CALCUL DE L9ATTRACTI0N DES CORPS

§ !•'. Formules relatives à un corps quelconque et à . , la sphère en particulier.

94* Supposons qu'un' point matériel 0 (fîg. 52) soit soumis aux attractions de tous les points d'un corps de forme quelconque; en décomposant cha-* cnne de ces forces en trois autres ^ dirigées suivant des axes rectangulaires menés arbitrairement par le point 0, et faisant ensuite la somme des compo* santés positives ou négatives qui agissent suivant chaque axe^ on aura les trois composantes^ dont la résultante exprimera, en grandeur et en direction ^ l'attraction totale qui sera exercée sur le point 0. Ces trois composantes seront des sommes d'une infinité d'élémens infiniment petits, étendus à la masse entière du corps attirant ; elles s'exprimeront par des intégrales triples , et le calcul de ces quantités sera semblable à celui des coordonnées du centre de gravité d'un corps quelconque dont nous venons de nous occuper : c'est pourquoi je placerai ici ce que j'ai à dire sur le calcul des attractions.

Cette question est une de celles dont les géomètres se sont le plus occupés , soit à cause des difficultés

l^Q TRAITÉ 1)E MÉCANIQUE,

d'analyse qu'elle présente , soit à raison de ses rapports avec le problème de la figure de la terre et de la loi de la pesanteur à sa surface; mais^ dans cet ouvrage , on se bornera a dbnner les formules qui se présentent immédiatement, et quelques-unes de leurs applications. Je renverrai, pour de plus grands développemens, au second volume de la Mécanique céleste, et à mon Mémoire sur Y attraction des S phéro'ides jin-^ séré dans la Connaissance des Tems de l'année 1829. 95. Soit D un point fixe pris dans l'intérieur du corps attirant; parce point, menons trois axes rectangulaires Dx, D/*, Dz, qui seront les axes des coordonnées positives; désignons par x, jr, z, les coordonnées d'un point quelconque M du corps attirant, et^rdm rélément différentiel de sa masse, qui répond à ce point M ; représentons aussi par a,S,yf les trois coordonnées du point 0 , et par ^t la masse de ce point ma<tériel ; et soit enfin u la distance OM , de 8(»te qu'on ait

L'attraction exercée par dm sur fi sera dirigée sui* vaut la droite OM. On suppose cette fcM^e propor^tionneUe aux produits des deux masses , et en raison inverse du carré de la distance u; en la désignant donc par F , on aura

„ ff^dm^

y étant un coeiBcient constant qui exprimera Tinten^ site du pouvoir attractif, rapporté aux unités de masse et de distance. Pour se former une idée précise de cette quantité /, il faut concevoir deux corps

de forme et de dimension quelconques^ dont les masses sont égales et prises pour unité , et supposer que Tattraction ne varie ni en grandeur ni en direction dans toute l'étendue de ces deux corps; en sorte qu'elle soit la même entre deux élémens quelconques de leurs masses, égaux à dm et à )c<, qu'entre les points matériels /t et dm que nous considérons, lorsque leur distance OM est égale à l'unité : la force^^est Tattraction totale qui serait exercée alors par l'un de ces deux corps sur l'autre.

Les projections de la droite OM.sur les axes Dor, Tijy Dz, sont a — x , € — j^, > — 2; en les divisant par u, on aura les cosinus des angles qui déterminent la direction de la force F ; ses trois composantes seront donc

l=fF, ^=^F, 2:=-*Fj

et en y considérant u comme une quantité positive , elles tendront, selon quelles seront positives ou né« gatives , à diminuer ou à augmenter les trois coordonnées a, &y y, du point 0. Si donc on désigne par A, B, C, les trois composantes de l'attraction totale exercée sur ce point, on aura, en mettant pour F sa valeur, et observant que jte et y sont des facteurs constans ,

ces intégrales triples s'étendant à la masse entière du corps attirant.

y En représentant panp la densité de réIéDfientV//iiV

et par dv son volume^ on aura

dm = pds^.

Cette quantité f sera^ dans le cas général ^ une fonction donnée des coordonnées du point M; elle se réduira à une constante donnée ^ dans le cas de l'homogénéité du corps attirant. On exprimera dv au moyen des différentielles des coordonnées de M , dont on fera usage, et qui seront le plus propres à faciliter les intégrations.

g6. Par une considération très simple , on réduit à une seule les trois intégrales triples d'où dépendent les valçurs de A , B, C.

Les limites étant les mêmes que dans ces intégrales, faisons

A cause que ces limites sont indépendantes de la position du point 0 , si l'on différentie T par rapport à ses coordonnées , on pourra effectuer ces différentiations sous les signes /"^n* i4); et comme on a d'ailleurs

il en résultera

qui change les équations (i) en celles-ci :

de sorte que le calcul des trois composantes A, B^ C, -K^e dépendra plus que d'une seule intégrale T.

En la déterminant^ il sera important de se rappeler que le dénominateur u deyra avoir constamment le même signe dans toute l'étendue de l'intégration ^ et qu il doit être positif si Ton veut que les composantes A, B, C, tendent à diminuer ou à augmenter les coordonnées du point 0^ selon que leurs valeurs données par les équations (2) seront positives ou négatives.

Au lieu d'une attraction, si le point 0 était soumis à ime répulsion y il suffirait de changer les signes des valeurs de A, B, C, ou, ce qui est la même chose, d*y regarder f comme une constante négative. Dans le cas où la force attractive ou répulsive qui agit sur le point 0 ne serait pas, comme nous l'avons supposé, en raison inverse du carré de la distance , et qu'on représenterait, en général, le coefficient de ft^/7ï par une fonction donnée de u, que je désignerai par (pu, on prendrait une autre fonction <l>u, telle que l'on eût

et que Ton mettrait à la place de - dans l'expression

de T. U se pourrait aussi que cette force fût attractive pour une partie du corps qui agit sur Ov et répulsive pour une autre partie, auquel cas la fonction

174 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

pu y dans laquelle est compris le coefficient /, changerait de signe dans Tétendue de l'intégrale que T représente.

Les composantes de l'action exercée sur un corps de forme et de dimension quelconques, se déduiront des formules précédentes ^^ en y remplaçant f/, par l'élément différentiel de sa masse, qui répond aux coordonnées a, Ç, >, et intégrant ensuite, par rapport à ces trois variables , dans toute l'étendue de cette masse ; d'où l'on voit que les composantes de Taction exercée par un corps sur un autre dépendront, généralement , d'intégrales sextuples.

' Telles sont les formules d'après lesquelles on calculera les attractions ou répulsions; mais avant d'en faire aucune application, il est nécessaire d'expliquer conîment elles conviennent à la constitution intime des corps naturels, et d'examiner la difficulté dont il a été question à la fin du n^ 91 •

97. Les dîfférens corps renferment, sous des volumes égaux, des quantités inégales de matière pondérable (n^ 60); et ces quantités variant, pour un même corps, avec sa température et la pression extérieure à laquelle il est soumis, on à été conduit à considérer les corps naturels comme un assemblage de parties matérielles non contiguës, et séparées les unes des autres par des pores ou e^ces vides de matière pondérable. Ces parties matérielles se nomment des atomes; leurs dimensions et celles des pores échappent, par leur extiéme petitesse, à nos sens et à tous nos moyens de les mesurer. On regarde les atomes comme indestructibles, et la masse, la forme.

]e yolumc de chacun d'eox^ comme inyariables. Les dimensions des pores varient^ au contraire, avec les quantités diverses de chaleur qu'on introduit dans les corps ou qu'on en fait sortir , et avec les pressions auxquelles on les soumet ; et comme les çhangemens* de volume d'un corps peuvent être très grands^ sans que sa masse ait augmenté ni diminué^ il s'ensuit que les dimensions des parties vides doivent être comparables ef généralement supérieures à celles des parties pleines.

Les atomes de même nature ou de nature différente, se réunissent en diverses proportions, pour former d'autres parties des corps, toujours insensibles, qu'on appelle leurs molécules. Les corps difierent entre eux par la nature et la proportion des atomes qui entrent dans la composition de chaque molécule; et les atomes sont regardés comme invariables et indestructibles , ainsi qu'on vient de le dire , parce qu'en les réunissant dans les mêmes proportions, on reproduit, à toutes les époques, les mêmes corps > jouissant des mêmes propriétés.

98. Il est évident, d'après cela, cpie la division de la masse en élémens infiniment petits, et la supposition d'u^e densité de chaque élément, qui ne varie pas dans les corps homogènes, ou qui varie par de-' gcés insensibles dans les corps hétérogènes, ne conviennent point aux corps naturels ; mais cela n'empêche pas qu'on ne puisse faire usage des formules fondées sur cette considération, et qu'elles ne soient encore applicables lorsque les corps ont été divisés en parties de grandeur finie , mais tout-à-fait insensible.

En effet y les molécules sont si petites et si rapprochées les unes des autres y qu'une partie de la masse d'un corps qui en renferme des nombres immenses ^ peut encore être supposée extrêmement petite , et son volume regardé comme insensible. Soit s^ le volume d'une semblable partie^ d une grandeur însen-* sible, et qui contient^ néanmoins, des myriades de molécules ; soit aussi m la somme de leurs masses ; et désignons par M un des points de v^ qui sera, si l'on veut, son centre de gravité. Si nous faisons

ce rapport p exprimera réellement la densité du corps au. point M , quelles que soient d'ailleurs les masses des molécules et leur distribution régulière ou irrégulière dans l'étendue de p. De même , en désignant par n le nombre de molécules que v renferme, et faisant

cette ligne €, de grandeur' insensible, pourra être appelée Yintervalle moyen des molécules qui répond au point M et à la densité p. Dans un- corps ho- • mogène, ce rapport et cette ligne ne varient pas avec la position du point M ; dans un corps hétérogène, ces deux quantités varieront par degrés insensibles, et pourroiit être supposées des fonctions données des coordonnées de ce point.

Cela posé, si l'on veut connaître la masse d'un corps, ou, plus généralement, la somme des par-

ties extrêmement petites de cette masse y multipliées obactiiie par une fonction U des coordonnées de Fun de ses points M, on divisera le volume V de ce corps en parties extrêmement petites Vy puis on fera là -somme de tous les produits Upt^^ que j'indiquerai par

et qui devra s'étendre à toutes les parties p de V. D'après le théorème du n* i3, si les termes de cette somme étaient infiniment petits et que leur nombre fût infini, sa valeur serait rigoureusement égale à rîntégrale définie

étendue au volume entier V , dont ds^ est Félément différentiel. Or, on conçoit qu'en général la différence entre cette somme et cette intégrale diminuera de plus en plus, à mesure que les parties de la première deviendront plus petites , et que leur nombre sera plus grand; de telle sorte que la grandeur de (^ étant insensible , maïs toujours distincte de dv , on pourra néanmoins prendre , sans erreur appréciable, l'intégrale à la place de la somme. Il y a cependant une exception à ce principe général : c'est lorsque U est du genre des fonctions qui varient très rapidement, et qu'en même temps cette quantité change de signe dans l'étendue de l'intégration; ce qui arrive, effectivement, dans le calcul des forces provenant de l'attraction moléculaire et de la répulsion calorifique , qui ne sont sensibles qu'à des distances insensibles. Mais il nous I. la

suffît^ quant à présent^ d'observer que cette exception n'a aucun rapport avec les formules des n^gi et 95 ^ relatives aux centres de gravité des corps et aux attractions en raison inverse du carré des distances, et qu'on peut, conséquemment , les appliquer aux corps naturels formés de mf>lécules disjointes;

99, Revenons maintenant au calcul des attractions.

Si la distance du point 0 au corps attiré est très grande relativement aux dimensions de ce corps, on pourra, dans l'expression de T du n* 96, développer la quantité - en série convergente, ordonnée

suivant les puissances et les produits de oc y y ^ z. En faisant

^* + €• H- >• =5 cTS

on aura s^lors

Si Ton prend le centre de gravité du corps attirant pour l'origine D des coordonnées, on aura

fffxdm=:o, ffJxdm = o, fffzdmzzzOy

puisque ces intégrales , divisées par la masse M du corps^ seraient les trois coordonnées de ce point (n'^gi). En désignant cette masse par M, nous aurons donc

Lorsque la distance OD ou cT sera assez grande pour qu'on puisse réduire cette valeur de T à son premier terme , les équations (2) deviendront

or ces composantes sont les mêmes que celles d'une force égale à ^-jé f agissant au point 0 suivant la direction OD^ il s'ensuit donc que l'attraction exercée sur un point 0, par un corps qui en est très éloigné, est à peu près la même , en grandeur et en direction, que si la masse M de ce corps était réunie à son centre de graTÎté.

Lorsque ce coi^ sera une sphère homogène ou composée de couches concentriques, on trouvera que tous les termes de la valeur de T, excepté le premier, se détruisent; il suffira pour cela de remplacer o:,^, Zp par les coordonnées r, â, 4 > comme dans le n** 92 ; ce qui permettra d*efiFectuer les intégrations relatives a^ei-^. Le théorème qu'on vient d'énoncer sera donc alors toutà-fait exact , si la distance J^est seulement assez grande

pour que le développement de - soit une série convergente; et, en effet, on verra dans le numéro suivant, sans recourir a la réduction en série, que ce théorème a lieu, quelle que soit la distance du point 0 à la sphère attirante, pourvu qu'il ne soit pas situé dans son intérieur, n est facile d'en conclure que l'attraction d'une sphère sur une autre est la même que si la masse de chaque sphère était réunie à son centre ; car^ en appelantM et M' les masses des deux sphères, et C et C leurs centres, l'attraction de M sur un point quelconque 0 de M' est d'abord la même que si la masse M éfait concentrée au point C; en outre, cette attraction de C sur tous les points 0 de M', est égale et contraire à

<i8o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

l'attraction de tous ces points ou de M' sur C, laquelle est la même que si la masse M'était réunie au point C; donc 9 l'attraction des deux sphères est la même que celle de deux points matériels situés en C et C'^ et dont les masses seraient M et M^

loo. L'attraction exercée sur le poînt*0 par une couche sphérique^ homogène et d'une épaisseur constante, dont D est le centre^ se réduira évidemment à une force dirigée suivant OD. En faisant coïncider cette droite avec Taxe Ox, les composantes B et C^ parallèles aux axes Dj et Dz, seront donc nulles, et Ton n'aura que la valeur de A à calculer.

Dans ce calcul > on emploiera, comme dans le n* 92, les coordonnées polaires r, fl, 4/. L'axe Djc se confondant avec la droite DO, on aura alors

ODM = fl, DO=flt, C = o, y = o;

^t à cause de DM = r et 0M= u, il en résultera

w* = a* — 2arcos6 + r*.

L'angle '^ sera celui que fait le plan ODM avec un plan fixe passant par la droite DO ; on prendra (n"* 95)

dv == /•sinflrfrrfflrf4,

pour l'élément du volume; et dans l'élément dm=2pdi^ de la masse, on regardera p comme un facteur constant.

Après avoir substitué ces valeurs dans l'expression jde T du n® 96, on intégrera depuis r = i jusqu'à r=:a, en désignant par aei b les rayons extérieur ^et intérieur de la couche sphérique, et depuis 6 = 0 ^t 4 = o jusqu'à 6 = TT et 4 = ^tîT. Gomme la va-

nable 4 n'entrera pas sous le signe /, rîatégratîon> relative à cette variable se réduira à remplacer la ^(Térentlelle ^4 P^^ ^^* ^^^^ étant, on aura

Aux limites fl = o et 8 = tt, le radical aura pour valeurs

mais comme il exprime là valeur de w, qui doit étre^ constamment positive (n* 96), il faudra prendre a-^r à la limite Bsis'Tf , et r — tt ou et — rà la limite fl=:o, selon que le point 0 sera situé en dedans; ou «n dehors de la couche sphérique. Nous verrons tout à llienFe ce qu'on doit faire lorsque ce point appartiendra à la couche même y de sorte qu'on ait r'^.(t\ dans une partie de cette couche,, et r;<flt dans rdutce partie.

Relativement à d, l'intégrale indéfinie étant

==~V^* — j2arcosfl+r*+const., I^«» — 2«rcosô +T^ *

on aura donc, dans le cas du point intérieur,

par conséquent, la valeur de T ne dépendra pas de a, et celle de A qui s en déduit au moyen de la preniière équation (3), sera égale à zéro. Dans le cas du point extérieur, on aura de même

i8a ' TRAITÉ DB MÉCANIQUE.

et, conséquemment,

OU , ce qui est la même chose ^ T — ?!•

M étaùt la masse de la couche sphérique dont le yolurae est ^'^^ ~ — k Oa en conUut

ce qui est la même force que si la masse entière de cette couche attirante était réunie à son centre.

loi. Ces résultats s'étendent immédiatement aux cas d'une couche sphérique d'une épaisseur constante, mais composée d'autres couches concentriques, dont la densité varie de l'une à l'autre, suivant telle loi qu'on voudra , et ne change pas dans toute l'étendue d'une même couche ; car on peut déterminer séparément les attractions de ces différentes couches, et faire ensuite la somme de toutes ces forces, laquelle sera nulle pour un point intérieur, et donnée par la formule (3) pour un point extérieur; M exprimant toujours la masse totale du corps attirant.

Concluons donc,

I*. Que les attractions en raison inverse du carré des distances, exercées par tous les points d'une couche sphérique d'une épaisseur constante, homogène ou composée de couches concentriques, sur un point O situé dans l'espace vide que cette couche termine, se

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i83

détniisent mutuellement; en sorte que ce point demeurerait en équilibre , quelque part qu'il fut placé dans cet espace.

2"". Que l'attraction de cette même couche et, par conséquent aussi ^ l'attraction d'une sphère entière, exercée sur un point extérieur 0, est la même que si la masse du corp9 attirant était réunie à son centre.

Si le point 0 fait partie de la couche attirante, on, autrement dit ^ si l'on aa>îietflt<û, on partagera cette couche sphérique en deux autres : l'une dont les rayons extérieur et intérieur seront a et ct^ l'autre pour laquelle ces rayons seront aeib;\e point . O étant intérieur à l'égard de la première de ces deux couches , elle n'exercera sur lui aucune action ; et si l'on appelle m la masse de la seconde couche, par rapport à laquelle le point 0 est extérieur, l'attraction de cette couche se déduira de la formule (5) , en y mettant m au lieu de M. L'attraction totale exercée sur le point 0 aura donc pour valeur

et*

Si la couche sphérique se change en une sphère entièrement pleine, et qu'elle ait partout la même densité, on aura

c'est-à-dire que dans l'intérieur d'une sphère homogène^ l'attraction est proportionnelle à la distance du point attiré à son centre.

Les mêmes théorèmes ont lieu dans le cas d'une ré^^

i84 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

pulsion^ pourvu que cette force varie toujours en raison inverse du carré des distances.

102. L'équilibre du point 0, situé dans l'espace que termine une couche sphérique , et attiré pu repoussé par tous ses points^ peut facilement se vérifier.

Supposons^ pour cela, que cette couche soit d'abord infiniment mince. Soit s son épaisseur. Décomposons sa surface en élémens infiniment petits; et désignons par cû Taire de celui qui répond au point P (fig. 35). Les élémens correspondans du volume et de la masse de cette couche seront ea> et pea> ; et si l'on appelle r la distance OP, la valeur de la force dirigée suivant cette droite sera

Imaginons un cône dont la base soit eo et le som-* met 0; en prolongeant la génératrice OP jusqu'à ce qu'elle rencontre en P' la surface sphérique, et prolongeant de même toutes les autres génératrices, on déterminera sur cette surface un second élément que je désignerai par a>'. Soit, de plus, r' la distance OP'; la force dirigée suivant cette droite, en sens contraire de la précédente, aura pour valeur

or, je dis que ces deux forces contraires seront égales entre elles, c'est-à-dire qu'on aura

m tt

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i85

Soient y en effet, POQ et P'OQ' les sections des deux cènes, faites par un même plan quelconque, passant par leur sommet commun 0. Les surfaces semblables tù et û>f seront entre elles comme les carrés des lignes homologues PQ et P'Q'. A cause des triangles semblables POQ et P'OQ', on a d'ailleurs