Chacun dos élémcns dm de la niasse fluide

670 TRAITÉ DE MÉCAMQUE,

changera de forme pendant l'instant dl, et il changera même de volume , si le fluide est compressible: niais comme sa masse devra toujours rester la même, il s'ensuit que le produit de son volume au bout du temps f -|-(/^, et de sa densité p+f't/iqui reponilaa même instant, devra être le même qu'an bout da temps t; par conséquent, la variation de ce produit dans l'instant dt sera égale à zéi'o; l'c qui rourain' une nouvelle équation générale du mouvemenl.

Pour la former, considérons le parallctépipèdt rectangle dont le volnme était dxdjrdz-, à la Un da temps t , et cherchons la forme que prendra cet élément du fluide à la fin du temps /+rfi. Soit M(fîg. 54) te sommet de ce parallélépipède qui répund aux coordonnées 3^,j, z; soient aussi MA, MB, MC, les trois côtés adjacens à ce sommet et respcctïveiDent parallèles aux axes Ox, Of, Oz; en sorte qu'où ait

MA = dx, MB = dy, MC = dz;

supposons que D, E, F, G, sont les quatre autres sommets, et que pendant l'instant dl, les liuilpoinl M, A, B, C, D, E, F, G, soient Iransporlés en M' A', B', C, D', E', F', G'; je dis que le polyèdre dont ces derniers poîiiLs sont les sommets, sera un paralléiépipcdc obliquangle; et pour le prouver, je vais déterminer et comparer entre elles Icsiongueun de ses douze côlés M'A', M'B', etc.

Les coordonnées x,j, z, du point M dcvîenncol

X + iidt, y -f-, vdty z + iidt,

;iu Ixtut de l'instant dt; ces quantités sont donc les

HYDRODYNAMIQUE. 671

coordonnées du point M'; on en déduira celles de tout autre sommet , en y remplaçant x ^y^ z, par les coordonnées primitives de ce sommet ; ainsi , Ton aura les coordonnées de G' , en y conservant x et^, et mettant z-^dzklz place de z, parce que x,jr^ z^j^clz sont les coordonnées ^e C. De cette manière^ les coordonnées de C ^ seront

a: + udi + -j- dzcU^

jr + i^dt + ~ dzdi,

2 + efe + wdt -fi- -j- dz dt ;

dz et, en les comparant à celles de M', on en conclura

en extrayant la racine carrée et négligeant les infiniment petits du troisième ordre, on aura donc

M'C = dz +^dzdt.

Les coordonnées de D' se déduiront de celles de M^ et les coordonnées de G', de celles de C^, en y mettant x + dxetj+djralB, place de x et^ ; par conséquent y la longueur du c6té D'6' se déduira de même de celle du côté WC ; ce cpii donne

donc, en négligeant les deux demiet^ termes, qui

67a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

sont du troisième ordre> la yàleor de D'G^ sera la même que celle de M- C On trouvera de la même manière,' que les QÔtés Â'E' et B'F sont égaux au côté M'C, aux quantités près du troisième ordre ; en sorte que Ton ;iura

WC =^ A'E' = B'F = D'G'.

Si Von changez enjr,etwen^^^ dans la valeur de WC\ elle deviendra celle de M^fi', savoir :

en changeant de même z en a: et u^ en u ^ on aura la valeur de M'A', qui sera

M'A' — dx+ '£da:dt;

et Ton trouvera aussi