CHAPITRE PREMIER

BE LA OOHPOSfnblff ET DE L'EQUILIBBE DES FORGES APPUQUEES A VN MÊME POINT.

a4' Lorsqu'un point matériel est soumis à l'action sinraltanée de plusieurs forces qui ne se font pas équilibre, il se meut suivant une direction déterminée , et l'on peut attribuer le mouvement qu'il prend à une force unique agissant suivant cette direction. Cette force est ce qu'on appelle la résultante des forces qui ont mis le mobile en mouvement , et cellesci sont nommées les composantes de la première. Appliquée en sens contraire de sa direction, la résultante £ût équilibre aux composantes , puisqu'elle tend à imprimer au mobile un mouvement égal et contraire a celui qu'il recevrait de l'action simultanée des composantes, et qu'il n'y a pas de raison, par conséquent, pour qu'il se meuve plutôt d'un côté que de l'autre.

Si toutes les composantes sont dirigées suivant une

même droite^ et agissent dans le même sens, il suit de la notion que nous avons donnée de la mesure des*forces fn' 5), que la résultante sera égale à leur somme. Si le mobile est sollicité par deux forces directement contraires y on décomposera la plus grande en deux autres, dont l'une, égale à la plus petite,, sera détruite par celle-ci, et dont l'autre, égale à Fexcès de la plus grande sur la plus petite , sera la résultante. On conclut de ces deux propositions que s'il y a un nombre quelconque de composantes, dirigées, en partie suivant une droite, et en partie suivant son prolongement, la résultante sera égale à la somme de celles qui agissent dans un même sens , moins la somme de celles qui agissent en sens contraire, et qu elle agira dans le sens de la plus grande somme. Quand les deux sommes seront égales, la résultante sera nulle, et les forces données se feront équilibre.

â5. Il y a un autre cas dans lequel on détermine aussi très aisément la grandeur et la direction de la résultante.

Soient MA , MB, MC (fig. 5), les directions de trois forces égales appliquées au point M ; supposons ces forces comprises dans un même plan , et les trois angles AMB, BMC, CMA, égaux enti^e eux, ou chacun a I ao"" ; le point M demeurera en équilibre j car il n'y aurait pas de raison pour qu'il sortit du plan des trois forces, ni pour qu'il se mît en mouvement plutôt dans l'un que dans l'autre de ces trois angles. Chacune des trois forces sera donc égale et contraire à la résultante des deux autres. Or, si l'on prend sur les directions MA et MB de deux d'entre elles des lignes

égales MG et MH , pour représenter leurs intensités , et qu ou achève le losange GMHK, la diagonale MK tombera sur le prolongement MD de MC; l'angle MGK sera de 60% comme chacun des deux autres angles du même triangle, qui sera équilatéral; on aura donc MK = MG; par conséquent la diagonale MK du losange construit sur les deux forces MG et MH représente, en grandeur et en direction, la résultante de ces deux forces.

Cette proposition est comprise dans une autre que nous allons d'abord démontrer dans le cas de deux forces égales^ dont les directions font un angle quelconque, et que nous étendrons ensuite à des forces inégales.

26. La résultante de deux forcés égales coupe toujours en deux parties égales l'angle compris entre leurs directions; car il n'y aurait pas de raison pour qu'elle se rapprochât davantage de l'une de ces deux forces^ ni pour que sa direction s'écartât de leur plan plutôt d'un côlé que de l'autre ; sa direction est donc connue, et nous n'aurons que sa grandeur à déterminer.

Soient, pour y parvenir, MA et MB(fig. 6) les directions des composantes dont la valeur commune sera représentée par P. Soient aussi :10c Tangle AMB, et MD la direction de la résultante, de sortç qu'on ait AMD=BMD=:ar. Son intensité ne peut dépendre que des quantités P et ^; en la désignant donc par R, nous aurons

Dans cette équation , R et P sont les seules quantités dont l'expression numérique vnrie avec l'unité de force; d'après le principe de l'honiogénéité des quan-

titas (n'' a 3), il faut donc que la fonction /(P>x)

soit de la forme Ttpx. Ainsi Ton a

R=P(pxj

et la question se réduit à déterminer la forme de la fonction (px.

Pour cela, je mène arbitrairement par le point M les quatre lignes MA^ MA% MB', MB'; je suppose les quatre angles A'MA, A'MA, BTVfB, B*MB, égaux entre eux, et je représente chacun d'eux par z. Je décompose la force P dirigée suivant MA , en deux forces égales dirigées suivant MA' et MA', c'est-à-dire que je regarde la force P comme la résultante de deux forces égales dont la valeur est inconnue et qui agissent suivant MA' et MA'; en désignant cette valeur par Q> j'aurai

P = Q(pz;

car il doit exister entre les quantités P, Q, z, la même relation qu'entre les quantités K,T,x. Je décompose de même la force P dirigée suivant MB, en deux forces Q, dirigées suivant MB' et MB*; de cette manière, les deux forces P se trouvent remplacées par les quatre forces Q; par conséquent, la résultante de celles-ci devra coïncider, eu grandeur et en direction, avec la force R, résultante des deux forces P.

Or, en appelant Q' la résultante des deux forces Q, dirigées suivant MA' et MB', et observant que A'MD=B'MD=a7— z, cette force Q' sera dirigée suivant MD, et l'on aura

De même y la résultante des deux autres forces Q sera encore dirigée suivant MD, puisque cette droite coupe aussi l'angle A'MB* eu deux parties égales; et à cause de A*MD= B"MD = jc + z, on aura

Q^ désignant cette seconde résultante. Les deux forces Q^ et Qf^ étant dirigées suivant la même droite MD, leur résultante, qui est aussi celle des quatre forces Q^ sera donc égale à leur somme; par conséquent, on doit avoir .

Mais on a déjà

et en substituant cette valeur de R et celles de Q' et Q^' dans Féquation précédente, et supprimant le facteur Q commun à tous les termes , il vient

fa:^z = ^ (or + z) + ^ (ixr — z). (i)

Ceat cette équation qui nous reste à résoudre pour en déduire lexpression de ^x.

aj. On voit d'abord qu'on y satis&it en prenant

^or = a cos ax ;

a étant une constante arbitraire , de sorte qu'on ait, en même temps,

(pz = 2 COS az , ^ (or H- z) = 3 cos a (or + z) ,

^(ar — z) ==âcosa(jKr — z);

el, effectivement, si Ton substitue ces valeui^s dans

1 équation (i), on obtient 1 équation connue

2 cosax cosaz=:cosa(x + z) + cosa{jc — z).

Or, je dis que cette expression de la fonction ^x est la seule qui satisfasse à l'équation (i), et que de plus, dans la question qui nous occupe , la constante a est l'unité ; en sorte que l'on a

ÇX = 2 COS X. (2)

Cela est évident quand a: = o ^ car alors les directions des deux forces P coïncident, et la résultante R est égale à 2P, ce qui suppose <px=z'2. Admettons qu'il y ait une autre valeur a de x, pour laquelle on ait aussi ^ct = 2 cos a; je dis que Téquation (2) subsistera également pour toutes les valeurs 2cty 3a, 4*, ..•%, ioL, ^cL, J^a,... , de a:, et généralement pour

m et n étant des nombres entiei^ quelconques.

En effet , si lequation (2) se vérifie pour les trois angles x, z, x — z, de manière qu'on ait

<pj:=2Cp&r, ^z=2C0sz, ^(x — z) = 2C0s(x—- s),

elle aura encore lieu pour un quatrième angle x+z^ car, en vertu de l'équation (i), on aura alors

^ (j? 4- z) = 4 cos j: COS z — 2 cos (x — z);

équation qui se réduit à

<P(X+ Z) = 2 cos {x -f- z).

Ainsi l'équation (2) ayant lieu pour .r=:;o et a:=«.

il s*ensuit qu'elle subsiste pour ar = ^en; ayant lieu pour a:=za et a:=:a€L, elle subsistera pourir=5a; et y en continant de même, on verra qu'elle aura lieu pour X = ma.

Je fais maintenant ma = €; on aura donc