OL

et comme la densité varie en raison inverse du vo-

6io TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

lame, nons aurons aussi

t + cc9

Maintenant ^ supposons qu'on fasse varier la pressioi sans changer h température 0. Soient p et p œ (jv deyiennent simultanément la pression et la densité, qui étsdent « et D^; d'après la loi de Mariette, on aura

et en mettant pour D' sa valeur précédente, et faisant

il en résultera

pour l'expression de la force élastique d'un gas quel* conque^en fonction de sa densité et de sa température. 625. Cette formule convient aux gaz, aux vapenrs, et à leurs mélanges. La température fl étant indiquée par le thermomètre à mercure , elle a lieu pour les valeurs négatives de 6, jusqu'à environ — 56®, ou un peu moindres que la température de la congélatioD de ce fluide. Elle a aussi été vérifiée pour des températures qui surpassaient beaucoup loo* ; et la différence entre les lois de dilatation de lair et du mercure, ne commence à devenir un peu considérable que quand X s'élève à environ 5oo° (*}.

(*) Voyez, sur ce point, le Mémoire de MM. Petit et Dulong. insère dans le i8* caliier du Journal de V École Polj-iechniqin

HYDROSTATIQUE. 6ai

Le coeffidefit k est différent pour les différent fluides. Relativement à lair atmosphérique, MM. Biot et Arago ont trouvé, à TObservatoire de Paria,

pour le rapport de la densité du mercure à celle de lair, sous la pression barométrique de 0^,76 , et à la température zéro (n® 61). En Élisant donc, en même tempe,

€ar ss: mGA, h 3= 0^,76,

la valeur de k sera

* = (7951, ia)G;

et, dans celte valeur, il faudra prendre pour 6 la gravité au lieu où le rapport -^ a été déterminé, c*ert-Àrdtre, à la latitude de Paris, pour laquelle on a

Le coefficient de G se rapporte à Tair parfaitement sec ; si Tair était humide , sa densité serait moindre , sous la même pression et a la même température, et la valeur de k varierait en raison inverse de cette densité. Sous la pression barométrique de cTpjô, et à la température zéro, soit, par exemple, cT le rapport de la densité de lair au maxi^ mum d'humidité, à la densité de l'air parfisiitement sec ; on aura , comme on le verra plus l(nn ,

. Bm - TRAITÉ DE MÉCANIQUE. .

pv conséfjQCnt , en divisant la valeur précédeole de k par cette valeur de /, oa aura la valeur de 1 qm répond au maxinmm d'humidité de l'air, s** ■Â>ir:

636. Maintenant, nous formeronssans difficulté les différentes équations d'équilibre d'une colonne atmoiphériqne.Snpposonsqne cette colonne soit cylindrii^ et verticale) et qu'elle ait sa base à la surface de la Inre et s'étende Jusqu'à la limite de l'atinosphère. SoitA l'aire de sa section horizontale. Divisons cette colonnt en couches horizontales infiniment minces, et sa^ posons la surface A assez peu étendue pour que U densité et la température ne varient pas sensibletncat d'un point à un autre d'une couche quelconque. Appelons /), p, â, la force élastique de l'air, sa deosil* et sa température, qui ont lieu à la distance s de la surface de la terre. Soit aussi g' la gravité à œUe même distance ; Ag'fdz sera le poids de la concbe dont l'épaisseur est dz , et dont les deux faces répondent ■ z et z — dz. La pression qu'elle éprouve sur sa face supérieure sera Ap ; celle qui aura lieu snr sa £mx in*

férieure aura pour expression A(p — ^^(iz\Maiseii passant de la première à la seconde face , la pression doit augmenter du poids Ag'pdz; il faudra donc qu'on ait

*(''-|<'=) = *'' + Vf<'=.

ou simplement

HYDROSTATIQUE. 6a3

dp^^^fdzi (5)

ce qui coïncide ayec réquation qu'on déduira de la formule (5) du n* 585 , en y disant

En éliminant /) au moyen de Téquation (3), il

vient

^ ^dz

Si Ton appelle r le rayon de la terre et g la pesanteur k sa sur&ce, on aura

k la hauteur z , en négligeant la variation de la force centrifuge, ainsi que Faction de la masse d'air comprise entre les deux surfaces sphériques et concentriques dont les rayons sont r et r+z, laquelle action n'entre pas dans la valeur de g , et devrait s ajouter à celle de g' (n^ 101). Nous aurons', de cette manière,

p "" k(i + iiB)(r + zr'

Pour intégrer cette formule, il fiiudrait encore connaître l'expression de 0 en fonction de jz ; mais la loi des températures étant inconnue , on est obligé de considérer 0 comme une constante; et Ton prend dans chaque cas, pour sa valeur, la moyenne des températures qui répondent aux points extrêmes de la colonne d'air à laquelle on applique cette équation*

t)34 TRAITÉ DE MÏlpAiriQUE.

Son int^rale est alors

C étant la constante arbitraire. En désignant par <ar la pression atmosphérique qui a lieu à la aor&oe de la terre ^ on aura à la fois

a = o, p = m, log « = Y{0;rSr) + ^^

et il en résultera , à une hauteur quelconque z aui^essus de oettQ surfi3u;e ,

»°g £ = -- iK. + ir(r + .)- (4)

En vertu de cette équation et de la formule (21)^ et en désignant par € U base des logarithmiis pépérians, ou aura maiatenaut

pour les expressions de la force élastique et de la densité de lair ^ depuis la surface du globe jus({li'à la hauteur où ce fluide a perdu par le froid toute son élasticité.

D'après ce qu'on a dit dans le n*" 619, le poids de la colonne atmosphérique qui a pour base l'unité de sur&ce, doit être équivalent à la pression 4D* relative an point le plus bas; et^ en effet, ce poids est donné

par llnt^rale / fg'dz, dont la valeur est or^ d api^ les expresMOos de f et de ^^

UYDAOSTATIQU£. 6a5

.637. La force motrice d'un ballon qui s'âève ver^ ticalement dans l'atmosphère, est l'excès da poids de l'air qn'il déplace à chaque instant , sur son pMpre poids. En appelant fc sa masse et Y son Volume, cette force sera donc Vfg' -— /ij^ , à la. hauteur z au-dessus de la terre ; par conséquent , on aura

pour l'équation différentielle du mouvement yertical de ce corps , au bout du temps quelconque /• Si l'on appelle c sa densité moyenne, de sorte qu'on ait juL=zcVp et*qu'on substitue pour p et g' leurs valeurs précédentes, cette équation deviendra

En multipliant par idz, intégrant et désignant par C la constante arbitraire , il vient

Si Yon suppose que le mobile soit parti de la surface de la terre avec une vitesse nulle , on aura à la

fois zz=zo et -^^ = o ; il faudra donc qu'on ait

C = 2«zr — 2Cgr; et il en résultera

pour le carré de la vitesse à une hauteur quelconque.

t>a6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Eo résolvant cette équatioa par rapport à ^/, od terdÛDera ensuite par k méthode des quadratures , le temps ((ue le mobile emploiera k parvenir à une hauteur donnée.

En égalant à zéro la valeur de ^ , on détermi-*

nera la hauteur à laquelle le mobile demeurerait en équilibre I s'il y parvenait sans vitesse acquise; et de

même l'équation -r; = o , fera connaître la plus

grande hauteur à laquelle le ballon s'élèverait dans l'atmosphère , en supposant que sa masse et son volume ne varient pas. La première de ces deux hauteurs s'exprimera au moyen d'un logarithme ; la seconde dépendra d'une équation transcendante, et ne pourra se calculer que par approximation.

6a8. Proposons -nous maintenant d'appliquer l'équation (4) a la mesure des hauteurs verticales.

Soient h et h' les hauteurs du mercure dans le baromètre , à la station inférieure et à la station supérieure; T et T' les températures correspondantes du mercure ; ^ et ^ celles de l'air , qui seront différentes de T et T^, lorsque le mercure du baromètre n'aura pas eu le temps de se mettre , pendant les observations 9 en équilibre de température avec l'air environnant. Si m est la densité du mercure

(T — V\ I -f- ,g, jm sera sa densité à là station supérieure , parce que la densité de ce fluide augmente de m^ pour chaque degré de diminution dans la température. Pour plus de simpli<*

cité , nous compi*endroDs le facteur i -f" "^^ — dans

la hauteur h', qui sera alors la hauteur observée^ multipliée par cette quantité ^ et nous supposerons ensuite que m soit la densité du mercure aux deux statioil^. De cette manière , nous aurons

au moyen de quoi Féquation (4) deviendra

ïog^ + alog"-±i= A(.^^(,^,)- (5)

Ainsi qu'on Ta dit plus haut , il faudra {nrendre iÇt-^tf) pour 0. La valeur de a est 0,00375 pour l'air sec y aussi bien que pour celui qui l%nferme la vapeur d'eau en quantité constante , et dans une proportion quelconque. Mais il £aiut observer que p quand la température s'élève , la quantité de vapeur augmente y en général , dans l'atmosphère; et comme la densité de la vapeur serait à celle de Fair comme 10 est à i6y sous la pression ordinaire o'^^^ô, il s'ensuit que la densité de l'air libre , dont la température augmente , doit diminuer dans un plus grand rapport que celui qui répond au coefficient OyOoSyS. Pour tenir compte , autant qu'il est possible, dé la quantité de vapeur qui se trouve dans l'atmosphère y nous augmenterons donc le coefficient a; et, pour la conmiodité du calcul , nous le ferons égal à o,oo4 ; en sorte que nous aurons

aO =

Les logarithmes qui entrent dans le premier membre de réquation précédente , sont népériens ; pour les conriertir en logarithmes ordinaires , je multiplie cette équation par le module de ceux-ci , que j'appelle M^ et dont la valeur est

La gravité g que renferme son second membre , est celle qui répond à la station inférieure et à la latitude du lieu de l'observation. En désignant cet angle par 4 f 6^ comparant la gravité g: à celle qui entre dans les valeurs de k du n^ 6^5 et qui répond a la latitude de Paris ^ on aura

. (l — 0,002688 CO8 2-4) G

•^ I — o,oo2588 C08 2 (48*5o' i4')*

D'ailleurs I les coefficiens de G dans ces deux valeurs de k répondant, l'un à l'extrêrae sécheresse de l'air, et l'autre à son extrême humidité, on peut prendre la demi-somme de ces deux quantités, ou 7961°*, 10, pour le coefficient qui convient à réiat ordinaire de l'atmosphère. On aura alors

-.[,— o,oo2588cos2(48^5o'i4")] == (i8337»,46)G;

et, au moyen de cette valeur, jointe à celle de gf on tirera de l'équation (5)

(i8337-,46)ri + i^i±iln ^ )

l — 0,002588 cos 2aJ; ' L ^^ ^*' ( {^,

formule dans laquelle les logarithmes sont actuelle-* nient ceux qui ont pour base le nombre 10.

Pour faire usage de cette équation , on n^ligera

d'abord la fraction - contenue dans son second mem-

bre ; ce qui fera connaître une première valeur approchée de z : en la substituant dans cç second membre, on obtiendra une seconde valeur de z, plus approchée que la première, et à laquelle on pourra toujours s*arrêler.

En remplaçant le nombre 1 8337,46 par un coef^ ficient inconnu a dans cette équation , et dcter^iinant a d'après la moyenne d'un grand nombre de hauteurs z, mesurées trigonométriquement, on trouve

ce qui difière très peu du coefficient 18337,46, que nous avons calculé directement.

629. Si l'on veut employer la formule (6) à déterminer l'élévation d'un lieu de la terre; au-dessus du niveau de la mer, on supposera' que T^ tf, h', se rapportent à ce lieu , et T, ^ , A , au bord de la mer qui eil est le moins éloigné; et, pour plus d'exactitude', on devra prendre pour *>[. une latitude moyenne entre celles de ces deux points. D'après la remarque du n"* a55, il faudra aussi avoir égard, dans l'expression de la pesanteur g', à Faction de la couche de la terre dont la hauteur est z ; en supposant sa densité égale à la moitié de la densité moyenne de la terre, on a alors

^&a TtLATTÈ DE BIËCAHIQ0E.

et, à cause de la petitesse de la fraction - , od (tov- Tera qu'en faisant usage de cette pesanteur ^, U qtuatité > + - > coateoue dans la formule (6) ^ dem être remplacée par i + g^-

Pour donner ou exemple du calcul de cette Ibrmole, ainsi modiScë, je prends celui qui est dté dans l'annuaire du Bureau ries Longittddes, et i^ se rapporte à la hauteur de Gnanaxuato au-dessus da niveau de la mer.

Les doimëes de cet exemple sont :

k ^o",765i5, T =t =25*3, A' ^ o-,6oo95 , T'=f' = 2i'5, ^ = ai* La bautear h', corrigée et multipliée par le facteir j ^ -j&û~-/ 1°* ^^^ ^^ emploj^ée dans b formule (6), devient

h' = <r,6oi58.

Eia n^Ugeant U firactioD ^ dans œtle formule > oa

trouve

pour la première valeur apjHXKli^ de z; et en ni»tihunt cette valeur dans la même formule^ prcDUl

I H~ gr au Uen de i H- - f comme il vient d'être dit»

et oliserraDt qu'on a

on obtielit

poar la bauteur demandée , laqueHe est moindre que celle de Vj^nnuaire, d'à peu près 2 mètres et demi.

65o. Lorsque la hauteur z n'est pas très considérable, on peut négliger la fraction - dans la formule (6) , et remplacer en même temps le nombre 1 8537°'^46 , par un coefficient plus grand. Celui qui résulte d'observations nombreuses que Ramond a faites dans le midi de la France , est iSSgS mètres. La latitude correspondante est h peu près «4/ =4^^> et^ cela étant; l'équation (6) se réduit à

ce qui est la formule barométrique dont on fait hplus conHnunément usage.

Dans un même vase , et sous la même pression atmospfaérique^ l'ébuUition de l'eau distillée commencetoujours à une même température , et cette tempéra-^ ture s'abaisse à mesure que la pression extérieure^ diminue. Si donc on avait formé, par l'expérience , une table des températures ou l'eau commence à bouillir y sous dés pressions décroissantes par des différences très petites , et qu'on portât un vase con-^ . tenant de l'eau , a différentes hauteurs au-dessus de la terre 9 les températures où cette eau commencerait à^ bouillir, feraient connaître, au moyen de la table que nous supposons , les hauteurs barométriques eor* respondantes; que Ton pourrait employer dans la.

63a. TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

formule précédente. C'est de cette inaaière^ju'oii a proposé de déterminer les différences de hauteur au-dessus de la terre , par l'observation de réboUition de Fean , et sans recourir explicitement aux mesures du baromètre.

65 1 . Je terminerai ce chapitre par quelques remarques relatives au poids et à la force élmstique des vapeurs y laquelle force est aussi ce qu'on appelle b tension de ces fluides*

Si un vase fermé renferme un liquide en quantité suiBsante pour fournir toute la vapeur qui peut s'j former, celle qui s'élève de ce liquide atteint » plus ou moins vite, un maximum qui ne dépend que àt la température , et qui est le même quand le vase est vide d'air I ou quand il contient de l'air ou un gaz quelconque y condensé ou dilaté. Soit que cette quantité de vapeur ait atteint son maximum, ou quelle soit encore au-dessous, sa tension s'ajoute a la force élastique du gaz sec^ et la somme forme la foixe élastique du mélange. Â la môme température^ la tension maximu est différente pour les différentes vapeurs; et la loi qu'elle suit, pour une même vapeur, n'est pas encore connue en fonction de la température. Relativement à la vapeur d'eau, les expériences les plus étendues qu'on a faites, jusqu'à présent, sont celles des commissaires de l'Académie des Sciences, dont il est rendu compte dans les tomes X et XI de ses Memoii'es.

La force élastique majcima de la vapeur deaii, formée dans le vide, à la température de i8%-5, par exemple, est mesurée par une hauteur Ixiru-

métrique de 0^^016. Quand elle ae produit dant Tair sec t à cette température -et sous la pression ordinaire 0^^769 sa force élastique s'ajoute à cette pression y et l'expérience donne effectivement 0^^776 pour la pression exercée par le mélange»

Si Ton pouvait 9 sans liquéfier la vapeur isolée^ élever sa tension de 0^,016 k o'^,j6f ftt densité^ d'a^ près la détermination de M. Gray*Lu5saCy senut à celle de l'air sec, sous la même pression et à la même température! dans le rapport de lO à i6« En vertu de la loi de Mariotte, la densité de la vapeur que nous prenons pour exemple ^est dodt

-g, * ^ ; celle de l'aîr, à la température de i8%75

et sous la pression de o^fjG, étant prise pour unité. Far conséquent , si l'on appelle F le poids d'un litre de cet air , et F' celui d'un litre de la vapeur d'eau , on aura

A la température zéro , F serait égal à 1000 grammes, divisé par 769^4 (n** 61); pour obtenir sa valeur à la température de i8%75y il faut diviser ce quotient par 1 4- (18^75) (0,00376) y d'après la loi de la densité de l'air ; il en résulte

et l'on en déduit . .

F= o%oi597.

Le poids d'un litre di vapeur, à la température de

636 TRAITÉ DE MÉGÂiriQUE.

tenae dans ane colonne d'air de notre atmosphère ^ dépend de k loi du décroissement de la température dam le atns Vertical , et ne saurait être calculé ; mais si la base de la colonne est un décimètre carré ^ et lai température infwieure i8%75; on s'assurera aisément que ce poids doit surpasser 35oo grammes « en observant que^ dans toute la partie de cette oo* lonoe ddnt la température différera peu de id^fjSf et jusqu'à la hauteur oii la pression ne sera pas ré* duite a o^^^iô, diaque litre d'air peut renfermer en* viron i6 milligrammes de vapeur.

Ainsi». Tatmosphere qui presse sur la surface de la terre, n'est pas, comme on le disait autrefois, la cause qui empèdie les liquides de se vaporiser et de se disperser dans l'espace ; au contraire , sa prince permtft aux vapeurs de se maintenir, au-dessus de la ferre , en plus grande quantité que si l'atmosphère n'existait pas.

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