FLUIDES

645. Les équations de Fcquilibre des fluides que nous avons trouvées dans le n"" 582 , sont fondées sur la propriété caractéristique commune aux liquides et aux fluides aériformes^ de transmettre également en tous sens les pressions appliquées à leur surface , et d exercer autour de chaque point de leur masse , en vertu de Faction moléculaire , des pressions égales suivant toutes les directions. Cette propriété^ comme nous lavons dit précédemment (n® 5j6), tient à ce que les molécules d'un fluide qu'on a compnmé ou dilaté reviennent très promptement à une disposition semblable à celle qui avait lieu primitivement autour d'un point quelconque, de telle sorte qu'après sa compression ou sa dilatation, un fluide est un

système de points matériels semblable à ce qu'il était auparavant ^ et seulement construit sur une plus petite ou une plus grande ophelle. Le temps de ce retour à un état semblable n'influe pas sur les lois de Téquilibre^ que Ton n'observe jamais qu'après qu'il est écoulé; mais, quelque petit qu'il soit, on comprend qu'il peut influer sur les lois de leur mouvement, surtout dans le cas où les vibrations des molécules fluides s'exécutent avec une grande rapidité; de manière que le principe de l'égalité de pression en tous sens peut convenir à l'Hydrostatique , et n'être pas toujours applicable à YHjrdrodjrnamique^ c'est-à-dire, à la partie de la Mécanique qui traite du mouvement des fluides.

Une différence analogue entre l'état d'équilibre et l'état de mouvement, a déjà été remarquée par Laplace, relativement à la loi de Mariotte. Cette loi exige que la température du fluide soit redevenue la même, après la compression, qu'elle était auparavant; et le principe de l'égalité de pression en tous sens suppose, de même, que les molécules du fluide ont eu le temps de revenir à une disposition respective semblable à leur disposition première. Elle n'a plus lieu , oii doit être modifiée, dans les vibrations très rapides des gaz, où la température primitive n'a pas le temps de se rétablir; et, de même, le principe de Tégalité de pi^ession en tous sens n'est pas rigoureusement et toujours applicable aux mouvemens des liquides et des fluides aériformes. On a reconnu dans la vitesse de propagation du son, Finflueuce de celte modification de la loi de Mariotte;

HYDUODYMAMIQUE. 665

el il y a sans doute aussi des phénomène^i dn mouvenicntdes fluides, en général , qui dépendent de la nonégalité parfaite de pression en tous sens, résultant de la cause que nous indiquons. Cette circonstance introduit dans les équations générales du mouvement des fluides, dés termes qui ne peuvent se déduire de leurs équations d'équilibre; j*y ai eu égard dans le Mémoire déjà cité (n** 676), et je me propose de revenir, par la suite, sur cette importante considération. Mais dans ce Traité, je supposerai, suivant la méthode qu'on suit ordinairement, la propriété de Tégalitc de pression en tous sens, commune à l'état d'équilibre et à Tétat de mouvement; et, dans cette h)^potlièse, les équations de l'Hydrostatique, fondées sur cette propriété, s'étendront immédiatement à l'Hydrodynamique, au moyen du principe de D'Alemhert, qui est applicable h tous les systèmes de points matériels.

6\6. Considérons de nouveau la masse fluide ABCD (fig. 36), dont nous avons déterminé les équations d'équilibre ; supposons maintenant qu'elle soit en mouvement, et que toutes les notations du n"* 58 1 répondent à la fin du temps quelconque t , compté depuis Torigine de ce mouvement. Ainsi, la niasse fluide est homogène ou hétérogène, liquide ou aériforme; jc, ^, z, sont, aU bout du temps ^, les cooixlonnées d'un élément quelconque dm de cette masse ; p représente la densité du fluide qui a lieu en ce point et à cet instant ; et \dm, Ydm, Zdm, sont les composantes parallèles aux axes des a:,y, z, de la force motrice de dm à ce même instant. Les

ble, cette densité p sera une fonction inconnue detj ^f y, z', dont la valeur initiale vsera seulement donnée. Excepté le cas où f est luie constante , cette densité , rapportée à la position de dm au bout du temps t^ devra toujours être considérée comme une fonction inconnue de x^jr^z, t. Si Ton désigne alors par p'dt, son accroissement pendant Tinstant dt^ on aura , d'après la formulé (2) ,

et dans le cas d'un fluide incompressible^ homogène ou. hétérogène , cette valeur de p ' devra se réduire à zéro.

647. Les composantes de la force perdue par Télément dm pendant l'instant dt, seront

(X — w') dm, (Y — i^') dm, (Z — w') dm ;

en substituant donc X — u^ , Y — i^', Z — w\ à la place de X, Y, Z^^ns les équations (2) du n*" 583, il en#ésultera ces trois équations de son mouvement :

|JkX-«^ $=f(Y-»"), |=f(Z-»v');

p, étant la pression rapportée à l'unité de surface , qui a lieu au bout du temps t , au point qui répond aux coordonnées a:, jr, z, et qu'on suppose la même suivant toutes les directions.

Si ce point appartient à une paroi fixe^ p exprimera la pression normale que cette surface aura à sup-^ porter y et qui devra être détruite par sa résistance.

HYDRODYNAMIQUE. 669

Si ce point appartient à la sarface libre d'un liquide , il laadra qu'on ait p^=^o, on plus gënéralethcnt, dpsszoy en sorte que Féquation différentielle de la sarfiice libre du liquide en mouvement^ sera- •

D'après la remarque du n^ 585, il faudra que la râleur de p, quand on l'aura déterminée, soit constamment positive dans l'intérieur de ce liquide, si Ton veut que sa masse ne se divise pas pendant le mouvement : quand elle sera négative en un point d*ane paroi, ce qui ne pourra avoir lieu que pour on liquide, cette surface cessera d'être pressée de dehors en dedans, et le liquide s'en défachera.

Au moyen des valeurs de u', v\ u/, les équations précédentes deviennent

I dp ^ Y du du du du \

'f dx^^ dt dx'^ djr dz ' i

I dp ^ di^ dif dxf dv f ,^v

i dp rt dw dw dw dw \

f dz dt dx djr dz

Comme la quantité p qu'elle renferme est ^ ainsi que chacune des vitesses u, i^, tv, une fonction inconnue de Xfjf z, ^, ily faudra joindre une quatrième équation, lorsque la quantité p sera une constante donnée, et deux autres équations, dans le cas général oà cette quantité est aussi une fonction inconnue de ^f ^f 2« ^- (^s équations s'obtiendront de la manière suivante.