M'A' . M'B' . MC

Donc y en mettant pour chacun des facteurs sa valeur précédente^ effectuant la multiplication, et négligeant toujours les infiniment petits du cinquième ordre , ce produit sera

Tel est donc , à la fin du temps t'-i-dt, le volume de l'élément qui était dxdjrdz ^ à la fin du temps t: En même temps, la densité p est devenue p + p^dt; en multipliant donc ce volume par p-jrp'dt, et re-

tranchant du produit la niasse primitive fdx dydz^ on aura la variation de cette masse pendant l'instant dt; et cette variation devant être nulle, il en résultera réquation

, , fdu , dv , dw\

p+p(rr + ^ + -^)=o,

en négligeant les infiniment petits du cinquième ordre, et supprimant ensuite le facteur dt dxdj dz^ commun à tous les termes. Par conséquent, d'après la valeur de p^ du numéro précédent, la quatrième équation du mouvement qu'il s'agissait de former, sera

649* Cette équation appartiendra aux liquides et aux fluides aériformes; mais la quantité p' étant nulle, dans le cas des liquides regardés comme incompressibles , cette équation se partagera en deux autres , savoir :

àu'd}^.dw^ I W dx'^ dj^ dz~ ^'

En les joignant aux trois équations (3) , on aura un nombre d'équations ^;al à celui des cinq inconnues p,p,tt, i^fWp qu'elles doivent servir à déterminer en fonctions de x^j-^ z, t. Quand le liquide est homogène, la densité p est une constante donnée; ce

HYDRODYNAMIQUE. 675

qui réduit les inconnues à quatre , et fait en même temps disparaître la première équation (5).

Relativement aux fluides élastiques , on n a aussi que quatre équations, savoir, les équations (3) et (4); mais alors la densité est liée à la pression; ce qui réduit à une seule les deux inconnues p et p. Si Fou suppose que la température soit la même dans toute la masse du fluide à l'état de repos, les dilatations ou compreGiisions des élémens de ce fluide, qui auront lieu pendant son mouvement, feront varier cette température, et la pression p ne sera plus proportionnelle à la densité p, dans l'état de mouvement, comme elle l'est dans l'état d'équilibre. On verra, dans la suite, comment on peutavoir égard à cette drconatance , dans le cas d'un mouvement très rapide* Maintenant je supposerai qu'il s'agisse d'un mouvement assez lent pour qu'elle n'ait aucune influence sensible ; en sorte que l'expression de p en fimction de p, soit celle qui convient k l'état d'équilibre, savoir (n^ 6a4) f

p:^kf{i -H.afl); (6)

d Résignant la température commune à tous les points^ du fluide , « le coefficient 0,00^75 de la dilatation des gas, et k une constante relative à la matière du fluide que l'on considère.

- 'Lofsque les valeurs de p, p, u, ^, w, auront été 4élttmmées, soit au moyen des cinq équations (3) et (5), soit d'après les cinq équations (3), (4), (6), on en déduira les valeurs de or,^, z, en fonctions de /, et de leurs valeurs initiales a/, 7^, z', au moyen des

676 TRAITS DE BOËGANIQUE.

éqaationB (i). Les intégrales de toutes ces équations aux différenoes partielles renfermeront des fonctions arbitraires , qui resteront encore à déterminer, d auprès l'état initial du fluide , et au moyen de certaines conditions relatives à sa surface dont il sera question plus bas.

65o. Quand la tenipérature n'est pas la même dans toute la masse fluide à Torigine du mouvement ^ elle varie ensuite d'un point à un autre, et, pour un même point, d'un instant à l'autre; en sorte que si l'on désigne, au bout du temps t, par 9, la température qui répond aux points dont oc\jr^ z, sont les coordonnées, cette quantité 0 est une fonction inconnue de t, XfjTp Zj et pour la déterminer il faut joindre une nouvelle équation aux précédentes. Cette équation sera différente dans les deux cas d'un liquide et d'un fluide aérifbrme, que nous allons successivement considérer.

i?. Supposons qu'il s'agisse d'un liquide homogène, tel que l'eau, pour fixer les idées. La température 6 variant d*un point à un autre, la densité f variera de même , et sera une fonction déterminée de 6 , que Je représenterai par f^ (^). La quantité f ne sapa plus nulle, et l'équation (4) ne se décomposera plus * dans les deux équations (5). La chaleur spécifique du liquide et la mesure de sa conductibilité seront aussi des fonctions déterminées de 0; mais si Ton suppose qu% la comn^unication de la chaleur ^dans

(*) Pour la forme de cette foDction, voyez le Traité de Pl^-' sique ik M. Biot , tome V'^ chapitre XI.

HYDRODYNAMIQUE. 677

rintérienr de^Peait, ait liea comme dans un corp$ solide^ par un rayonûemedt k distance insensible, l'équation rc^latiye au mouvement de la chaleur dans un corps hétérogène, que j'ai trouvée autrefois , s'appliquera à la masse d'eau que nous considérons ; car#Ile fait connaître l'accroissement instantané de température qui a lieu «n un point quelconque d'un <x>rps, dans lequel la chaleur spécifique et la conduor tibilité varient arbitrairement d'un point k un antre j et d'après la manière dont elle a été formée , elle ne dépend pas du mouvement du point matériel que Ton considère, non plus que du mouvement des points circonvoisîns. Ainsi, en appelant 6'dt l'accrois^ sèment de 8 pendant l'instant dû, on aura (^)

éqoation dans laquelle on fera, d'après la formule (3)» ., di , dd , dâ , di

et où g et ^ sont des fonctions tle 0, qui représentent la chaleur spécifique rapportée à l'unité de masse, et la mesure de la conductibilité. Chacune de ces fonctions est censée connue , ainsi que f& , de manière que les équations (3), (4), (7), seront en nombre égal k celui des inconnues 6, /?, u, i^, w, qu'elles renferment. Dans le cas d'un liquide hétérogène , les

(*) Journal de t* École Polytechnique, 19* cahier, page §7.

trms quantités pf gf h, relatives an pOÛHt de sa niasse dont les coordonnées sont Xjjri%^ dépendraient de la températare 0 et de la matière du fluide en ce point, et seraient, par conséquent^ de^ fonctions données de 6 et des coordonnées initiales x' ^y ^ :^ ^ de ce niènie point. ^

qT. Si le fluide que Ton oonsidère est uile masM d'air ou d'un gaz quelconqtie , dont la température S varie d'un point à une autre , et que dans l'état dé mouTement , la pression soit toujours supjposée pro«* Iportionnelle à la densité, comme dans le n* prëcé<^ dent, l'équation (6) aura toujours lieu ; mais l'équa^ tion (7) ne subsistera plus ; <^r elle est fondée sur l'hypothèse que la communication de la chaleur dans l'intérieur du corps se fait par un rayonnement Si distance insêiisible; et, au contraire, la dialeur rayonnante traverse les fluides aériformeft,^ dans de très grandes épaisseurs; en sorte qu'il y a échange de chaleur entre des molécules très éloignées Tune de l'autre. Cette équation devra donc être remplacée par une autre, que l'on joindra aux équations (3j, (4), (6) , afin d'en avoir un nombre égal a celui des inconnues p p p^ ^y Uy i^, w. Dans le problème des vents alises^ par exemple, qui sont produits paroles difierences de température des couches atmosphériques, on formera cette sixième équation de la manière suivante, qu'il nous suffira maintenant d'indiquer.

La quantité de chaleur reçue pendant l'instant dt, par l'élément quelconque dm de la masse fluide, et qu'on peut supposer proportionnelle à dmdt^ se com-

HTDRQDTNAMIQUE. 679

pose de la chaleur solaire absorbée par dm pendant cet instant dt^ à laquelle il faut d'abord ajouter la chaleur rayonnante que cet élément reçoit, dans ce même instant , d'une partie de la surface de la terre et de la |>artie de l'atmosphère dont la communication avec dm n'est point interrompue par cette surface, et, en outre, la portion de chaleur qui peut être communia quée à dm par les élémens circonvoisins , comme dans les corps solides. £n retranchant de cette somme la quantité de chaleur émise au dehors par l'élément dm^ pendant l'instant dt^ soit par communication, soit par rayonnement à grande distance, on aura l'augmentation instantanée de la chaleur de dm^ que l'on peut représenter par Admdt; A étant un ooeffi*cieut dont je me borne à indiquer l'origine. D'un autre côté, cette «ogmentation de chaleur est égale à g^'didm, en désignant toujours par g et 6W^, la chaleur spécifique rapportée à l'unité de masse , et l'accrcHSsement instantané de température; on aura dooc ^dmdt = g^'dmdt, ou A = gO', pour l'équation demandée , qu'on devra substituer à l'équation (7).

65 1. Avant d'aller plus loin, il y a une remarque importante à faire relativement à l'équation (4).

D'après la manière dont elle a été formée , elle exprime que la masse de l'élément différentiel dm du fluide ne varie pas pendant l'instant dt; mais c'est pour abréger que l'on a considéré le volume de cette partie du fluide comme infiniment petit ; et si l'on divise le volume total en parties de grandeur finie, mais insensible , dont chacune renferme néanmoins un nombre extrêmement grand de molécules, l'é-

68o TRAITÉ DE MÉCANIQUE*

quation (4) exprime réellement que chacune de cei; parties renferme toujours les mêmes molécules^ et que, par conséquent ^ sa masse est invariable. Cest pour cela qu'elle est désignée sous la dénomination inéquation de la continuité du fluide. Or , il existe des mouyemens dans lesquels cette continuité n'a pas lieu, et où. Ton ne doit plus faire usage de l'équation qui s'y rapporte.

Supposons, parexemple, que de l'eau soit contenue dans un cylindre vertical , ouvert à sa partie supérieure. Si l'on échauffe le liquide par en haut, la température seracroissante, et la densité décroissante, en allant du fond à la surface; la masse fluide s'allongera, les couches horizontales se remplaceit>nt successivement , et l'équation de la continuité s'appliquera à ce mouvement. Mais si letiquide est échauffé par en bas , la densité sera croissante , et la température décroissante de bas en haut : à la rigueur, les couches horizontales pourront encore se remplacer successivement; mais un pareil mouvement ne serait pas stable ; et l'observation montre que les molécules d'eau s'élèvent du fond vers la surface , en travelrsant les couches supérieures. Toutes les parties très petites du liquide ne sont pas constamment fondées des mêmes molécules; l'équation (4) n'a donc pas lieu dans ce genre de mouvement; et il est même douteux que les équations (S), fondées sur le principe de l'égalité de pression en tous sens , puissent s'y appliquer; en sorte que, dans l'état actuel de la science, nous n'avons aucun moyen de déterminer le mouvement d'un liquide dont les couches se traversent

HYDKODTNAMIQUE. 68i

mutaellement, les unes en montant^ les antres en descendant. La même remarque s'applique anx znouvemens verticaux qui peuvent exister dans chaque colonne atmosphérique^ dont les conches ipférieures ^ échauffées par le contact avec la terre , et devenues plus légères^ s'élèvent en traversant les couches supérieures. La détermination di^cesmouve^ m ensy d'un genre différent de ceux qu'on a considérés jusqu'à présent, et leur influence sur les variations diurnes du baromètre, sontdes questions sur lesquelles il importe d'appeler l'attention des géomètres.

65^. Dans les mouvemens des fluides que l'on soumet au calcul , on a coutume de supposer que . les points qui se trouvent , à une époque déterminée, sur une paroi fibce ou mobile, ou qui appartiennent à la surface libre d'^un liquide, demeureront sur cette paroi, on appartiendront à cette surface , pendant toute la durée du mouvement; en sorte que l'on exclut les mouvemens très compliqués dans lesquels des points d'un fluide, après avoir appartenu à sa superficie , rentreraient dans l'intérieur de la masse , ou réciproquement ; et l'on exclut même les cas ou des points ^'un liquide passeraient alternativement de la surface libre à la surface en contact avec une paroi fixe ou mobile. Ces conditions particulières auxquelles on assujettit les mouvemens que l'on considère, s'expriment par les équations suivantes.

Soient toujours x, ^, z, les coordonnées variables d'un point du fluide , et 4^

f^ TRAITÉ DE MÉCANigCE

ttiOD d'une surface iixe ou mobile qui passe par ce point au bout du temps t, et que nous appelle- S, pour abréger. Désignons aussi par jr',^,»', ^coordonnées initiales du même point, de sorte que X, j-, z, soient des fonctious de t, j:' ff', s*. Si rottsubstitue leurs valeurs dans l'équattoa doatwe, elle se changera eu

V[t,sc',y, s*} = o;

us les points du fluide dont les coordonne»

< tiales satisferont à cette équation , seront ceux qnï

I II bout du temps i, k la surface S;

- coti nt, pour que ces points soient coostam-

t les , dra que la fonctiou F oe

i la U Si donc S est la surface

ou celle a une paroi ixe ou mobile , il £iudn

la fonction /(t, x, j, z) soit îodépendaate

de i , eu y regardant x, j, ;, comme des fonction*

de ces variables; sa différeatielle complète par np-

port à £ devra donc être DuUe ; et d'après la Honnaie

(s), ou aura

pour exprimer la condition ci-des£us éooDcée.

Dans le cas d'noe paroi fixe , la fonction yne reofermera pas.explicitement le temps £; eola représentant par L, de sorte que L = o soit l'équatioo donnée de ^ paroi, l'équation (8) deviendra

HYDRODYNAMIQUE. 6B3

Si Ton désigne par ^ la résultante des vitesses Uf Vj Wy et par a , ^y^^^^les angles qu'elle fait avec les directions des x, jfZ} si l'on appelle aussi a^ b, c , les angles que fait la normale à la paroi avec les mâmes directions , et qu'on fasse

on aura, en même temps,

i^=±s ^cosa, p SS5 ^cosff, fV = ^cosj^, as = ^cosa, ^ = Acosé,^ Œ Acoscj

et, en substituant ces valeurs dans l'équation (9), et supprimant ensuite le facteur commun ^A , elle deviendra

cos A cds a + cos C cos b -f- cos y cos c sr o.

Cette équation (9) signifie donc que k vitesse de diaque point de fluide adjacent à une paroi fixe , est normale à cette surface ; et , en effet , c'est la condi-* tion nécessaire et suffisante pour que ce point ne se détache pas de la paroi, et ne fasse que glisser sur sa surface.

A la surface libre d'un liquide, la pression p est, en général , une quantité constante ^ mais elle pour* rait dépendre de ^ et être seulement indépendante de Xfff Zf si la pression extérieure, commune à tous les points de cette surface, variait avec le temps; en la désignant par T, l'équation de la sur£iioe libre sera donc p — T = o ; et en mettant p — T à la

pUoe dcy^ans rëquatioa (8) on aura

dt ^^ dx^^ 4r^ dz dt ^ v"o^;

pour réquation qui aura Heu en même temps que p — T =«: o, ou en même temps que Téquation difierentielle de la sur&ce libre , qui a été donnée dans le n* 647.

Nous ferons remarquer que les équations (8) , (g) , (10) auront encore lieu , sans erreur sensible, lorsque les points d» fluide ne s'écarteront de sa superficie , que de quantités insensibles. Par conséquent , si Ton considère , comme dans le numéro précédent , une portion du fluide dont les dimensions soient de grandeur finie , mais insensibles, et qui contienne néanmoins un nombre immense de molécules , et si l'on suppose qu'une partie de sa surface appartienne à celle du fluide, à une époque déterminée, ces équations exprimeront, en réalité, que cela aura lieu pendant toute la durée du monyemient. Cette partie commune aux deux surfaces, pourra, d'ailleurs, varier en étendue dans des rapports quelconques ; €t la petite portion dé fluide dont il s'agit, en se dé* plaçant à la superficie du fluide, pourra s'étendre ou se rétrécir sans que son volume change dans le cas d*un liquide , ou sa masse dans le cas d'un fluide cpielconque. Ainsi , par exemple, lorsqu'un liquide pesant oscille dans un vase ouvert à sa partie supé* rieure , l'étendue de sa surface libre et celle de sa surface de contact avec les parois du vase varient pendant le mouvement , de sorte que le nombre des

HYDRODYNAMIQUE. 685

points matériels du liquide, qui soatsituÀ à l'une ou Tautre de ces deux surfaces , n'est pas constamment le même ; mais les équations (9) et (10) peuvent avoir lieu néanmoins, si l'on considère qu'elles ne répondent pas seulement à des points isolés , mais qu'elles se rapportent à de petites portions du liquide , de grandeur insensible et de forme variable.

Ces équations particulières que Lagrange a introduites dans la théorie des fluides, concourront , dans chaque cas, avec l'état «initial du système, à déterminer les fonctions arbitraires qui seront contenues dans les équations du mouvement.

653. Dans un cas très étendu, on peut réduire les trois équations (3) su une équation aux différences partielles du premier ordre , et faire dépendre d'une seule quantité, les trois inconnues 1^ , i^ , fv. Ce cas a lieu , lorsque la formule udx -f- \fdjr + wdz est une différentielle exacte d'une fonction àe œ^ jr^ z^ regardées comme des variables indépendantes, et que le fluide dont on s'occupe est homogène et partout à la même température, dans son état d'équilibre.

Soit alors •

udx 4- vdjr + wdz = rfnp;

^ désignant une fonction inconnue des quatre variables ^, X y j^ z, mais la différentielle d^ étant prise seulement par rapporta x^j^ z, de sorte quon ait

d^ dp dp f \

D'après la nature des forces X, Y, Z, qui provien-

nent toujours d attractions ou de répulsions , dont les centres sont des points fixes ou mobiles, ou les points mêmes du fluide , on a aussi

Xdx + Y^r + Zife = dv,

eif par conséquent,

V étant une fonction de ^, ^^Jt^t qui n'est diffé* rentiée que par rapport à x, ^ , z. Dans le cas d'un fluide élastique dont la densité est constante à 1 état

de rapos, l'int^rale \ ^ sraprimera par un logarithme f si Ton suppose que la loi de Mariotte ait encore lieu à l'état de mouyement; si Ton tient compte des variations de température qui accompagnent celles de la densité pendant le mouvement, cette intégrale sçra une autre fonction de /? ; et ,dans le cas

jd'un liquide homogène, elle se réduira à ~/i, abs-*

traction ^ite de la constante arbitraire. Pour comprendre tous ces cas en un seul, je ferai

il en résultera

\dp d9 i dp dP i dp d? f dx dx' f dj djr^ f Iz ''^ dz'

et au moyen de ces valeurs et des précédentes , les

HTORODYNAMIQUE. 68f

équations (3) deviendroDt

dP dV d"^ dp dV dp ^p dp d^p

dx dx dxdt dx dx^ djr dx^ "" S dxdz •

d9 rfV d^p dp é^ dp d^p dp d^p

t^ ^ djdt dx djrdx Ify djr^ dz djrdz^

dP dY d^p dp d^p dp d^p dp d^p

dz ^^ dz dzdi dx dzdx djr dzdjr dz dz*

Je les ajoute après les avoir multipliées ^psœdXf djr , €&; il vient

dP:=dV'^d.

^•H-'-cay+cD+S)"]'

et tous les termes de cette équation étant des différentielles exactes à trois variables x, ^^ z, on en déduit immédiatement

La constante arbitraire qu'on, devrait ajouter dans cette intégration , peut être censée contenue dans la quantité inconnue ^ 9 et Ton peut regarder les inté^ grales Y et P comme des quantité entièrement dé*termînées.

Cette équation , qui remplacera les trois équations (3) , fera connaître la valeur de p, quand ceUe de p sera déterminée; les équations (a) détermineront aussi les trois inconnues u, 9^ iv; et quant à la va« leur de ^, elle se déduira de Téquation (4)^ qui devient

688 TRAITÉ DE BIÉCANIQDE.

, dp dp dp

di^ dx ^ ^T^ ^ ^bT — ^- t^/

Dans le cas dun fluide incompressible , cette équation se réduira à

dans le cas d'un fluide aériforme, on y mettra pour p sa valeur en fonction de p, et pour p sa valeur tirée de réquation (b).

654* Pour que la formule uda: -f- vdjr -f- wdz soît une difiërentielle exacte pendant toute la durée du mouvement , il faut qu'elle le soit à l'origine , et que les valeurs initiales de li, ^$ Wj qui sont données arbitrairement en fonctions àe x^ jr^ z^ satisfassent aux conditions d'intégrabilité. Réciproquement , on admet qu'il sufiit que cette formule soit une diffé-* rentielle exacte relativement à une valeur déterminée de t , pour qu'elle le soit aussi pour toutes les valeurs de cette quantité; mais cette proposition n'a pas toute la généralité qu'on lui suppose. Voici comment on la démontre.

Soit t, une valeur particulière de t; supposons que' pour celte valeur on ait

udx + i^djr + wdz = d^^;

(p^ étant une fonction de x , ^ , z> Si l'on désigne par i un intervalle de temps infiniment petit, et que le temps t devienne ^y + €, les quantités u, v, w, varîeronl aussi; et en supposant que leurs exprès-

HYDRODYNAMIQUE. 689

sions en fonctions de t soient développables suivant les puissances de £ , on aura

et , par conséquent ,

en désignant par w^, i^y , Wf » des fonctions àeœ^y^ z. Pour avoir les valeurs des différences partielles

dî^ di^ 1i^ ^^^ entrent dans les équations (5) , il

faudra différentier ces valeurs de w , i^, ïv, par rapport à é ; ce qui donne - *

du dv dw

En les substituant avec celles de 2/, p^ îv, et de leurs différences partielles relatives à x, y^ z, dans ces équations, et supprimant ensuite les termes multipliés par i , il vient

1 ^x — tt ^' ^' — ^^ f^. ^^

f dx ' dx d[r* dy dxdjr dz dxdz *

i^dp Y ^ d^, £p, ^ £V, d^, d^

f djr ' dx drdx djr djr* dz djrdz ^

i -^ = Z TV — — ' ^^ ^ ^^ — ' — ' •

m dz ' dx dzdx djr dzdjr dz dz^ '

d^où l'on tire y d'après les notations précédentes,

ujdx + s^^djr + wjdz

=rfV-.F-l.*.[(0+(|;)+ (*)■],

et d'où il résulte que la q«aatité (ujdj>^^efy'^+w,dz)€, dont s'accroît la formule udsc -f- vdjT'^wdz pendant le temps € , sera une différentielle exacte. Par conséquent, cette formule sera une dtfierentieHe exacte au bout du temps ^^ + ^9 puisqu'on suppose qu'elle Test au bout du temps tj\ elle le sera au bout du temps ^^+ 3a 9 puit»qu!elle l'est au bout du temps t^^%; et ainsi de suite. Et comme on peut prendre é positif ou négatif, on en conclut que cette formule udx + vdjr + wdz est une différentielle exacte pour toutes les^ valeurs de ^ , si l'on s'est assuré qu'elle le soit pour telle valeur qu'on voudra de cette variole.

Mais cette démonstration suppose que les valeurs de Uy ^, Wj qui répondent k t -^ $, peuvent se développer suivant les puissances de £, ou, ce qui revient au même, elle suppose que les expressions de 1^ , i^, TV , en fonctions de ^ , satisfont aux équa* tiolis du problème et à toutes celles qui s'ed déduisent par des différentiations relatives à f. Or, cela n'a pas toujours lieu à l'égard des expressions de Uy sf ^ w , en séries d'exponentielles et de sinus ou cosini|s , dont les exposans et les arcs sont proportionnels à ^ ; et la démonstration étant eadéâiat, la proposition peut aussi étrei^ ^^ ^U^ ^st effectivement en défaut, dans certains cas dont j'ai rencontré des exemples. Dans chaque problème, les expressions de tt , p , w , dont il s'agit ,. satîisfont aux équations relatives à la masse et à la surface du fluide en mouvement; en y déterminant convenablement les coefficiens des exponentielles et des

HTDftODirNAMrQUE. 691

s\nas ou cosinus , elles re{>rësenteiit Tëtat initial et donné d^ toiis les points du fluide ; et si les séries qui en résultent sont d'ailleurs convei^entes , cela suffit pour qu'elles renferment la solution de la question , quoiqu'un de leurs càriictèrefif piarticuliers soit de ne pas toujours satisfaire aux équations qui se dédinsen^ de celles du lâOuveimM^ ptfr èè ti6ti-^ irelles diAirentiations.

655. La eodBtioii d'itrt^pMd[>ilité de h formule iidâo*^¥d)i^^U^ ù^af pâH lieu dafus le itaouyemeirt d'un fluide qui tourne , sans cbanger de fbrme, ^xa^ tour d'un axe fixe. En effet , les composantes de la vitesse d'un point quelconque sont alors les mêmes que dans le cas d'un corps solide ; en prenant donc l'axe fixe pour celui des z , et désignant par œ la vitesse angulaire de rotation, on aura (n* 387)

d'où il résulte

udx'^ i^djr + wdu ^=: (D (xdjr -^ jrdbc) ;

quantité qui n'est point une différentielle exacte, puisque le Êicteur o» est indépendant des coordonnées xet^-.

Il en résulte que pour déterminer la pression p en un point quelconque, il faudra recourir, dans cet exemple , aux équations (3). Or, en y mettai|t les valeurs de u, i^, w, et considérant o comme une quantité constante par rapport ht, aussi bien que par rapport à x, /, z, il vient

69a TRAITÉ D£ MÉCANIQUE.

d'où l'on tire

^dp= Xdûo + ^djr + Zdz + œ^{pcdx + T'rf^) ;

équation qui coïncide avec celle qu'on a trouvée dans le n* 589, par la considération de l'équilibre des forces données qui agissent sur tous les points du fluide 9 et de leurs forces centrifuges résultant de son mouvement de rotation.

HYDRODYNAMIQUE. 693