Le calcul de l'attraction d'un ellipsoïde ho
mogène snr nn point extérieur présente encore beaucoup plas de difficulté; mais on doit à M. Yvori un théorème au moyen duquel ce cas peut être ramené à celui du point intérieur ; ce qui permet d'exprimer les composantes de l'attraction par des intégrales sim* pies, semblables aux formules (c). Voici une démonstration de cette importante proposition.
Eq faisant ^ dans la première équation (i)du n"" g5,
dm = fdxdjrdz,
et observant que f est un facteur constant^ on a
JJJ [(« - ^y + (^ -jT + (y - ^)T Je suppose que l'équation de la surface soit toujours réquation (6), et j'y mets ax', bf, cz', à la place de ^f J9 2 y ce qui la change en célle-K^i :
En même temps la valeur de  devient
A = «rpa*c fff '.±=^ÙÉ^j!i ,,
et si l'on désigne par d= x^ les valeurs de x^^ égales et de signe contraire, «pie l'on tire de l'équation précédente, l'intégrale relative à x' devra être prise depuis jcr' = — .r, jusqu a jc' = or, ; ce qui donne
A««#*. ( ff— ^^^^i— :
___ rr 4r'^ N^
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. igS
Chacotàe dé ces àen% intë^alés doubles s'étendra à tous les élëmens de la demi-snrface sphérique dont le rayon esrt runîtë, et qui a son centre à l'origine deâ coordonnées ; le produit dydz' est la projection stir le plan des j et z, dun élément quelconque. Si donc on désigne par 9 l'angle que le rayon qui aboutit à cet élément fait avec Taxe des œ, et par 4 l'aûgle compris entre le plan de ces deux droites et le plan des a:r ct^, l'aire de cet élément sera sinO^&t/^, son inclinaison suf le plan des ^ et z sera Tangle 9> et il en résultera
dfdzf = cos fl sin 9^8 d-^ ,
pour sa projection sur ce plan. On aura en même temps
or, = cos 6, ^' = sin 6 cos >[/ , 5;'= sin 9 sin 4-
Les limites des deux intégrales seront maintenant Ose et 4=^<>» 9 = ^7r et >{/sc=:27r; mais si l'on met) dan^ la sei^onde, ^ — 9 à la place de ^, il est aisé de voir que ces deux intégrales se réuniront en une seule y, qui aura les mêmes limites par rapport à ^^y et dont les limites relatives à fl deviendront 8 = 0 et 9 = 7; en sorte que l'on aura simplement
en faisant^ pour abréger,
R*=s: *• 4- C* + y* — 2 («a COS 1 + W sin* 0081J/ +yc8in û sin^') + «• cos' * + *' sin* é cos* 4^ + <^ «n» $ sin* 4^ ,
et regardant K comnie une quantité positive. Les
igG TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
deax autres composantes B et C s'exprimeront pareil^
lement par des intégrales doubles.
Maintenant, considérons lattraction d'un autre el* lipsoïde ayant la même densité f , le même centre , Qt ses axes dans les mêmes directions que le premier. Soient a^, b^^ c^, les trois demi-axes correspondans ka,b, c; appelons 0^ le point soumis à cette attrac-> tion, ^19 ^19 >i9 ses coordonnées, et A^, B^, C,, Jes composantes de cette force, parallèles aux trois axes de l'ellipsoïde. En supposant toujours que fc soit la masse du point attiré, nous aurons
k,^,^fb,c,jj^ 5^- ;
R, étant ce que devient R quand on y change a, bf c, a, ^, y y en a,, ^i, c,, a,, C,, 7,. Les valeurs de B, et C. se déduiront de même de celles de B etc.
Supposons que les deux ellipsoïdes aient les mêmes foyers, et conséquemment des excentricités égales; on aura alors
h y ky h'-^k^ étant des quantités positives ou négatives qui exprimeront, abstraction faite du signe, les carrés des excentricités communes à ces deux corps. Supposons, de plus, que le point 0, , attiré par le second ellipsoïde, soit situé sur la surface du premier, et le point 0 attiré par le premier , sur la surface du second. D'après l'équation {jb) et celle de la surface du second ellipsoïde, il faudra qu'on ait
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i^
fl + iL + lI-,
Soient enfin /i et g deux angles donnés; et prenons
^«=acosp, C|=6sin/>cos9, 5^,=:csîn/>sîny, 1 ^ ^ OL =a,cos/>9 ^ =6,sin/>€Os 9, 3^ s=:(?jsin/>«înj^ J
valeurs qui satisferont . aux deux équations précédentes et qui établissent une relation particulière entre les coordonnées des points 0 et 0,. En substituant ces valeurs de a, ff , y, dans l'expression de R% et y mettant aussi les valeurs précédentes de A% c% ^\f c\, il vient
R* = û* + a» 4- A (sîn^ p cas? q + sin» fl cos* 4) + k (sin* p sin* q •+- sin* fl sîn* 4) — !i(a,û cos/) cos fl -f-^i ^ sîn/> cos ^r sin Ocos>[/ + c, c sînp sin ç sin 9 sin 4)«
Or, sans écrire la valeur de R' , on voit qu'elle sera la même que celle de R*; car elle s'en déduirait par les permutations de a et a^^ b et b^, c et c^ , sans changer ^ et k, qui sont des quantités communes aux deux ellipsoïdes; et il est évident que cette dernière formule ne change pas par ces permutations. Â cause de R, = R, les valeurs de A et A, renfermeront la même intégrale double; en l'éliminant, on aura donc
A, bc = kb^c^.
Relativement aux autres composantes, on obtiendra des résultats semblables; en sorte que, d'après les
ig8 TRAITÉ DE MÉaNlQUS;.
suppositions qu'on a faites sur les deux points attires
0 et Ok> on aura finalement
B, a.ci
