HF

B ~ ac'

"C*" ab

Pour énoncer le théorème que ces trois équations renferment I appelons points correspondons , sur les surfaces dçs deux ellipsoïdes ^ deux points doat les coordonnées sont entre elles dans le rapport des demi-axes auxquels elles sont parallèles. Le point 0^ de la surface du premier ellipsoïde, dont les coordonnées parallèles aux demi-axes a, b, c, sont a^, 6i, yt, aura pour correspondant, sur la surface du second ellipsoïde , le point 0, dont les coordon^ nées parallèles aux demi-axes cit,bt,c^, sont a, €, y^ puisqu'on a, d'aprè$ les équations (22),

ad, C hC y c, .

Cela posé, il résulte des équations (3) le théorème suivant :

Si l'on a deux ellipsoïdes homogènes qui aient le même centre et les mêmes foyers, l'attraction suivant chaque axe que l'un des deux corps exercé sur un point situé à la surface de l'autre, est à l'attraction de celui-ci sur le point correspondant de la surface du premier, comme le produit des deux autres axes du premier ellipsoïde est au produit des deux autres axes du second.

io8« Lorsque deux ellipsoïdes différensont, comn:ie on le suppose, le même centre et les mêmes foyers^

STATIQUE, PaEMIÈRB PARTIE. 199

l'on des detix est entièrement compris dads l'autre ; par conséquent , ai le point 0 est extérieur par rap^ port au premier ellipsoïde^ le point 0| sera intérieur par rapport an secondé Pour déterminer^ au moyen du théorème précédent, l'attraction d'un ellipsoïde domiésur un point extérieur Oausn donnée on fera donc passer par ce point la surface d'un second ellipsoïde ayant le même centre et les mêmes foyers que le premier; par les formules relatives aux points intérieurs, on déterminera les trois composantes A., B^ , C^, de 1 attraction de ce second corps sur le point 0, de la surface du premier, correspondant du point 0 ; les équations (5) feront ensuite connaître les composantes A, B, Cy de l'attraction de rellipsoid« donné sur le point donné. Ainsi tout se réchiira ^ trouver les vsh leurs des trois demi-axes a^, b^^c^^ du second ellipsoïde, d'après ceux du premier qu'on a représentés par a, ^, c, et d'après les coordonnées a, ^> >, du point donné 0. «

Pour axer les idées, je suppose que a soit )a plus petite dés trois quantités a^ b^ c; ce qui rendra posi« tives les quantités A et A: du numéro précédent. J'appelle u le carré de a, ; oti aura

et il ne restera plus qu'à déterminer cette inconnue u, qui devra être réelle et positive. Or, en vertu de la seconde équation (1), nous aurons

équation du troisième degré par rapport à u, qid a au moins une racine réelle et positive ; car en faisant croître u depuis zéro jusqu'à Tinfini, son premier membre est d'abord plus grand et ensuite plus petit que le second; en sorte qu'il y a au moins une marieur positive de u qui les rend égaux. Je dis de pins qu'il n'y en a qu'une; car en supposant qu'il y en ait deux y u et u\ il faudrait qu'on eût à la fois

et en retranchant ces équations l'une de l'antre, et sujpprimant le facteur u! -^ u, commun à tous les termes, il en résulterait

ui/ "•" (a + A) («' + h) "*" {u + k) {u' + k) — ^J

ce qui est évidemment impossible. Donc il n'existe qu'un seul ellipsoïde qui ait le même centre et les mêmes foyers qu'un ellipsoïde donné, et qui passe en outre par un point donné. La quantité i^, d'où dépen^ dent ses trois demi-axes a,, ô, , c, , est déterminée par l'équation (4); ce qu'il s'agissait de trouver.

109, Nous ferons remarquer que le théorème du n"" 107 convient également à toutes les lois d'attrac-tion en fonction de la distance ; car la démonstration qu'on vient d'en donner est fondée sur la forme que prend l'expression de R"" , qui se trouve identique pour les deux points 0 et 0,, et non sur la forme

de la fonction de R^ qui exprime la loi de Fattraction.

Si leis deux ellipsoïdes sont des sphères concentriques^ l'attraction de chacune d'elles sera la même sur tous les points de la surface de l'autre, et il ne sera plus nécessaire que les points 0 et 0. soient correspondans. En appelant a et a. les rayons de ces deux sphères, D l'attraction de la sphère du rajon a sur un point de la surface sphérique du rayon a, , et D, celle de la sphère du rayon a^ sur un point de la surface sphérique du rayon a^ lesquelles forces seront dirigées suivant les rayons des points attirés^ on aura

quelle que soit la loi de l'attraction en fonction de la distance.

Cette proportion est facile à vérifier dans le cas ordinaire où l'attraction est en raison inverse du carré de la distance. En effet , d'après les résultais du n® loi, si l'on suppose £i > a,, l'attraction D de la sphère du rayon a sur un point intérieur^ situé à une distance a. de son centre et dont fJL est la masse ^ sera

l'attraction D. de la sphère du rayon a^ sur un point extérieur 9 dont /te est aussi la masse et qui se trouve à la distance a de son centre; aura pour valeur

202 TRAITÉ DE ^ÉGAIilQUE.

et en comparant ces valeurs de D et D|, on voit qu'elles sont entre elles comme les carrés des rayons a et ctg»