Dans le premier cas, l'équation (4) donne

.^ » ^dtdu

d'où l'on tire , en mettant h au lieu de h^c,, et intégrant

^t = ' loi- *^^+^":

73o TRAITE mS IfÉCAHIQUE.

pn n ajoute pas de constante arbitraire f parce qu'on doit avoir i£=:o, quand t=siO. On pourra, sans changer cette formule , regarder, k volonfëj b et y2gk, comme des quantités positiyes OU négatives ; nous les supposerohs positives. L'on aur^npciproquement,

eu désigtiant , comtne h rordinaîre , par e ta l>ase des logarithmes népériens. A mesure que t augmentera, le second meitibre de cette équation diminuera; au lK>ut d un^i^ertain temps ^ il sera sensiblement nul ; ef à partir de cette époque, la vitesse u aura une valeur à pcm près constante , savoir :

En chaque point du vase, la pression p et la vitesse y varieront avec la vîtesde û, et deviendront sensiblement constantes en même, temps qiElè u. SA l'on

fait ^ s= o , dans la formule (3) , et qu'on y mef te

« pour u sa valeur préc^&ente, on aura

pour la valeur finale de p , relative au point quelconque M.

Dans l'état d'équilibi^y la pression en ee point serait ntr^gp{x — 6) ; elle est donc augmentée ou dî« minuée par le mouvement du liquide , selon qvl le dernier tenncMJe cette formule est positif ou négatif^

HTimODYNAMlQUE. 7St

c'est-à-dire, selon que la sectioa horizontale MN ou j, est plus grande bu plus petite que laaéctioa EF

OXi Où.

L'équation (6) donne

à cause de 9 s= afudl^ et de g.sfeO qiiaod t^sà Op oti aura donc 4P^

pour levplume de liquide sorti du vase pendant le temps THLu bout d'un certain temps, on pourra ne* jgliger la seconde exponentielle, par rapport à la première , et Ton aura simplement

Le premier terme est le volntne corregpoodant ii la

vitesse constante -^ \/2gk de l'écoulement; le volume

total est plus petit , parce qu'au comiD«3cement la valeur variable de 1^ est moindre que cette vitesse finale.

67a. Dans le cas du niveau Variable , je considère u comme une fonction de A , et j'élînune dt entre lea équations (4) et (5); ce qui donne

733 TRAITÉ DE MÉGAIÏIQUE.

en comprenant toujours la constante c dans h, J^ap-' peliez la hauteur due k la vitesse u, de sorte qu'on ait

u* = 2gZy udu = gdz.

L'ëquation précédente se change en une équation linéaire, savoir :

dont l'intégrale s'^^gdgndrA, comme on sait, sous forme finie. ^w

Connaissant z et tt en fonctions de h^ l'équation (5) donnera t en fonction de  , par une intégration immédiate ; en sorte que Ton conimltra le temps écoUé, quand le niveau du liquide Wfk à une hauteur h au-dessus de Torifice , et , réciproquement, la hauteur h du niveau EF au bout d'un temps quelconque /• On aura le temps entier 4e l'écoulement de tout le liquide, en intégrant la valeur de^^ depuis la valeur initiale de h jusqu'à A = o, Quant au volume q du fluide écoulé , il sera , à chaque instant , égal au volume du vase compris entre le niveau variable et le niveau initial.

673. Supposons, par exemple, que le vase soit un cylindre vertical , terminé par un segment de surface dont la flèche est très petite et dans lequel est percé l'orifice horizontal AB. Soient a 1 aire constante de la section horizontale du cylindre, et 71 le rapport de a à a , de sorte qu'on ait

HYDRODYNAMIQUE. ^33

'En faisant abstraction du segment inférienr dn yase qu'on suppose très petit, on pourra prendre

dans l'équation (7), qui deviendra alors

dz dh

Son intégrale complète est

ii«— I

z = CA''— • —

Af

en désignant par C la constante arbitraire. Si on ap< pelle H la valeur initiale de  , il faudra que z s'évanouisse pour A = H ; ce qui exige qu'on ait

d'où il résultera , i un instant quelconque , On aura y en même temps,

et, en verta de l'éqnatiou (5),

dt

Cest donc cette formule qu'il faudra intégrer pour obtenir t en fonction de h. Dans le cas de n s= i , on

d'où l'on tire ,

/l=V'3g(A rf- C).

U ea resuite ce théorème : que la vitesse d'un liquide qui sort d'un vase par un très petit orifice , est égale à celle qu un corps pesant acquerrait en tombant dans le vide y d'une hauteur égale à celle du niveau du liquide au-dessus de cet orifice , quand les pressions supérieure et inférieure sont égales, ou, plus généralement, de la hauteur du niveau , augmelntée de la constante'^ quand ces deux pressions sont inégales. Dans le cas du niveau constant , ce théorème résulte de la valeur finale de u , trouvée dans le n* 671, en y faisant ^ = 1. Il résulte aussi de la formule (8), appliquée au cas où n est un très grand nombre', afin quQ4k>rifice et soit une très petite partie de la section horizontale a du cylindre. On peut alors mettre n* à la place de n* — a; ce qui change d'abord la formule (8) en celle-ci :

«=v/:.fV^-(ir

Or, dèa|||ue h^era notablement moindre que H, la puissance 71* du rapport r? sera une très petite

(hiction, et cette valeur de k se réduira, à très peu

près, à u:==:\/agh.

L'orifice AB étant très petit, si la section MN n'est pas très voisine de cette ouverture, le rapport — , qui entre dans la formule (5), sera très

petit; le rapport — l'est également ; on pourra donc

HYDRODYNAMIQUE. ^3^

Supprimer le dernier terme de cette formule; et si l'on néglige aussi le terme multiplié par a , eUe se réduira à

P = * + gp(j^ — Ô)î

dW Ton conclut que , dans le cas d'un très petit orifice, *la pression en tous les points du vase éloU gnés de cette ouverture, est sensiblement la même pendant le mouvement que dans l'état d'équilibre* 675. L'hypothèse du parallélisme des tranches exige, en général, que l'orifice soit horistontal; mais, dans le cas d'un très petit orifice , on l'admet encore lorsque le liquide s'ëcoule par une ouverture laté^ raie, dont le plan a une inclinaison quelconque, et peut même être vertical. L'observation fait voir quV lors le liquide situé à peu de distance au-dessous de cette petite ouverture , demeure stagnant, et que led tranches horizontales situées k une pareille distance au-dessus de cette même ouverture , descendent pa« rallèlement à elles-mêmes; en sorte que le parallélisme des tranches n'est troublé , comme dans le cas d'un petit orifice horizontal, que pour la partie du liquide très voisine de l'orifice. On pourra donc

prendre \/2g {h -(- c) , pour la vitesse d'un liquide qui s'écoule^r une très petite ouverture, quelle que soit l'inclinaison de cet orifice; h étant la hauteur variable ou constante du niveau du liquide au-dessus du centime de l'orifice, et c la constante provenant de la différence des pressions extérieures qui répondent à ce niveau et à cette ouveiiure. Si le vase est placé dans le vide, de sorte que les deux pressions et cette 2. 47

constante soient nulles, les rooléci^les du liquide au^

ronty en sortant du vase^ la vitesse K/agh due à la hauteur h, qui est aussi la vitesse uécessaire pour s'élever, dans le vide, à cette bautcur (n^* i3o). Par conséquent, si Ion donne au fluide, au moyen d*un tuyau , une direction verticale, il remontera , au dehors, à la hauteur de son niveau intérieur; ce.. qui est, en effet , conforme à Icxpérience. Généralement, les molécules du fluide décriront dans le vide, après un très court intervalle de temps , des paraboles dont la tangente h leur point de départ dépendra de la direction du jet, et le paramètre , de la hauteur h ou A -f* c, si la constante c n'est pas nulle.

La pression p sera sensiblement la même que dans lelat d'équilibre, excepté à l'orifice, où elle sera égale à ^ — gfc, au lieu de ^'\-gfh. Or, si elle était aussi égale à «r .-|- gfh sur cette partie du vase , les pressions horizontales se détruiraient , les pressions verticales se réduiraient au poids du liquide, augmenté de la pression nsrcû qui a lieu sur la surface dy niveau ; d'où l'on peut conclure que , dans l'état de mouvement , la charge totale que le vase aura à supporter se composera de la pression verticale qui aurait lieu dans l'état d'équtlibre, et d'une force normale au plan^oé Torifice, dirigée de dehors en dedans du vase, et égale à l'excès de la pression (^'i'gfh)cL sur la pression (<tr — gfc) et , ou à gp(h + c)a f en désignant toujours par a l'aire très petite de cet orifice.

676. Dans le cas d'un niveau constant et d'un orifice très petit, horizontal ou incliné, la dépense pen*

HYDRODYNAMIQUE. . 789

dant le temps t , cest-à-dire, le volume q du liquide qui sort du vase avec la vitesse \/2gh , sera

ce qui résulte aussi de la valeur finale de q trouvée dans le n** 67 1, en y négligeant le carré de a. Mais on ne doit pas oublier que Thypothèse du parallélisme des tranches, sur laquelle cette valeur de q est fondée, n'est qu une approximation dont le degré d'exactitude ne peut pas être évalué à priori, et dont les résultats ne doivent pas être employés sans restriction. Or, Texpérience ne s'accorde pas toujours avec cette valeur théorique de la dépense.

Si la pardi du vase n'est pas très mince, et que Touverture pratiquée dans son épaisseur soit évasée intérieurement, de telle sorte que le fluide qui secoule hors du vase soit un cylindre vertical , ou un cylindre recourbé dont les sections normales soient constantes et égales à Faire a, de l'orifice , prise sur la surface extérieure du vase; dans ce cas, disonsnous , la dépense observée s'accorde avec la valeur pr^édente de q. Mais dans le cas d'un orifice en mince paroi, la dépense observée est toujours p^'oportionnelle à l'aire de l'orifice , et à la racine carrée de rélévation du niveau , comme dans la formule théorique; mais elle s'écarte de cette formule dans sa valeur absolue, qui en diffère par un facteur à peu près constant et moindre que Tunité. D'après les expériences qui méritent le plus' de confiance , ce facteur est 0,62 ; en sorte que la valeur de q, dont on*

74o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

fait usage dans la pratique, est

q t=, ( 0,62 ) at \/2gKy

pour un très petit orifice en mince paroi , et une hauteur du niveau assez grande par rapport aux dimensions de cette ouverture , liorlEontale ou inclinée. On attribue cette diâerence aux directions inclinées que prennent les niolécules du liquide en approchant de lorifice, que je suppdse.horizontsd , pour fixer les idées; directions quelles conservent après avoir traversé la mince paroi du vase. Il en résulte que la veine fluide extérieure se rétrécit, jasqu a une petite distance du vase, où la section transversale est à son minimum j pour devenir ensuit^ constante. Ce phénomène est ce qu'on appelle la contraction de la veine fluide. L^écoulement du fluide est le jQième que si Torifice était la section de la veine à Tendroit de sa plus grande contraction , de manière que si Ton désigne par ol Taire de cette section , et par h! sa distance constante au niveau du liquide, La

dépense sera expnmee par a!t\/2gh' ^ ou, à très

peu près, par aft \/2gh , à cause du peu de difleretice de h! et h; or, en efl*et, par des mesures directes de la section a' comparée à Torifice a^ on trouve que ces deux quantités sont dans un rapport à peu près indépendant de A , et que Ion a constamment a! ss= (0,62) a:

Si Ton adapte à Torifice en mince paroi, un aju- ^^e cylindrique en dehorsdu vase, perpendiculairoau plan de lorificc, et par lequel 1 écoulement aura lieu.

HYDRODYNAMIQUE. 741

l'expérience montre que la dépense est augmentée, et peut s'élever aux quatre cinquièmes du résultat de la théorie. Si cet ajutage est enfoncé dans Tintérieur du vase , la dépense est ^ au contraire , diminuée , et réduite à aïoitié de la dépense théorique ; en sorte que^ dan^ la valeur précédente de 9 , le facteur 0,62 doit être remplacé par 0,80 dans le premier cas, et par o,5o dans le second. Je me borne à citer sucdncteraent ces r&ultats de l'observation , qui n'ont été ramenés y jusqu'à présent, à aucune théorie.

677. On admet aussi l'hypothèse du parallélisme des tranches dans le mouvement d'un fluide élastique qui sort d'un vase par un orifice quelconque ; et elle s'écarte peu de la vérité , quand les sections du vase, parallèles au plan de l'orifice, ne différent pas beaucoup l'une de l'autre, et que la longueur du vase est assez grande par rapport à leurs dimensions.

Dans ce cas, on peut faire abstraction de la pesanteur, et supposer que le mouvement soit uniquement dû à la force élastique du fluide , plus grande ou plus petite à l'intérieur du vase qu'en dehors. On supprimera donc le terme dépendant de g dans l'équation (i), qui convient aux liquides et aux fluides élastiques. De plus, la différentielle de i^, qu'elle ix^nferme , devant être prise par rapport à < et à la variable x considérée comme fonction de /, on aura

et , comme ou a aussi -g- = i' ^ cette équation de-

viendra

dp dv , d\^ / \ ^

Le fluide étant compressible , il n'en passera' plus un même volume y à chaque instant, par toutes les sections du vase , et l'équation (2} n'aura pas lieu. La ma&se de fluide qui passe pendant Finstant dt par la section MN , sera égale à pj^i^dt ; ce Sera cette même masse qui passera , l'instant d'après , «n changeant de volume, parla section M 'N' ; et pendant toute la durée du mouvement, sa grandeur ne variera pas. La différentielle du produit f^i^, prise par rapport à ^ et à la variable x considérée comme une fonction de ^, sera donc nulle ; et à cause que jr n'est fonction que

de a:, et qu'on a — =:v , on en conclura

Enfin , si l'on suppose que la température demeure constante pendant le mouvement, dans toute la masse du fluide, on aura

P = f*; k étant un coefficient constant et donné.

Cela posé , en mettant j au Heu de f dans les

équations (a) et (b) , on aura deux équations aux différences partielles du premier ordre , pour déterminer , en fonctions de x et ^, les deux inconnues i^ et p du problème! Elles ne sont pas intégrables sous forme finie , et lés valeurs de i^ etpne pount>nt s*ob-

HYDRODYNAMIQUE. 743

tenir que par approximation. Ces yaleurs renfermeront deux fonctions arbitraires , que l'on déterminera d'après deux conditions particulières; pour cela^ je supposerai, d'une part, que l'écoulement ait lieu à l'air libre, en sorte qu'en désignant par m la pression atmosphérique, rapportée à l'unité de' surface, on ait constamment /9= 9, à l'orifice ÂB. D'un autre coté, je supposerai aussi que le vase soit en communication avec un gazomètre d'une grande capacité , au moyen duquel on entretienne une pression constante et donnée , sur une section ÏF du fluide, parallèle à AB et de position fixe, de manière qu'en désignant par ^ cette pression rapportée à l'unité de surface, on ait aussi p^=i^'y en cet endroit du vase , pendant toute la durée du mouvement. Si donc on compte la distance x à partir du plan £F, et qu^on appelle l la distance comprise entre ÂB et EF, on aura /quelque soit ^, pz=zfsr' pour x=o, et p^=:^ pour j: = / ; ce qui servira à déterminer les deux fonctions arbitraires , et à compléter la solution du problème. Mais cette solution est trop compliquée pour qu'on en puisse déduire aucun résultat utile ; et, dans la pratique, il suffit de connaître la vitesse constante de l'écoulement du fluide par l'orifice AB, lorsque la pi'ession p et la vitesse if sont devenues constantes en chaque point du vase; ce qui arrive , en général , après un très court intervalle de tempSv

. 678. Faisons donc ^ = o et ^ = o , dans les

équations (a) et {b) ; elles se réduiront à deux équa-

tions différentielles , savoir :

h âp , ds^ dr . d.ps^

à cause de p=ikf.

L'intégrale de la seconde de ces équations est

c étant la constante arbitraire* En désignant toujours par a Forifice AB ^ et par u la vitesse du fluide à cet orifice, de sorte qu'on ait à la foisj^=a, i^sii^ p:=zitBr, et, par conséquent, cz=s, amu^ il en résultera , en un point quelconque du vase ,

En substituant cette valeur de \^ dans la première équation {c) , il vient

^dp m^'u^ 'pjr ^ ^ p dx^^ pjr dx '

d'où Ton tire , en intégrant et désignant par & la constante arbitraire.

«»^'ii'

Je désigne par a l'aire de la section EF , de sorte qu'on ait, en même temps, ^ = a eïpzszraf; on aura donc

/rlog^ +^— =c', et , en retranchant cette équation de la précédente ;,

HYDRODYNAMIQUE. 745

Les équations (^ et (e) feront connaître la vitesse et la pression en un point quelconque du vase^ dès que Ton connaîtra la vitesse u relative à rorifice* Or p en faisant />= ^ etj = «( ^ dans Fëquation (é) p on en conclut

d*où Ton tirera la valeur de u. On fera , dans cette formule ,

k = grh,

en appelant g la gravité, et r le rapport de la densité du mercure à celle du fluide intérieur , sous une pression barométrique dont la hauteur est [h, le volume du fluide qui sortira du vase pendant le temps t aura pour valeur euit.

Quand l'orifice sera très petit , on remarquera, comme dans le n* 676 , qu'il ne sera plus nécessaire qu'il soit parallèle à la section EF , c'est-à-dire , qu'il pourra être pratiqué à la partie latéraje du vase , et avoir une inclinaison quelconque sur le plan de cette section. On pourra alors négliger le terme dépendant

de ^, dans le premier membre de l'équation (/) qui

deviendra

«■ = 2grA.log — ;

par conséquent , la vitesse de Técoulemenl du fluide

par un très petk orifice, sera celle qui serait due à une

hauteur rk, multipliée par le logarithme népérien du

rapport — • La supposition qu'on a faite d^une température invariable pendant toute la durée du mouvement exige que la vitesse ù ne soit pas très considérable, sans quoi la température varierait comme dans la propagation du son.

Relative à T usage du principe clés forces visses, dam le calcul des machines en moui^ement.

679. Le principe des vitesses virtuelles donne immédiatement les conditions d équilibre des forces appliquées aux machines ; celui des forces vives renferme de même la théorie de leur mouvement , et fournit le mojen le plus direct de calculer les effets des forces qui leur sont appliquées. Cet usage du principe des forces vives forme , pour ainsi dii'é , le point de jonction de la Mécanique rationnelle et de la Mécanique industrielle. Cest pomrquoi j'ai cru devoir donner succinctement , dans cette addition^les notions les plus générales sur cette matière. Pour de plus grands' développemens, j'indiquerai les leçons de M. Navier, à FÉcole des Ponts-^t-Chaussées , et de M. Poncelct, a l'Ecole de l'Artillerie et du Génie , qui ont été seulement lithographiées^ mais auxquelles ces savans professeurs donneront sans doute plus de publicité.

680. Les machines sont des instrumens ou des systèmes de corps solides , propres k transporter l'action ' des forces, d'une partie à une autre de ces assemblasses.

Quand une machine est en mouvement, certains

748 TRAITÉ DE BffËCANIQUE.

points sont donc soumis à des forces données, et d'autres partie exercent des pressions sur les corps extë* rieurs, ou sont pressées réciproquement par ces corps que .la machine est destinée à déplacer ou à déformer. Les premières forces s^appellent^/re.riitoii- \fantes; leurs points d'application se meuvent suivant leurs directions, ou, plus généralement, les directions des mouvemensdeces points font des angles aigus avec celles de ces forces. Par opposition , on nomme forces résistantes ^ les pressions exercées par les corps extérieurs ; et les directions des mouvemens de leurs points d'application sont contraires à celles de.ces forces, ou, du moins, elles font avec celles-ci des angles obtus.

La liaison des parties d'une machine est telle, qu'elle ne peut prendre , en général , que deux mouvemens directement opposés l'un à l'autre ; il s'ensuit donc que , qua^d le sens du mouvement qu'elle prend effectivement est connu ^ il suffit d'une seule équation pour déterminer ce mouvement d'une manière complète. Cette équation est celle que l'on obtient en intégrant les deux membres de l'équation {a) du n* 564 f savoir :

\ d. ^mv\ = 2m(Xd:r -f- Xdy -f- Zrfz). {a)

Au bout d'un temps quelconque t ^ compté depuis l'origine du mouvement, s^ représente la vitesse du point dont x, j^, z, sont les trois coordonnées rapportées à des axes fixes et rectangulaires ; m est la masse de ce point; dx^ djr, dz, sont les projections, sur ces axes , de l'espace qu'il parcourt pendant Tins-

' . ADDITIO». 74g

tant dt; on désigne par mX, niï, mZ , les composantes de sa force motrice parallèles à ces mêmes alces , et les sommes Z s'étendent à tous les points m du système.

681. Ayant d aller plus loin , il importe de distinguer, dans le second membre de Téquation (a) , les termes qui proviennent des forces mouvantes et ceux qui résultent des forces résistantes , et de leur donner une autre forme.

Po^r cela , soient P une des forces mouvantes , eta, € ^ y,les angles que fait sa direction avec des parallèles aux axes des x ^jr^z; relativement à cette force, on aura

inX=Pcosa, toY = PcosS, jnZ = Pcosjr.

Soient aussi ds l'espace décrit par son point d'application pendant l'instant dt, et A , ^t , y , les angles que fait la direction de ds avec ses projections djÊy djTp ^, de sorte qu'on ait

dx = ds cos Xy djr :=zds cos /Et , dz=:ds cos v*

Désignons enfin par dp la projection de ds sur la direction de la force P » et par <r 1 angle compris entre dp etiis; nous aurons

dp — ds cosff, cosffs=:cos(t cosX+cosf cos/t-f-cos^cos V ; et , de ces diverses équations , 6n déduira

mÇSJx + Ydx + Zdz)=:¥dp, •

pour le terme du second membre de Tcquation (a) , qui répond à la force P. ^

En désignant par Q une des forces résistâtes , et

75o TRAITÉ DE AIÉCANIQUE.

pnrdqla projection sur le prolongement de sa direction , de lespace parcouru pen^nt l'instant dt par son point d'application , on trouvera de même ^-Qdq pour le terme de ce second membre qui provient de la force Q. De cette manière, l'équation (a) prendra la forme

id.lEmu^ = 2Pûf/i ~ 2Qdq; (b)

Tune des sommes 2 contenues dans son second membre s'éteqdant à toutes les forces mouvantes de la machine , et Fautre à toutes les forces résistantes. D'après le.^ hypothèses qu'on a faites sur les directions de ces deux sortes de forces , eu égard au sens des mouvemens des points où elles agissent, les quantités dp et dq sont positives , ainsi que P et Q, et conséquemment, les sommes Z ne se composent que de termqs positifs.

• 682. En désignant par k la vitesse initiale du point quelconque /tz, ou la valeur de <^ qui répond à (^=^0, et intégrant les deux membres de l'équation [b), ou aura

les intégrales étant prises de manière qu'elles s'évanouissent a l'origine du mouvement.

C'est sous cette forme qu'on emploie l'équation des forces vivesi, pour calculer les effets des machines en mouvement ; elle coïncide avec 1 équation (b) du n** 564 , lorsqu'on peut eflectuer les intégrations indiquées dans son second membre.

Les jjroduits Vdp et Qdq, dont les sommes sont

soumit à ces intégrations, ont reçu diQeix;ntes dé-

nominations : ou les appelle qiumtitës d action j mo^ inens dactwitê, effets dynamiques^ des forces P et Q. Il serait a désirer qu'on les désignât toujours par un même nom. M. Coriolis a proposé de les nommer quantités de travail élémentaire i nous adopterons cette dénomination. Les sommes ^dp et ZQcijr ser ront donc les qu«intités de travail élémentaire , pro* duites pendant un même instant par toutes les forces mouvantes et toutes les forces résistantes ; et leurs intégrales f^dp et flQdq 4kprimeront le tras^ail moteur et le travail résistant qui ont eu lieu dans la machine y depuis l'origine du mouvement jusqu'à rinstant que Ton considère.

Ainsi, réquation \^c) signifiera que, dans une machine en mouvement, Taccroissement , pendant un temps quelconque, de la demi-somme des forces vives de toutes ses parties, est toujours égal à Fexcès du travail moteur sur lé travail résistant ^ pendant le même temps.

683. Si la force mouvante P, ou la force résistante Q, est un poids n, qui descende, dans le premier cas, d'une hauteur verticale A, ou qui monte, dans le second cas , à la même hauteur, le travail moteur ou résistant qui en résultera, aura pour valeur le produit P/^, quel que soit le chemin parcouru par ce poids, de manière que h soit toujours la projection verticale de la ligne droite ou courbe que son centre . de gravité a suivie. Si cette ligne est fermée ou présente des sinuosités, il y aura eu alternativement ■travail moteur et travail résistant ; et h étant la difle-* renée de. niveau du point de départ et du point d ar-

rivée , n^serarexeès du premier travail sûr le seconde Dans le cas où il n'y a pas d'alternat! ves ^ la quantité de travail correspondante à un poids II élevé à une hauteur h, équivaut à la quantité de travail qui répond à un autre poids II' élevé à une hauteur h',

telle que Ton ait A' = --7 .

Quelle que .soit la force P ouQ^FintégraleyPi^ ou fQdq est toujours équivalente au produit d'un poids n et d'une hauteur h : et pour comparer entre eux et exprimer en nombres des travaux de différente nature ^ on peut ainsi les assimiler à des poids donnés, élevés à des hauteurs données. On prend alors pour unité de travail, que Ton appelle communément unité djmandque , le travail correspondant à un poids de 1 000 kilogrammes , qù'oti élève à la hauteur d'un mètre , ou qui descend d'un mètre de hauteur verticale. Cela étant, si l'on calcule les valeurs numériques des intégrales fPdp et /Qdq, en prenant 1000 kilogrammes pour unité de force, et le mètre pour unité linéaire, les nombres que l'on obtiendra de cette manière exprimeront , en unités dynamiques, les quantités de travail représentées par ces intégrales. Une somme quelconque de force vive, telle que ^Zm(^^, par exemple, pourra aussi être exprimée en unités dynamiques; car si Ton appelle / la hauteur due à la vitesse i^ , ^ la gravité, et p le poids de m, on aura

i;* = 2gl, p = gm, i2/nt^* = 2/>/;

et cette somme est de la même nature que les intégrales fPdp tifQçiq, ou que le produit FIA.

684- Lorsque la machine part du repos , l'équation (c) se réduit à

i^mi^^ = f:ETdp — /:iQdq. (d)

Son premier membre étant une quantité essentiellement positive, il faut que dans les premiers momens le travail moteur l'emporte sur le travail résistant. Mais les vitesses des points de la machine ne pouvant pas croître indéfiniment, ce premier membre atteint son maximum au bout d'un certain temps, qui est généralement peu considérable. Par un moyen qui sera indiqué tout-à-l'heure, on fait en sorte qu'à partir de cet instant du maximum , la demi-somme •7 2mi^* des forces vives demeure constante , ou n'éprouve plus que de très petites variations; et l'on dit alors que la machine est parvenue à son état permanent. Dans cet état constant, on a, en diflë*rentiant l'équation précédente ;

:ETdp = :EQdq;

de manière que la machine n'a plus d'autre effet que de changer, à chaque instant, le travail moteur élémentaire en une quantité égale de travail résistant. Mais il importe d'observer que la quantitéyZQ^f de travail résistant dans lequel S€i change le travail mo-* teur fliPdp , pendant un temps cpjelconque , ne comprend pas seulement le travail qu'on veut exécuter au moyen de cet instrument; rintégrale flQdq comprend aussi le travail résistant qui provient du frottement des. parties de la machine, entre elles ou 2. 4^

contre des corps étrangers, et de la résistance du

milieu dans lequel la machine est en mouvement.

Pour avoir égard , par exemple, aux frottemeas., il faut, d'après ce qu'on a vu dans le n" 568, ajouter à l'inlégrale/^Qf^, provenant du travail résistant proprement dit, une autre intégrale fS.f!^ds, diiis laquelle f est le coefficient du frottement , N U pression mutuelle des parties frottantes, et ds l'clément de la courbe décrite par leur point de contact. Cette addition changera réqua.tion {d) es celle-ci :

iïrav" z:=.fS.Ydp —fZQdq — fS.Jlids. {e)

U suit de là que quand une machine a atteint son état permanent, la quantité de travail J'XVdp, produite pendant un temps donné, par les farces mouvantes, n'est pas représentée en totalité par la partie utile /2Q(f</ du travail résistant, laquelle partie est toujours moindre que le travail moteur y~£Pt^, de tonte la quantité de travail correspondante aux froltemens et aux autres résistances. Une machine est d'aotant meilleure que le travail ntile /^Qdq approclie davantage d'être égal an travail moteur /ZPf^; mais la première intégrale ne peut , quelle que soit la combinaison des parties de la machine, ètee é^iie ■ a la seconde, ni, à phis forte raison, la surpasser. Parmi les machines imparfaites, où le traTail ntile n'était qu'une très petite fraction do travail moteur, et on la plus grande partie de celnï-ci se tronvatt absorbée par les frottemens, on peut citer', pour exemple , l'ancienne machine de Marly : le travail

moteur consistait en une chute d'une partie oonsi-^ dërable des eaux de la Seine, et le travail utile était rëléyation d une quantité d'eau a une hauteur qui était bien loin de compenser Texiguité de son volume.

685. Les quantités qui constituât ^essentiellement une machine sont la partie li laquelle sont appli-^ quées les for€es«mouvantes , celle qui est en contact avec le corps qae Ton a pour objet de mouvoir ou de déformer, et la partie intermédiairïB qiii transmet l'action des forces mouvantes. Quand on à* Sttiis&it aux conditions de la solidité , il importe, pour l'éco^ nomie des frais de construction et pour la diminu-^ tion des frotfemens , que la masse totale de la machine soit la plus petite possible ; mais il y a une autre considération, qui exige que l'on augmente cette masse , et qu'on ajoute anx trois parties essentielles dont elle se compose , une autre pièce qu'on appelle un volant, et qui consiste , en général , en un corps' solide tournant autour d'un axe fixe horizontal.

Les mouvemens des trois premières parties d'une machine étant alternatifs ou révolutife, la demi^ somme ^ l.mi^ de^ forces vives qui sy rapportent , après qu'elle a atteint son maximunij devient une quantité périodique ; il en est de même , par conséquent, à l'égard du second membre de l'équation (e); en sorte que si la machine était réduite à ses trois parties essentielles , le travail moteur et le travail résistant, en comprenant dans celui-ci les effets des frottemens, l'emporteraient alternativement l'un sur l'autre f et si les variations alternatives du travail mo-

956 rfiAITÉ D£ MÉCANIQUE,

téur fHfdpf et de la partie flftids du travail résis«* tanty n étaknt pas réglées exactement sur les périodes de la machine y la quantité /'S,Qctq de travail utile varierait continuellement. Or^ pour la bonne exécution des ouvrages que Ton veut effectuer au moyen d'une machine y il est indispensable, le plus souvent , que le travail utile approche , autant que possible , de l'uniformité ; et c'est à remplir cette condition que le volant est destiné.

En effet, soient dm un élément de la masse du volant , et r sa distance à l'axe de rotation ; appelons ea la vitesse angulaire autour de cet axe, commune à tous les élémens dm^ et qui peut varier d'un instant k un autre ; rc9 sera la vitesse absolue de dm; par conséquent, la somme des forces vives de toute la masse du volant aura pour YBÏeurfr^o^dm, ou , ce qui est la même chose , le produit /jus)^, en désignant par fi le moment d'inertie du volant par rap- * port à son axe , c'est*à-dire , l'intégrale fr^dm étendue à sa masse entière. Si donc on ajoute 7/xâ»* au premier membre de l'équation (e) , et si l'on suppose que la demi -somme 7 Z/7t(^ se rapporte aux trois autres parties de la machine , on aura

.1 lia* + i 2mp* =zfX?dp —fXQdq ^ftf^ds ;

d'où l'on tire

f^Qdq = R - !;*«•,

en faisant , pour abr^er ,

R = flFdp — fl/^ds — irmf .

ADDITION. nS'j

Or*, on conçoit que les Tariations de C9 peuvent être réglées sur celles de cette quantité R, de manière que la variation totale de R — 4- jttûi* soit réduifë à de très petites amplitudes, et que, par conséquent, le trayail résistant soit à peu près invariable dans rétat permanent de la machine : on conçoit aussi que, toutes choses d'ailleurs égales, les variations de la vitesse » du volant seront d'autant moindres, que son monient d'inertie fjL sera plus grand.

686. Par l'addition d'un volant, la dépense de travail moteur nécessaire pour mettre la machine en mouvement et pour accroître la force vive totale jusqu'à ce qu'elle soit parvenue au maximum^ se trouve augmentée; mais quand la machine est arrivée ji son état permanent, les masses de ses différentes parties n'ont plus d'influence sur son travail , si ce n'est celle de leur poids sur les frottemens.

Pendant le mouvement de la machine, s'il survient un choc de ses parties entre elles ou contre des ^ corps étrangers, et qu'après le choc les points de contact aient une vitesse commune dans le sens normal aux surfaces , il y aura diminution de force vive dans le système; si les parties qui se sont choquées se séparent, en vertu de leur élasticité, il j aura encore perte de force vive, quand <ces parties ne seront pas parfaitement élastiques; et quand elles lé seront, il y aura perte de force vive dans la première partie du choc, puis une augmentation précisément égale h cette perte dans la seconde partie (n* S^a). Par conséquent, pour ramener la machine à son état perma«

i^ent , sans qu'il y ait dimioution dans la quantité de travail résistant , il faudra que les forces mouvantes fassent une nouvelle dépense de travail moteur^ seoiblable à celle qui a eu lieu ii l'origine du mouve-* ment, et égale à la moitié de la force vive perdue ^ns )e choc. C'est pourquoi , indépendamment du dommage que les chocs produisent dans les ma-* chines, il est encore nécessaire de les éviter, pour l'économie des forcer mouvantes.

687. En général, le travail résistant qui provient des frottemens et de l'action du milieu , est une quantité continuellement croissante ; pour qu'il y ait un travail utile, ou, seulement, pour que le mouvement de la machine soit entretenu, il est donc nécessaire que la quantité de travail moteur croisse également avec le temps, dans un rapport au moins égal à celui de l'accroissement du travail résistant. Si cela n'a pas lieu, le travail résistant finira par être égal au travail moteur ; a cet instant, la demi-somme des forces vives de tous les points du système sera nulle ; les vitesses de tous ces points seront zéro , et la machine s'arrêtera et se trouvera réduite au repos.

Aux frottemens et aux résistances des milieux qui produisept cet épuisement graduel de la force vive , on peut encore ajouter la communication d'une partie du mouvement de la machine à ses supports, laquelle partie va ensuite se perdre dans le sol sur lequel la machine est établie. Cette communication ne provient pas seulement du défaut de solidité des supports ; elle a aussi lieu en vertu de leur élasticité , qui permet au mouvement de s'y propager de la

ADDITION. 75g

même manière que le son ; et il peut résulter de cette propagation une diminution de vitesse des parties de la machine, semblable à celle qui serait produite par la résistance d*un milieu. J'ai donné un exemple de cet effet singulier, dans le mouvement d'un pendule suspendu à l'extrémité d'une verge élastique et horizontale, d'une longueur indéfinie (^).

Quand on supprime l'action des forces mouvantes, et que le travail utile de la machine a aussi cessé , l'équation des forces vives se change en celle-ci :

Xmf^ étant la somme des forces vives de tous les points du système à cet instant , 2mp* cette somme a une époque subséquente, et f^JUds comprenant le travail qui provient des frottemens, de la résistance du milieu et de la perte du mouvement parles supports. Or, ce dernier terme sera bientôt égal à ^ZmA*; la force vive de la machine se trouvera complètement épuisée, et la machine cessera de se mouvoir, comme on l'a déjà dit dans le n° 568.

688. Quand un homme transporte ' son propre poids, que j'appellerai II, à une hauteur verticale h au-dessus de son point de départ, la quantité de travail produite est exprimée par Uh , d'après la règle du n® 685 ; mais cette quantité donnerait une idée très imparfaite des efforts musculaires qui ont été faits, et de la force totale que cet homme a déve-

(^ Additions à la Carmaiuance des Tems pour Taiif i^ée i833 y page a6.

loppée. U serait difficile d'en obtenir une mesure exacte; on peut seulement £aire yoir qu'elle doit sur* passer^ souvent de beaucoup , la quantité précédente, qui serait nulle si la hauteur h était zéro, qudique, certainement , il y ait une quantité de travail mécanique correspondante à la marche d'un homme sur un plan horizontal.

Dans cette marche , je suppose que Thommè ait d'abord le pied gauche en ayant du pied droit ; son centre de gravité est alors abaissé , au-dessous de sa position naturelle ,' d'une quantité que je désignerai par €. En s'appuyant sur son pied gauche , et s'aidant du frottement de ce pied contre le sol , l'homme ramène son pied droit au niveau du pied gauche, puis le pied droit devance le pied gauche, et va se poser sur le sol; ce qui fait un pas entier, composé de deux parties. Or, dans la première partie , l'homme soulève son centre de gravité de la hauteur i, et produit par là une quantité de travail égale à flg; il imprime , au même instant , à ce point une vitesse horizontale , que je désignerai par a , à la fin du premier demi-pas ; ce qui répond à une autre quantité de travail équivalente k la demi - force vive

, en désignant par g la gravité. On devrait

encore ajouter à , la partie de la demi-somme

des forces vives provenant des vitesses relatives de tous les autres points du corps (n"* 569) ; mais j'en ferai abstraction dans cette évaluation , qui ne peut être quun aperçu. Je supposerai aussi que le se-

cond demi -pas a lieu en yertu de la vitesse acquise à la fin da premier , et du poids du corps qui retombe sur le sol ^ de manière que , pendant le second demi -pas, l'homme n'exerce plus aucun effoit, et que les vitesses verticale et horizontale, dont son centre de gravité se trouve encore animé à la fin db pas entier^ soient détruites par le choc et le frottement de son pied droit contre le sol. Dans cette hypothèse ^ la quantité de tra-^ vail de l'homme pendant le pas entier sera la somme

n? H f ou n (€ -|- a) , en appelant a la hau-

teur due à la vitesse a , de sorte qu'on ait a* = 2ga.

U suit de là que dans un nombre n de pas égaux et semblables, la quantité de travail d'un homme ou d'un animal , portant un fardeau et marchant sur une route horizontale , aura pour valeur 71K (€ + et)^ en désignant par K son poids II augmenté de celui du ferdeau. Si le poids total a été élevé verticalement à une hauteur h au-dessus du point de départ , il faudra ajouter KA à la quantité /iK (€ -f- a) ; et si le fardeau est traîné sur une route, où il éprouve un frottement qui soit représenté par une partie F de son poids, il en r&ultera une autre augmentation de travail égale à F/, en appelant / la longueur du trajet.

68g. Dans le calcul des effets des machines en mouvement, il est souvent utile de distinguer les vitesses communes et les vitesses relatives de leurs différens points. Pour cela, soient toujours x^ j^ Zj au bout du temps ^, les coordonnées du point

Tfo TRAITÉ DE BIËGANIQUE.

quelconque dont la masse est m; à cet instant^ les

composantes de sa vitesse absolue seront —^ -^^ — ;

et y «au bout du temps t^dt, les coordonnées de ce même point deviendront x -|- cÈr , ^ + ^ ^ z + ^- Or , on peut décomposer le mouvement du système, pendant l'instant dt, en un mouvement de translation et de rotation commun à tous ses points, dans lequel leurs distances soient invariables, et en des mouvemens particuliers ou ces distances varient convenablement. J'appellerai d!x, dj^ dz^ les accrôissemens àe Xjf, z, qui proviennent du mouvement commun, eid^x, djr^ d^, ceux qui résultent du mouvement relatif de m, de sorte qu'on ait

dxzszdx'i^d/x:, dj- z=2 djr ^^ d^jr ^ di = rf^z+rf^.

Pour ce point m, j'appellerai aussi i/, </, iv', les trois composantes de la vitesse commune qu'on regardera comme des fonctions données de^,ar,j^,z, et qui seront

celles de sa vitesse relative seront aussi -^ » "^ » "^î on aura

dx , dx dj . dj- d% j , ^«

pour les composantes de sa vitesse absolue; et en différent iant , il en résultera

dP

dt ^

dd^x

di' *

de

dd^

de *

dfz de

dw' ,

dd/i

de '

iGA

if)

pour les forces accélératrices de ce point m, suivant les axes des coordonnées ; les différentielles relatives à t qui sont indiquées , étant prises par rapport à cette variable et aux coordonnées x^jr^ z, regardées comme des fonctions de t.

Si ce point m est astreint à se mouvoir sur une sur* face qui peut être fixe ou mobile, mais dont la forme est invariable, il devra demeurer constamment sur cette surface, en vertu de sa vitesse absolue, et l'on pourra aussi supposer qu'il y resterait constamment , en vertu du mouvement commun du sysr* tème. En représentant par L =:? o , l'équation de la 8ur£aM:e , L sera une fonction donnée des coordonnées de ut , rapportées à des axes mobUes qui participent au mouvement ^commun, et cette quantité pourra être changée en une fonction du temps et des coor-» données dent rapportées à des axes fixes, c'est-à^ dire, en une fonction de ^, x,jr^z. L'équation Jj^ssso devra subsister, lorsqu'on y remplacera ces quatre variables , soit par t'^-dtf X'^^ dXf J'^r^Xf Z'+'dz, dans le mouvement absolu de m , soit par t^dt, jC'i'ctx, J'hd'jr^ Z'i'ctz, dans le mouvement commun du système. En négligjeant les infi-? niment petits du second ordre, on aura donc simul-i tanément

764 TRAITÉ OE BfÉCANIQUE.

dL , dJj w , dL jf , dL jn ^

6ty par conséquent^

Cela posé y nous allons chercher la somme des forces vives dues aux vitesses relatives de tous les points du système , et la comparer à la somme des forces vives qui résultent de leurs vitesses absolues.

6go. Reprenons ^ pour cela ^ la formule générale du n* 531» de laquelle on a déduit T-équàtion (^z) du n^ 680 , et formons successivement les termes de cetle formule, relatifs aux différentes sortes de forces qui peuvent agir sur le système que Ton considère.

Désignons d'abord par P une des forces extérieures et données; ^p étant la project&n^u déplacement de son point d'application, sur sa direction, et en Regardant cette projection comme une quantité positive ou négative, selon qu'elle tombe sur la direction même de P ou sur son prolongement > on aura, comme dans le n"" 681,

pour la partie de la formule citée , qui résulte de cette force P.

Soit aussi R l'action mutuelle de deux points du

système dont les masses sont m et m' ; appelons r la distance mm', dont R est une certaine fonction ; x,jr, z, x! ,y ^ z', étant les coordonnées de m et m% on aura

r* = (a: — or')- -H (r —/)•-!- {z — a')*;

et si jy exprime la variation de r qui résulte de leurs accroissemens J^x y iy ^ S'z, S'a:', J^, S'z' ^ on aura aussi'

rSr = (x — x*) (<rx — «Ta?*)

Les composantes de la fohre R appliquée au point m, seront

mX = =fc ^^=^,

mX

r nUà =3 ± ^ ^— ,

et celles de la même force appliquée au point m! ,

r ' „^Z' = =fc (îl^I^;

d'où Ton conclut

m ÇS.^x + Yjy + ZcTz) • *

+ m' (X'JW' + Y' jy + Z'eT/) = rfc RcT/-,

pour la partie de la formule générale , provenant

de la force R; le signe supérieur ou le signe infë'rieur ayant lieu , selon que cette force est répulsive ou attractive.

Si le point m est astreint à demeurer sur la surface dont on a représenté l'équation par L =: o^ dans le numéro précédent ^ et que l^n appelle 00 Télément de cette surface auquel le point m répond au bout du temps tf et loV la résistance qu'il en éprouve ^ cette force sera normale à la position actuelle de tf ; on aura donc pour ses composantes

en faisant I pour abréger ,

et si l'on fait aussi

il en résultera aUJJ'Uf pour le terme de la formule générale qui provient de I5 résistance oU. Le facteur U exprimera cette résistance rapportée à l'unité de surface; J^u sera la projection du déplacement de m sur la normale à l'élément œ; elle aura un signe ambigu^ à cause du radical V, et l'on regs^^er^Ti^ comme une quantité positive on néga-* tive , selon que la projection: du déplacement de m tombera sur la direction même de la résistance cAJ y ou sur son prolongement.

Oatre la résistance normale de la surface sur la* quelle le point m est assujetti à se mouvoir, il éprouvera encore une résistance tangentîelle provenant du frottement contre ccAte surfiice; et si l'on désigne cette force par ofV, et par J's la projection du déplacement du point matériel m sur sa trajectoire y il en résultera eoFJ'Sf pour le terme correspondant de la formule du n^ 53 1 .

D'après cela , cette formule pourra s'écrire ainsi :

la somme 2 du premier membre répondant à tous les points du système , et les sommes 2 du second membre s'étendant , la première aux points qui sont soumis à des forces motrices extérieures, la seconde . aux actions mutuelles de tous les points du système pris deux à deux , la troisième et la quatrième h tous les élémens des surfaces résistantes et frottantes. Cela posé , si l'obligation d'une partie des points du système, de demeurer sur ces surfaces, est IS seule condition qui restreigne les mouvemens du système entier, on pourra maintenant considérer tous ces points comme entièrement libres, et faire telle hypothèse qu'on voudra sur les variations ^x, ^/, J^z, des coordonnées d'un point quelconque.

691 • Je supposerai d'abord qu'on prenne

Sx z=i dx y S'y '=^ dj f Sz = dz; de sorte que le déplacement du point quelconque m

soit celui qui a lieu effectivement pendant l'instant dt. On aura , en même temps , Sr^air; et Ton rempla^ cera Jj), Jiij ^s^ par dp, du, ds, qui représentent les projections du déplacement réel du point m sur les directions des forces P , col] , coF. En appelant i^ , la vitesse d'un point quelconque m, et observant qu on a

l'équation (fi) deviendra

^d. 2mi^» = l,rdp ± tRdr + 2û>Ud« — 2û>F^. En intégrant , on aura donc

=zfl?dp zhfllXdr+JlLœUdu —flcôYds

k étant la valeur initiale de p ^ et les intégrales commençant à l'origine du mouvement.

Le terme fXPdp comprendra la partie du travail moteift qui répond au poids du système ; et si Ton appelle II ce poids , et Ç la hauteur verticale dont le centre de gravite sera tombé pendant le temps t , cette partie sera égale à n^.

Lorsque les distances des points du système que Ton considère demeureront invariables pendant le mouvement , on aura ^r = o , et le terme /iRdr disparaîtra de l'équation (i). S'il s'agit d'un fluide , ce terme comprendra les attractions ou répulsions mutuelles de ses points , qui s'étendent à de grandes

distances ; il comprendra aussi les actions mutuelles qu'on appelle proprement^rc^^ moléculaires (n** 588), qui ne s'étendent qu a des distances insensibles , et qui

* produisent les pressions intérieures, auxquelles on ' n*a point eu égard en formant l'équation (<)• La valeur

de cette intégrale /2Ri/r dépendra du changement de' forme et des condensations ou dilatations du fluide

• pendant son mouvement; et pour les très petites variations de densité qui ont lieu dans le liquide , elle pourra varier dans de très grands rappwts , à raison des forces moléculaires ou des pressions intérieures qui en résultent (n* S^G).

Les sommes l^Vdu et 2,ûùFds comprises sous les deux dernières intégrales, sont elles-mêmes des intégrales doubles étendues à tous les élémens eo des sur&ces résistante3 et frottantes. Si la partie du système qui frotte contre une de ces surfaces est un corps solide , la force oF sera indépendante de la vitesse de ce corps, et proportionnelle , pour chaque élément €0 , à la pression correspondante, laquelle est égale et contraire à la résistance alV. Si cette partie frottante du système est un fluide , la force â»F dépendra de sa vitesse relative , et sera indépendante de la pression ( n* 4^^ )* Lorsque la surface dont L = o est l'équation , sera immobile, la projection du déplacement de m sur la normale à cette surface sera nulle, puisque le point m est assujetti à demeurer sur cette surface ; on aura donc duzzzo; ce qui fera, disparaître Tintégnle/XcùVdu; et si l'on fait, de plus, abstraction du

^' frottement , l'équation (/) se réduira à l'équation or-

if dinaire des forces vives.