Si nous mettons y dans cette formulé

au lieu de «T , et pour a sa valeur tirée (& Téquation (4) y nous aurons

ce qui fera connaître la valeur de 7^ diaprés les pressions p , p% p", ou les hauteurs barométriques correspondantes^ qui résultera de l'expérience cidessus décrite.

En faisant usage des valeurs numériques à% p , p\ /?", précédemment citées , on trouve

«46" TRAITÉ DE MËCANfQtJE.

y = 1,548a, pour la valeur du rapport des dçux chaleurs sp^i cïHques c et c^, dans le cas de l'air atmosphénim MM. Gay-Lussac et Welter ont obtenu, par bb procédé analogue , une valeur de ce rapport us p«D différente , savoir :

et ils se sont 3S5iureit que celte quantité est ÎDilépeadante de la température et de la pression tk l'air j en sorte que dans l'équatios (3) , appliquai à ce fluide , on pourra considérer y comme une quantité constante. Par un procédé différent, M. Dolong a trouvé, pour l'air parfaitemeot sec (*),

y = 1,421 , et une valeur sensiblement égale à celle-ci ponr fe ga* oxigèoe et pour le gaz hydrogène. Mais poor d'autres fluides, tels que l'acide cartKHiiqiK et le gn oléfiaDt, ce procédé, que nous indiquerons par la suite, a , donné des valeurs très inégales de y, et moindres que la précédente ; de manière que ce rapport dépend, en général, de la natui^- du gu anqud il répond.

658. Eq' regardant y comme uoe quantité cointante, l'intégrale de l'équation (5) aux diffénnca partielles est

(*) Mémoire» de F Académie de» Science^ tome X.

f désignant la fonction arbitraire. On aura réciproquement

et^ à cause de Téquation (i),

^ étant une fonction inverse de /•

La quantité q restant la même , si /i , f /d^ deviennent p^f f\ 9', on aura de même

p'=e'><f>q, fl' = Jjr'^-<pç-i. '

On a - == 266,67 i ^^ pour que â et â' soient des degrés centigrades, il faudra que ce facteur de leurs expressions exprime de semblables degrés. En éliminant , en outre , (pq entre ces dernières équaticms et les précédentes, il en résultera

Ces équations (6) contiennent les lois de la force élastique et de la température des gaz, comprimés ou dilatés sans aucune variation dans leur quantité de chaleur; elles sont fondées sur la seule hypothèse que le rapport y des deux chaleurs spécifiques ne varie pas , pour un même fluide , avec la pression et la température \ hypothèse qui a été vérifiée , quant à

«5o TfUirt DE MËCàltIQUE.

antre hauteur K du barottiètre. Ea appelaot d la qnautité de chalear perdue par ce même vtdnm «ou cette aatre [wession, et pour l'abaissement n k température, nous aurons donc ,

d'oâ l'on dëdoit

pour le rapport des quantités de chaleur penlK par un même volume d'air, sous des pressions dîScrentes.

Dans on cas où l'on avait

h' = i",oo58, h = o-,74o5,

MM. Laroche et Bérard ont trouvé

en prenant la moj'enne de deux observations. Pour ces valeurs de h et A', et en faisant y ^ ii43'i ^ formule donne

ce qui ne diffère pas sensiblement du résultat ik ' l'expérience.

640. Si l'on veut appliquée la formule (7) à Un* peur d'eau , il fiiudra soj^poser :

I*. Qnequand un gramiaede vaiwar est rofVJ«4 qu'il ne s'en pNcipite aucune partie, ai ne s'en i^P**

on a, par exemple, £^0,2669 pour l'air sec, sous la pression de o'",'j6; la chaleur spécïnque de l'eau étant prise pour unité. En appelant •19' la pression correspondante à cette hauteur barométrique, on aura donc

0,3669 = Bw"* ;

et si l'on appelle aussi b la hauteur du baromètre , exprimée en mètres, et qui répond à la pression quelconque p» àe sorte qu'on ait - = ■ — ^, il en résultera

d'oii Ton déduira la valeur de c^ , en divisant par la constante y. Comme cette constante est plus grande

que l'unité, ce qui rend positif l'exposant ■ , on

voit que la chaleur spécifique d'un gramme d'atr diminuera, quand sa force élastique ou la hauteur h augmentera.

Si l'on désigne par m la quantité de chaleur perdue par un gramme d'air, quand sa température s'abaissera de n degrés, sans que la force élastique varie , on aura

= »<o,:.66g) (iJ5)-

A volume égal , et pour une même température primitive, le poids de cet air sera augmenté dans le rapport de h' a h , sous une pressiou mesurée par une

652 TRAITÉ DE MËGAttIQUE.

Il serait à désirer que le degré d'eicactitude db cette fommle fôt yérifié par4'expérience , et que «les trois constantes C , c ^y^ quelle renfermey fussent déterminées avec précision. Si l'on prend pour unité la chaleur spécifique d'un gramme d'eau à la température zéro^ on a

en adoptant pour C la moyenne des yaleurs de cette quantité p que différens physiciens ont obtenues. En même temps, on aura

d'après une expérience assez peu concluante , et qui mériterait d'être répétée. Quant à la valeur de y , elle nous est, jusqu'à présent , tout-à-fait inconnue. 641* Soit que la densité f de la vapeur d'eau correspondante à la pression p et à la température 8, ait atteint son maximum^ ou qu'elle soit au-dessous, l'équation (i), qui convient aux vapeurs et aux gaz permanens , fera toujours connaître la valeur de f , quand celles de p et â seront données. En appelant D la densité à la température de loo"* et sous la pression ordinaire de o^^^jô, et désignant , comme précédemment, par h la hauteur barométrique qui répond ap, on déduira de cette équation (2)

Dh 366^,67 ^ ~ o",76 266%67 + ô'

Le pofds d'un litre d'air sec , à la température zéro et sous la pression de o"',76, étant i^',aj433 (n*" 63 1),

il^ deviendra ' '1 , ou o*',885 , à la température

de 100*; et le poids dan litre de vapeur d^ean , à la même température et sous la même pression ^ sera rf (o^,885), ou o*%55j par conséquent, on aura

pour le poids d'un volame (^ de vapeur, à k température 6 et sous la pression quelconque h. Donc , en appelant Y la quajitité de chaleur nécessaire pour former ce poids de vapeur, l'eau étant primitivement à la température zéro , V sera le produit de ce nombre de grammes et de la quantité q donnée par la formule (8) ; en sorte que nous aurons

L'unité a laquelle cette quantité V se trouve rapportée , est la quantité de chaleur nécessaire pour élever, de zéro à un degré, la température d'un gramme d'eau; et cette unité est, comme on sait, égale à soixante-quinze fois la quantité de chaleur qu'il ftut employer pour liquéfier un granune de glace à la température zéro , sans élever cette température.

Diverses observations ont porté plusieurs physiciens à penser que quand la vapeur d'eau a atteint le maximum de densité, correspondant à sa température, la quantité de chaleur que nous avons désignée par q ne varie plus avec cette température. Cest à cet état que Von emploie ce fluide dans les machines à vapeur : le rapport de la -quantité de chaleur produite \' à sa tension A, serait donc alors,

toutes choses d'aiHeors égales^ en raison inyeree de 366%67 + S; par conséquent, le rapport de la dié-pense de dialenr a l'effort exerce tar le piston » qui a h pour mesure, diminuerait quand la température deviendrait plus grande , et ce rapport serait le moindre dans les machines à haute pressioA. Mais Fëconomie de combustible qui«en moherait en4tfùr AiTetir serait loin de répondre à «Ile que Fexpérienoe' pihralt indiquer; et c'est sans doute à d'autrte droon»* tances que oi| machines, doivent leur avantage re^ latif.

S^M. Concevons que la partie du cyKndre viMical ABCD (fig. 53) 9 qui est comprise entre la surfiice^EF de r^au et \â base GH d'un |>iston , soit remplie par de la vapeui^ d'eau au mojcimum de densité , correspondant à la température 8 de cette vapeur, de l'eau inférieure I du cylindre et du pistonw Dans cet état^ supposons que la force élastique de la vapenr fasM équilibre au poids du piston , de sorte qu'en appelant p «cette forée , P ce poids^ y compris la pression exté*** rieurequele piston supporte , et A l'aire de. sa base horizontale y on ait

Si l'on augmente le poids F, et qu'il devienne P«+-n, le piston descendra^ et l'espace occupé par la vapeur diminuera; mais comme on l'a supposé à son nuuti'ïïnum de densité^ une partie se liquéfiera; et si la tem« pératurc 8 estinvariable, la preission pie sera aussi; A la vérité^ dans le premier moment de la compression, la température 8 augmentera, de telle sorte que la

liquëfactioa poorra n'avoir pas lien dabord , et la pression p pourva aoginenter. Mais si le mouvement du piston n'est pas extrêmement .rapide> cette angmentatioa de température disparaîtra avant que le déplaoement de oe mobile soit aj^réciable, et. Ton devra considérer 0 et /^ comme constantes pendant tout Bon mouvement. Il &ut aussi remarquer que la condensation du fluide y qui le réduit en eau, et qui est produite immédiatement à la partie supérieure OH en contact avec le piston , se trapsmet jusqu'en EF , dans un temps extrêmement court , pendant- lequel le dé[dacement du piston est insensible; d'où il suit que la densité du fluide est sensiblement la même dans toute sa hauteur , pendant la chute du piston. Cela étant , la force motrice de ce corps sera cons* tante et égale à l'excès de P + H sur Xp^ ou à II ; abstraction faite du frottement contœ les parois du cylindre, son mouvement sera donc uniformément accéléré ; et si l'on £iit aussi abstraction du raouve-* ment communiqi^ à la vapeur , c'est-à-dire , si Ion néglige sa masse par rapport à celle du poids fi , la force accélé^trice de ce mouvement sera la pesanteur diminuée dans le rapport de fi à P+n. Par conséquent, si l'on appelle / la hauteur de GH au-dessus de £F , la force vive produite par la.chute totale du pkton aura 2 Vil pour valeur.

Le piston étant d'abord arrêté en GH , supposons que la température de l'eau inférieure soit subitement abaissée et devimine 9^, moindre que 8. La couche de vapeur en contact avec EF se liquéfiera par le froid; elle sera remplacée par une autre qui se liquéfiera de

656 TRAITÉ DE MÏCAHIQUE.

niême; et, si la masse d'eau est assez gran<k por que ces couches successives de vapeur ne fassent p> varier sensiblemeut sa température, les liquéfadiiiB coutiauerout jusqu'à ce que la masse entière de b vapeur ait la force élastique p' , qui répoud à la iempérature ô' et à son maximtati de densité relatifi celte température. Cependant, la température deli colonne de vapeur ne sera pas la même , non ptas que ta densité, dans toute ss. hauteur; et c;e seraitm problème curieux ; étermtner les lois de »

température et de isil i'après les température! f

et â'iquiont lieucousiamni sut à Ses deux e^Etreinilés et en regardant la deusité ce ciiaque couche conmif une fonction de sa tei iture, telle que la fbnc

élastique soit consts e aie ap'. Cette consbincf de la pression dans i hauteur de la colotne

de vapeur est évidemi. la condition d'éqnîlibff de ses couches successives; et quand l'équilibre s'd clabli, il est également évident que la valeur de b pi-ession constante ne peut pas excéder celle qui repond à la plus petite des deux températures 0 et 8', tandis qu'elle peut être moindre que la force' élastique correspondante à la plus grande. L'expénenct montre, au reste, que la vapeur parvient , dans hd temps extrêmement court , à l'état d'équilibre dool il s'agit ; eu sorte que si une vapeur-d'esa , à son mkx^ mum de densité et de pression , est conteDoe dans on espatx fermé dont les parois aient partoot sa pnfA température,' et qn'tm vienne à abaisser ïnCg^sMOt la, température d'une paf lie ^ ces parois, une partie lie lavapeur se liquéfierti, et la-paptie restante pm-

dra dans tonte son élendne, avec une très grande rapidité, la force élastique maxima qui répond à la moindre température.

Cela posé, lorsque le piston ne sera plus retenu , il descendra , et Ton verra , comme dans le cas précé* dent, que son mouvement sera uniformément accéléré, sa force motrice égale à P — A/>' ou K{p — />'), sa force accélératrice- égale à la pesanteur multipliée

par le rapport - — ^, et enfin, la force vive produite par la chute totale, égale à 2A(p — p')L Quand le piston est parvenu en EF , si Ton élève la température de l'eau inférieure, et que ce liquide produise une vapeur dont la pression constante sur la base du piston soit plus grande que le poids de ce corps, il remontera d'an mouvement uniformément accéléré, et la force vive produite, quand il aura parcouru une longueur /\ sera égale au double de /' multiplié par 1 excès de cette pression sur ce poids 9 en faisant toujoui*s abstraction du frottement. C est d'après ces considérations que l'on calcule la force vive due à la chute on à l'ascension du piston dans les machines à vapeur; laquelle force se distribue ensuite dans le système auquel la machine est appliquée, et s'y trouve en partie détruite par les frottemens, et en partie employée à produire un eQet utile. Le calcul serait différent, si la densité de la vapeur contenue dans le corps de pompe n'était pas au maximum; ce qui arrive, en effet, pendant ce qu'on appelle la détente de la vapeur, c'est-à-dire , pendant qu'on interronnpt la communication de ce fluide

avec la chaudière, et que la vapeur se dilate, sans qu'il s'en ajoute de nouvelle : le mouvement du piston est alors celui que nous avons considéré dans le n^ 358; et d'après ce que nous avons vu dans le numéro suivant y la force vive produite pendant qu*il parcourt

une longueur quelconque , a pour valeur 2pu log ^,

en désignant par if le volume primitif du fluide , et par/) et p^ ses forces élastiques au commencement et à la fin du mouvement.

643. Il nous reste maintenant à considérer les forces élastiques et les quantités de chaleur des mélanges de plusieurs gaz , comparées à celles de ces fluides.

Supposons qu on ait deux gaz différens , à la même température â et sous la même pression p , dont les volumes soient a et a\ Si on les superpose dans un vase fermé , dont la capacité soit a-4*a% il est évident qu'ils pourront s'y tenir en équilibre , puisqu'ils ont la même température , et qu'ils exerceront l'un contre l'autre la même pression ; mais l'experience prouve que cet équilibre n'est pas stable : elle fait voir que ces deux fluides se pénètrent graduellement jusqu'à ce qu'ils soient parfaitement mêlés; et elle montre aussi que, dans cette opération , il n'y a aucune variation de température , ni aucune perte on absorption de chaleur; en sorte qu'après un certain temps, différent ponr les différens fluides , on a un mélange homogène dans lequel la proportion des deux gaz est partout la même , et dont la température et la force élastique sont toujours â et p. De ces faits, constatés par l'observation, on peut conclure

HYDROSTATIQUE. GSg

un autre r^altat que rexpérience vérifie également. Si Ton a deux gaz mêlés ensemble et remplissant un A'oliime t^, à la température 0, et si l'on désigne par/iet^'les pressions rapportées a l'unité de surface^ que ces deux gaz supportent ^parement à la même température et sous ce volume p, la force élastique du mélange sera p'i'p^ En effet, supposons d'abord que les deux gaz soient séparés , et qu'on ait p' ^ p. Si Ton dilate le gaz soumis à la pression p', sans changer sa température , et de manière que sa force élastique se réduise a p, son volume sera alors

^—, d'après la loi de Mariotte. Supposons ensuite

qu'on superpose les deux gaz dans un vase fermé ,

dont la capacité soit t^ + ~ * ^^ ""(/' + p') i c^ g^i

se mêleront s^sTariation de température, d'après ce qu'on vient de dire ; et il en résultera un mélange homogène à la température 0 et sous la pression p. Or f la loi de Mariotte s'appliquant aux mélanges des gaz y aussi bien qu'aux gaz simples , si l'on comprime ce mélange sans changement de température/ jusqu'à

ce que son volume - (p +/>') soit réduit à i^, sa force

élastique p deviendra P'^p^i ce qu'il s'agissait de démontrer. Le même principe aura également lieu pour trois ou un plus grand nombfe de gaz , et pour un mélange de gaz et de vapeurs : la pression du mélange sera toujours la somme des pressions que cet fluides supporteraient isolément , à la même tempe* rature et sous le même volume que le mélange.

66o • THAITË Ufc MÉCANIQUE.

G^/f- Soienl achicUemcnt n et 71' les numhi-c& de grammes de deux gaz , mêlés ensemble et remplissanl un Totume f, à ta température ^ etsoiis la pression />; désignons par c et c' les elialeuis spécifiques d'nn gramme de ces gaz, sOus une pression constante et égale k p , et par <r la chaleur spécïfîqae d'uii gramme da mélauge sous ta même pression ; on aura

(« H- n')c'' =5 ne H- n'c'. (9)

En eflel, je suppose que les deux gaz> an lin d'être parfaitement niélés, ne soient que Ruperpodés de sorte qu'ils occupent des portions séparées a cl a' du volume f ; d'après ce qu'on a dit tout à l'heure . la quantité de chaleur sera la même dans les deux gn séparés et dans le mélange de ces deux gaz j et celle égalité de chaleur subsistera encore, si l'on aagnienie d'un degré ta température 6 des de^ gaz et dn mélange. Or, pour cette augmentation , il faudra coqj* moDÏquer, la pression p restant la même, une quaotité (n + n') c" de chaleur an mélange , et ôcà ^antités ne et n'c' anx deux gaz. La première quantité devra donc être égale à la somme des deux aatres ; ce qui donne l'équatien (9) , que l'on éteodra sans peine à un nombre quelconque de fluides élastiques. Elle donnera la chaleur spécifique d'an mélaiige, lorsque celles de tons les gaz on Tapeurs qni le composent , et les proflortions de ces fluides , seront coonues; réaproquement, on pourra s'en aerrir |KMr déterminer la chaleur spécifique de-Tan des comp»* sans, d'après celles de tous les autres et du mélaegt; et l'on peut remarquer qu'elles ne supposent pas qw

les chaleurs spécifiques des gaz mélangés soîeut in«dépendaates de leur commune température.

Au lieu de considérer les chaleurs spécifiques c, c', c", des gaz et du mélange sous une pression coDstante, ou aurait pu considérer , de la même manière , leurs chaleurs sp^fiques à yolume cons^ tant ; et en les désignant par c, , cjf c", on serait parvenu à une équation semblable à la précédente , savoir :

(n + n'jcj' = «r, + n'c/. (10)

Or, si Ton fait

on tirera des équations (9) et (10)

> ~ nc^ + n'cf ' ^^'>

équation qui fera connaître le rapport y" relatif au mélange , quand les quantités semblables y et y', et les valeurs de c^ et c/, seront connues pour les deux gaz mélangés. Soit qu'on prenne y = 1,375 ou y = 1,4^ I 0^^ 657) pour la valeur de y relative à l'air sec, et quelle que soit la valeur inconnue de y qui répond à la vapeur d'eau , la valeur de y" relative a l'air ordinaire différera peu dey^k cause de la petite proportion de vapeur que cet ain renferme.

D'après ce qu'on a vu dans le n"" ôSg, si les rapports y et y sont indépendans de la pression p, mais différens pour les deux gaz , les quantités c, et c/ seront exprimées par des puisbances inégales

662 TRAITÉ DE IIÊGANIQUE.

de p; d'où il résultera , en yerta de Téquation ( 1 1 ) , que le rapport y" relatif au mélange ne pourra pas être aussi indépendant de la pression. L'hypothèse de l'inyariabilité du rapport de la chaleur spécifique d*un même fluide sous une pression constante , à sa chaleur spécifique sous un même volume, et les formules que nous en ayons déduites , ne peuyent donc convenir en même temps aux gaz simples, pour lesquels ce rapport n'est pas le même, et à leurs mélanges en proportion quelconque; et si ce rapport a paru constant dans les expériences faites sur l'air à difierentes pressions (n® ôSy ) , c'est parce qu'il est sensiblement le même pour l'air et loxigène, et, par conséquent aussi, pour l'oxigène et l'azote dont l'air est composé.

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