CHAPITRE VIL Du choc des corps de forme quel-conque j pag'e

En quoi consiste le problème du choc des corps, dans le cas le plus ge'nëral , n« 4^5

Équations fournies par le principe de D'Alen^)ert, dans le cas de deux esrps de forme quelconque et entièrement libres 9

u«>* 466 et 467

Inde'termination du problème, quand on n'a pas égard à la compressibilité des mobiles; équation nécessaire à sa solution, et qui résulte de cette compressibilité, quelque ^ petite qu'elle soit , n*^ 468

Modification des formules du n* 4^7» provenant du degré d'élasticité des mobiles ; le problème est complètement résolu dans les deux cas des corps, entièrement déuués d'é-* lastidté , et des corps parfaitement élastiques , n** 469

Le choc de deux corps n'altère pas les vitesses de leurs centres de gravité , parallèlement au plan tangent à leurs surfaces, mené par leur point de contact, non plus que les moraens de leurs quantités de mouvement , rapportés à leur normale commune , n** 4?^

Quand cette normale passe par le centre de gravité de l'un des deux corps, son mouvement de rotation autour de ce point est le même avant et après le choc ; cas où cette

(*) Le numéro qni devrait se trooTer au bas de la page 347 a cie omît par cnear , et Ton eit oblige de rvp<{tcr U numéro prccëdeul.

xvi TABLE DES MATIÈRES.

^ II. F'ibraiiM longitudinales et une verge élastique^ page 3i6

Hypothèses que l'on fiait sur cette verge; son mouyeinent

, longitudinal dépend de la même équation aux différeiices

: partielles que celui de la corde tendue , et ne diffère de celui-ci que par les conditions relatives aux extrémités de la verge, n^* 498 et 494

Solution du problème , analogue k celle du n® 4^ » ^^^ ^^

vibrations dans les différeus cas rdatifs. aux extrémités ;

élévation du ton fondamental , à raison des nœuds de

' vibrations , n** 49^

Cas ou la verge s'étend indéfiniment ; pirepagation des ondes sonores dans une barre homogène, cylindrique ou prismatique ; conditions pour qu'une onde sonore ne se par- * tage pas en deux autres ; comment la vitesse constante de cette propagation se conclura du ton longitudinal d'une verge élastique de la même matière que ' la barre ,

n** 496 et 497

Cas où la barre est terminée d'un côté ; réflexion du son à cette extrémité; les lois de la propagation et de la ré*flexion du' son dans un canal cylindrique rempli d'air,, d'un gaz quelconque , ou d'un liquide , sont les mêmes que dans une barre solide ; celles des vibmtions des veines élastiques conviennent aussi aux sons des fiûies , et des tuyaux

' à! orgues, sauf les modifications relatives à l'embouchure,

J III. Choc longiludinml des verges élastiques , page 33 1

Comment on pourra appliquer les formules du n® 49^ ^^ choc longitudinal des verges élastiques ; ce phénomène consiste dans l'action , à distance insensible , des points extrêmes des deux verges ; les vitesses de ces points varieront très rapidement , et seront inconnues pendant la durée du choc\ n*^ 499

Conditions pour que les deux verges se séparent après s*être rencontrées, et que le choc se termine , n°' 5oo et 5oi

TABLE DES MATIÈRES. ivij

£^Uon8 commune^ à tous les points des d^àx verges , excepté les points extrêmes par lesquels elles se choquent ,

n^'Soi

Application des formules du n* ^9^ au choc de deux verges

' entièrement libres ; sommation des séries pe'riodiques

qu'elles renferment ; on vérifie qu'elles représentent l'état

initial des deux verges , ' n^ 5o2 et 5o3

Les deux verges d§ m6me inatière et de même diamètre se

séparent dans le seul cas où .elles ont une même longueur ;

durée de ce choc; échange des^vitesses primitives; cas

où l'une d«8 deux veines est composée de plusieurs parties,

dont une se sépare des autres après le choc , n^ 5o4

Choc d'une verge dont l'extrémité est fixe , par une verge

. entièrement libre; réflexion de celle-ci avec une vitesse

égale et contraire à la vitesse primitive , quelles que soient

les longueurs des deux verges ; durée du choc, n^ SoS et 5o6

J lY. Digression sur les intégrales des équations aux diffé" rences partielles , P^K^ ^4?

Le nombre des fonctions arbitraires que renferme l'intégrale complète d'une équation aux différences partielles, peut être moindre que le nombre qui marque l'ordre de cette équation ; il peut changer avec la variable par rapport à laquelle la série est ordonnée ; toutes les fonctions arbi4 traires peuvent disparaître , et se trouver remplacées par des séries infinies de constantes arbitraires; dans ce cas singulier, l'intégrale complète est exprimée par la somme d'am nombre illimité d'intégrales particulières, n^ 607 et 5o8

Exemptes très simples de ces diverses transformations ,

n®* 609 et 5io

Les séries qui se présentent dans cet exemple , et l'intégrale de Téquation donnée , peuvent s'exprimer sous forme finie, au moyen d'une intégrale définie, n*'5ii

Valeur d'une intégrale définie qu'on a souvent occasion d'employer, n**5i2

Application de ces considérations générales aux équations

xviij TABLE DES MATIÈRES.

linéaires relatives à des problèmes de Physique et de MëcaDÎqae ; leurs intégrales complètes s'expriment , généra* lement ,• par des séries d'exponentielles ou de sinus et cosinus, dont les exposans ou les arcs sont proportionnels au temps ; par la manière dont elles sont obtenues | on est certain que ces expressions en séries, des inconnues d'un problème , en renferment la solution la plus générale ; il y a un procédé uniforme pour déterminer dans' chaque cas les coefficiens de ces séries, d'après l'état initial du système ; après cette détermination , si l'on fait le temps égal à zéro dans ces séries , on oUtient des séries particulières qui représentent les fonctions.arbitraires relatives à cet état initial , mais seulement dans l'étendue du système, n**' SiS,

5i49 5i5et5i6

Toute solution d'un problème dans laquelle on n'a pas yéri-

fié, à posteriori, l'exactitude de ces dernières séries, ou

démontré , à priori, la généralité de l'intégrale en série dont

on a fait usage, doit être regardée comme insuffisante,

§ V. Vibrations transi^ersales dune verge élastique, page 368

On énonce les diverses sortes de vibrations dont une verge élastique est susceptible , et entre lesquelles l'analyse a fait connaître des rapports que l'expérience a confirmés , n** 5 1 8

Équation du mouvement transversal , et conditions relatives aux extrémités, n** Sig

Calcul du coefficient que renferme cette équation , dans différentes hypothèses sur la section transversale de la verge,

n^ Sao Intégrale en série de cette équation , n^ 5i\

Détermination des coefficiens de cette série , d'après l'état initial de la verge, par le procédé indiqué dans le n® 5i5; formules du n® 5i6, relatives à l'état initial de la verge ; cas où elle doit prendre un mouvement de translation ou de rotation , n®' Sni et 523

On démontre , dans le cas de la vei|;e libre par ses deux bouts,

TABLE DES MATIÈRES. xix

la réalité des racines de l'équation transcendante qui sert à déterminer les coefficiens du temps sous les sinus et cosinus contenus dans l'intégrale en série , n® 624

Condition pour que la verge exécute des vibrations isochrones ; les différens tons que la verge libre peut fjEÛre entendre, dépendent des racines de Téquation précédente ; toutes x:hoses d'ailleurs égales, ils varient avec la figure de la section tratos-

. versale , et leur élévation est en raison inverse du carré de

. la longueur ; détermination des nœuds de vibration qui leur correspondent, n^ 5^5 et 526

Vibrations isochrones d'une verge encastrée par une extrémité, et libre à l'autre bout, n*^ 527

Calcul dn nombre de vibrations correspondant au ton fondamental et aux tons plus élevés , dans le cas de cette dernière vei^e élastique , et dans le cas de la verge libre aux deux extrémités, n? 628

Comparaison des nombres de vibrations transversales et longitudinales d'une même verge, n? 629

CHAPITRE IX. Équations et propriétés génitales du mouvement d'un sjrstème de corps ^ page SgS

% i**. Equations générales du mouvement, ibid.

Combinaison du principe de D'Alembert'et du principe des vitesses virtuelles , n® 53o

Elle conduit à une formule générale , d'où l'on déduira , par un procédé uniforme, toutes les équations différentielles du mouvement d'un système de points matériels, dont la liaison mutuelle est exprimée par des équations données ; ce procédé fera aussi connaître les tensions des liens physiques, et les pressions sur des surfaces ou sur des courlis données, qui auront lieu pendant le mouvement, n"* 53 1

On indique l'usage de la méthode fondée sur la variation des constantes arbitraires pour la résolution des équations précédentes , n*" 532