CHAPITRE V

|Œ LA mSUBE DES HAUTEUHS 9AB i.»OQ8BaVAT101V

BU ]|AROM£TEE.

619. D'après ce qu'on a yu dans le n^ 598, Fëquatioù d'équilibre du mercure contenu dans la branche fermée du baromèlre, et de la pression atmosphérique qui a lieu dans la branche ouverte ^ est

mgh = fO", (î)

^ désignant cette pression rapportée à l'unité de surface , g la gravité , 1?» la densité du mercare, et h la différence de niveau de ce fluide dans les deux branches du baromètre; et en supposant qu'il n'y ait aucune pression sen^ihl^ au-dessus de son niveau dans la branche fermée.

De ce que l'équilibre ne doit pas être troublé , si Ton suppose que la branche ouverte du baromèftre se prolonge jusqu'aux limites de l'atmosphère, nous avons conclu que la pression ^ est le poids d'une colonne verticale et cylindrique de Fatmosphère, qui aurait pour }misç l'unité df» surface et pour hauteur celle de ce fluide. Ce poids ^st donc celui dun cylindre de mercure, de même buse, et dopt la hauteur est environ o"',76; et il en résulte que la pression de l'atmosphère sur chaque mètre carré de la surfaee de la terre, e^t s^ peu près dix mille Ulogrammies. 2. 39

6ib TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Quand on s'élève au-dessus de cette surfaee, la hauteur et le poids de la colonne d'air qui presse sur le mercure du baromètre, diminuent de plus en plus ; la hauteur h doit donc aussi diminuer, et il doit exister un rapport entre cette hauteur et celle dont on s'est élevé, qui fera connaître l'une au mojen de l'autre. Cette détermination sera l'objet spécial de ce chapitre ; mais auparavant , il convient de tirer quelques conséquences de l'équation (i) , et d'exposer les lois de la pression de l'air ou d'uq gaz quelconque^ relativement à sa densité et à sa température.

620. Ea appelant S la surfece totale de la terre , exprimée en mètres carrés , la masse de l'atmosphère sera égale à mS (0*^,76); m étant toujours la densité du mercure. La masse de la terre est ji^Sr, en désignant par r son rayon, et par cT sa densité moyenne. Si donc la fraction y représente le rapport de la première masse à la seconde, on aura

et comme on a

3^r = 40000000"" , m = 1 3",5975 , VT s=s 5",5o,

on en conclura

f = 0,0000008854 ; en sorte que la masse de l'atmosphère est un peu moindre qu'un millionième de celle de la terre.

Si l'air avait la même densité dans toute la hauteur de la colonne atmosphérique, la hauteur de cette colonne et la hauteur h du mercure dans le baromètre seraient en raison inverse des densité

HYDROSTATIQUE. 6it

de Fair et du mercure ; en appelant l la hauteur de ratmqqphèrey dans cette hypothèse , et désignant par p la densité de l'air à la température zéro et sous la pression barométrique 0*^^76 , on aura donc

et à cause de (n* 6t)

— = 10462, il en résulte^ a très peu près,

L'atmosphère doit évidemment s étendre beaucoup plus haut, puisque la densité et le poids de ses couches diminuent à mesure qu'elles s'élèvent aunlessus de la surface de la terre. On fixera une limite qu'elle ne peut atteindre , en déterminant la hauteur à laquelle la force centrifuge est égale à la pesanteur ; car audelà, la force centrifuge disperserait les molécules d air dans l'espace. Cest à l'équateur que cette limite est le moins élevée; or, en ce lieu, la force

centrifuge est -f^ (n* 1 78) à la sur£sice de la terre ;

à une hauteur z au-dessus de cette surface, elle de-

vient ^ aSor * ^* Tintensité de la pesanteur est

^ , en désignant par r le rayon de la terre ; la

limite dont il s'agit sera donc déterminée par l'équation

de laquelle on tire , pour cette limite ,

L ei3

c'est-à-dire, à pen près cinq fois le rayon de la tare. Mais il y a lieu de croire que, bien avant d'atteindre

une si grande hauleur, l'air est lîquéGé par le froid, qui augmente rapidement à mesure qu'on sc- Icve dans l'atmosphère. Nous ne connaissons pas b loi de celte augmeotatiou à l'air libre, qu'il ne (aal pas confondre avec celle que l'on observe sur les montagnes, où la température de l'air et celle du sol ;'influencent mutuellement; la seule donnée que nous ayons sureesujct, est celle qui résulte de l'asceo* sioa aérostatique de M. Gay-Lussac,dans laquelle i) s'est élevé i une hauteur de ôgSo": les temperaturesde l'air à la surface de la terre et à cette hauteur étaient de 5o',75 et — 9%5d, du thermomètre centigrade; ce qui fait une diminution d'environ un degré poar lyS™ d'élcvation, en supposant le décroïssenieut de la chalear nniforme.

631. Si l'on ferme en C (fig. 44)* ^ branche odverte du baromètre, ou, plus généralenieut , si r<» place cette brandie daus un vase H fermé de tiMia parts (fîg. 5i)t l'équUibre du système ne aen pM troublé : ce sera aloré la pression exercée en E par l'air contenu dans ce vase, qui fera équilibre à celle de li colonne Iff du mercare, suspendue dans la brancbe fermée, au-dessasxle son niveau Edans la brancbe ouverte. Cette pression rapportée à l'anité de saifaa, ou ce qu'on appelle la force élastique de l'air, aura donc pour mesure la pression mgh du mercure, et elle sera équivalente au poids «■ de b ctAoaae st-

HYDROSTATIQUE. 6i3

niospliçrique. Un baromètre qui s'ouvre ainsi dans un vase fermé ^ et qui sert à mesurer la force élastique de l'air ou d'un fluide quelconque, contenu dans ce vase , s'appelle alors un mqnomètre. Le poids mgh du mercure dépend de la nature , de la densité et de la température de ce fluide élastique.

Si l'on transporte un manomètre d'un lien dans un autre , et que la température et la densité de Tair contenu dans le vase H soient les mêmes en ces deux endroits, il faudra que la hauteur du mercure varie en raison inverse de la gravité , afin que le poids de la colonne de mercure reste le même. L'observation de cette hauteur à des latitudes différentes pourrait donc servir k mesurer les variations de la pesanteur ; mais, pour l'exactitude de cette mesure, il faudra avoir égard à l'augmentation du volume occupé par l'air contenu dans A , qui résultera d'une augmeutation de hauteur du mercure dans la branche fermée.

Ainsi , supposons que g Qlh soient la gravité et la hauteur DF du mercure, en un lieu de la terre; le manomètre étant transporté en un autre lieu , et la température étant restée la même , supposons que le mercure se soit élevé de D en D' dans la branche fermé%^et qu'il se soit abaissé, en même temps, de E en E' dans la branche ouverte ; menons par le point E' un plan horisontal , qui coupe en F' la branche fermée ; désignons par h' la différence DT' de niveau du mercure dans les deux branches , et par g* la gravité correspondante. Les pressions barométriques seront enti*e elles comme gh et g'h! , dans les deux observa ûons; elles seront proportionnelles aux densités du

6i4 TRAITÉ DE MÉCASIQUE.

fluide contenu dans H, et, par conséquent, eu ratsou inverse des volumes qu'il occupera dans ce vase; en appelant ces volumes Y et V, on aura donc

gk — V Or, si l'on appelle c l'aire de la section horizontale du tube au point D, le volume du mercure compris entre D et D' sera {h' — h)c; mais, à cause de Fincooipresslbilité de ce fluide, il faudra, quelle que soit la forme du vase H, que le volume V surpasse V de cette quantité (A' — A) c ; on aura donc

V' = V + CA'— A)f; et l'on conclura de l'équation précédente

S- ~ rV+ (A'A)c]ft" pour le rapport des lutensités de la pesanteur dans 1 les deux lieux des observations. Mais , quelque soia que l'on apporte dans la mesure des quantités que cette formule renferme, ce procédé sera toaionn beaucoup moins susceptible d'exacthnde que celai qui est fondé sur les expériences du pendule.

6a3. Maintenant, fermons en C (6g. 44) ^ brandie ouverte du baromètre , et ouvrons en A la brMdie qui était fermée ; la pression atmosphérique s'ajon* tant à celle du mercure, l'air contenu dans EC Ta le comprimer, et, conséquemment, le niveaa du mercure s'élèvera dans cette branche et s'abaissera dans l'autre. Ajoutons dans cette autre branche uae'aoïtvelle quantité de mercure, de manière que la diA^ Fcnce de niveau dans les deux branches soit encore

HTÔRfiSTATlQUE. . 6i5

égale à A, oomme auparayant. Dans cet état , si le mer* cure s'est élevé de DenD^etde EenE', et que l'on mène par le point E' un plan horizontal qui coupe l'autre branche en F^ on aura DT'=DF« Au point F, la pression du mercure sera mgh ; en ajoutant la pression atmosphérique <r , qui a lieu au niveau IX, on aura mgh-\-nsrj ou 2mgh; par conséquent, la force élastique de Tair contenu dans CE', qui s'exerce sur le niveau E' et qui Êiit équilibre à cette pression totale , sera double de celle qui avait lieu quand l'air occupait l'espace CE. Or, l'expérience prouve que l'espace CE' est moitié de CE; elle &it voir aussi que si l'on triple la pression par une addition convenable de mercure , l'espace occupé par l'air est rédui^ au tiers ; et, généralement, on trouve que le volume du iluide varie en raison inverse de la pression qu'il éprouve , ou , autrement dit, que la densité croit dans le même rapport que la force élastique.

Cette proportionnalité est ce qu'on appelle la loi de MariûttBj du nom du physicien qui l'a déduite de l'observation. Elle suppose que le fluide n'éprouve aucune variation de température ; en sorte que, pour l'observer exactement , il faut donner à l'air contenu dans CE, le temps de perdre l'augmentation de température qu'il acquiert par la compression , et de revenir à sa température primitive. Elle a lieu pour tous les gaz , et aussi pour les vapeurs, en supposant la pression moindre que celle qui les réduit en liquides. Enfin, elle subsiste également pour les mé-. langes de différens fluides ; et si , par exemple , deux gaz ont la même température et un même volume V,^

6i6 . « TRAITÉ DE MilCÀlfK^Ë.

qwe p soit la force âtaCBtiqne de l'an et p* cèle de r«atre.9 et qpJoa les réunisse sons le volanie V, là température du mëlauge sera encore la mèttie , et la* force élastique , ou la pression qu'il exerce sur Tunitë de siur&ce, deviendra p'^p'.

6a3é Au Aïoyen de la loi de Maiîotte, on peut fe«cileâtieat calculer Félévation de Teau dans une pompe, loirsqu'il existe de Tair entre ce liquide et le piston ^ laquelle âëvatîon serait io*",4 > comme nous Tavons dit précédennzient (n"* 598 ), si l'eau était en contact aviec le piston. •

Itoux cela , s(Hent ABCD ( fig. 55 ) le tuyau cylindrique et vertical' dune pompe, plongé dans Teau jusqu'en EF, et GH^ base horizontale du piston. La pression atmosphérique s'exerce sur le niveau ti%\é^ rieur de l'eau y qui est le même que le niveau intérieur EF. Cette pression , rapportée à l'unité de suiv face y sera égale ^ gl, en prenant la densité de Feau pour unité, et désignant par / la hauteur io"',4 ^^ ^ colonne d'eau qui lui ferait équilibre. L'espace con^ tenu entre EF et GH est rempli d'air, dont la force élastique &it équilibre à la pression extérieure , et a aussi gl pour mesure. Dans cet état, j'appelle a ia hatiteur donnée de GH au-dessus de EF ; je suppose ensuite qu'on élève le piston jusqu'en GH', et je désigne par c )a liauteur aussi donnée de G'H' au-dessus de GH. L'eau s'âevera , dans l'intérieur de la pompe , jusqu'en Ë'F', à une hauteur x au-dessus de EF, et s'abaissera en dehors, au niveau d'une section E^F^de pompe , située à une distance^ au-dessous de ES. En appelant b la section horizontale de la pompe , et ^

celle du réservoir dans lequel elle esH plongée, on aura

d'abord

bx

à raison de rincompressibilité du liquide ; et la question se réduira à déterminer la valeur de x.

Or , Tair qui occupait l'espace EFHG , occupera maintenant Tespace ETH'G'; et celui-ci étant à Tau-tre comme a-|-c — or est àa, il s'ensuit oue la force élastique g/ du fluide sera diminuée daxùrle rapport

inverse, et deviendra ^ . Ce sera la pression

rapportée à Funité de surfoce qui aura lieu sur ET^; en 1 ajoutant à la pression- de Feau comprise entre ET' et E^F^ , dont la valeur est g (x ^j") , on aura la pression totale exercée sur le niveau intérieur E^F^ , qui devra faire équilibre à la pression extérieure gl ; ce qui exige qu'on ait

la . . bx j

• ' ^ -f- X -#- -ÎT = ♦ i ^

en supprimant le Êicteur commun g, et substituant pour j- sa valeur précédente. Cette équation est du second degré , et peut s'écrire sûnsi :

X* — X ilf+ (i + c) + clfzsz o ^

en réduisant, et faisant, pour abréger,

En résolvant cette équation , on trouvera deux valeurs réelles et positives de x ; mais il est aisé de voir que Tune d'elles sera toujours inadmissible. En effet , l'élévation x-f^ de l'eau au-dessus du niveau extérieur, ne

6i8 TRAITÉ DE MËGANIQUE.

peut pas surpasser 1} à cause de x +7"= ^, on a donc

x<,fl\ d'ailleurs y il est évident qu'on doit aoai avoir ar«<a-{-c;or, la somme des deux racines de réquation précédente étant fl+a^c, si Tune eit plus petite que a+c, l'autre sera plus grande que//, ou bien , si Tune est moindre que yi, l'autre surpassera a^i-'C; par conséquent , l'ime des deux raciaei sera seule admissible, et l'autre devra être rejetee comme étisugère à la question.

En vertu de l'équation d'équilibre, la force âis-

tique f^ , de l'air contenu entre ET' et GT,

est égale à gl — gfjp+j^). Il en résulte sur la base inférieure du piston, une pression dirigée en sens contraire de la pesanteur, et ^ale à glb — g(a: +/)^* La base supérieure de ce corps est poussée en sens contraire par la pression atmosphérique , égale à glb; la charge que le piston supporte , ou l'excès de cette seconde force sur la première, est donc g (a: +/)i, c'est-à-dire , le poids de l'eau contenue entre E^F^ et ET', et élevée au-dessus du niveau extérieur; ce qu'on peut regarder, à priori j comme évident.

624* 11 nous reste actuellement à considérer la loi de la force élastique de l'air, relativement à sa température.

Si l'air et différens gaz , soumis à une pression constante , et la même pour tous , sont placés dans une enceinte dont la température varie d'un instant a l'autre, l'observation prouve que tous ces fluides se dilatent également. En prenant l'un d'eux , Tair, par exemple , pour thermomètre , c'est-à-dire , en

divisant sa dilatation totale en parties égales , qui marqueront les degrés de la température, il en résulte que les accroissemens de volume de tous ces gaz seront les mêmes pour des augmentations égales de température j et proportionnels \ ces augmentations. L'observation prouve aussi que, dans une étendue très considérable, les indications du thermomètre à air différent très peu de celles du thermomètre à mercure ; en sorte que , dans <^tte étendue ^ la dilatation d'un gaz quelconque est proportionnelle à son accroissement de température, indiquée par les degr& du thermomètre ordinaire. Enfin, de zéro à loo*", c'est-à-dire, de la température de la glace fondante à celle de Feau bouillante, M. Gay-Lussac a trouvé que le volume de l'air soumis à une pression constante, et, parconsé- <]uent , celui d'un gaz quelconque, augmentent dans le rapport de l'unité à 1,375 ; ce qui donne une dilatation de 0,00375, pour chaque degré du thermomètre centigrade.

D'après cela , soient Y le volume d'un gaz quelconque, à la température zéro, <r sa force élastique, et D sa densité. La pression 9 , rapportée à l'unité de surface, restant la même, et le nombre de degrés de la température devenant 0 , désignons par Y ' et D' ca que deviendront le volume et la densité du gaz ; nous aurons

r = v(i ^-•cte),

en faisant