallèle à l'axe des j- , sera aussi détruite par la composante suivant celte dircctiou, dir la pression relative à ou troisième élément, lequel répondra au point où la perpendiculaire abaissée do point M sur le plan des x et s, rencontrera une seconde fols la surface du corps. Or, on conclut de là que ces composantes liorizonlales des pressions exerci>es sur les élcmens du la suriacu du curp:» |iluugè('ic.

liyDKOSTATIQUK. S^S

ilciruiscnt dans cliacuue itcs sections horlzonlalcs et îtilïnimcntniinccs, cl, conacquemmcDt, sur sa surface entière. 11 s'ensuit donc aussi qne toutes ces pressions se réduisent h nue seule roi'ce, qui est la rcsultanle de leui-s composantes verticales, et qui provient de la prepotiUérance de la valenr tle^ daos la partie inférieure du corps.

Si p résultait d'une pression exercée à la surface da liquide, sa valeur serait constante dans toute l'étendue de ta surface AMJ!; et les composantes des pressions £C détruiraient deux à deux , dans lo sens vertical autist hien que suivant les directions liorizontales. Quelle que soit 1.1 forme d'un curps solide ou fluide, uae pression constante et normale, exercée en tous les poiuls de sa surface, ne peut donc produire ni un mouvement de translation, ni un mouvement de rotation, comme nous l'avons dit précédemment (n" 584)-

6o3. Pour déterminer la résultante des pressions verticales exercées sur AMB, j'abaisse du point quelconque M une perpendiculaire sur le plan horizontal des x et 7', qui rencontre en M, cette surface AMB. Les éle'mensci; ctû)^, qui répondent aux points M et M,, auront une même projection c sur ce plan; mais les pressions rapportées à l'unité de surface y seront différentes; et si on les dési{;ne par p et p,, le /ilet du corps que terminent ces deux élémens, et dont la longueur est MN, sera poussé verticalement de bas en haut par une force pc — p^c. Je suppose, pour plus de simplicité, que le Uquîdc dans lequel- le corps est plongé soit homogèoe; je représente par f

1 densité, et pat- / la longiMuir de MU^i oa-âura

p-^pj=zpglf et la pression verticale fglc sera lepo'uU du volume le du liquide , c est -à -dire, le poids du volume du liquide dont ce (ilet du corps occupe la place. En décomposant le corps en (îlels verticaux et infiniment minces , chacun de ces filets sera poussé de bas en haut par une semblable force ; d*où Ton conclut que la résultante de toutes les pressions verticales ne diiîéreradu poids des filets fluides remplacés par ceux du corps plongé, que par le sens de sou action; en soite qu elle sera égale au poids total du volume du fluide que déplace ce corps solide, et appliquée en sens contraire de la pesanteur, au centre de gravité de ce volume; lequel centre de gravité se confondra avec celui du corps même, lorsque celui-ci sera homogène.

Si le corps n'était pas entièrement plongé dans le liquide , on pourrait, dans le calcul de la pression qu'il éprouve, {faire abstraction do sa partie située au-dessus du niveau du liquide; le point !NI appartiendrait alors a la section du corps faite par le prolongcmeut du plan de ce niveau ; et , en prenant /)^ = o, ce cas rentrerait dans le précédent. La rcsultante des pressions verticales, qui sera toujoui^ celle de toutes les pressions, aura alors pour valeur le poids du volume du liquide déplacé par la partit' plongée du corps flottant, et pour point d'application le centre de gravité de ce même volume.

()o5. Ces résultats ont encore lieu, lorsque le liquide est composé de conclics horizontales. On y parvient aussi par une considération indirecte, qu'il c^i bon d'indiqufr.

ÎIYDBOSTATIQUE. 5.;5

L'équilibre ayant lien daos ce liquide, ïl ne sera pH troublé si l'on solidifie une partie quelconque du liquide , de sorte que cette partie devienue un corps plongé ou flottant. Or, pour que les pressions normales exercées sui- la surface de ce corps par le liquide environnant , fassent équilibre au poids de cette partie solide, il faudra qu'elles se réduisent à une seule force égale et directement contraire à son poids. D'ailleurs, si l'on remplace la partie solidilice du liquide par un autre corps qui ait exactement la même suîf ace, il|est évident que rien ne sera changé anx pressions du fluide environnant ; par conséquent, les pressions exercées sur la surface d'un corps plongé en tout ou en partie dans un liquide stagnant, homogène ou hétérogène, se réduisent lonjours à une force unique , égale au poids total des ooodies horiiontales du liquide, dont ce corps oocnpe la place, et appliquée, en sens contraire de la pesanteur, an centre de gravité de ces mêmes couches. On conclut de là que, pour l'équilibre d'un corps entièrement plongé dans uu liquide, il faut que sa dennté moyenne soit égale à celle du liquide dont il occupe la place , et que son centre de gravité , et celui de cette portion de liquide, soient situés sur une même verticale. La seconde condition est toujours remplie, quand le corps est homogène, ainsi que le liquide. Quant aux corps qui ne sont immergés qu'en partie, et quï flottent a la surface du liquide, nous examinerons les conditions de leur équilibre dans le chapitre suivant.

6o4' Ordinairement, on énonce le principe do

5;6 TEUrrÉ D(i MÉCiMQUE.

rilj (Irostatiqoe qu'on vient de démontt-cr, eu Uknl quuii corps plongé dans un liquide, y perd une jmlie de MU poids* égale au poids du duide qu'il déplace (u" igi).

Il en résulte qae pour avoir le véritable poidS'd*ii<< corp'î , il doit cire pesé dans le vide. Deux corps prscs dans l'air , dans l'ciu , ou dans tout autre flaiile, et qui se font équilibre au moyen d'une balance exacte, ont des poids réellement diffcreos, à moios que leurs volumes tic soient équi%'atens. he poiiU kc plus grand est celui dn corps qui a le plus grand nlumc, puisque ayant éprouvé une plus grande périt dans le fluide, il y^ait encore équilibre à l'autre.

Si un mùme corps est pesé successivement dnts le vide et dans l'eau, et que P soit son poids dan& le vide , cl P' son poids dans l'eau, P et P — P* seront les poids absolus de ce corps et de l'eau sous un même volume; ils sont donc entre eux comme It' densités de ces deux substances (a" (îo). Par coastqucnt , si l'on prend pour unité la densité de l'eai|Cl qu'on appelle D celle du corps , on aura

C'est d'après celle formule qu'on détermine les densités des corps qui peuvent être pesés dans l'eau, sans s'y dissoudre, au moyen de la balance hydrostalîque-

Go5. La démonstration du n° 6oi «'applique^- ■ ■ . lemcnt aux parois l.ilérales d'un vase qui contient nu * ,. liquide ; et l'on en conclura que les coniposautes ho-

HYDROSTATIQUE. 5-yj

rizontales des pressions exercée! de dedans en dehors, sur toute la surface iotérieure du vase , se'detruisent deux à deux ; en sorle tjue si le fond du vase est posé sur un plan ûxe et horizontal, l'action des fluides ' qu'il contient ne pourra pas te mettre eu mouvement; ce qui résulte aussi dh principe de la conser- Tation du mouvement du centre de gravite' ( n* 555). Uais si l'on fait une ouverture à l'une des parois latérales, au-dessous du niveau du liquide, celui-ci secoulera par cet orifice; et la pression n'ayant plus lieu sur la partie de la paroi qu'on a enlevée, celle qui est exercée à la partie opposée du vase ne sera plus détruite ; par conséquent , ce vase sera mis en mouvement en sens contraire de l'écoulement du fluide. Ce principe est celui des différentes sortes de machines à réaction , et sur lequel est fondé le moyen proposé par D. Bernouilti, pour mouvoir les bateanx; sans le secours des rames ni du vent.

Oq verra aussi, par le même raisonnement que dans le n" (ioa , que la pression totale exercée sur le fond do vase et sur ses parois latérales , est toujours égale au poids du fluide qu'il contient, et appliquée, dans le sens de la pesanteur, au centre de gravité de ce fluide. Chaque filet vertical du fluide, qui va, sans interruption , de son niveau à un point quelconque du vase , exerce sur ce point une pression normale , dont la composante est égale au poids de ce même filet. Celui qui rencontre en deux points la surface intérieure du vase, comprenant le fond et les parois latérales , exerce en ces deux points des pi-essions dont les composantes verticales sont dirigées en sens 3. 3j

contraire Tune de laiHre. La composante qui répond au point iifférieur» est dirigée dans le sens de la pesanteur, et l'emporte sur l'antre d'une quantité égale

• au poids de ce filet ; et , de cette manière , la résultante des pressions vefticales de tous ces filets fluides, n'est autre chose que 16 poids même du fluide ea question.

Il faut distinguer cette pression de celle qui a lien seulement sur le fond du yase (n* SgS), et qui n'est égale au poids du fluide que quand le vase est un cylindre ou un prisme droit. Elle est moindre que œ poids , lorsque le yase s'élargit en allant du fond à si partie supérieure, parce que les filets verticaux da fluide, qui partent de son niveau, et sont interoqrtà par les parois latérales, né pressent pas sur le (bod du vase ; elle est , au contraire , plus grande que k poids du liquide , quand le yase ya en se rétrécir

. sant, parce que les filets verticaux qui partent do fond du vase , et sont interceptés par les parois latérales , exercent néanmoins la même pression verticale sur le fond du vase, que s'ils s'étetidaient jusqu'au niveau du liquide ; ce qi^ manque au poids de chacun de ces filets incomplets, étant remplacé pai la résistance de la paroi à laquelle ils viennent aboutir

HTDRŒTîkTIQUE, • 679

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