FG : GA :: EF : AB :: EH : AH

i54 TRAITÉ DE MÉGANIQUE,

et , par conséijtient ,

FG : GA :: i : 5;

en sorte que FG est le tiers de GA ou le quart de AF; ce qu'il s'agissait de prouver.

On en conclut que si les quatre sommets A, B, C, D^ de la pyramide sont les centres de gravité de masses égales, le point G sera le centre de gravité de ces quatre masses ; car déjà le point F est celui des trois masses qui répondent à B, C, D (n* 77); et ensuite le point Gy tel que GF est le tiers de GA, sera le centre de gravité de ces trois masses et de la quatrième.

Il suit de là (n"" 67) que si l'on applique au centre de gravité de la pyramide triangulaire des forces re-» présentées 9 en grandeur et en direction, par les droites qui vont de ce point aux quatre sommets^ ces quatre forces se feront équilibre»

88. Ayant déterminé le centre de gravité d'une pyramide triangulaire, on en déduit immédiatement celui d'une pyramide ou d'un cône à base quelconque, en décomposant cette base en un nombre fini ou infini de triangles : le centre de gravité de cette pyramide ou de ce cône doit se trouver à la fois sur la droite qui va du sommet au centre de gravité de la base, et dans le plan parallèle à la base qui coupe toutes les lignes menées du sommet à cette base, aux trois quarts à partir du sonmiet ; ce qui s'accorde avec le résultat du n* 86«

On en déduit aussi le centre de gravité d'un secteur spbérique. En effet, si l'on décompose ce secteur en une infinité de pyramides dont le sommet com-

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i55

inim sait an œntre de la spihèrs, et qai aient {lonr bases les âémens infiniment petits de la base du secteur^ leurs centres de gravité se trouveront tous sur la base d'un secteur concentrique , dont le rayon sera les trois quarts de celui du secteur donne; d'où l'on conclut que le centre de gravite du secteur donné sera le même que celui de la base du secteur con-» centrique ; ce qui en détermine la position.

Supposons que le secteur sphérique soit engendré par le secteur circulaire CADB (fig. ag), tournant autour du rayon CD , qui aboutit au milieu de l'arc ÂB; le triangle CÂB et le segment circulaire ABB engendreront, en même temps, un cône et un segment sphérique; et le centre de gravité de ce segment sphérique se déterminera d'après ceux du secteur sphérique et du cène.

Pour cela, appelons V, , V, V, les volumes respectifis de ces trois corps, et ^,, x, oc\ les distances de leurs centres de gravité au point C; nous aurons

V = V + V., Va: = VV + V.^.. [a)

Soient a le rayon CD, c la corde AB et/la flèche DE de Tare ADB. Relativement au cône , on aura

La base du secteur, sphérique sera égale au produit de la flèche et de la circonférence du grand cercle , on a vjraf^ et son volume aura pour valeur le pro*

duit de cette base et de ^a, ou ^^* Si Ton décrit du point C comme centre, et d'un rayon égal à

|CD*, un arc de cercle tel que A'D'B'y le centre dr gravité de la surface engendrée par cet arc se trouvera au milieu de la flèche D'E' (n* 8i), ou, autrement dtt^ à une distance du point C égale à CD' — -i D'^^ dont la valeur est |(^ — ï/^). Donc, ce centre de gravité étant, d'après ce qu'on vient de dire, celui du secteur sphérique Y, on aura

En substituant ces différentes valeurs dans les éijuafions (a) , il vient

d'où Ton tirera les valeurs de V, et x^.

Si l'on appelle l la longueur de l'arc AB, on aura

c = 2asin— , fz=za(\ — cos— j,

et il en résultera

Vt = -o— ( I — cos— — -sm*— cos — ),

5a sin* — or, =

8(1 — cos — — - sin* — cos — ) \ 2a a aa aa/

Lorsque l'arc ^ est la demi-circonférence, on a lz=z^a^

et par suite

•mr axo^ • 3a

8g. On détermine aussi par des intégrales simples le volume et le centre de graviié de tout corps symétrique par rapport à un axe, comme un ellipsoïde, par exemple.

Soient or, ^, z, les trois coordonnées rectangulaires d'un point quelconque de la surface ; prenons Taxe de figure pour celui des x, et désignons par X Taire de la section perpendiculaire à cette droite, qui ré« pond à l'extrémité de l'abscisse x. Si Ton décomppse le volume en élémens infiniment minces et perpen-: diculaires a l'axe de figure , on pourra prendre Xjdjc pour le volume d'un élément quelconque,- et a: pour la distance de «on centré de gravité à l'origine des coordonnées. Donc, en désignant par Y une tranche comprise entre deux sections correspondantes à des abscisses données cl et C, et par jc, la distance de son centre de gravité à l'origine des coordonnées, nous aurons

V = r Hdx, Vor, = 1 xXdx.

Dans le cas de l'ellipsoïde , l'équation de la surface est

a f b, c f désignant les trois demi-axes. Ceux de la ^section X seront

on aura donc

i56 TRAITÉ DE MECANIQUE,

et , par conséquent ,

d'où Ton tire

Si Foa applique cette formule au segment spliërique que Ton a considéré dans le n* précédent , 3 faudra prendre

tfc=aco8-, e^a; ce qui donne

3â(i+cos — ]BÏn* —

4l I — C08 1- sin* — )

^V aa ' 2û/

et en multipliant le numérateur et le dénominateur

de cette fraction par i — -< cos — ^ on yérifie qn'elle

coïncide avec la valeur de x, déjà trouvée-

Pour avoir la valeur ^entière de rellipsoïde, il faudra faire f=:fleta = — -a;ce qui donne

Ce volume est aussi donné par Tintégrale triple ffjdxdydz , étendue à tous les élémens de l'espace terminé par la surface de l'ellipsoïde ; mais en faisant

STATIQUE I PREMIÈRE PARTIE. iSg

réquation de cette surface devient

et llnt^rale triple se change en

abcfffda^dfdz'.

Cette nouvelle intégrale devra s'étendre à tous les élémens de Tespace circonscrit par la surface qui répond à l'équation précédente ; elle sera , par conséquent ^ ]e volume de la sphère qui a Tunité pour

rayon ; et ce volume étant égal à ^ , il en résulte

^2^, comme précédemment , pour celui de Tellip-

soîde.

(90), Les corps symétriques autour d'un axe comprennent les solides de révolution. Nous prendrons toujours Taxe de figure pour celui des abscisses x. En supposant alors un solide de cette nature engendré par nue aire plane ^ comprise entre deux courbes données et les perpendiculaires à Taxe des x 'qui répondent àa7:=€eeta7=Cyet désignant par j et y les ordonnées de ces courbes relatives à une même abscisse quelconque x^ il faudra faire

dans les formules du numéro précédent; ce qui donne

\=7rf^0^'^y')dx, yx.^ir f\y—y^)xdx.

Dans le cas le plus ordinaire où la courbe intérieure

i6o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

se confondra avec l'axe de figure, on aura ^ =0^

et sixnplement

La cjcloïde fournira encore des exemples de Tapplication de ces formules , dans lesquels toutes ks intégrations s^effectueront sous forme finie.

Si l'on considère ]e solide convexe , engendré par l'aire CMP ( fig. a5 ) tournant autour de Taxe Cx, on intégrera d'abord par partie; ce qui donnera

les intégrales étant prises de manière qu'elles s'évanouissent au point C, ou quand ^ = o. En vertu de l'équation (a) du n"* jZ, on aura donc

V = tt^t"* — ^tt/j' \/ax — or* dx^

et les calculs s'achèveront par des transformations semblables à celles du n® 80. Dans le cas du volume engendré par la demi-cycloïde CAB , on trouve

cra3/9^ A (63x' - 64)a

S'il s'agît, au contraire, du solide convexe engendré par l'aire CMP , tournant autour de Taxe C/, il faudra préalablement permuter x ^\ y dans les équations [b) ; d'où il résultera

y = ^fx'djr, yjr.=vtfxydjri

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i6i

/-. étant la distance au point C ^ du centre de gravité qui se trouve sur Taxe Cjr , et les intégrales s'évanouissant en ce point C. En vertu de l'équation (à) de la cydoide, on aura donc

V = itfx yjax — x^do^y Sjx = 'Jrfyx s/a^x — x^ dx.

La première intégrale s'obtiendra sans difficulté ; la seconde , par des transformations semblables à celles du n^ 8o« Dans le cas où CM sera la demi-cycloîde entière , on trouvera

91. Maintenant^ soient x^y y^^ z^^ les frois coordonnées rectangulaires du centre de gravité d'un corps de forme quelconque , homogène ou hétérogène y dont la masse sera représentée par M. D'après ce qu'on a déjà dit dans le n" 65 y il faudra y pour déterminer ces trois inconnues, diviser M en parties infiniment petites y et changer, en conséquence,, les sommes en intégrales dans les seconds membres des équations(i) de ce numéro* On aura, de cette manière,

Ua:i=fffxdmy ^J,^fffjdmymi=fffzdmi (i)

dm étant l'élément difierentiel de la masse du corps

qui répond aux coordonnées XyjTy z. En appelant /

la densité de ce même élément , et d\^ son volume ,

on aura aussi

dm = fdi^.

On pourra prendre niainténant, pour l'élément di^ du volume, le parallélépipède rectangle dont les trois côtés adjacens sont parallèles aux axes des x, I. II

i6a TRAITÉ DE MÉCAHIQUE.

jr, z, et égaux dux diffcrentiellçs dx, cty, th; à'oh

il résultera

d{^ s=E dxdjdz.

Si le corps est homogène^ sa densité sera constante ; en désignant par Y son yolurae, on aura

M=sfV;

et les équations (i) deviendront

'^x^^SfJxds^.yj^^^fjd^.yz.^fff^^. (a).

Si le corps est liétérogène^ il pourra se présenter deux cas différens. Dans le premier cas ^ ce corps se composera de parties homogènes de grandeur finie , et la densité ne variera que d une partie à l'autre. On appliquera donc à chacune d'elles les équations (a)^ puis on déterminera le centre de gravité du corps entier d'après ceux de toutes ses parties (n^ 64)* Dans le second cas, la densité variera par degrés insensi-» blés dans l'intérieur du corps; et alors on fera usage des équations (i), dans lesquelles/ devra être une fonction donnée à^ x ^j^ z.

Toutefois, on doit remarquer que, soit qu'il s'agisse d'un corps homogène ou d'un corps hétérogène, la division de lit masse en élémens infiniment petits, dont les densités sont les mêmes ou ne varient que par degrés insensibles , suppose que ce corps est formé d'une matière continue. Or, cela n'a pas lieu dans la nature, où les corps, au contraire, se composent de parties matérielles disjointes et séparées les unes des autres par des espaces vides , compara-* blés en grandeur aux parties pleines. Nous revien-

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i63

drons sur cette observation dans le chapitre suivant , et nous ferons voir qu'on peut, néanmoins^ appliquer les formules (i) et (2) aux corps naturels , comme si la matière n'éprourait aucune disoontinuitë dans leur intérieur.

ga.^Âulieu des coordonnées a:,jrf z, il sera quel* quefois nécessaire > pour faciliter les intégrations , d'employer les coor^lonnées polaires de chaque élément dm. Soit alors r son rayon vecteur, 0 l'angle qu'il fait avec Taxe des x positives^ et -^ Tangle compris entre le plan de ces deux droites et celui des joetjr; nous aurons ( n* 9 )

ar = r cosO, j^==:rsin 6 cos 4 ^ z==:r sin 6 sin 4*

H £aiudra , en même temps, exprimer di^ au moyen des différentielles de ces nouvelles variables r, 6, 4- On a des formules générales pour la transformation des variables indépendantes dans les intégrales multiples; mais on peut aussi trouver directement l'expression de di^ dont nous devrons faire usage f savoir :

d9=ir* sin ^'drS û?4 f

ainsi qu'on le verra tout A l'heure.

Je mets fdi^ à la place de dm dans les équations (i), et jy substitue ensuite cette valeur de dv et celles Ae XfjTf zi elles deviennent

Ux,z=zffffr^ sin Ô cos Qdrd^d'\ , Mj,==/j7>r3.sin*flcos4^/rd8€/4, \ (5) M«. s=:>^/r»sin*fl6in4^rrf4^4j

i64 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

à quoi il faudra joindre Téquatioii

M=z/Jjrfr^sm^drd9d'^.

^uant aux limites de ces intégrales triplés, elles seront différentes selon que l'origine des coordonnées sera placée en dehors ou en dedans du corps; Lorsque cette origine sera un des points de M, on înt^rera d'abord depuis r= o jusqu'à r=u, en représentant par u une fonction de 6 et 4 donnée par l'équation de la surface; cela fait, on intégrera depuis 6=0 et n|/ = o jusqu'à 8 = sr et 4 = ^'^ ^ ^^ commençant à volonté par l'angle 8 ou par l'angle 4* ^^ limites seront généralement plus compliquées quand l'origine des coordonnées n'appartiendra pas à la masse M. Représentons , dans ce cas , par u et u' deux fonctions données de 8 et 4» P^^ ^ ^^ ^' deux fonctions de 4 9 6^ par «e et af d^ux angles donnés; supposons qu'il s'agisse d'une portion de corps comprise , d'une part , entre les deux surfaces qui ont pour équations r = tt etrjp=:u^ ; d'une autre part, entre les surfaces coniques qui ont pour axe commun l'axe des x, lear sommet aussi commun à l'origine des coordonnées, et pour équations 8 = û) et 8 = co'; enfin , entre les deux plans passant par cet axe, et qui font des angles a et af avec le plan fixe d'où l'on compte l'angle 4 «On intégrera d'abord depuis r==M jusqu'à r= m', en- • suite depuis 9 = a jusqu'à 9 z=lcû' , et finalement, depuis 4 = ^ jusqu'à 4 = ^'*

Prenons, par exemple, pour les deux premières surfaces celles de deux sphères concentriques qui ont leur centre commun à l'origine des coordonnées, et

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i65

dont lés rayons sont a et a! \ supposons, en même temps, que les deux cônes soient à base ciixruïaire ^ oa , autrement dit , que (» et û>' soient des angles constans ; supposons , de plus , que la densité ne soit fonction que de r; de sorte que la portion de corps qne l'on considère appartienne à une sphère composée de couches concentriques infiniment minces , dont chacune ait la même densité dans tonte son étendue, laquelle densité variera d'une couche & 1 antre , suivant une fonction donnée de la distance an centre. En faisant, pour abréger,

et effectuant les intégrations relatives à 6 et 4 ^ on trouve

M = A(a' — et) (cos œ — cos a') , Ma:.== iB(af — a) (cos* cû — cos* û>"), M7^,= ^B(sîna'— sîna) (co' — « — ^ sin 2»'rî- i sîn 2»), Ma, = ~B(cosa — cosx')(a' — (» — j&in2a>'+lsm2ai);

ce qui £sdt connaître les valeurs de Jc, , j*, , a, , qu'on ne pourrait déduire, dans cet exemple, des équations (i)»

Si la masse M forme un anneau complet , de sorte ' qu'on ait «^ =5 a + 29r , il en résultera j^, = o et z, = 0, c'est-à-dire que le centre de gravité sera situé, comme cela doit être, sur l'axe de cet anneau : sa distance :r, au centre de la sphère dont cet anneau fait partie , aura pour valeur

R(cosd»+coSd»')

i66 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

Dans le cas de rhomogéaéité de la spkère, la densité f étant constante y on aura

Quand le vide de l'anneau disparaîtra , on fera a»s=o; et, enfin, s'il se change en un secteur sphérique, on fera aussi a = o ; d'où il résultera

^, = ^ (l + COS Cù')i

ce qui s'accorde avec la valeur de la quantité àési^ gnée par x dans le n" 88 > en observant que la flèche représentée par/" aurait pour valeur a\i — coso)'), et que le rayon est a'.

gS. Pour trouver la différentielle ds^ du volume , expritïiée au moyen des différentielles des coordonnées polaires, je suppose que M (fig. 3x) soit le point qui répond aux coordonnées r, 6, ^; en sorte que O étant leur origine , OM soîl le rayon vecteur r, fl l'aûgle mOx compris entre ce rayon et un axe fixeOx, et 4 l*aogle que fart le plan de ces' deux droites avec un plan fixe, meoé arbitrairement par la seconde. Soit M' un point situé sur le pix>longement de OM , et dont le rayon vecteur OM' sera /. Du point O comme centre , et dans le plan M'O^^ décrivons les arcs de cercle AIN et M'N' -compris -«ntre les deux droites OMM' et ONN', et désignons par 6" l'angle NOjt; enfin., faisons tourner le plan de cet angle autour de l'axe Ox^ •et repnrésentoos , dans sa nouvelle position, par 4' Tangle qu'il fera aveq le plan fixe. Dans ce mouvement, l'aire MM'N'N engendrera un volume MM'N'NPP'Q'Q , que je représenterai par U.

Or, cette aire, diiTérenoe des deux secteurs cûnealaires M'ON' et MON, est égale à

Si l'on appelle u la perpendiculaire abaissée de son centre de gravité sur Taxe Ox, on aura w (•>{/' — -vj/) pour la longueur dç l'arc qua ce centre décrira autour de cette droite. D'après le théorème du n"* 84» nous aurons donc

Cela posé^ concevons que les trois dimensions de U deviennent infiniment petites , et faisons , en conséquence y

Le facteur r''^r 9e réduira, en même temps , à nr; on pourra aussi prendre pour u la perpendiculaire MH abaissée du point M sur l'axe Ox^ laquelle est égale à rsind, et ne saurait différer de u que d'un infiniment petit; enfin, U se changera en dv, dont la valeur, qu'il s'agissait de déterminer, sera

dsf =z T* sin Q dr de d'^.

' On remarquera, effectivement, que ce volume ds^ peut être considéré comme un parallélépipède rectangle, dont les trois côtés adjacens sont MM^ ou dr, l'arc infiniment petit MN, qui a son centre au point 0 et pour longueur rd^, et l'arc infiniment petit MP, qui a son centre au point H et pour longueur r sin W6.

i68 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

La base MNQP de ce parallélépipède est l'élément de la surface sphérique dont le centre est au point 0 et le rayon égal à r. En la désignant par dcr, on a donc

d^ ^s r^ sinQdQd'^ , ds^ = da-dr.

Si Ton appelle deo Félément de la surface sphérique dont le rayon est pris pour unité, on aura aussi

dcù = sin Qd&d'^, dsf = r^drdœ.

En intégrant cette expression de d(ê depuis 6 = o et •>[. = o jusqu'à 8 = ^ et ^z = :i^\ on, en déduit J^^TC pour le rapport de la surface de la sphère au carré de son rayon; ce qui est, en effet , sa yalear connue.