PARTICULIERE
667. La supposition que nous admettons dans ce cbapitre.est connue sous la dénomination ^kypo^ thèse du parallélisme des tranches. Elle consiste à supposer que quand un fluide pesant , de Teau , par exemple, s'écoule dans un vase, et sort par un orifice horizontal pratiqué au fond du vase, les tranches horizontales et infiniment minces se remplacent successivement y en demeurant parallèles à elles-mêmes. Cela revient à négliger les diflerences des vitesses verticales des points qui appartiennent à une même tranche horizontale, et à regarder chaque tranche comme composée des mêmes points du fluide pendant toute la durée du mouvement. On néglige aussi les vitesses horizontales , qu'on suppose très petites par rapport aux vitesses verticales , et qui influent peu sur la vitesse verticale commune à tous les points d'une même tranche. Ces suppositions sont d'autant plus conformes à Tobservation , que les dimensions horizontales du vase varient moins , et que leurs différences, d'une tranche à une autre , sont plus petites, eu égard à la hauteur du liquide au-dessus ^ l'orifice. Quand ces conditions sont remplies , on observe , en effet ,
jM TRAITÉ DE ]VUS;CÀMIQUE.
que des parcelles d'une poussière légère, jetées dans le Ûquide et entraînées par son mouvement, se meuvent, à peuMps verticalement y avec une vitesse a peu près égale pour toutes les parcelles qui se trouvent dans une même tranche horizontale. Elles conservent ces di-< rections tant qu'elles ne sont pas très rapprochées de 1-orifIce ; quand elles en sont k de petites distances , et que rétendue de Tôrifice diffère notablement de celle des sections inférieures du vase, elles prennent des directions oblique», qui montrent qu'alors le parallélisme d^ tranches cesse d'être admissible; car il y a H^u da croire que ces légères particules ^'attachent au liq^id^, et prennent exactement le mouvement des points auxquels elles répondent.
P^qs l'hypothèse du parallélisme des tranches , tdle que qQus l'expliquons, on aura donc seulement deux inconpqes 1^ déterminer, en fonctions dq deux vari»^ blés, savoir : la vitesse d'une tranche quelconque et la pression qu'elle éprouve , en fonctions de la distance à un plan horizontal et du temps. La question sera ainsi réduite il sa plus grande simplicité, et susceptible, comme on va le voir, d'une solution complète^ dans Iç cs^ d'uu fluide homogène et inotMBpressible.
66a. Soient ABCD ((ig. 56 ) le vase, ÂB l'orifice horizontal , EF le niveau du liquide, (Xr un axe yer^ tical» sur lequel on compte les distances des tranches horizontales à un point fixe 0 , ou au plan horizontal ndei^ par ce point. Soil aussi MNM'N' une tranche quelconque, comprise entre deux sections bori-zontoles MN et M^' du vase, dont la distance au ppîot Q est X ao bout du temps t quel|pnque , et
HYDRODYNÂI|^UE. 7i3
dont Tëpaisseur est dx. ÂppRons v sa vitesse an même instant , et /i la pression rapportée à l'nnitë de surface , qui a lieu sur la base supérieure MN , et est transmise ^ par le fluide , vit la base inférieure M'N' et sur les parois MM' et NN' du vase. Désignons par^ Taire de la section MN du va^e ^ qui sera donnée , dans chaque exemple ^ en fonction de x. Enfin, soient g la gravité et p la densité constante da fluide ; la question consistera , comme on vient de le dire y à déterminer les valeurs de i^ et ^ en fonctions •de ^ et jr.
La masse de la tranche que nous considérons sera le produit fjdbc de la densité p et de son volume ^^^ir. Si elle était libre, sa vitesse augmenterait de gdt pendant Finstant dt\ elle augmente réellement de. du ; la vitesse perdue est donc gdt -— dv ; et l'on a
pour la force perdue , c'est-à-dire , pour la partie du poids gpjrdx détruite par la pression des autres tranehes^ D'après le principe de D'Alembert, il y aura donc équilibre dans le fluide , si Ton suppose toirtias ses tranches sollicitées par de semblables forces ; dans cet état , la pression pjr qui a lieu sur la base supérieure MN de la tranche' p^d[r, se transmettra , en raison des surCaces ( n^ 577) , sur la baâé inlerieave M'N^, et deviendra , conséquemment , py^^ en désignant par y Taire de IMfN' ; par conséquent , si Ton ajoute à cette pression transmMèy la force motrice précédons, on aura ta pression ' totale exiercée sur
7^4 TRAITjy)E WÊCAlflQUE.
M^N'; et en represeiMmt par p' cette pression , rapportée à l'unité de surface , il en résultera
py = p/ + (g — ^)p-r^-
Or , les quantités p^ et f sont ce que deviennent p et y^ quand on y met x^^dx zxi lieu de x ; en négligeant les infiniment petits du second ordre,' on aura donc
et, conséquemmenty
ce qui réduit l'équation précédente à celle-ci :
que l'on obtient aussi en mettant gf -^ ^ à la place
de X dans la troisième équation d*équilibre du n« 58a.
669. La seconde équation nécessaire pour déterminer les deux inconnues p etp^ sera fournie par la considération de l'incompressibilité du fluide. Q en résulte que le voliune du fluide qui passe, pendant Tins^ tant dt , par chaque section horizontale du vase , doit être le même pour toutes les sections ; par conséquent, les vitesses du fluil||ie qui répondent , en même temps> a deux sections différentes du vase, doivent être réci--
ir
HYDRODYNAMIQUE. 728
proquement proportionnelles aux aires de ces sections. Si donc on appelle u, an bout du temps ^ , la vitesse qui a lieu à Torifice horizontal AB; que l'on représente par a l'aire de cet orifice , et que l'on compare cette vitesse à celle qui répond à la section quelconque MN , on aura
if : u :: a : jr;
d'où l'on tire
Dans cette valeur de i^, u est une fonction de ^ , et jr une fonction de x; on peut donc en prendre la différentielle par rapport à Tune ou à l'autre de ces deux variables : la différentielle relative à jc exprimerait la différence çnire les vitesses de deux tranches consécutives, qui ont lieu au même instant; en différentiant par rapport à ^ , on aurait la différence entre les vitesses de deux tranches du fluide , qui répondent successivement à la même section du vase ; mais pour avoir la différence entre les vitesses successives d'une même tranche , qui se déplace pendant l'instant dt, il faut différentier à la fois la valeur de if par rapport aux deux variables ^ et j: , en considérant la seconde comme une fonction de la pre* roière ; ce qui donne
dv ^^ A du au djr dr
dt jr dî '^ j* dx rfT*
On a d'ailleurs -^ =: p ; et en ayant égard à l'équa-
7a6 ' TRAITÉ VB HËCANIQUE.
tion (2)f il en résulte
du et du êt*U* âf
Cest cette valeur de -^ 9!^'^ ^^ emplojer dans l'équation (i) ^ qui devient , en conséquence ,
-^ = ffû — ^ — 4- — ^
Je multiplie ses deux membres par dx ; j'intègre ensuite par rapport à ir ; et en observant qu'alors les
quantités i^ et ^ doivent être regardées comme des
constantes , il vient
- du rdx ei^pïâ
€ étant la constante arbitraire qui peut être une fonction de f. Pour la déterminer, je représente par «ir la pression atmosphérique , et je suppose que ce soit celle qui a lieu à la surface supérieure EF du liquide. Avant que le mouvement commence, cette surface est horizontale; et comme on admet que chaque tranche horizontale se compose constamment des mêmes points du fluide, il s'ensuit que la surface EF demeurera horizontale pendant toute la durée d|i mouvement. Au bout du temps ^ , je désigne . par 6 la distance de EF au point 0 , et par œ l'aire de cette section variable du vase, de sorte que (d soit la même fonction de 0 que y est de ^ ; on aura à la fois
HYDRODYNAMIQUE. ^i^
— ccmmenae à
a:=flf, réquatiôn précédente donnera
= '»■ +^ — gpfl;
au moyen de quoi ^ cette équation deviendra
durdx J
Les équations (2) et (3) ferant tionnaitre immédiatement les valeurs des deux inconnues v el py lorsqu'on aura déterminé la valeur de u.
670. Pour cela, j'observe que la pression qui a lieu a Torlfice AB sera donnée : si le liquide s*écoule dans l'air libre , elle sera la pression atmosphérique, comme à son niveau ËF; s'il s'écoule dans le vide, elle sera zéro; pour plus de généralité, je supposerai que .l'écoulement a lieu dans un air dont la Iforce Mastique est égale à la pression «cr, diminuée de la; pression gpc correspondante à une hauteur donnée c du liquide; en sorte qu'en appelant /la distance de l'ot^éce AB au point 0 , on aura constamment
p=zv^gpc,
pont a:t=t l. Tappelle aussi h la hauteur du niveau EF du liquide au-dessus de cet orifice , ou la différence
l — 6 , et je représente par - la valeur de l'intégrale
— , étendue au volume entier du liquide ; de ma^
728 TRAITÉ DE MÉCAHIQUE.
nière que A soit une ligne , dont la longueur sera une fonction de h , dépendante de la figure du vase , et donnée dans chaque exemple. A Toirifice, on aura donc , en même temps, la valeur précédente de/?, et
par conséquent, Téquation (3), appliquée à cette section du vase , deviendra
en faisant, pour abréger,
On peut remarquer que cette quantité numérique 6* sera toujours une quantité positive et moindre que l'unité ; car, pour qu'elle devint négative^ il faudrait que l'aire de la plus petite section du vase surpassât celle de l'orifice, et le liquide se détacherait du vase à l'endroit de cette «section minimal qui deviendrait le véritable orifice par lequel l'écoulement aurait lieu.
Lorsque le niveau du liquide sera entretenu à une hauteur constante au-dessus de l'orifice, les trois quantités A, 0, A, seront des constantes données , et l'équation (4) suffira pour déterminer la valeur dé u en fonction de t. Quand le niveau EF s'abaissera pendant l'écoulement du liquide, h sera une variable qu^il faudra aussi déterminer en fonction de t. Or, à ce
niveau, on a^ = fi> et ^ = ^; et a cause que la.
HYDRODYNAMIQUE. 7*9
sonamc O-f-A est aire constante /, ona aussi ^^— ^;
sa vertu de l'équalion (2) on aura donc
et les valeurs de u et â dépendront des deux équations différentielles (4).^^ (S), qui sont du premier ordre. On déterminera les deux constantes arbitraires que leurs intégrales contiendront, au moyen de la hau-» leur initiale du liquide , et en observant qu'on a tt = o, à l'origine du mouvement.
Soit que le niveau s'abaisse ou qu il n& varie pas ^ si Ton appelle q le volume du liquide sorti du vase au bout du temps ^ , sa différentielle sera égale au volume audt de la tranche qui traverse Torifice AB pendant l'instant dt; on aura donc
dq = audt, q =: etfudt;
l'intégrale étant prise de manière qu'elle s'évanouisse quand ^ = 0.
Nous allons appliquer successivement ces différentes formules aux deux cas du niveau constant et du niveau variable.
