PQ : P'Q' :: OP : OF
en élevant au carré les quatre termes de cette pro- . portion, on en conclura donc
et, par conséquent, Téquation précédente.
n résulte de là que les actions exercées sur le point 0 par tous les élémens de la couche spbérique se détruisent deux à deux. L'action totale de cette couche sera donc nulle; et il en sera encore de même si elle a une épaisseur finie; car alors on pourra la décomposer en une inanité de couches infiniment minces, dont chacune n'exercera aucune action sur le point 0.
* § IL Formules relatives à Tellipsoïde.
io5. Lorsque le point 0 appartiendra à la masse attirante, on facilitera souvent les intégrations en prenant ce point pour origine des coordonnées polaires. Le rayon vecteur du point quelcouque M sera alors u; en appelant donc, comme dans le n^gS, dcù l'élément de la surface sphérique dont le rayon çst l'unité, on aura
d{f = u^dudoùf dm = pu^dudco',
i86 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
et si l'on appelle g, h, k, les angles que fait la droite OM ayec des parallèles aux axes Dx ^ Dj; Bz ^ menées par le point 0, on aura aussi, d'après les notations du n* 95,
cosgrc= , cos =*^ , cosa:=s ^;
ce qui changera les équations (i) de ce numéro en
celles-ci :
A = — l^ffffpcosgdudoù, B = — l^ffffP cos Jidudœ , C = — !^fffff cos kdudca.
Les intégrales relatives à u s'étendront depuis u^azo jusqu'à u=2ry en désignant par rie rayon vecteur d'un point quelconque de la surface qui termine le. corps attirant. Pour plus de simplicité , si l'on suppose ce corps homogène, ces intégrales s'effectueront immédiatement, et il en résultera
. A = — jit/py^rcosgrf», ) B = — fJLfpJfrco%hdœ^ ? (a) C = — V^fyJT^ cos kd'^. J
Pour déterminer la valeur de r, qu'on devra substituer dans ces formules, soit, en coordonnées rectangulaires,
^{pCflf^) = o,
l'équation de la surface du corps attirant. En un point quelconque de cette surface , on a
a: = a + wcosg, ^=^ + MCOsA, asr^+ttCosA:, d'après les valeurs précédentes de cos g, cosA^ cosâc,
et et, 6^ ^^ étant toujours les trois coordonnées du point O dont les valeurs sont données. On substituera donc ces valeurs de x,jr^ z^ dans l'équation précédente ; celle qui en résultera donnera , en général , denx valeurs de r, lune positive et l'autre négative j maiâ on rejettera la valeur négative, parce que le iQijron vecteur r est une quantité positive dont la direction est uniquement déterminée par les angles g y h, k, qui peuvent être aigus ou obtus.
Après la substitution de la valeur de r dans les équations (a), les intégrales doubles s'étendront h, tous les ëlëmens da> de la surface spbérique, décrite du point 0 comme centre, et d'un rayon égal à Tunité.. 104. Appliquons ces formules au cas de l'ellipsoïde homogène dont la 'surface a pour équation
a, b, Cf désignant les trois demi-axes, et le centre de figure étant l'origine D des coordonnées. Si l'on y substitue les valeurs précédentes de a?, ^, z, il vient
en faisant, pour abréger,
— . I ^ r —r- — Pf
eteosg j^ s C.08 h , ycùsk
Nou9 aurons donc
Or^ la quantité p est positive; la quantité / est aussi positive ou zéro, parce que le point 0, qui répond aux coordonnées cl, C^ y^ est situé dans Tintérieur de l'ellipsoïde y ou, tout au plus, à sa surface; par conséquent, il faudra prendre le radical avec le signe +, pour que le rayon r ne soit pas négatif. Je dis, de plus, qu'on pourra supprimer ce radical dans les formules (a). En effet, la partie correspondante de l'intégrale contenue dans A, par exemple, serait
ff 'pV¥Tj^ cos g da>;
mais pour chaque couple d'élémens^o) dont les rayons sont dans le prolongement l'un de l'autre, les élémens de cette intégrale double se détruisent; car en passant de lun de ces élémens dco à l'autre, chacun des trois cosinus cos g, cosh, coskf change de signe, les quantités p, Z, ç', restent les mêmes, et le coefficient àèdûù sous le signe y* prend des valeurs égales et de signe contraire. Tous les élémens de l'intégrale précédente se détruisant ainsi deux à deux, la valeur, de A devient d'abord
en ayant égard a la valeur de q. Or, les deux dernières de ces trois intégrales se composeront de cou—
pies d'élémens qui répondront aux mêmes valeurs de ^ et de A:, et à des valeurs de g supplémens Tune de Tautre. Chacun de ces couples d'élémens se réduira donc à zéro, et, par conséquent aussi, les intégrales entières. En supprimant ces intégrales et faisant suLir des réductions semblables aux valeurs de B et de C , on aura simplement
Soient actuellement 9 langle compris entre le rayon OM et la parallèle à Taxe Ox menée par le point D, et >[/ Tangle que fait le plan de ces deux droites avec un plan passant par la seconde et parallèle à celui des x et / ; nous aurons (n*' 8)
cosg^=cosdy cosA=sin6cosN|/, cosA;=:sin9sin4/,
et, en même temps (n* gS),
d'où il résultera
a^b^c^p = èV fcos»^ + (c* cos*4 + b^ sin* ^|.)a• sin* fl,
Pour comprendre les directions de tous les rayons OJVI^ les intégrales devront s'étendre depuis 6 =: o et >(/ =0 jusqu'à 0=7r et 4 = ^''^ 7 ^^îs ^ cause que le coeffi-
igo TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
cient de dâ a la même valeur pour Q et pour «tt — 6, il suffira d'intégrer depuis fl = o jusqu'à ÔssJtt, e\ de doubler le résultat ; et parce que le coefficient de 4 est le même pour 4 ^^ pour 9rrb4^ il suffira aussi d'intégrer depuis 4 = o jusqu'à 4 = 7^; ^t de quadrupler le résultat. Cela étante je fais
<p = tang4, ^<P = ^J et à cause de
cos* 4 == — ; — ; > sin* 4 = — 7— r » il en résulte
J o p J o (A"cos'^+a*siu»e)c'+(c»cos"«+ô'sm*0*'^'
2 k^(A* cos* 9 + a» sin* 0 (c» cos» é + a* sia* 0 *
au moyen de quoi la valeur de A ne dépendra plus que de l'intégrale relative à ô. Sans nouveau calcul^ on déduira B de A en y mettant S au lieu de, a, et permutant les lettres a et &; et de même, on déduira C de A en y mettant y au lieu de a ^ et permutant les lettres a et c. De cette manière, on aura finalement
Ay /i r^^ bc cos"" 0 sïn ùdê • 1
^' J o V^(é«cod*«+a'sin-'0(c'co8*tf+a*sm*ô) I
'^'^^ J O K(a*co8»6+**sm'6)(c'cos*ô + A*sm*ô) ( ^
^^f^fnpj
Ces valeurs de A, B^ C^ étant positives^ il s'ensuit
qae chacune de cqs trois composantes tend à rapprocher le point 0 du centre de l'ellipsoïde ; le contraire aurait lieu dans le cas d une répulsion où Ton devrait mettre, dans ces formules, — /^au lieu dey!
io5. Désignons par S" une constante positive, et supposons qu'on substitue (i+cr)^, (ï+J^)^^ (i + J^)c, au lieu de a, b, c, dans les formules (c). Le facteur i + cT disparaîtra , et les valeurs de A , B, C, resteront les mêmes. Or, par cette substitution, l'ellipsoïde se trouvera augmenté d'une partie comprise entre sa surface primitive et une surface semblable; les composantes A, B, C, ne changeant pas, il en faut donc conclure que l'action de cette partie additive sur le point intérieur 0 se réduit à sero.
Ainsi une couche homogèbe comprise entre deux sur£aices elliptiques semblables , ayant le niéme centre et leurs axes dans les mêmes directions, n'exerce aucune action attractive ou répulsive sur un point 0 situé dans l'espace vide que termine sa surface intérieure; en sorte que ce point matériel restera en équilibre, quelque part qu'il soit placé dans cet espace ; théorème qui comprend celui que nous avons précédemment trouvé pour Yt cas d'une couche sphérique.
Il en résulte que l'action d'un ellipsoïde plein et homogène sur un point 0 de sa masse, se réduit à celle qui est exercée par la partie de cette masse terminée par la surface elliptique, passant par ce point, semblable à celle du corps entier, et semblablement placée. D'après les formules (c), la composante de cette force, parallèle à chacun des trois axes de Tel-
lipsoïde y est proportionnelle à l'ordonnée du point O parallèle à cet axe, et ne dépend que de cette variable. Dans le cas général. où les trois demi-axes a, b, c, sont inégaux, on transforme en fonctions ellipti'^ ques les intégrales relatives à 9 que ces formules renferment ; ce qui permettra d'en calculer les valeurs numériques , au moyen des tables de M. Le^ gendre. Ces mêmes intégrales s'obtiennent sous forme finie, lorsque deux des constantes a, b^c^ sont égales, et qu'il s'agit, par conséquent, d'un ellipsoïde de révolution.
io6. Supposons, par exemple, qu'on ait cz=zb; la forme des intégrales relatives à 61 sera différente, selon que l'ellipsoïde sera aplati ou allongé , c'est-àdire , selon qu'on aura i > a ou è < «. Supposons aussi que ce soit le premier cas qui ait lieu; et faisons, dans cette hypothèse.
/jxfa^ (i + e')
en sorte que la fraction e soit l'aplatissement de l'ellipsoïde, et m sa masse. Il en résultera
* ZfifmA rî^ cos* 6 sin 9 dd ^
a^ J 6 ThFFcÔs^T '
et, en effectuant l'intégration, on aura
A=^^^[e — arc(tang = e)],
pour la composante parallèle à Taxe de révolution. On aura aussi
B C Sféfm ri
^ cos*0 8mt
1/ 1 + c» sin* ô
Les composantes B et C étant entre elles comme les coordonne'es Cet y du point O, il s'ensuit que leur résultante sera dirigée suivant la perpendiculaire abaissée de ce point sur l'axe de révolution. En appelant A' cette force, et et' la longueur de la perpendiculaire, de sorte qu'on ait
A' = v/B' + Cs a' = v/è'-f- y, et effectuant l'intégration indiquée, il vient
La résultante des deux forces A et A' exprimera en grandeur et en direction^ l'action totale de lellipsoîde sur le point 0.
Lorsque e sera une très petite fraction, on pouira développer ces valeurs de A et A' en séries très convergentes , ordonnées suivant les puissances de e. A cause de
arc(tang = 6) = e — l' + J — etc. , £=^--e»+e» — etc..
nous aurons
A -.3-(^i-.+ etc.),
A= -p-(^i--g- + etc.).
Dans le cas de la sphère, ou de e = o, la résultante de A et A' sera dirigée vers le centre, et aura la même intensité que dans le n* loi.
