Je choisirai , pour exemple du prablè

HYDROSTATIQUE. SSi

qu'on vient d'énancer , le cas d'un prisme droit et Iridogutaîre^ dent les arêtes sont horisontales. Le plan coupant leur sera évidemment parallèle ; 'de plus y sa direction sera indépendai^t^ de la distance comprise entre les deux bases. On pourra donc fiaiire abstraction de la loogueur du prisme, et déterminer aeuleroeot l'intersection d« plan coupant^ et de l'une des deux bases ; de sorte cfue le problème se rapportera a la Géométrie plane ; ifp qui aurait Kèu également dans le cas d'un prisme ou. d'un cylindre bon-* zontal à base quelconque.

Soit ABC (fig. 47) 1*^*^ ^^ bases chi prisme donné. U peut arriver que deux sommet de ce triangle soient ploogés dans le Uquide , ou qu'il n'y en ait qu'tin seul

. au-dessvis du niveau. J'examinerai d'abord le cas d'un seul sommet immergé; on verra ensiiiite comment l'autre cas se ramène à celui-^là. Soient donc C ce sommet immergé y et BIN l'intersection du plan coupant et

. de la base ABC, qu'il s'agit de déterminer, et qui re^ présentera le niveau du liquide. J'appellerai a, b, d, les côtés donnés de ce triangle ABC, qui sont irespectivement opposés aux angles A , B , C ; et je désignerai par or et j^- les c6tés inconnus CM el CN du t inangle MNC ; de sorte qu*on ail

BC^a, AC = è, AB*:c, CMsca:, CN==r-

L'aire d'un triangle qyelconque est égale au pro-duit de deux de ses côtés et du sinus de l'i^ngle. compris ; on aura donc

ABC = ia6sinC, MNCss^xr «aC.

582 TRAITÉ DE MÉCANK^E. • •

Le prisme entier et le prisme plongé dans le liquide sont entre eux comme leurs bases ABC et MNC; on doit donc avoir .

MNC : ABC :: > : i ;

r étant une quantité plus petite que Tunité, qui re-' présente le rapport de la densité du corps flottant à celle du liquide. En mettant pour ABC et BINC leus valeurs précédentes , ce|f e proportion doDoe

. , xjr c=: rab. (i)

Maintenant, soit D le milieu de la base AB; menons la droite CD, et prenons sur cette ligne DG^ jDQ le point G sera le centre de gravité du triangle ABC. De même , E étant le milieu de MN , si Ton prend sur CE une partie EF = jCE, le point F sera le centre de gravité de MNC. La droite GF devra donc être perpendiculaire à MN; mais, à cause que les lignes CD et CE sont coupées en parties proportionnelles aux points G et F , les droites DE et GF sont parallèles; par conséquent, la droite DE, qui joint les milieux des deux bases AB et MN, est aussi perpendiculaire à MN; et il en résulte que les deux obliques DM et DN sont égales.

Réciproquement, si Ton a DM = DN, la droite DE sera perpendiculaire a MN , ainsi que sa parallèle GF; donc, pour que la droite qui joint les deux centres de gravité G et F soit perpendiculaire à Fintersection MN, il est nécessaire et il sufBt que les valeurs de DM et DN soient égales.

Cela étant, faisons CDz=zh, et désignons par ^

et S les deux parties DCA et DCB de l'angle ACB, En considérant les deox triangles DCM et DCN , nous aurons

DM = A* + a:* — 2ha: cos a , DN = A» -(- ^ — 2hjr cob'€ î

et en égalant ces deux valeurs, il en résultera

x* — 2hx cos a = j^^ — 2hjr cos €. (2)

Les équations (1) et (a) sont celles qui devront servir à déterminer x et jr. Par Félimination de ^ , on en déduit

jc* — aAx^ cos a + 2hrabx cos f — r*a*A* = o, (5)

On tirera donc la . valeur de x de cette équation dû quatrième degré ; et Ton aura j^ == — pour la valeur correspondante de jr.

L'équation (3) étant d'un degré pair, et ayant son dernier terme négatif , il s'ensuit qu'elle a une racine positive et une négative. Les deux autres racines peuvent être réelles ou imaginaires. Si elles sont réelles, la règle de Descartes fait voir que Téquation (5) aura trois racines positives, et une racine négative; car en considérant les signes de ses termes, et soit qu'on donne le signe 4* ou le signe — au troisième terme , qu'on y peut comprendre avec un coefficient nul, on trouve toujours trois variations et une permanence. Ijes inconnues xetjr, qui sont les côtés du triangle WNC, ne pouvant être que des quantités posjtives,

«B( TRARÉ DB ÉfAOUnODE. ,

4mîn|^ ABCy ài wjeMè» AwiQi MÉnti tflmil^glMJià la ^asticm , U radne n^atiye de Fégiatioii (^'?hi Taleon de x pins grandes que a, et çeOet qui do^ neraieiit uM tide^tif de j* pins gnnde qm 'ift. AioBt il yraurftji â« fbm^ tmii fi08i|ioo||.d'ïJqiâU»ro popr leKpielks le sommet C est seul Fkiigé dane le &?*

ipUMm

6q8. SiYçai suppose ce sooainijet iioft db flpide^d les demi points A et B an-dessous dn oÎTema iDf, li prablène semlenlae qne^dans le ces psdoddsiit, a¥ec .qsM» mth J^SémMe '^oe h ^MPtîlrf rdeos Atre lemplaoée par i^^r dans les ëqBstiDae{fi)ot(3)k ] En «flBrt , le triangle ABC , et ses deux parties BDf G al ! irifEfBA, agra&t le^ oçnti^ dé ghrfitl siir a draHe». et çenx de A9G et de la 8eeond# pw^ TantAtre situés sur une petpendicolaîre à BfN^flfiah ] dra toujours que les triangles ABC et MNfC Éôêà aussi leurs centres de gravité sur cette perpeodies* laire ; eu sorte que l'on aura d'abord , sans aucun changement^ Féquation (2) , qui exprime cette dition. D'ailleurs , la proportion

MNBA : ABC

qui doit aroir. lieu maintenant , peut être changée en celle-ci :

MNC : ABC :: 1 r : i; ce qui change aussi Téquation (i) en cette autre:

^ = (ï — r)ab.

En s'en, servaut pour éliminer f de l'éqnation (a), on retrouvera Téqualion (5), dans laquelle le report r sera remplacé par i -^ r, c'est-à«*dire, que l'on aura

a:*— Tha? cos et •+• aA (i — r) abx co8 C— (i— r)* ii*ft*=: o. (4)

En raisonnant comme précédemment , on conclura de cette équation , qu'il y a au plus trois positions d'équilibre , pour lesquelles les deux sommets A et B du solide sont plongés dans le fluide.

Si l'on considère successivement les trois sommets A ^ B;'C^ et si Ton examine, pour chaque sommet, les cas où il est seul plongé dans le fluide et seul hors du fluide 9 on déterminera toutes les positions horizontales d'équilibre du prisme donné ; et il résulte de ce qui précède , que ce nombre ne pourra jamais être plus grand que 'dix-huit.

609. Lorsque le triangle ABC est isoscèle , on peut se passer de l'équation (3) ou (4), et résoudre direc* tement les équations en x et y. Je suppose qu'on ait h^=zay les triangles CAD et CED seront rectangles et égaux; on aura

€ =: oL, h* = a* — ^c^ , acoscL 5= h;

et les équations (i) et (2) deviendront

ay^ = ra', ^-x-- ^^^^0-x)=o. (5) On y satisfait d'abord , en prenant

fiB6 ' T&AEIÏ DE MlÉGàlimfDE.

faleon^ sont* admiMMes^ k «•on de r;4^i il il yè< «»#>n léolte iri»e prinièie poriliiMt* 4tiaibiëvén^ le tmngte MMC of iméÉli

et 0I1 U bise AB du triangle ABC terapanllèle k El oa Wiioatalp. En diangouît r en i *^r, «m «li ùBe. seconde poâticn^:^; le point 6 eera alii iijbtt dn lh|ddej(.0l&l)^ AB tottjou» honMnldti Miis il pent'aiMn exister d'aotras ponlioos d^i^ Itibrey pont baqàdles. cette hÊaé âen* indinée.

En eflbt, âTon snpprimé le.fiictenr j^-^-x deli i^x>iide é|aat}on (5), il T^ •

.Celle- ci ^u, j/KPéadiii ëqqaMon (5) donnant k aOinine et le prodniîk ^lA' ^l'rax inofmnnM a; étj, 1 a'epsnit qne ces quantités seront les deox raciasi

d'ane même éqaation du second degré ^ lesqnellci racines auront pour expression

On prendra successivement chacune d'elles pour x et l'autre pour j^; et quand elles seront toutes deoi •réelles et moindjres que a , il en résultera deux nouvelles positions d'équilibre , dans lesquelles la baie AB sera située hors du liquide. En mettant i — -rao lieu de r^ et supposant toujours les racines réeDes plus petites que a , on aura deux autres positions ou cette base sera immergée.

Lorsque les deux racines qu'on Tient d'écrire sont égales , la base AB est horizontale , et ces nouvelles positions d'équilibre doivent rentrer dans les précédentes; et, effectivement, on a alors 4^*— c'=4a\/r, ce qui donne^ = x = a \/r.

610. Dans le cas du triangle équilatéral , on fera c = a , dans les formules précédentes. Les valeurs égales de x etjr ne seront pas changées ; leurs valeurs inégales deviendront

J (5 =fc V9 — i6r), dans le cas d'an seul sonamet immergé , et

dans le cas d'un seul sommet hors du liquide. U s'a-gira donc de savoir queUe doit être la fraction r, pour que ces valeurs soient réelles et moindres que a.

Or, si l'on a r < ^ et > i, la première formule sera réeUe, et ses deux valeurs seront moindres que a; hors de ces limites, cette formule sera imaginaire, on bien une de ses valeurs surpassera a; et de même, pour que les valeuiWde la seconde formule soient réelles et plus petites que a, il est nécessaire et il suffit cfue Ton ait r< ^ et > 1^. On voit donc que depuis r=:-^ jusqu'à r=^, la première formule sera seule admissible ; que ce sera, au contraire , la seconde qui sera seule admissible depuis r=:j jus-

fBnii«lMdenoqtte« njetôoi. > .>^»

. Çapaipfi tvmm ifloililaU* pw ilflJHWt ^^fcHâ

ntïons d'éqaiUora sera timjom >■> nitiltigle je t^^*

et ce nombre total pourra être six oo dix-bait, sninnlla valeur de r.

6ii. Oatre leurs positions horizontales d*éqtulîlin| |0S prismes et les cylindres homogènes ont aussi an pontions d'équilibre, dans lesquelles leurs artta ftmt Tprtifales, etleun Iwev penlUM «i omn^ liquide, et qni ieat dodbla'ptmr chaifae anfii puœ.qne l'une ou Fautre dn. deiù Immb peut tel plonfée dàAs ife-^ftiîde. Un ' {Hfcqie -verdcal «l'a > parUe immeigée oatlenn centres degnTÎté «n^wi même perpeodiqdwe an WTeÉn j te.'ni|^iort de Ihb. Tolnmes est le mime qne cdni dfl tenra haulfii;. et^ par côniéqneiit, h hantinr dn pfîame iiuiiMH< est à cdie dn priame entier, comme la dennté di corpi est à celle da liqnide, ce i^oi suffit pour déltfminer renfbacement du corps dans son état d'éqn* libre.

Les solides de révolution) et généndement ton» les corps symétriques autour d'un «ze , ont de ri4vI deux positions d'équiUlKvdans^kvqaeUes cette dioîl* est verticale, et qu'on déternybera sans diffic«Ué> Supposons qu'il s'agisse, par exemple, d'on ellipaolda homogène, dont les trois demi-axes «oient a, b, m plaçons l'axe 3C verticalement, et soit u la '^■■'ff"* du plan des deux autres axes à la section kjieunftmi u étant une inconnue positive ou négativei «ebm qw

HTDBOSTATIQtX. S89

cette sectkm se «rouyera aaniessous tm ati*^dessiis du 4ceiiti^ de rdlipsoide. Soit aussi Z rairé de la section liorizoôtale de ce oorps, laite à une distance quelconque z de son ceaAre; le volume dit ^emi«ellipsoide

étant Y ^^ 9 ^° ^^^ ^^^ ^^ sqgment plongé , en rc;

tranchant de ^nbCfVintegnAe f Zcîz, qui exprime

la valeur de la tranche comprise entre la section kjleur iTeau et la section horizontale faite par le centre du corps , et qui aura le même signe que u. Dans le cas d'équilibre , on aura donc

j^abc -^ I Zdz =:^ abcr ;

r étant toujours Je rapport de la densité du coips flottant à celle xlu liquide. Ce coqis étant un ellipsoïde , on aura (n^ '89)

et l'équatieti «d'-équilibre deviendra

£Ue aura toujours «ne setile racine réelle, comprise entre db^c, qui «ra positive ou négative, selon que Ton aura r> \ ou r <^. Hans les cas extrêmes de .r=s:o et r=i , •cette racitie wra tts= c et

Un €01^ ^symétrique autour d'tm axe vertical , étant pkohgé successivement et par la même partie^ dans diffévens li^des , s j enfeacera de quantités

dont les volumes seront en raison inverse des densités de ces fluides. C'est snr ce principe qu'est fondé l'usage du pèse-liqueur ou aréomètre^ pour comparer entre elles les densités de divers fkiides.

612. Parmi les différentes positions d'équilibre d'an même corps solide flottant à la sur&ce d'un liquide, il y en a qui sont stables^ et d'autres qui ne le sont pas ; et d'après ce qu'on a vu dans le n"" 670 , si Foo fait tourner ce corps autour d'un axe horizontal/ pour fixer les idées > ses positions successives d'équilibre seront alternativement stables et instantanées. Il importe de distinguer avec soin les premières des dernières , qui ne subsistent assez de temps pour être observées, qu'à nason d'une petite a^érence di corps flottant^ au liquide avec lequel il est en amtact. • *

Supposons d'abord que le corps flottant soit pirfaitement symétrique, pbur la forme et pour la densité de ses parties, de part et d'autre d'une section verticale ABCD (fig. 48). Soit G son centre de gravité, qui appartiendra à cette section. Dans son état d'équilibre , soit aussi AC la droite où cette section est coupée par le niveau du liquide, prolongé dans l'intérieur du corps, et H le centre de gravité du volume du fluide déplacé par le corps; ce point appartiendra aussi à la section A6GD, et se trouvera sur la perpendiculaire BGK , abaissée du point G snr la droite AC. Quand le corps sera homogène, H sera au-dessous de G , comme la figure le suppose ; mais qua\id on aura lesté le corps flottant, c'est-à-dire, quand on aura augmenté la densité de sa partie in-

HYDROSTATIQUE. Sgt

rérieure, le point G pourra tomber aa-desipns da* point H. •

Cela étant , concevons que Fou écarte un peu le corps flottant de sa position d'équilibre , en le faisant tourner autour d'un axe perpendiculaire à ÂBCD., et l'abandonnant ensuite à lui-même sans vitesse ini- . liale. Quel que soit le mouvement que le corps prendra f la section ÂBCD demeurera toujours verticale , et corojAndra constamînent le centre de gravité 6. . Dans cette nouvelle position , soit h!Q! (fig. 49) f ^^ droite qui représente le ni?eau du liquide^ et qui coupe AC au point E , de manière que le segmçnt du corps qui répond à AEA' y soit entré dans le liquide , et que celui qui répond à CE(7 , en soit sorti. Je supposerai égaux les volumes de ces deux segmens; il en résulte que le volume du liquide déplacé par le corps n'aura pas changé ; le poids de ce volume de fluide sera donc encore ^al à celui du corps ^ comme dans l'état d'équilibre ; or , le centre de gravité G du corps flottant doit se mouvoir comme si la masse de ce corps y était réunie , et que le poids de ce corps et la pression du fluide y fussent appliquées (n* 4^^)» et ctes deux forces verticales agissant en ^ns contraire l'une de l'autre^ et étant égales dans notre hypothèse , on n'aura point à considérer le mouvement du point G.

Soient H' le centre dé gravité du volume du liquide déplacé, après que le corps a été écarté de sa position d'équilibre. Ce point appartiendra, comme le centre de gravité G , à la section ABCD ; mais ils ne seront plus situés, en général, sur la même verticale ; la pression

'du ûwde fera donc toamer le corps autour d'ôiie droite passant par le point G, et perpendiculaire k h section ÂBCD; et il s'agira de savoir si ce mouvement

■ tendra à ramener le corps à sa position d'équilibre,

ou à l'en écarter davantage, et à le faire ckawrer.

' Or, si Ton mène par le point H' la verticale E%

qui rencontre la droite BGK perpendiculaire à AG,

au point M , il est évident que ia pressÎMi du fluide

. qni s'exerce de bas en haut suivant la direc An HV, tendra à ramener la droite BGK à sa position verticale , correspondante à l'équilibre , on à l'en écariff davantage , selon que le point M sera situe au-dessos on au-dessous du point G. Dans le premier cas, Féquilibrc sera stable , et dans le second , il ne le sert pas. Quand le point M et le point G coïncideront, k corps restera encore en équilibre, dans la positioi voisine de la première, où on l'aura place.

Si le centre de gravité G tombe au-dessous de celui du volume du liquide déplacé, qui était H, dam l'état d'équilibre, c'est-à-dire, si ce point G se troare entre les points B et H , sur la ligne BK , le point M 8e trouvera au-dessus de G , et l'équilibre sera nécessairement stable. Si, au contraire, le point G est au-^ssus de H, comme dans le cas d'un corps homogène , le point M pourra se trouver au-dessus on aodessous de G, et l'équilibre pourra être stable ou non stable. Le point M, dont la considération sert à dis* tinguer l'un de l'autre , les deux états d'équilibre d'un corps flottant , symétrique par rapport à une section verticale, est ce qu'on appelle le métacentre. Mais nous allons donner une autre règle , déduite du principe

HYDROSTATIQUE. SgS

des forces vives pour s assurer, dans tous les cas, de la stabilité de cet cquilibie.

6i 5. Pour cela , considérons un corps d'une forme quelconque^ homogène ou hétérogène ^ en équilibre à la surface de leau. Soient ABCD (fig. So), la sec-tion de ce corps par le niveau de l'eau prolongé dans son intérieur, G le centre de gravité du mobile , H celui du volum%d'eau déplacé par la partie immergée de ce corps, V le volume de cette partie , et M la masse du corps entier ; puisqu'on le suj^ose en équilibre, la droite GH est perpendiculaire au plan ÂBCD, et la niasse d'eau déplacée est égale à celle du corps, de sorte qu'en appelant p la densité de Teau , on a

M = Vp. ,

Supposons qu'on élève la section ABCD au-dessus du niveau de Teau (fig. 5i), ou qu'on l'abaisse audessous, d'une quantité très petite ; qu'en même temps , on incline un tant soit peu le plan de cette section; et, pour plus de généralité, qu'on imprime aussi de petites vitesses aux points du mobile. L'équilibre sera troublé; q]L la question de la stabilité consistera à examiner si, par suite du mouvement que le corps prendra, la section ABCD, fixe dans l'intérieur du mobile, s'écartera de plus en plus du niveau de l'eau, ou si elle tendra à y revenir, eu oscillant de part et d'autre de ce niveau. Pendant le mouvement qui aura lieu , le niveau naturel de leau coupe le corps flottant suivant une section variable dans son intérieur , qu'on appelle le plan de Jloilai-^ son. A un instant quelconque, soient A'B'C'D' cette

section; ÂB'^CD'' une autre section variable de ce corps, faite par un plan horizontal qui passe par le centre de gravité de la section ABCD ; ÂC Tintersection de ABCD et AB''CD'', variable sur ABCD ; 6 Finclinaison mutuelle de ces deux sections ; Ç la distance de âB'^CD'^ au plan de flottaison, laquelle distance sera regardée comme positive ou comme négative , suivant que cette section se trouveip au-dessous ou au-dessus du niveau de l'eau. Les quantités variables 6 et ^ sont supposées très-petites à l'origine du mouvement; il s'agira de savoir si elles resteront très petites pendant toute sa durée.

6i4« En appelant u la vitesse variable d'un élément quelconque dm de la masse du mobile, la somme des forces vives de tous ses points sera donnée par Tin- . tégrale fvfdm étendue à la masse entière , et l'équation qui résulte du principe général des forces vires, sera de la forme (n* 564)

fu^dm = c + 2^; {a)

e étant une constante arbitraire , et ^ une fonction dénudante des forces qui sont appliquées aux points du mobile*

Ces forces sont la gravité , qui agit sur tous ses points , et les pressions verticales que le fluide exerce sur la partie immergée de la surface du corps; or, on peut substituer à ces pressions des forces motrices agissant sur tous les élémens dm de sa masse , qui sont situés au-dessous du niveau de l'eau, en prenant pour chaque élément une force dirige en sens contraire de la pesanteur, et égale au poids du

HYDROSTATIQUE. SgS

volume d'eau qu'il remplace ; car la résultante de ces forces motrices aura la même grandeur , la même direction et le même point d'application^ que celle des pressions verticales (n^ 602). De cette manière, en désignant par g la gravité et par Jp l'élément du volume du mobile qui correspond à l'élément dm de sa masse, la force motrice dç dm sera gàm-^g^v^ si ce point matériel se trouve au-dessous du niveau de l'eauy et gdm sll se trouve au-dessus. Soit de plus z la distance variable de iùn au plan de flottaison , positive ou négative, suivant que dm sera au-dessous ou au-dessus de ce plan ; il résulte de la valeur générale de la fonction ç, donnée dans le n* 564 » 9^^ dans la question qui nous occupe, on devra avoir

(p =: fzgdm — fzgpdvi

la première de ces deux intégrales s'étendant à la masse entière du corps flottant , et la seconde, seulement à la partie immergée de son volume.

En abaissant du centre de gravité G de la masse M, une perpendiculaire GE sur le plan A'B'CD', et faisant GE = ^^ , on aura d'abord

fzgdm = gMz,,

pour la valeur de la première intégrale. Je partage la seconde en deux parties, l'une relative au volume y situé au-des$ous de ÂRCD, dans l'état d'équilibre , l'autre relative au volume compris entre les sections ABCD et A'B'CTD'. J'ai alors gVpz' pour la valeur de la première partie ; 2! étant la distance variable du centre de gravité H du vobime V au plan

5i)G TRAITÉ DE MlïCANlQLili.

tic floltaison , c'est -à-dire , la longueur de la perpm- (liculaire Hi-' abaissée du point H sur le plan A'B'CD'. En représentant donc pour un moment par A la Xileur de l'intégrale /rc/i', étendue à tous les élémew (iwùu volume contenu entre ABCD et A'B'C'D', gft sera la seconde partie de la seconde intégrale con»prise dans l'expression de <p , et nous aurons

? = gM:, — gpV:' — gfk,

pour la valeur complète de celle quantité. IVhis b droite GH étant perpendiculaire au plan ABCD , Vaille qu'elle fait avec la verticale GE est rinclinaiwat du plan AliCD sur un plan horizontal ; si donc oa appelle rt la longueur constante de GU, ou aura

l^ = s' dz rt cos 8 ;

le signe supérieur aj^ant lieu quand le point G al au-dessous du point H, et le signe inférieur danslc cas contraire. Eu substituant cette valeur de z^ cUu celle de <p, et observant que M = Vf , îl vient

p = =t gpn V cos 9 — gfk ;

et il ne restera plus qu'à déterminer I3 valeur de l'intégrale représentée par A.

(Ji5. Pour l'obtenir, je décompose l'aire de la seclion ABCD en élénieiis infiniment petits ; je les projette tous sur le plan de flottaison A'B'C'D'; ce qoi divise le volume compris entre ces deux sections do corps, en uae iafinité de cylindres Terticaox qw Ml pour bases les projections horizontales desélétbensde ABCD. Je coupe ensuite un c^'liadre quelconque pK

une infinité de plans horizontaux, et je prends pour leléoient dv du volume que je considère , la partie de ce cylindre comprise entre deux plans consécutifs, dont les distances au plan de flottaison sont z et z+dz, de sorte que cet élément soit égal à la base du cylindre, multipliée par dz. Or, d\ étant Télémcnt difTérentiel de la section ABCD , la projection horizontale , ou la base du cylindre correspondant , sei.*a dAcosQ, puisque 9 est l'inclinaison du plan de dK sur le plan de projection ; on aura donc

d^ = dzdA. cos 6 ;

par conséquent, l'intégrale fzdi^, relative à l'un des. cylindres verticaux, sera le produit de £2A .cos 6» et de fzdz , ou égale à ^jr* cos 9 . rfA , en appelant jr la hauteur de ce cylindre , ou la perpendiculaire abaissée de dK sur le plan de flottaison* La quantité qu'on a représentée par k sera donc

A: = icos6j5^rfA;

l'intégrale s'étendant à Taire entière de ABCD.

La perpendiculaire jr se compose de deux parties : Tune comprise entre les deux plans parallèles A'B'CD' et AB^'CD'', qu'on a représentée par ^ , l'autre comprise entre dA et le second plan > qui sera égale à / sin 6, en désignant par l la distance de cet élément à l'intersection AC des deux plans ABG) et AB"CD''; ou aura donc

7 = ^ + ZsinG,

où l'on regardera l comme une quantité positive ou négative, selon que dA se trouvera au-Hle5sq[p ou

SgS TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

au-dessus du second plan. En subsliluant celte t»-

leur dans l'équation précédente, et obser\'ant que i

et 6 sont constantes dans rintégiatioD iadiquée, 8

TÏeat

A-=^Ç*cos6/rfA+slnflcose/"WA-|-isin'flcosfi/ï"'^-

J'appelle b l'aire de ïa section ABCD, où la valeur defd^i la droite AB renfermant, par Iiypothèsr , le centre de {gravité de cette section , l'intégrale /IdX «t nulle ; et si l'on fait

/î^d\ = ày',

de sorte que -y soit une ligne dépendante de la figan et de l'étendue de ABCD , on aura liualcnient

>t = i A cos S (C -f- J-'sin'fi).

Cette formule n'est pas rigonreusement Ta va!enr de k; pour qu'elle le fût, il faudrait que le voluaic compris entre les sections A'B'CD' et ABCD fût no cylindre vertical , tronqué par le plan de la section ABCD; mais quelle que soit sa forme, on conçoit que la valear exacte de k doit différer très pen de la p» cédente, tant que les variables Ç et 8 sont très petites; et il est facile de s'assarer que la diflerenoe de ces valeurs est une quantité da troiâime ordre à l'égard de Z ^t 6<. En subsUtuaut la valeur approchée de k dans l'expression de 9 , faisant aussi

sinfl = fl ^ + etc., cosfl=i — -+etc.,

et neigeant tous les termes du troisième ordre fU

HYDROSTATIQUE. Syg

rapport à ces variables 0 et Ç, nous aurons donc

ce qui change l'équation (a) en celle-ci :

/u^dm + gplbi:^ + {by-zt\a)^]=:c, (b)

en comprenant le terme dz 2gp\a dans la constante arbitraire c.

6i6. La valeur de cette constante se déterminera d'après les valeurs de u, Ç, 6, k l'origine du mouvement, qui sont supposées très petites; c est donc au^i une quantité très (letite; et, de plus, l'équation (b) montre que sa valeur est positive, si le coefficient by^dzVa est positif, quand le mouvement commence. Si ce coefficient reste positif pendant toute la durée du mouvement, on peut conclure de cette même équation, par le raisonnement déjà employé dans le n® Syo , que les variables Ç et fl demeureront constamment très petites; de manière qûW aura à un instant quelconque.

ce qui fait voir que la stabilité de l'équilibre du corps flottant tient au signe de la quantité by^::t:\a, et que cet équilibre sera stable toutes les fois que cette quantité sera positive à l'origine et pendant tonte la durée du mouvement.

L'intégrale /l*d^ , qui est représentée par by* , ne peut être qu'une quantité positive, puisque tous ses élémens sont positifs. Le terme =b \a doit être pris

Goo TlUllt, DE Hf-CAMOllt-

aveele signe -J-, quand le poîiilG est plus Iws qneV" point II; donc, dans ce cas, le coeOlcient /fy'zhWi cat posiûf, et l'équilibre est stable. Lore donc quek centre de gravite de la masse entière d'un corps fid^ lant est plus bas que celui du volume dVau qo^ déplace dans sa position d'équilibre, on peut itn certain de la stabilité de cet équilibre par rapporta I tous les petits niouvemens qu'il est possible d'ii]i|)nnier ù ce corps.

Si, au contraire, le point II est pins bas qtiC le ' point G, le terme ± \a doit être pris avec le signe— f il faut alors qu'on ait l>y Z> Vn , pour que le coefficient è>*rfc Va soit positif, et qu'on puisse a«SBiir la stabililéde l'équilibre. Or, la grandeur de la ligne y varie avec la position de la droite AC, qui pUK . toujours par le ccutre de gravité de la section AfiCP, et peut lourner autour de ce point pendant la dorée du niouvenieiil; mais eu faisant faire à la di-oite AC, une révolution entière, il est évident qu'il y aon une position dans Liquelle la ligne y sera plus petite que dans toute autre position; si donc on calcolc cette plus petite valeur de y, et qu'on trcove by' > Va, il sera certain que le coefficient ^"ifcVfl ne peut devenir négatif, cl, par conséquent, que l'équilibre est stable.

Dans un vaisseau , par exemple , il est aisé de voir que la droite AC, à laquelle répond le minimum àt l'intégrale fl^dk , est la ligne qui va de la proue i h poupe. Ou partagera donc l'aire de la section à ^^ deati en étéoiens infînimeot petits; puis on déterminera par le calcul iclégral la somme de toos ces

clémens , multipliés respectivement par le carré de leurs distances à cette ligne ; et pourvu que cette intégrale surpasse le produit du volume d'eau déplacé par le vaisseau , et de la distance du centre de gravité de ce volume à celui du vaisseau, on pourra assurer que l'équilibre est stable, par rapport à tous les petit;, mouvemens du vaisseau , lors même que le second centre de gravité sera plus élevé que le premier. . 6 1 7 . A près nous être occupé de l'équilibre et de la stabilité des corps flottans , nous allons actuellement déterminer leur mouvement, lorsqu'on les a un peu écartés d'une position d'équilibre stable. Four résoudre la question d'une manière complète , il faudrait avoir égard à la fois à ce mouvement et à celui du liquide ; c'est ce que je tâcherai de faire dans un autre ouvrage. Maintenant, je ne tiendrai pas compte du mouvement du fluide; et pour simplifier le problème, relativement au corps solide, je supposerai qu'il soit symétrique de part et d'autre d'un plan , qui restera vertical pendant tout le mouvement.

Ce plan renferme les centres de gravité G et H du mobile et du volume de fluide qu'il déplace dans son état d'équilibre. Dans cet état, la droite GH est verticale ; on l'incline en la faisant tourner dans ce plan autour du point G ; puis on abaisse ou on élève , parallèlement à elle-même, cette droite dans ce même plan ; on abandonne ensuite le mobile à l'action de la pesanteur et du fluide environnant, sans lui imprimer aucune vitesse initiale ; et il est évident que la section du mobile faite par le plan dont il s'agit , et

6oa TRAITE DE MÉCANIQUE,

qui le conpe en deux paiHÎes symétriques, demenrcra coustammeut verticale. LlutersectioD AC de» sections ABCD et AB"CD", restera toujours perpendiculaire à ce plan vertical; et comme la droite AC renferme, par hypothèse, le centre de gravite de ^BCD, il s'ensuit que ce centre sera le poiot K oâ elle coupe ce même plan, et que la droite AC rencontrera toujours le contour de ABCD dans les mêmes points A et C. Indépendamment de la symétrie du corps par rapport au plan perpeodicnlaire à AC, je supposerai , eu outre, pour simplifier encore plus la question, que la droite GK soit perpendiculaire au plan de la section ABCD; ce qoi ann lien , par exemple , lorsque le plan des deux droites OK et AC coupera aussi le mobile en deux parties symétriques. i

Au bout du temps quelconque t , compté de l'origine du mouvement, je représenterai par s, la distance GE du point G au plan fixe A'B'C'D', par Ç k distance mutuelle des deux plans horizontaux AB'^CIT et A'B'C'D', par 6 l'angle KGE compris entre la droite GK et la verticale G£, par^ la distance de relément quelconque dÀ. de la section ABCD au plan A'B'CD'f et par x sa distance au plan vertical mené par le point G et parallèle à la droite AKC. Je désigiwm aussi par / la distance constante de cet élément à cette droite , et par Jt la longueur donnée de GK. Il est aisé de voir qu'on aura

Zj=^-^Acos9, ^-=^H-/siQfl, x=/cosô+Jlsiii9,

où l'on regardera l, k, Ç, comme des quantités po-

HYDROSTATIQUE. 6o3

sitives on nëgaliyes, selon que Félément ^ est à droite ou à gauche de la droite AKC, que la droite GK se trouve à droite ou h gauche de la verticale 6E , et que le plan ÂB^'CD'^ est au-dessous ou au-dessus de A'B'C'D^ Enfin , b ëtant Taire de la section ABCD , et y la même ligne que précédemment, on aura aussi

fd\=ib, fld\ = o, f^d\=:by^i (i)

les intégrales s'ëtendant à tous les élo^iens de b.

Les variables Ç et 6 feront connaître la position du mobile à chaque instant. Pour < = o , on aura

fl = ût, f==e, ^J = o, § = o,

parce qu'on suppose nulles les vitesses initiales de tous les points du corps , et en désignant par a et C des quantités très petites et données. Le problème consistera à déterminer les valeurs de 0 et Ç en fonctions de / , en supposant que ces variables demeurent très petites pendant toute la durée du mouvement ; supposition qui permet de négliger le carré de 0 et le produit de G et Ç, et de considérer comme un cjrlifidre tronqué , le volume compris entre AB€D et MWGlï^ 6i8. Le centre de gravité G se mouvra comme si la masse M du mobile y était réunie, et que le poids Mg du corps et la résultante des pressions du fluide y fussent appliqués. Cette résultante est dirigée en sens contraire de Mg; elle est égale à (V-|-U)fg, en désignant par Y le volume d*eau déplacé par le mobile dans son état d'équilibre, et par V+U ce vo-

6o4 TRAITÉ Dt; MfXANlQUE.

luraeaubouldu temps ^ La force motrice du poitilG, dirigée dans le sens de la pesanteur , sera doiic Mg — (^}-U)Fg, ou simplement — Vfg^ a cause de M ^ Vf ; sa vitesse initiale étant nulle , tl ne sortira pas de la verticale où il se trouve à rtirigioe du mouvement, et l'équation de son mouvement sur cette droite sera

M g' = - fgU.

Abstraction faite du signe , U est le volume compris entre les deux seclions ABCD et A'B'CD'; de sorte qu'en décomposant ce volume en prismes ver* ticaux , comme précédemment , ou aura

U = ffcoihtlh;

l'intégrale s'ctendant à tous les élémens de A; ïm. mcttaul pour j sa valeur précédente , on en conclut

U = ftfcosÔ.

$î donc on prend ruoitc pour cosd dans cette tileur et dans celle de z, , qu'on les substitue ensuite dans, réquatton du mouvement dii point G, et qa'oQ y mette aussi Vf au lieu de M , il vient

En même temps, le mobile tournera autour du point G, comme s'il était fixe, et que les forces qi^i le sollicitent ne fussent pas changées (n° /jSâ )■ Ce mouvement de rotation aura donc lieu aaloar de

HYDROSTATIQUE. 6o5

Taxe mené par le point G, et perpendiculaire au plan qui coupe le mobile en deux parties symétriques , et il sera du uniquement aux pressions du fluide environnant, puisque le poids du corps passe constamment par ce point; par conséquent, l'équation de ce mouvement sera (n*^ Sga)

en désignant par MA:* le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe de rotation, par g? sa vitesse angulaire de rotation au bout du temps t, et par yx le moment total des pressions au même instant et par rapport au même axe. On regardera la vitesse ûù comme positive ou comme négative , selon que le mouvement aura lieu dans le sens indiqué par la flèche s , ou dans le sens opposé ; de sorte qiy Ton aura

^ ~ di^ dt '^ d? '

et, cela étant, on devra prendre avec le signe -|ou avec le signe — , dans la valeur de ^ , les mômens des pressions qui tendront à faire tourner dans le sens de la flèche s , ou dans le sens opposé. Or, le moment total /t pourra se diviser en deux parties, l'une relative au volume constant V , et l'autre au volume variable U. La partie de la pression correspondante au premier volume est égale à Vf g, appliquée au point *H, et dirigée suivant HF; la perpendiculaire abaissée du point G sur cette droite prolongée, s'il est nécessaire, a pour valeur

6o6 TRAITÉ DE filÉCANIQUE.

asia 8, eQ désignant par a la distance 6H : la ipt^^ mière partie da moment fju sera donc dt^ofgûû 6, où Ton prendra le signe supérieur ou le sagqe in-^ fiérieur, selon que le point H sera plus haut ou plus bas que le point G. Quant ï, la partie de /« qui repond à U , si l'on d^mpose toujours ce vo^ lume en prismes yerticaux, et que l'on considère la pression correspondante au prisme quelconque /"cosS^A, laquelle est égale et contraire au poids du volume d'eau qu'il déplace ^ on aura pgo^cos S^A pour le moment de cette pression, et, par conséquent, fgfxj cos fl dx pour la seconde partie de fJi ; l'intégrale s'étendant à Taire b tout entière. En mettant pour x et y leurs valeurs , et ayant égard aux équations ( i ), cette quantité deviendra (7' cos 6 + hQpgb cosfisinG; par conséquent, la valeur complète de /i sera

Jt = (6>» cos* fl rfc Va + ftAÇ cos 6) f gr sin 9.

Je réduis, dans cette valeur, cos 6 et sin6 à lunité et à fl , et je néglige le produit de ^ et Q ; puis je la substitue , avec les valeurs de M et de ûi , dans l'équatioQ du mouvement de rotation , qui devient , de cette manière ,

Le problème dépend donc des deux équations différenfielles (2) et (5) ; et comme les variables 0 et ^ y sont séparées, il s'ensuit que le mouvement de roUtion du corps flottant et celui de son centre de gravité seront indépendans Tun de l'autre ; circons-

tance qui tient a ce qu'on a suppose la droite GK , qui va du centre de gravite du mobile à celui de ABCD, perpendiculaire à cette section.

En intégrant ces deux équations p et déterminant les constantes arbitraifès d'après les valeurs initiales

L'ordonnée verticale du centre de gravité étant égale à A + Ç, quand on néglige le carré de 0^ il s'ensuit que le mouvement de ce point sera le ^lême que celui d'un pendule simple dont la longueur serait

•V. Pour que la valeur de 0 ne croisse pas indéfiniment f c'est-à-dire , pour que l'équilibre , d'où l'on a écarté le corps flottant , soit stable , il faudra et il suffira que la quantité by^ ± Va soit positive ; ce qui s'accorde avec le théorème du n® 6i6. Cette condition étant remplie, les oscillations de la droite GK^ de part et d'autre de la verticale GE^ seront les mêmes que celles d'une pendule simple qui aurait

^75 vi pour longueur.

Si le corps flottant n'était pas symétrique de part et d'autre du plan des droites GK et AKC , et que la perpendiculaire abaissée du point G sur la section ABCD différât de la droite GK, les variables Ç et 0 ne seraient pli|S séparées dans les équations (2) et (3) ; la pre-

mière renfermerait un terme multiplié par -rj et la

6o8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

seconde un terme qui aurait Ç pour facteur; les mouyemens de rotation et du point G ne seraient plus indépendans Fun de l'autre ; et le mobile pourrait exécuter quatre sortes d'oscillations simples^ dans lesquelles son mouvement se dégomposerait toujours , conformément au principe de la coexistence des petites oscillations^ et qui se réduisent à deux dans le cas particulier que nous venons de considérer.