CHAPITRE II

DE LA PROPAGAnOIf DU SON.

656. II n entre pas dans le plan de cet ouvrage, de faire connaître les résultats nombreux qui ont été déduits des équations générales du mouvement des fluides quV)n vient de donner ; je me contenterai d'indiquer les ouvrages dans lesquels on peut les trouver. Dans lechapitre suivant, jedéterminerai le mouvement d'un fluide qui s'écoule dans un vase, d'après une hypothèse particulière et approximative, générale-» ment sufiisante pour la pratique ; et , dans celui-ci ,. je prendrai pour exemples de Tapplication des équa-> tiens générales, les cas les plus simples de la théorie du son.

i"". On trouvera, dans les tomes II et V de la Mécanique céleste^ tout ce qui est connu jusqu'à présent sur les oscillations de la mer et de l'atmosphère , produites par les attractions de la lune et du soleil.

2°. Le tome II de la Mécanique analytique renferme la détermination, par le moyen de séries conyergentes , du mouvement d'un liquide pesant , soit dans un canal très étroit, soit dans un vase très profond.

3*. Relativement aux oscillations de ce liquide dans un vase d'une profondeur quelconque, je

694 TRAITÉ Bff JflÉQJ^KpJE.

renverrai au Mémoire qae j'aî inséré^ sur ce sujet,

dans le tome XIX du Journal de M. Gergonne.

4^« Pour le problème de la propagation des ondes à la surface et daii^ l'iiit^rieur 4'qn9 eau stagnante , je renverrai de même à mon Mémoire inséré dans le tome P' de l'Académie des Sdonoes.

5^. Sur l'écoulement des fluides élastiques dans les vases çt dans )e3 tifyauiCi op p^fft ppns^ller )ç Jlfçmoire dç M. N^yier, qiji fs^it partie dn tpjpe IX f}^ cette Ac^émie.

(3*. (Infin f pour tout ce qui concerna h thépfip d^ son, et, gi^néralepa^nt , la propfigation du oiouveipen^ d^ns un milieu élastique pu daus plusieurs mî- \ lieux superposés, j'indiquerai les Mémpirç^ que j'ai écrits sur ce sujet , et qui fopt partie du i4* ei^bi^i* ^Vk Journal if$ VÉcqle Polj technique , et des tpmQS II et X de rAc£(démi§ des Science^.

; 657* Pour donner une application des équfitiQU3 générales, considérons un fluide élastique homogène f don^ U t^uipérature et la di^nsité soient partout les mênies dans son état d'équilibre, et qu'on ait écarté un tant soit peu de cet état, de sort^ que pepdant tout le luouvement qui en trésultera, )es vitesses de sçs dif-* férens points soient très petites , et les condensations ou dilatations dpnt eU^ seropt accompagnées soient aussi de très petites fractipns. l^us négligerons, en conséquence , les carrés et les produits de ces quantités ; ce qui réduira les équations du mouvement à la forme linéaire, et permettra d'en obtenir les intégralesr sous fornie finie. Nous ferons aussi le$ forces X^ Y, Z, égales à zéro, afin que la densité du fluide.

HYDRODYNAMIQUE. 695

dans rétat d'équilibre 9 soit constante , comme nous le supposons.

Soit D cette densité ; p étant celle qui a lieu dans l'état de mouvement, au bout du temps t et au point dont les coordonnées sont âf ,^, z, on aura

en désignant par s une fraction positive ou négative , qu'on suppose très petite. Soient aussi h et gmh la hauteur et la pression barométriques qui répondent à la densité D ; g représentant la gravité, et m la densité du mercure. Dans l'état de mouvement, la pres-*sion p, qui répond à la densité p, serait gmh{i+ s), d'après la loi de Mariotte , si la température du fluide était invariable ; mais , à raison de la condensation positive ou négative s , la température augmente ou diminue; et si le mouvement est assez rapide pour que le fluide n'ait pas le temps de revenir à sa température primitive, la pression variera dans un plus grand rapport que la densité. Nous suppose* rons donc qu'on ait, en général,

p = gmh (i + s + tr);

tr désignant une quantité de même signe que j, et qui en est une certaine fonction. A cause de la petitesse àeSjOn peut supposer cette quantité tr propor^ tionnelle à ^,. et faire

C étant un coefficient positif et indépendant de s^ Au moyen de ces valeurs, on aura

dp 5= gmh{i -I- C)ds}

6g6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

et il en résultera

/^ = «Mog(H-/),

en^ supposant que l'intégrale s'évanouisse avec s , et faisant, pour abréger,

gmh(i +g) ^.

Si Ton néglige le carré de s et qu'on prenne cette intégrale pour la valeur de la quantité P comprise dans réquation (b) du n"" 653 , on aura

en négligeant aussi les carrés des vitesses -r-f^^ -j-y

et supprimant le terme V qui provient des forces X^ Y, Z, cette équation {Jb) deviendra

et en la joignant aux équations (a), savoir,

d^ d0 dû , .

ces quatre équations feront connaître la condensation, la grandeur et la direction de la vitesse du fluide, au bout du temps t et au point dont les coordonnées sont x^jr^z^ lorsque la foqction ^ aura été déterminée en fonction de x^ jr^z^t.

Si les déplacemens des points du fluide sont aussi supposés très petits, c'est-à-dire, si les points du fluide ne font que de trèfpetites oscillations, et n'ont pas un mouvement commun de translation ou de

HYDRODYNAMIQUB. 697

rotation^ les ' variables oc^ y ^ z, différeront très peu des coordonnées initiales x' , y, z' ,du, point auquel elles répondent; on pourra les regarder comme égales a x' ,y, :^ , en intégrant les valeurs de udt , ^fdt y wdt / pour en déduire, à un instant quelconque , les déplacemens de ce point suivant les trois axes des coordonnées; et alors, on aura

ûc — a:'z=fud£, J^'^y =^/^cU, Z'-^:^^zJi^dt}

les intégrales étant prises de manière qu'elles s'évanouissent quand 1=0.

Quant à la quantité ^, pour obtenir Téquation dont elle dépend , je mets D (i + •^) ^ 1^ place de f dans J/équation (c) du numéro cité; et en négligeant les

produits de ^ et de ^, ^, "X« ^'^ vient

■ dt'^ dX*'^ djr-^ dT- — ^^

ou bien, en substituant pour s sa valeur précédente.

Ces équations (i}^ f 2), (3) , sont celles de la théorie du son dans un air dont la température et la densité sont constantes. Elles supposent que la formule mix -f- çdjr -f- wdz soit une différentielle exacte ; ce qui a lieu, effectivement, dans les deux cas particuliers auxquels nous allons les appliquer.

658. Supposons, d'abord, que l'air soit contenu dans un tuyau cylindrique , . et que ses points se

698 TRAITÉ 0E MÉCAMIQUE.

meuvent paraUèlement à Faxe^ qui sera horieoiiUl , afîa que la pesantear ne fiisse pas varier la denaite* En prenant l'axe des a: dans cette direction 9 on aura (;s=:oetfvs=so;la quantité (p ne sera fonction que de or et t; etTéquation (5) se réduira à

On en déduira les mêmes conséquences que de l'équation (i) du n^ 494 y relative aux vibrations longitudinales d'une verge élastique. Quand le tuyau se prolongera indéfiniment , a sera la vitesse de la propagation du son suivant sa longueur; quand il sera terminé p et d'une longueur / , le nombre des vibrations du fluide^ dans l'unité de temps, correspondant au son le plus grave, sera en raison inverse de /; quand le ton s'élèvera , ce nombre croîtra dans le même rapport que celui des nœuds de vibrations; et en désignant par X la distance comprise entre deux nœuds consécutifs , et par n le nombre correspondant des vibrations, on aura

En ces points, la vitesse des molécules dWest nulle, et la condensation s ne l'est pas ; il j a, au contraiie^ d^autres points où cette condensation est aéro, et oà le fluide est en mouvement. Les distances qui sépan rent ces autres points sont les mêmes que pour les premiers, comme on peut le vqir par les formules do vf^ 49^- Ik jouissent d'une propriété qui sert à les déterminer par l'expérience, et qui n'appartient qu'a

HTORODYNAMIQUIS. 699

eux. Si Ton fait une oaverture à la paroi da tuyau en l'un de ces poiats où la condensation est nulle p et qu'on établisse la communication avec l'air extérieur , le mouvement du fluide intérieur n'est aucil^ nement changé j non plus qiw le ton qu'il fait entendre. En prenant pour A Ta distance de deux de ces points consécutifs, et pour n le nombre correspondant au ton observé , l'équation précédente fera connaître la valeur de a, et par suite celle de la quantité €, contenue dans l'expression de cette vitesse, li'usagei pour cet objet, du ton élevé qui répdndà une partie aliquote de /, est préférable à celui dq ton fondamental , qui peut être influencé par le mode d'insufilation du tuyau et par les circonstances relatives à l'embouchure. C'est de cette manière que M. Dulong a déterminé, pour l'air et difierens gaz, les valeurs de Ja quantité y du n* 637; laquelle quantité est égale à i -f-f , comme on le verra tout a l'heure.

65g. Pour second exemple , je supposerai que la masse d'air s'étende indéflniment en tous s^ns , et qu'elle' soit ébranlée semblablement , suivant toutes les directions, autour d'un point fixe que je prendrai pour origine des coordonnées. Si l'on appelle r, au bout du temps t , le rayon vecteur du point qui ré- v^

pond à X, ^, z, et Ç sa vitesse, elle sera dirigée suivant ce rayon, et sa grandeur sera une fonction de r et ^, ainsi que la condensation s; car il est évident que tout doit être symétrique autour dq l'origine des coordonnées, pendant toute la durée du mouvement. On aura

et à cause de

a:* -\- y^ ~\- z* := r* , ,sc(fx -^ j-dx + zdz ^^ rdr ;

il en résultera

mîx + *^^ + 't'rfs ^ Çrfr ;

ea sorte que cette formule sera la différentielle exacte d'aofi fonctïoD de r et t. Cette fonction étant li quantité (p, déterminée par l'équation (5), on aura

pour la résultante des vitesses u, v, w.

En la diffërectiant par rapport â x^, jr, aus^i

dt

dt jr ' dr r'

dp df t

en différentiant ane seconde fois, il vient

df r-

dz-~

et, d'après ces valeurs , l'équation (3) devient

HYDRODYNAMIQUE. 701

ou ^ ce qai est la même chose ,

Son intégrale complète est (n* 4^4)

rç = f(r + or) + F(r — at)î

/ et F désignant les deux fonctions arbitraires. Si donc on fait

pour une rariable quelconque z , on déduira de cette intégrale

-^[yC'-H-««) + F('— «<)]» ^ (5)

et ces formules feront connaître la vitesse et la condensation en un point et à un instant quelconques , après qu'on aura déterminé les fonctionsy*et f pour toutes les valeurs de r^at^ qui est une variable positive, et lies fonctions F et F' pour toutes les valeurs positives ou négatives de r — at.

660. Tout étant semblable, par hypothèse, autour de Forigine des coordonnées, il faut que le centre de Fébranlement du fluide demeure immobile pendant toute la durée du mouvement ;. il est donc nécessaire que la première formule (5) s'évanouisse avec r; ce

^01 TRAITÉ DE KÉCAlTIQtTE.

qui exige qae quand ce rajoû est iufliiiitteMit petit , ou ait

f{r + a^) H- F(r — at) es Tr, f{r 4- a<) -f- V(r — o^) î* Tj

T daignant une fonction inconnue de t. En fisiisant le rayon r tout-à-fait nul dans la première de ces équatioDi^ M dan& du différeMieUe pw mpporl kat^

a dt

et mettant z au lieu de ^ , on aura donc

mais seulement piour les yalem^ positire^ de z. Ces ëquattions feront connaître les valeurs de F ( — z) et P'( — s)^ tf après ceHe ài^fz et fz j en sorte qu'il ne restera plus qu'à déterminer les valeurs de fz , fz , ¥z, ¥'z, pour toutes les valeurs positives de z.

Pottr eela, scâeirt -Ir et - "Fr les valeurs initiales

de Ç' et s.p de sorte que ^r et 'f^r désignent des foncliotis dctnnées depuis r=o jusqu'à r=soo ^ dont la première devra être nulle pour r=i^, et qui sont toutes deux de certlaines vitesses. En Êasant t;szo, dans les équations (5) , nous aurons

d.^fr d.^Fr

IIYIAODTNAMIQOB. ^oi

d'où l'on tire

Fr— /r =*.#• + cj S

en repràentant par 6 et c deux constantes arbitraires, et faisant

f^rdr =a 4t''> frlrnlr = ♦.r:

on pourra supposer qoe ces deux int^pl^s s'éyanonissent pour telle valeur qu'on voudra dé r; nous prendrons tout à l'heure r = oo pour cette valeur.

Si Ton a seulement égard aux constantes b et c, les écjuations précédentes donneront

Fr =r i*r H- f c, F'r s» itfj oa en oondot

/(r -f- a«> = i6(r + «<) - i«î, /(r -f- a<) = ié;

pour r'^tUf on aura ansBt

F(r — <tf) a= ifr(r — <K) 4- ic, F'(r-«0 = i*î |K»u- r < a<, on «BFa

/(at — r) == ift(a< — r) — \c,

7o4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

et en vertu des équations (6) il en résultera

¥(r — at) ^\b(r -^ at) + ic,

comme dans le cas de r > at. Or, en substituant ces différentes valeurs dans les formules (5), on trouvera qu'elles se réduisent à zéro ; de sorte que les deux constantes arbitraires b et a disparaissent des expressions de ^ et s.

En en faisant donc abstraction y et mettant z au lieu de i4lans les équations (7) et dans leurs différentielleS, il vient

pour les valeurs qui restaient à trouver.

Les formules (5) ne contiendront plus rien d'inconnu, et renfermeront, par conséquent, la solution complète du problème. On peut remarquer que rien , dans la question , ne pourrait servir à déterminer les valeurs de /*( — z) , dont les formules (5) n'exigent pas la connaissance.

66 1. Voici maintenant les conséquences relatives à la théorie du son , qui se déduisent de ces formules.

Soit € le rayon de l'ébranlement primitif, en sorte que 4^ ^^ '^^ aient des valeurs données arbitrairement depuis r = o jusqu'à r = €, et soient zéro depuis r= £ jusqu'à r=oo • Les intégrales %[/,r et i^ir seront des quantités constantes pour toutes les

HYDRODYNAMIQUE. 706

valeurs de z qui surpassent t\ et comme on les suppose nulles pour r = 00 , elles le seront aussi depuis r:=z e jusqu'à r = 00 .

Cela posé , si Ton considère d'abord un point du fluide compris dans 1 étendue de Tébranlement primitif, on aura r<^€. Tant que t sera moindre que

, les valeurs de f{r+ al) et y'(r-4— a/) ne seront

pas nulles^ et on les déduira des équations (8;; il en sera de même à Tégarddes valeurs de F(r — at) et ¥^(r — at),

tant qu'on aura ^ <C -; quand t surpassera -, cellesci se déduiront de celles de /'(at — r) et fX^^ — 0 » au moj^en des équations (6) 3 enfin , quand le temps t

sera devenu plus grand que , tous les termes

des formules (5) seront nuls, et tous les points contenus dans Tétcndue de l'ébranlement primitif seront revenus à l'état de repos. Ainsi, pour tous les points compris dans la sphère dont le rajMi est €, la durée du mouvement décroîtra, du centre

à la surface, entre les limites - et -^,

En dehors de l'ébranlement primitif, on aura r^at^é'y ce qui fera disparaître /(r-^ at} et /''{r + at) des formules (5), et les réduira à

quand on a r"^ at , ou bien , en vertu des équa-

7oG TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

lions (6) , à

lorsqu'on a at^ r. Les valeurs des quantités comprises dans ces expressions de ^ et ^ seront données par les foimules (8); elles seront nulles tant qu'on aura r'^ at-^ê ^ elle redeviendront dès qu'on aura r'^at — 6 ; d'où l'on conclut que le son se propagera à l'air libre avec la même vitesse a que dans rinlérieur d'un tuyau cylindrique; que le mouvement de chaque molécule d'air subsistera pendant un

intervalle de temps égal à -^ , et que la largeur de

l'onde sonore sera égale au diamètre ae de l'ébranlement primitif.

A une grande distance du centre de cet ébranlemtnt , on pourra négliger les seconds termes des valeurs de Ç, qui sont divisés par r*, par rapport aux premiers qui ne le sont que par r; on aura alors, pendant toute la durée du mouvement ,

comme dans le n' 497f o^ ^ représentait la dilatation au lieu de la condensation. La vitesse propre des molécules d'air décroîtra alors en raison inverse de r. On suppose l'intensité du son proportionnelle au carré de cette vitesse; en sorte qu'à une grande distance du lieu de l'ébranlement primitif, elle décroîtra en rai*

HYDRODYNAMIQUE. 707

son inverse du carré de cette distance; ce qui parait con forme a rexpërîtnce.

Ces résultats ont encore lieu^ lorsque 1 ébranlement n'est pas le même en tous sens. A une distance considérable par rapport à son diamètre^y la vitesse du son est uniforme et égale à la constante a y les ondes ont une forme à peu près spfaérique, et, suivant la direction de chaque rayon, Tintensité du son varie en raison inverse du carré de la distance , quelle que soit , d'ailleurs, sa variation en passant d'un rayon à un autre. Cette intensité décroît aussi avec la den-* site du milieu où le son est prdduit; en sorte que, par exemple, elle diminue à mesure qu'on approche dû sommet d'une haute montagne. En considérant la propagation du son dans un air composé de couches de différentes densités, on trouve qu'à distance égale, son intensité ne dépend que de la densité au lieu de l'ébranlement primitif; d'où il résulte qu'une personne placée dans un ballon, doit entendre le bruit qu'on fait a la surface de la terre, comme si elle était à cette surface; tandis que le bruit qu'elle ferait serait entendu, à celte surface, comme si l'on était dans la couche atmosphérique où se trouve l'aérostat.

Si l'intensité du son dépend de la grandeur des vitesses des molécules d'air qui frappent l'organe de l'ouïe, si l'élévation du ton est réglée sur le nombre fdeces coups dans un même temps, c est-à-dire, sur la répétition plus ou moins fréquente des vibrations de l'air, on peut se demander ce qui fait la diflërence d'une sjUabe à une autre, chantées avec une même force et sur un même ton. Selon Euler, cette diffé-

7o8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

rence doit être attribuée à la forme de la fonctton qui exprime la loi des vitesses^ successives de Tair pendant chaque vibration ; de manière que Tor-^ gane de la voix aurait la faculté de donner à cette fonction la forme convenable, et l'organe de Touîe, la faculté d'en apprécier les formes diverses.

662. Sans que la forme de Téquation (4) soit changée, on peut transporter lorigine des coordonnées en d'autres points du fluide. D'après cela, si l'on désigne par r^, /;^, r^^^, etc., les rayons vecteurs d'un même point, comptés de ces diverses origines, et $i Ton suppose successivement que (p soit fonction de t et de chacun de ces rayons, on satisfera à l'équation (4) au moyen de la valeur de ^ du n** ôSg, et des valeurs qui s'en déduisent, en y mettant r^ , r^/, r^^^ , etc. , au lieu de r, et changeant à chaque fois les fonctions arbitraires. A cause de la forme linéaire de cette équation , on y satisfera donc aussi en prenant pour (p la somme de toutes ces valeurs particulières; ce qui donne

etc.

Or, on conclura de cette formule , que si l'air est ébranlé simultanément autour de chacune des on*

gines de r, r^, r^^, etc., la condensation -7- en un

point et à un instant quelconques, qui sera toujoura

HYDRODYNAMIQUE. 709

donnée par l'équation (i), aura pour valeur la somme des condensations qui auraient lieu en vertu de tous ces ébranlemens isolés. De plus , en vertu des équations (2) y les composantes de la vitesse au bout du temps ty et en un point M, dont x y jy Zy sont les coordonnées par rapporta Forîgi ne de r, auront pour expressions •

^ ~ di~Trdx dF^dx'^ dr^H'^^^'' ~ dr^ dr dj ^ dr, djr ^ dr^ dj -*-«'C'r'

fV

à^ ^ dr d^ dr^ dp dj;^ .

dz ~ dr dz^ dr, dz ^ dr^ dj "*^ *^*^* '

les dififérences partielles ^, —, ^, etc., étant

prises en regardant r, r^, r,^, etc. , comme des variables indépendantes. Mais, si Ton appelle x^y jr^y z^y les coordonnées de M rapportées à l'origine de r^ et à des axes parallèles à ceux des Xyj y z, ces coordonnées or^, j^y z^y ne différeront de Xyjy z, que d'une quantité constante ; de sorte que Ton aura

dr dr X dr dr y dr dr z

Ax dx, r, * dy djr^ r, ' dz dz^ r^ *

on aura de même

1 ^ — fs ^ ^ Ij! f^i-

dx — r/ djr— r/ dz — r/

en désignant par ^^^ , jr^^ , z^^ , les coordonnées du • même point, dont Forigine^st celle' de r,^; et ainsi ^. de suite. Les formules précédentes deviendront donc

lo TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

u = -;—+/ -^ + :r — -h eic. ,

dr r dr, r dr.. r ^

~ dr r ^ drr'^ di^ r ^ ^^^' '

^i^.^f/4. El tiL ^ etc. •

dr r *^ dr. r dr. r„ *^ ' '

it

U'où l'on conclut que la résultante de ^^, t^, tv, sera la même que celle des vitesses -g-, ^ , ^, etc., dirigées suivant les rayons vecteurs r,r^, i)^ , etc. , et , ' par conséquent, en vertu de la formule (9), la même, en grandeur et en direction, que si tous les ébranlemens autour des centres de ces rayons avaient lieu isolément; ce qui s'accorde avec le principe de la superposition des petits mouvemcns.

663. Cette formule (9) servira aussi à détermitier la réflexion du son sur un plan fixe.

Pour cela , supposons que la masse d'air soit terminée par un plan fixe AB (fig. 55), et que Tébranlement primitif ait eu lieu autour du point C, origine du rayon vecteur r, et ne se soit pas étendu jusqu'au planAB. De ce point, abaissons la perpendiculaire CD sur ce plan ; prolongeons-la d'une quantité DC^ , ëgalc à CD; supposons que C^ soit l'origine de r^; et prenons la droite CDC^ pour axe des x et des x^. En appelant h la longueur de CD, on aura x = h et x^ = — h, pour tous les points du plan AB; pour ces valeurs de x etx^, il faudra donc que la vitesse u, perpendiculaire h ce plan, soit constamment nulle (n* 652). Or, on satisflfra à cette condition et a Téfat initial du fluide, en prenant pour cp la formule (9)

HYDRODYNAMIQUE. 7 1 1

réduite à ses deux jiremiers termes, savoir :

et déterminant convenablement les fonctions arbifraires/, F,/, F,.

En effet, on déterminera les deux premières , comme précédemment , d'après letat initial du fluide autour du point C; les points qui répondent à r,^//, n appartenant pas au fluide , on pourra donner telle valeur qu on voudra à chacune des fonctions y^r^ et F/^ sans altérer cet état initial; on pourra donc prendre pour les fonctions indiquées par^J, et F^ les mêmes fonctions qu*on aura trouvées pour celles dont les indices sont y et F j la formule précédente deviendra alors

et ne renfermera plus rien d'incontiu. De plus, pour tous les points du plan AB ^ on a r^ =: r; on uura

donc ^ ^= T* ^ ®* comme on a aussi pour ces mêmes

points a:=Aetar^ = — A, il en résultera u = o; en sorte que la formule (lo) représentera l'état initial du fluide, et remplira la condition relative aux points adjacens au plan AB; ce qu'il s'agissait d'obtenir.

Soit M le point du fluide dont les rayons vecteurs CM et C^M sont r et r^ ; en vertu des deux parties de

la formule ( lo)^ ce point sera d'akord ébranlé ati bout

d*ua temps égal à -^^^ , et ensuite au bout d'un

temps égal à , en désignant toujours par € le

rayon de l'ébranlement primitif. Le premier mouvement produira le son direct, et le second le son ré^ fléchi. Celui-ci sera le même que si le plan ÂB n'existait pas, et qu'un second ébranlement identique avec celui qui a lieu autour du point C , ait eu lieu simultanément autour du point C^. Il se propagera avec la même vitéfese a que le son direct, et aura l'intensité correspondante à la distance C^M, ou à la ligne brisée CEM, en supposant que E soit le point où le rayon C^M coupe le plan AB. Enfin EF étant la normale à ce plan, les deux parties CE et ME du rayon sonore qui se réfléchit au point E, feront l'angle d'incidence CEF égal à l'angle de réflexion MEF. Ainsi, il résulte de la formule (lo) que les lois de la réflexion du son sur un plan fixe sont exactement les mêmes que celles de la lumière.

664* Comparons maintenant la vitesse a , donnée par la théorie , a celle qui a été déterminée par l'expérience ; et pour cela, voyons d'abord ce que signifie la quantité € contenue dans son expression.

D'après les valeurs de p, />, c, du n® 657, on a

ou plus simplement

HYDRODYNAMIQUE. 7i3

en négligeant le carré de s. Supposons que d soit laugmentation de température qui répond à cette condensation s ; de sorte que la température , qui était 6 dans l'état d'équilibre , devienne 6 + )i ^u bout du temps t , dans Fétat de mouvement. A cet instant, la pression p, la densité p et la températurc 6 + ^9 auront lieu simultanément; d'après réquation (i) du n* 624» on aura donc

en désignant par k un coeiBcient indépendant de la densité et de la température, et par a le coeiBcient OyOoSyS de la dilatation des gaz. Dans l'état d équilibre , on a

p = gmh, p = D, u = o; appliquée à cet état, Téquation précédente sera donc

gmh = X:D(i + a6};

par conséquent, on aura, dans letat de mouvement,

et, en comparant cette valeur de /? à la formule (a), il en résultera

ttH

Or, si Ton suppose les vibrations de Tair assez rapides pour quie la condensation s ait lieu sans aucune perte de chaleur, on pourra mettre ^ et » à la place

7i4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

de cT et û> dans Téquation (5) du n^ 636; ce qui

donne

y étant le rapport de la chaleur spécifique de Fair sous une pression constante, à sa chaleur spécifique sous un volume constant.

La valeur de a* du n* 657 deviendra , de cette manière ,

Si Ton appelle A la densité de Tair sous la pression gmk et à la température zéro, on aura (n° 624)

1 +«9' et par conséquent ,

Puisque la quantité y est regardée comme indépendante de la température et de la pression (n* 657), on voit , i**, que la vitesse a croîtra avec la température 6 dans le rapport de v/i + afl à lunité; 2°. qu'elle ne variera pas avec les hauteurs barométriques, puisque A et A croissent en même temps et dans le même rapport. Les académiciens Français envoyés au Pérou , pour la mesure d'un arc du méridien, ont, en efiet, trouvé à peu près la même vitesse du son à Quito, où la pression barométrique n'était pas tout-à-fait de o",55, qu'à Paris, où elle s'élève à 0^,76. L'état hygrométrique de l'air doit influer un peu sur

HYDRODYNAMIQUE. 7 1 5

la valeur de a: la densité diminuant, toutes choses d'ailleurs égales, à mesure que l'air contient une plus grande quantité de vapeur, la vitesse a augmentera avec le degré d'humidité; mais d'après les données du n'63i , à la température de i8%75, par exemple, la densité de l'air sec excède à peine de -^ , celle de 1 air chargé du maximum de vapeur; ce qui ne fait qu'une variation de -^ pour la vitesse du son dans ces deux états extrêmes de l'hygromètre.

Dans l'expérience la plus récente que l'on a faite sur la vitesse du son, les commissaires du Bureau des Longitudes ont trouvé

en prenant la seconde pour unité , et la température de l'air étant i5',9 du thermomètre centigrade. Or, si l'on fait dans la formule (6)

on en déduit

ce qui diffère peu du résultat de robser\'ation. En prenant (n* 637) ,

y = 1,421, et conservant toutes les autres données , on trouve

a = 342^,69, dont la différence avec l'observation est en sens cou-*

7i6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

traire de la précédente , et toujours très petite. Sr l'on se sert de la vitesse observée, pour déterminer la valeur de y au moyen de la formule

on obtient, d'après les données précédentes,

665. Il ne faut pas perdre de vue, en comparant cette dernière valeur de 5^ à celle qui la précède ,^ qu elles supposent Tune et lautre la dilatation ou la condensation de Tair assez rapide pour que la quantité de chaleur du fluide n'ait pas le temps de varier sensiblement. Or, dans la propagation du son à l'air libre, d'où l'on a déduit la valeur 7=1 ,4061, il est possible que la chaleur s'échappe ou revienne plus facilement sous forme rayonnante, que dans le son produit par l'air renferhié dans un tube , dont la considération a donné l'autre valeur y == i,4^ï, et où la quantité de chaleur de chaque couche d'air ne peut guère varier que par le conlact avec les parois du tube. Cette remarque pourrait expliquer la différence des deux résultats, et porterait à penser que la plus gi*ande valeur de y est la plus exacte.

En n'ayant point égard à cette quantité, la vitesse

du son, réduite a y ^fr- j est celle que Newton a

donnée. Elle est trop petite de plus d'un sixième. Pour qu'elle s'accordât avec l'expérience, Lagrango avait remarqué qu'il faudrait supposer que la pression

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variât dans un plus grand rapport que la densité, et fût proportionnelle à peu près à la puissance |; et, en effet, en négligeant le carré de s, la valeur de /?, dont nous avons fait usage , est

poor la densité D(i + ^)« Mais il n'a assigné aucune cause de cette variation plus rapide de la force élastique de l'air; et c'est Laplace qui la attribuée, le premier, à la variation de température dont les condensations et les dilatations alternatives de Tair sont accompagnées dans le phénomène du son.

C'est à cette même cause qu'est due la propagation du son dans la vapeur d'eau au maximum de densité. Si l'or^ fait vibrer un corps sonore dans un vaisseau fermé, qui contienne cette vapeur non mélangée d^air, l'expérience prouve que le son se produit dans cette vapeur et s'entend au dehors. Or, si la température de la couche de vapeur adjacente à ce corps sonore n'était pas augmentée, quand elle est condensée par les vibrations de ce corps, elle se réduirait en eau et se précipiterait sur ce corps, puisqu'on la suppose au maximum de densité relatif à la température de l'espace où elle se trouve ; mais sa température augmentant par la compression , la couche ad-, jacente au corps sonore peut se maintenir à l'état de vapeur: elle condense ensuite la couche suivante, celle-ci , la couche qui vient après, et ainsi de suite; de sorte que le son se propage, comme dans un gaz permanent, jusqu'à la paroi intérieure du vase. Les dilatations des couches de vapeur, qui suivent leurs

condensations, sont accompagnées dune diminution de température t qui ne les réduit pas non plus en eau y puisque leur densité diminue en même temps, et descend au-dessous du maximum relatif à la température de l'espace où se {>asse le phénomène.

666. En considérant Teau comme un fluide on peu compressible et parfaitement élastique, le son s y propagera suivant les mêmes lois que dans une masse d air. Parvenu à la surface de l'eau , le son sera en partie transmis dans Tair extérieur, et en partie réfléchi dans l'eau ; dans ce partage , la direction des ondes sonores , transmise et réfléchie, se déterminera suivant les lois de la réfraction et de la réflexion de la lumière. La vitesse du son réfléchi sera la même que celle du son direct, et les rapports des intensités du son transmis et du son réOéchi entre elles et avec l'intensité du son direct, dépendront du rapport des vitesses de la propagation du son dans les deux milieux superposés, c'est-a-dire, dans l'air et dans l'eau. C'est ce qu'on peut voir dans les mémoires cités au commencement de ce chapitre ; ici , nous nous bornerons à calculer la valeur numérique de la vi|esse du son dans une masse d'eau.

D'après ce qu'on a vu , dans le cas d'un fluide élastique, celte vitesse sera la même que si l'eau était contenue dans un tube très étroit et d'une largeur constante; et, dans ce cas , cette vitesse est aussi la même que celle delà propagation du mouvement, suivant la longueur d'une verge élastique de la même matière que leau. Or, supposons qu'une colonne d'eau contenue dans un cylindre vertical , soit chargée d'un

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poids A à sa partie supérieure ; soient / sa longueur naturelle y et / — S'if ce qu'elle devient par l'effet de cette pression ; de sorte que cT soit une fraction très petite, qui exprime la condensation du liquide; soient aussi p son poids , et g la gravité ; si Ton fuit , comme dans le n® 494 9

a sera la vitesse demandée , ainsi qu'on Ta vu dans le

Appelons b la section horizontale de la 'colonne

d'eau ; supposons que la charge A soit égale au poids

d'une colonne de mercure qui aurait b pour base, et

.dont la hauteur serait représentée par h; désignons

aussi par m la densité du mercure, et par p celle de

Teau ; nous aurons

A = gmhb, p = gplb;

et il en résultera

en sorte qu'il suffira pour calculer la valeur de a , de connaître la fraction cT relative à une hauteur donnée h.

A la température de 10 degrés centigrades, le physicien anglais Canton a trouvé

cT = 0,000046,

sous une charge équivalente à la pression ordinaire de l'atmosphère. Ce résultat a été confirmé, comme on la dit précédemment (n® SyS), par les

expériences récentes qu'on a faites sous des pressions plus considérables , et qui ont donné une condensation proportionnelle à la pression et égale à la valeur précédente de cT^ pour chaque pression atmosphérique. De plus^ ces expériences, quelque grande qu'ait été la pression y n'ont indiqué aucune augmentation sensible de température; en sorte qu'il n'y a pas lieu de croire que la propagation du son dans l'eau , soit accompagnée , comme dans l'air, d'une variation de température qui puisse influer sur sa vitesse. Cela étant, si l'on substitue cette valeur de J" dans la formule précédente , et qu'on y fasse

on eu déduit

de manière que la vitesse du son dans l'eau surpasse le quadruple de sa vitesse dans l'air.

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