FORGES

§ !•*■. Formules du mouvement rectiligne.

iio. Le mouvement le plus simple que puisse prendre un point matériel est celui qui a Keu en li^e droite, et dans lequel le mobile décrit des espaces égaux en temps égaux. C'est ce mouvement rectiligne que Ton appelle uniforme^ et qui sert de terme de comparaison à tous les autres mouyemens.

Quand le rapport des espaces parcourus aux temps employés à les décrire change cottlinuellement, le mouvement est varié; si ce chàngeiqjent n'avait lieu qua des intervalles de temps finis, le mouvement ne serait qu'une succession de mouvemens uniformes.

ao4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Dans un mouvement quelconque, l'espace parcouru par le mobile^ ou^ plus généralement , sa distance à un point fixe pris sur la ligne qu'il décrit, est une fonction du temps écoulé depuis une époque convenue. Ainsi y en appelant t ce temps ^ et x cette distance^ on aura, dans tous les cas,

et les diverses sortes de mouvemens différeront entre elles par la forme de cette fonction F^. La variable t pourra être positive ou négative : ses valeurs positives répondront à des époques postérieures à celle d'où l'on compte le temps, et ses valeurs négatives, à des époques antérieures.

Dans le mouvement uniforme, si l'on appelle a l'espace parcouru dans chaque unité de temps , et b la distance du mobile au point fixe , à l'origine du temps tf c'est-à-dire, la valeur de x qui répond à ^ = 0, on aura, à un instant quelconque,

ar = & + a^;

car^ d'après la définition de ce mouvement , l'espace jc— 6 décrit dans le temps t doit être égal à l'espace constant a, répété autant de fois que t renferme d'unités.

m. On ne définit ni le temps ni l'espace; mais il suffit à la Géométrie et à la Dynamique que nous puissions mesurer les dimensions des corps et les du« rées de leurs mouvemens. La mesure des longueurs est fondée sur 1% superposition , et se conçoit sans aucune difficulté 3 celle du temps exige quelque explication.

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 2o5

On ferait un cercle vicieux si l'on disait, d'une part^ que le mouvement uniforme est celui dans lequel les espaces parcourus sont proportionnels au temps ^ et^ d'un autre côté, que le temps a pour mesure le mouvement uniforme, c'esl-à-dire qu'il est proportionnel aux espaces parcourus dans ce mouvement. Mais la notion des temps égaux et la mesure du temps ne sont fondées nécessairement sur aucune loi particulière de mouvement, et l'on peut, en conséquence, les supposer dans la définition du mouvement uniforme et de toute autre sorte de mou* vemens.

Concevons, en effet, que des corps parfaitement identiques se meuvent successivement, et que, pendant toute la durée de son mouvement, chacun des mobiles se trouve exactement dans le même état que celui qui l'a précédé : il est évident que tous ces mouyemens, dont la loi n'est pas donnée, s'exécuteront en temps égaux, et que leur nombre pourra servir de mesure au temps. Ainsi, par exemple, si ces corps sont pesans et retenus par un axe fixe horizontal , qu'on les écarte tous également de leur position d'équilibre, et qu'on les abandonne ensuite à eux-mêmes , de sorte que le mouvement du second commence dès que le premier est revenu à cette position, celui du troisième aussitôt que le second y est revenu de même, et ainsi de suite, il n^ aura aucune différence possible entre tous ces mouvemcns successif qui s'achèveront en temps égaux. On prouvera par la suite qu'il n'est pas nécessaire pour cela que ce soient différens mobiles qui se succèdent , et

2o6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

que les osciltatiotis successives d'un même corps, de part et d'autre de sa position d'équilibre, sont aussi isochrones^ on d'égeie durée; mais la considération précédente, qui ne suppose la solution d'aucun problème de Mécanique, suffit à l'objet que nous nous sommes proposé.

Les astronomes ont reconnu, par les observations les pins précises et le plus souvent répétées, l'invariabilité de la révolution apparente de la sphère céleste autour de la terre; et, effectivement, la théorie n'indique aucune inégalité sensible dans le mouve-* ment de rotation de la terre qui donne lieu à cette apparence. On appelle jour sidéral la durée constante de cette révolution, laquelle durée est moindre que celle de la révolution diurne du soleil. Celle-ci n'est pas exactement la même à toutes les époques de l'année; et c'est sa grandeur moyenne que l'on prend pour unité de temps dans les usages ordinaires, et que l'on appelle le jour moyen. Nous adopterons, dans cet ouvrage , la division du jour en n^ heures, de l'heure en 60 minutes, et de la minute en 60 secondes; en sorte que la seconde sera la 86400* partie du j6ur moyen. Le jour sidéral ne contient que 86164^09 secondes; d'où il résulte que pour exprimer en jours sidéraux un, temps donné en jours moyens, il faudra le multiplier par le rapport de 86400 à 86164^09, ou par le nombre constant 1,0027579.

I ï2. Un mouvement uniforme diffère d'un autre par la grandeur de l'espace parcouru dans l'unité de temps. Dans chaque mouvement uniforme, cet es-

pace constant est oe qu'on appelle la vitesse du mobile ; mais , pour parler exactement ^ cet espace n'est que la miesure de la -vitesse , et non pas la vitesse ellemême. La vitesse d'un point matériel en mouvement est une chose qui réside dans ce point , dont il est animé, qui le distingue actuellement d'un point matériel en repos, et n'est pas susceptible d'une autre définition. La vitesse exprimée , dans le mouvement uniforme y par l'espace que le mobile décrit dans chaque unité de temps, suppose qu'on prend pour unité de vitesse celle du mobile qui parcourt l'unité linéaire dans l'unité de temps.

Dans un mouvement varié quelconque, la vitesse du mobile varie par degrés infiniment petits, et elle est une fonction du temps qui se déduit , ainsi qu'on le verra tout à l'heure , de celle qui exprime Tespace parcouru: mais, auparavant, il est nécessaire de connaître le genre de mouvement que prendra un point matériel en vertu de sa vitesse acquise , si la force qui lui a imprimé cette vitesse , par son action continuée pendant un certain temps, vient à cesser d'agir, et que ce mobile soit abandonné à luimême.

ii3« n est d'abord évident que si le mobile sVst mu jusque là en ligne droite, il continuera à se mouvoir suivant le prolongement de la ligne qu'il décrivait ; car il n'y aurait aucune raison pour que ce point matériel s'écartât de la direction qu'il a reçue plul6t d'un côté que de Tantre. Mais nous ne pouvons pas affiirmer, à priori ^ que la vitesse qui lui a été imprimée ne se ralentira pas d'elle-même, et ne fi-

2o8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

nira pas par s'éteindre entièrement ; ce n'est que par l'expérience et l'induction que cette question peut être décidée.

Ov, à mesure que les obstacles à l'état de mouvement des corps ^ tels que les frottemens et les résistances des milieux qu'ils traversent , diminuent d'intensité , nous les voyons persévérer de plus en plus dans cet état ; et , toutes les fois que nous apercevons une altération dans leur vitesse , nous reconnaissons que cet effet peut être attribué à une cause étrangère. Nous sommes donc conduits à conclure que s'il était possible qu^un point matériel^ après avoir été mis en mouvement, ne fût plus sollicité par aucune force , et ne rencontrât aucun obstacle , son mouvement serait rectiligne et uniforme, c'est-à-dire, le plus simple de tous les mouvemens.

Ainsi, par exemple, si une parcelle de fer est mise en mouvement dans le vide, sur un plan horizontal et sans frottement, par la seule action du p61e d'un aimant , et que tout à coup on détruise le pouvoir attractif de ce pôle, en y juxtaposant un pôle égal et contraire, cette parcelle continuera de se diriger vers ce point ; mais son mouvement deviendra uniforme , et sa vitesse sera plus ou moins considérable, selon qu'on aura laissé agir la force attractive plus ou moins long-temps.

L'impossibilité où sont tous les points matériels de se mettre en mouvement ou de changer le mouvement qui leur a été communiqué, sans le secours d'une force , est ce qu'on entend par Vinertie de la matière. Ce mot ne signifie pas que la matière soit

incapable dagir; c^r^ au contraire^ chaque point niatériel trouve toujours dans Faction d'autres points xnatëriels, mais jamais en lui-même , le principe de son mouvement.

ii4- Au bout du temps ^^ et quand le mobile se trouve à la distance x d'un point fixe pris sur la droite qu'il décrit, soîl s^ sa vitesse acquise, c'està-dire, la vitesse du mouvement uniforme qui aurait lieu, si, à cet instant, la force qui agit sur le mobile venait à cesser d'agir. L'action de cette force continuant, l'espace dx que le mobile parcourra dans l'instant dt sera décrit en vertu de cette action, et de la vitesse (^; la partie de ^ correspondante à cette vitesse, qui serait décrite d'un mouvement uniforme, aura \fdt pour valeur. En appelant donc € la partie de cet espace qui répond à Faction de la force pendant l'instant dt ^ nous aurons

dx = pcfe -f- g.

Or, la vitesse variant par degrés infiniment petits, et ses variations étant uniquement dues à l'action de la force 'appliquée au mobile , il s'ensuit que dans le temps dt cette action ne peut produire qu'une vitesse infiniment petite ; par conséquent, cette même action ne peut faire décrire qu'un espace infiniment petit du second ordre, moindre que celui qui serait décrit uniformément par le mobile, s'il recevait au commencement de dt toute la vitesse qui sera produite pendant la durée de cet instant. On peut donc négliger £ par rapport h vdt dans l'équa^

tion précédente : et alors on aiva

dx

pour Texpression de la yitesse dans ua mouvement quelconque.

Si l'on voulait connaître la partie € de l'espace parcou m par le mobile dans le temps dt , en vertu de l'action de la force qui le sollicite , il faudrait conserver les puissances de dt supérieures à la première. Or, en appelant x' la distance du mobile au point fixe y au bout du temps t -{^ dt , on aura, par le théorème de Taylor,

a:^^a:^^dt + l^dt^^etc.,

pour l'expression complète dé l'espace parcouru dans cet instant dt. Le premier terme ^ égal à ifdt, est l'espace dû à la vitesse acquise au bout du temps t; si donc on néglige les termes du troisième et des ordres supérieurs par rapport à ceu?t du second, on aura

ou, ce qui est la même chose, é = ^di^dt,

pour la partie de l'espace jr' — a: que iactioii de h force a ^it parcourir. La vitesse produite eu même temps par cette action étant dv ^ on voit que l'espace que le mobile décrirait uniformément, pendant ce temps, dt, s'il recevait au commencement

toute cette augmentation de vitesse^ sel'ait égal au pi^odnit de di^ et dt , ou double de l'espace g qu'il cieciût réellement.

1 1 5. Lorsque l'espace parcouru sera donné en fonction du temps, on en déduira immédiatement la vitesse correspondante , au moyen de l'équation

i' = ^. Par exemple, les mobiles, dans la machine

^jithaody décrivant des espaces qui croissent comme les carrés du temps , on en peut conclure que leurs vitesses acquises doivent être proportionnelles aux temps pendant lesquels ces espaces sont parcourus; ce que cette machine fournît , en effet , le moyen At vérifier.

Réciproquement, si la vitesse est donnée en fonclion du temps par la définition du mouvement, on en déduira, par l'intégration, l'expression de Tespace parcouru. Ainsi, après le mouvement uniforme, le plus simple est celui dans lequel la vitesse aug«mente ou diminue , de quantités égales , en temps égaux 9 et qu'on appelle, pour cette raison , uniformément accéléré ou retardé. Si donc on appelle g l'accroissement constant, positif ou négatif, de la vitesse dans chaque unité de temps , et a la vitesse du mobile quand ^ = o , la vitesse p à un instant quelconque sera, dans ce mouvement,

sf — a + gt;

et en multipliant par dt et intégrant, on aura

X z=z b + at + \gt\

pour la distaiice du mobile à un point fixe de la

^la TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

droite qu'il décrit ; b étant cette distance à Torigtiie

'du temps t.

Lorsque les deux constantes a elb seront nulles, on aura simplement

v — gt, a: = ^g^.

L'espace parcouru est donc alors proportionnel au carré du temps ; et la vitesse acquise au bout d'un temps quelconque t est telle qu'en vertu de cette seule vitesse le mobile décrirait, en un temps égal Si t, un espace vt double de celui qu^il a parcouru. Il s'ensuit que si l'on connaît l'espace parcouru dans là première unité de temps, on aura, en le doublant , la valeur de la vitesse constante g, par laquelle un mouvement uniformément accéléré diffère •d'un autre mouvement de la même nature.

Ce mouvement est c*elui des corps pesans qui tombent dans le vide. En un même lieu, la vitesse g est égale pour tous leurs points; en sorte qu'ils décrivent tous, d'un même mouvement de cette espèce, des droites verticales. Cette vitesse varie d'un lieu à un autre; en prenant la seconde pour unité de temps, et le mètre pour unité linéaire, on a conclu de l'expérience

à l'Observatoire de Paris.

La force qui produit des vitesses égales en temps égaux est pour nous une force constante. Ainsi,* la pesanteur est une force constante; ce qui signifie ici qu'elle agit avec la même intensité sur les corps

^jà animés- de vitesses quelconques y et non pas seulement, comme dans le n"* 59 , que son intensité est la même dans toute Fétendue d'un corps dé dimensions ordinaires.

1 16. Les lois de Féquilibre ne supposent aucune relation particulière entre les forées et lés vitesses correspondantes; et, pour résoud^^e les problèmes de Statique , il suffit de connaître les rapports numériques des forces, tels qu'ils ont été définis dans le n® 5» Les lois du mouvement , au contraire , dépendent du rapport qui doit exister entre les grandeurs des vitesses produites par des forces données; et ce rapport, dont la connaissance est indispensable pour la solution des problèmes de Dynamique , est le même que celui des forces, ainsi qu'on va lé dé^ montrer.

Soient toujours a: et i^ l'espace parcouru et la vi^ tesse acquise par un point matériel au bout du temps ^• Supposons qu'à cette époque deux forces données J^ et y agissent simultanément sur le mobile , suivant la direction de son mouvement; désignons par u la vitesse infiniment petite que la force /^ imprimerait au mobile., si elle agissait seule pendant un temps r infiniment petit, et par z^' celle qui serait produite par la force J"^, dans le même temps, si la forcey'n'existait pas. Je dis que la simultanéité de ces deux forces ne modifiera pas les vitesses dont elles sont capables séparément, et que la vitesse produite par la force y^ + y sera w + m', c'est-à-dire qu'au bout du temps ^ -j- T, la vitesse du mobile sera devenue

■DigitizepI by

2i4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

En eflTet, Taugmentation de vitesse du mobile ne^ pourra dépendre que du temps r auquel elle sera proportionnelle, et de l'état de ce point matériel, ou, autrement dit, de sa position et de sa vitesse pendant ce même temps r ; ce ne serait donc qu'en influant sur cet état que l'action de la force f^ pourrait modifier là vitesse qui sera produite par la ïorcef. Or, pendant le temps r, la distance du mobile à un point fixe et sa vitesse ne peu vent varier que de quantités infiniment petites, négligeables par rapport à x et v; ses variations de distances à d'autres points fixes ou mobiles , d'où peuvent émaner les forces y et f\ sont également négligeables; par conséquent, la vitesse que produira la force y, pendant cet intervalle de temps t, ne saurait être modifiée en aucune manière par l'action simultanée de la force f^y et il en sera de même à l'égard de la vitesse due à la force f'^ qui ne sera pas non plus changée par l'aclion de f. Donc la vitesse totale imprimée au mobile pendant le temps r, par la force f-hf^ sera égale à u 4- u!.

On verra de même que si la force f agit dans le sens de la vitesse f^, et la force/' en sens contraire, laugmentation de vitesse produite par la force/ — f\ sera égale à u — u!.

Quelle que soit la nature de chacune des forces / et/', si elles sont capables d'une même vitesse u dans un même temps infiniment petit, ce sont po'ur nous des forces égales. Appliquées en sens contraire l'une de l'autre, elles ne changeront pas la vitesse du mobile, s'il est déjà en mouvement; il y aura équi-

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. ai 5

Ubre , $i ce point matériel est en repos ; ce qui rei^tre dans la définition des forces égales du n^ 5.

Lorsque la force qui agit sur le mobile dana le sens de la vitesse acquise, deviendra double ^ triple, quadruple,..». la vitesse quelle produira dans le temp^ r croîtra suivant la mén^e proportion, Réciproquement, quand cette force se réduira à moitié, au tiers, au quart ,.... la vitesse qui sera produite diminuera de la même manière; et, généralement, les vitesses infiniment petites produites pendant des instans égaux, dans le sens ou en sens contraire de la vitesse acquise , ou imprimées à un point matériel en repos, seront entre elles comme les intensités des forces correspondantes.

Cest sur ce principe général qu'est fondée la mesure des forces dans la Dynamique. On a coutume de le présenter comme une hypothèse; nous le donnons ici comme une conséquence nécessaire de ce • que les vitesses imprimées par des forces quelconques , dans des intervalles de temps infiniment petits, sont toujours infiniment petites, et de ce qu'en même temps les déplacemens des mobiles sont aussi infiniment petits.

î 17. Si les forces que l'on veut comparer l'une à l'autre sont des forces constantes, de sorte que chacune d'elles produise , pendant toute la durée du mouvement, des vitesses égales en temps égaux (n* 1 15), lears intensités seront entre elles comme les vitesses qu'elles impriment en uu même temps quelconque à un même point matériel. Lors donc que ces vitesses seront données par l'observation , on en conclura le rapport des forces; et, réciproquement, quand ce

ai6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

rapport sera donné à priori , ou pourra le prendre

pour celui des vitesses.

Désignons j^ par exemple, par flr et <ar' les intensités de la pesanteur à deux latiludes différentes, et supposons qu'on ait déterminé , en ces deux lieux de la terre , les vitesses g et g', acquises en une seconde par les corps qui tombent verticalement dans le vide;

on aura

^tsr : ^' :: g : g\

Le rapport de ces forces ^ et ^' sera aussi celui des poids d'un même corps, ou de deux corps homogènes et d'un même volume^ à ces deux latitudes. L'observation a fait connaître que les vitesses dues à la pesanteur augmentent en allant de Téquateur au pôle , et que l'accroissement total est à peu près ^hô ^^ ^^ plus petite. Il s'ensuit donc que le poids d'un même corps, transporté de l'équateur au pôle, augmentera de 7^, et que , pour mettre en équilibre les poids de deux corps liomogènes placés en ces deux lieux de la terre, il faudra que le volume du corps situé à l'équateur excède de -^ celui du corps situé au pôle.

Soient encore ^ l'intensité de la pesanteur dans le sens vertical , et^, sa composante suivant une droite qui fait avec sa direction un angle a. D'après la règle du parallélogramme des forces, nous aurons

^, = ^20- cos a ;

et si l'on appelle g et g, les vitesses qui seront produites dans l'unité de temps par ces deux forces constantes , agissant séparément sur un même point ma-^

tériel, la proportion

donnera aussi

Sr. = g cos et.

Si ce point matériel pesant est posé sur nn plan incliné, qui fasse avec le plan horizontal un angle égal à 90* — a, la force 47 se décomposera en deox astres, lune perpendiculaire au pkm donné et qui sera détruite par fia Tesislance , l'autre dirigée suivant ce même plan et qui sera la force ^,. C'est cette dernière force qui produira le mouvement dans le vide, abstraction faite du frottement du mobile contre le plan incliné. Ce mouvement, dû à une force constante , sera donc uniformément accéléré ; et si l'on appelle œ^ et p. l'espace parcouru et la vitesse accpise au bout du temps t, on aura

équations dans lesquelles on devra mettre la valeur précédente de g,.

Cet exemple est très propre à montrer la nécessité de connaître à priori le . rapport des vitesses dues à des forces dont le rapport est connu ; car si l'on ne savait pas déduire g^ de la vitesse g donnée par Tob* servation, et qu'il fallût, pour faire usage de ces dernières équations, déterminer aussi par l'expérience la valeur de g, qui répond à chaque valeur de l'angle et , la Dynamique se trouverait à peu près réduite à une science expérimentale.

2n8 TRAITÉ DE MÉCAHIQUE.

1 18. Pour mesurer une force variable , il faut en considérer l'effet pendant un temps infiniment petit, durant lequel on peut la considérer comme constante. Soit donc <p, dans un mouvement rectiligne quelconque , la force qui agit sur le mobile au bout du temps t, et que nous regarderons comme une cpiantîté positive ou négative, selon que cette force agira dans le sens de la vitesse acquise ou en sens opposé. Cette vitesse étant p au même instant, elle sera if + di^sLU bout du temps t-^dt} en sorte que la force (p aura imprimé une vitesse dv au mobile dans l'instant dt. Si donc on désigne par ^ une force constante et connue, capable d'une vitesse g dans l'unité de temps, et qui puisse, conséquemment, imprimer au mobile une vitesse gdt dans le temps y//, on aura

(p : ^ :: dv : gdt;

d'où l'on tire

^ ^ gdt'

Après avoir choisi arbitrairement une unité linéaire et une unité de temps, on exprimera en nombres la

constante g- et la valeur de ^ qui a lieu au bout

d'un temps donné. Cette formule fera ensuite connaître, au même instant, le rapport numérique de la force (p à la force connue cy j et si celle-ci est la pesanteur , ce rapport sera celui de la force (p au poids du mobile sur lequel elle agit; en sorte que ce point matériel étant pesant et sollicité par la force <p en sens

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 21g

contraire de la pesanteur^ demeurerait en équilibre ,

si l'on trouvait, par exemple, - —z=: i.

On simplifiera la formule pnécëdente, en prenant tsreXg pour unités ; ce qui la réduira à

du

L'unité de force sera alors la force constante qui imprimerait au mobile^ dans l'unité de temps , une vitesse représentée par l'unité linéaire, de manière que si ces deux dernières unités sont la seconde et le mètre, l'unité de force sera à peu près le dixième du poids du mobile , d'après la valeur de g du

On peut remarquer que cette mesure -j- de la

force variable (p est la vitesse que produirait, dans l'unité de temps, une force constante qui conserverait pendant ce temps la nicme intensité que la force <p pendant l'instant dt. Ainsi , dans le mouvement d'une parcelle de fer vers le pôle d'un aimant , que nous avons déjà pris pour exemple (n* ii3), la force (p dépend de la distance au pôle, et est par conséquent variable; mais si Ton suppose qu'à un instant donné le pôle recule devant le mobile , de manière que la distance de l'un à l'autre devienne constante, la force <p le deviendra aussi, le mouvement se changera en un mouvement uniformément accéléré, et l'augmentation de vitesse qui aura lieu dans l'unité de temps sera la mesure de cette force à l'instant où elle est devenue constante.

aao TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Ed ayant égard à la valeur de € trouvée dans le n"* 1 14> on peut aussi écrire

Il suit donc de cette formule et de la précédente qu'une force a également pour mesure la vitesse qu'elle produit dans un temps infiniment petit, divi^ sée par ce temps, ou bien le double de l'espace qu'elle feit parcourir, divisé par le carré de ce même temps. Dans le mouvement uniformément accéléré, ces deux manières équivalentes de mesurer la force ont encore lieu, sans qu'il soit nécessaire cpie le temps soit infiniment petit.

1 19. Nous avons maintenant

pour les formules générales du mouvement recbligne. Elles montrent les rapports qui existent, dans un mouvement quelconque , entre l'espace parcouru , la vitesse acquise et la force qui agit sur le mobile 1 et comment ces trois fonctions du temps peuvent se déduire l'une de l'autre, soit par la différentîation, soit par l'intégration.

En éliminant p entre les deux dernières, on a

ce qui suppose qu'on prenne le temps t pour la variable indépendante, et que sa différentielle dt soit constante; hypothèse que nous ferons de même, dans

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. jai

%o«2te U suite de cet ouvrage, sans que nous ayons l>esoin de le repeter.

l^ar rélimination de 6^^, on aura aussi

2 dx

oe qui servira à déterminer (^ quand la force (p sera donnée eu fonction de a;, et, réciproquement, cette fo&xre lorsque la vitesse sera connue en fonction de Vespace parcouru.

Nous donnerons, dans le chapitre suivant, diverses applications de ces formules générales.

S II. Mesure des forces en ayant égard aux masses.

i^o. Avant de montrer comment on devra tenir compte des masses dans la comparaison des forces qui . agbsent sur des mobiles diiférens, il importe de rectifier lîne expression inexacte, que Ton emploie souvent^ et qui tient à une confusion d'idées.

Concevons qu'un corps soit posé sur un plan horizoatal, et qu'il n'y soit retenu par aucun frottement. Si je veux le faire glisser sur ce plan, il faudra néanmoins, à cause de l'inertie de la matière, que j'exerce un effort quelconque; si à ce corps on en joint un second^ puis un troisième, etc., il faudra que je déploie , pour produire le même mouvement, une force de plus en plus considérable. J'aurai, dans chaque cas, le sentiment de l'effort que je serai obligé de £iire j mais je ne devrai pas en conclure que la ma-^

tière oppose aucune re'sistance à cet effoK , et qu'il existe dans les corps ce qu'on appelle très improprement une force dinertie. Quand on s'exprime ainsi , on confond lasensation que l'on a éprouvée^ et qui résulte de l'effort qu'on a exercé^ avec la sensation d'une résistance qui n'existe réellement pas.

Lorsque le corps frotte contre le plan , il y a effectivement une résistance au mouvement horizontal , et je ne peux pas déplacer le mobile sur ce plan sans exercer un effort supérieur à cette résistance. De même y quand je veux soulever le mobile verticalement^ il y a aussi une résistance à ce mouvement^ que je dois vaincre* par un effort qui la surpasse. Dans les deux cas, je ne produirai aucun mouvenieat tant que je ne ferai pas un effort plus grand que le poids du corps, ou que son adhésion au plau horizontal ; mais si l'on ne Suppose ni pesanteur ni frottement, je mettrai le corps en mouvement^ quelque faible que soit l'effort que j'exercerai, et quelque grande que soit la masse du mobile : alors, si j'éprouve qu'il faut i^ire un plus grand effort pour communiquer le même mouvement à un corps qu'à un autre, j en conclurai que le premier se compose d'une plus grande quantité de matière que le second; et si je pouvais comparer avec précision les gran*deurs des efforts que j'aurai exercés, leur rapport serait celui des masses de ces deux mobiles. C'est sur une semblable considération qu'est fondée, ainsi que nous allons l'expliquer, la mesure des masses daprès les grandeurs des forces qui les mettent en mouvement, et, réciproquement, la mesure

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. aaS

des forces en ayant égard aux masses et aux vi-

121. Deux points matériels, appartenant h des corps qui peuvent être de nature différente^ ont des masses égales ou inégales^ selon que des forces qu'on suppose égales leur impriment ^ dans un même temps^ la même vitesse ou des vitesses différentes. Supposons , pour fixer les idées , que les forces appliquées à ces deux points soient verlicfiles, et qu'après les avoir placées dans les deux plateaux d'une balance ^ il y ait équilibre. Ces forces seront égales dans celte hypothèse ; et cela étant , si les deux points sont rendus entièrement libres , et que les mêmes forces les met*tent en mouvement, leurs masses seront égales ou inégales , selon qu'ils prendront , dans le premier instant, des vitesses inGniment petites , égales ou inégales.

Lorsque, de cette manière, les masses de différens points matériels auront été reconnues égales, en ,Ies réunissant on formera d^autres points dont les masses auront entre elles des rapports quelconques. Ainsi, en appelant /jl la masse de chacun des points égaux , m e\ ni les masses de deux autres points formés de n et n' des premiers, m et m' seront entre elles comme ces nombres n et «', et Ton aura

m = «/M, m' =te lifA.

Maintenant, soient m, ^, v»', des vitesses infiniment petites, / et i des nombres entiers, et

Si deux forces f et f^ impriment aux masses m et Tïi les vitesses s^ et v^' dans un même instant , je dis quon aura

f i f- :: mp : mV.

En effet, on peut regarder la force y* comme la somme d'un nombre n de forces égales qui impriment la même vitesse v à chacun des n points égaux dont m se compose ; de sorte qu'en appelant k l'une de ces forces égales, on aura

Soit, en outre ^ h la force qui imprimerait la vitesse u à chacun de ces points égaux , pendant le même instant que la force k lui imprime la vitesse s^. Ces forces agissant sur un même point matériel-, seront entre elles comme les vitesses i^ et i^ ( n"" 1 16 ) ; et, à cause de f^= i2£, il en résultera

k^ih.

Nous aurons de même

f = n!k\ k! == Vh',

en regardant f^ comme la somme de n' forces k' capables d'imprimer la vitesse p' à chacun des points égaux dont se compose m\ et appelant h' la force qui imprimerait à chacun de ces mêmes points la vitesse u. Or, h et V étant des forces capables d'imprimer dans un même instant une même vitesse u à deux points égaux en masse, savoir, à deux des points dont la masse commune a été représentée par fjL , il suit de ce qui précède qu'on doit avoir A'=A. D'après

DYNAMIQUE , PREMIÈRE PARTIE. aaS

les équations précédentes, on aura alors

/= inh, f=i'n'h; .

et, en ayant égard anx valeurs de m, m', i^, </, il en résultera la proportion qu'il s'agissait de démontrer. i:>3.Cela posé y considérons un corps de grandeur et de forme quelconques , dont tous les points décrivent des droites parallèles , avec une vitesse commune qui peut d ailleurs varier avec le temps. Parta- . geons ce corps en une infinité de points matériels égaux en masse, tels qu'on vient de les définir. On pourra attribuer le mouvement de tous ces points à des forces qui seront égales et parallèles dans toute rétendue du mobile ; leur résultante, pour une partie quelconque de ce corps , sera égale à leur somme, et appliquée au centre de gravité de cette même partie. Les forces correspondantes à deux parties quelconques seront donc entre elles comme leurs masses; par consécpient, si l'on appelle y la force totale qui agit sur le mobile , m sa masse, et (p la force qui répond à une partie de cette masse prise pour unité , on aura

/= 'Wip.

Quant à la force <p^ elle sera proportionnelle à l'accroissement de la vitesse des points du mobile pendant un temps infiniment petit; et si l'on appelle u cette vitesse au bout du temps t, on pourra prendre pour sa mesure, comme dans le n** 1 18,

S26 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

Il en résultera donc

/dv

pour l'expresuon de la forùe dans ttn itiouTéiBent quelconque, en ayant ëgan) à la tnasse du kiiobile , et .supposant tous s^s points animes d'une même vi-

Cette force f^ qui est la résultante ou la somme des forces infiniment petites qu'on peut supposer ap« pliquées à tous les points dont le corps est composé, se nomme force tnotfiùe; le fecteur cp de sa valeur mp s'appelle force accélératrice^ et n'est autre chose que la force motrice rapportée à Tunité de masse.

La force motrice se change en une pression lorsque la masse sur laquelle elle agit est appuyée contre un plan fixe, perpendiculaire à sa direction, tlne près* sion et une force motrice ne diffèrent donc l'une de l'autre qu'en ce que 1^ vitesses infiniment petites qu'une pression tend à produire sont incessamment détruites par la résistance du plan fike qui la supporte , tandis que celles qui sont effisctivement produites pendant chaque instant par la force motrice s'accumulent dans le mobile , et qu'il en résulte une vitesse finie après un temps fini. Deux pressions sont eutre elles cttiiFime les masses multipliées par les vitesse infitiiihént petites qu'elles tendent à leur imprimer dans un même instant , et qu'elles leur imprinneraient, en effet, si ces masses étaient libres.

123. Si le mouvement commun à tous les points d'un mobile est uniformément accéléré, et qu'on appelle g l'augmentation de vitesse qui a lieu dans

DYNAMIQUE, PAEHIÈRE PARTIE. 337

cha<|ue xinitfl ^9 teaipâ^ on a

^=^, fz=zmg.

Pcmr une «iitre (orée constante f, agissant sur une niasse m', et produisant une vitesse g' dans Tunité de UmfSf on a«ra de même

Or, Tobsenration a prouré que deux coips pesans, quelle que soit la différence des matières , acquièrent la méfue vitesse en tombant dans le vide pendant un même intervalle de temps. Dans le cas de la pesanteur > on a donc g= g'; et, consëquemment, Jes poids /etf'éd deux corps quelconques sont «nire enx comme lenrs masses m et n/, ainsi que nous l'avons supposé dans le n^ 60. Le seul fait, constaté par une expérience journalière , que des corps hélérogëDCS ont des poids égaux sous des volumes différons, ne suffisait pas pour décider â leurs masses sont égales ou inégales; il fallait savoir, de pins, que la pesanteur leur imprime le même mouvem«:it, pour ponvoir conclure, de l'égalité des poids, l'égalité des quantités de matière.

iie poids :d'un corps peaaiat qui tombe dans le vide est sa fonoe motrice, et ia pesanteur est sa force accélératrice. Pour abréger , on appelle souvent pesan^ leur ou gramté la vitesse g, qui n'est que la mesure àe cette f^roe.

ia4« & ^es forces données agissent à la sur&ce ou sur d'autres parties d'un corps scJide, et qu'il en résulte pour tous ses points des vitesses égales et pa-

^28 TRAITÉ DE MÉCAîSriQOE.

rallèles, il faudra qae ces forces aient uoe rcsultanfe ' unique , qui coïncidera, en grandeur et en direction, avec la force motrice , telle qu'on vient de la définir, et dont on déduira la force accélératrice en la divisant par la masse entière du mobile.

Supposons, par exemple, qu'un corps pesant tombe dans Tair , dans l'eau, ou dans tout autre fluide, et que sa forme et sa densité, s'il n'est pas homogène, soient symétriques autour d'un axe vertical. Il est évident que tout étant semblable autour de cet axe , tous les points du mobile décriront des droites verticales ; ce qui exige ^ puisqu'il s'agit d^nn corps solide, qu'ils aient tous la même vitesse à chaque instant* La résistance du milieu , qui s'exerce à la surface de ce corps , se réduira donc à une force dirigée suivant son axe de figure. Je désignerai par R son intensité à nn instant quelconque , par 4 1^ partie correspondante de la force accélératrice du mobile, et par m sa masse ; on aura alors

Comme cette force agit en sens contraire de la gravité pendant la chute du corps, la force accélératrice totale sera g — 4. Si le mobile était lancé verticalement de bas en haut , les deux forces agiraient dans le même sens, et la force accélératrice totale serait négative et égale à — g — %|/.

La théorie de la résistance des fluides est encore trop peu avancée pour qu'on puisse déterminer, à priori, la valeur de R , laquelle peut dépendre de la vitesse (^ dont le mobile est animé, de sa forme, de

U densité et de la.nature du fluide* Le plus commuoément, on la suppose proportionnelle au carre de u > et à la densité du fluide , que je représenterai par p , de sorte que Fou. a .

a- étant un coefficient qui ne peut plus dépendre que de la forme et des dimensions du corps , de la nature du fluide y liquide ou aériforme ^ et de sa température.

Dans lè cas d'une, sphère ^^ on regarde le coeffî-^ cient a- comme proportionnel à sa surface ou au carré de son diamètre. En désignant donc par r son rayon ^ et par D sa densité , de sorte que sa masse soit

m = ^Dr^

il en résultera

~ Dr

y désignant un coefficient numérique qui sera le même pour toutes les sphères , et dont la yaleur devra être déterminée par Texpérience pour chaque nature de fluide. A cause que cette quantité 4 ^^^ ^^ là même nature que g, il s'ensuit que si l'on désigne par k une vitesse donnée, il faudra qu'on ait

Dr k^

afin que l'expression de 4 prenne la forme

a3a TRAITÉ DE MËiCAÎÏIQtFË.

Gonfbimémeotaa principe de rhomOgéûéîf ë des qnait* tités (n** a5).

135. Une même force constante^ agissant sticcessivement sur des masses difTéreûfeSy produira des mouyemens uniformément accélérés p dans lesquels la force accélératrice , ou l'accroissement constant de la vitesse dans chaque unité de temps ^ sera en raison inverse de la masse.

Ainsi ^ par exemple^ y étant le poids mg d'une masse m , si Ton suspend cette masse à l'extrémité d'un fil qui soit attaché par son autre bout à une autre masse m* posée sur un plan horizontal , il est 'évident que ces deux masses prendront un même mouvement uniformément accéléré ^ et d& à la force motrice f, abstraction faite du frottement et du poids de la partie verticale du fil. Si donc on appelle g' la force accélératrice de ce mouvement , on aura

ou^ ce qui est la même chose j^ g' = g cas et,

en désignant par a Un angle tel que l'on ait

m = (m + m!) cos a.

Par conséquent , le mouvement dont il s'agit sera le même que celui d'un corps pesant sur un plan incliné, qui fait l'angle a avec la verticale (n* 117).

Tous les corps étant mobiles et susceptibles de prendre des vitesses en raison inverse de leurs masses.

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. «Si

lorsqu'ils sopit soumîiSy {ico^nt un mét»e t^«p$, à- Vaetiaii d'pne même fprcfl » il ç'ea^uit qu'il u'es^iste P9S 4^ corps iroell^inejit^^/ ceux qu'où appelle ainsi i^oat des carp9 qui oat dé très grfmdes lu^^te p;^r rapport % <;el}^s dont dapead^ot 1^ forces motrices qu'on leur applique > et qui ne reçoivent, cpnséquemmenti d^ l'açti^a^ ^ ces forces que des vitesses extrêmement petites. A Ifi surface de }k t^rre, ce soBijt le^ corps i^ttadiés k cette surface qui ne font qu'une se^le m^sse avec celle du globe terrestre; et y en effets en prenant cette masse pour ^' dans r^emple précisent, on voit que la vitesse g' qui lui seii^ imprimée dans l'unité de temps, pat un poidfs mg correspondaut k une masse ni de gran-p deux ordinaire p pourri» é(re regairdée comme tout-^r ftit iu^p§il^.

iâ6* Qp ^ coutume d'appeler quantité de mbu^ wn^nt dun corps le produit de sa masse par sa vitesse. Four Wà conformer à l'usage , j'emploierai cette expre^n , à laquelle il sériait toutefois plus ciorrept die sù}>9tituer ceÛe de quantUé de vitesse ^ puisque c'est la vitesse qui réside dans, le mobile , et que le mouvement n'eu est qu'un effet subséquent.

Il n'y a auaine force qui produise instantanément une quantité finie de mouvement. Le choc d'un corps solide en mouvement contre un corps solide en repos imprime à celui-ci^ dans un temps très courte mais non pas infiniment petit, une vitesse qui peut être ipi^tief<^ tr^ ^^d^j et, pendant cet inter^ valle de tei^ips, les 4&ux <^rp^ a^ s0 déplacent pas sensiUement. Quelque durs qu'on les suppose, ils se corn-

aâa TRAITÉ DE MÉCANIQUE:

priment toujours un tant soit peu; la vitesse passe de Tun à Tautre par degrés infiniment petits ; et si l'on fait abstraction de Tëlasticité de ces deux corps, leur action mutuelle cesse dès qu'ils ont des vitesses égales. Cette communication rapide de la vitesse , sans déplacement sensible des masses^ est ce qu'on appelle une percussion ou une impulsion; elle équivauty comme on voit, à une force motrice agissant, pendant un temps très court, avec une très grande intensité.

En considérant ainsi la percussion comme la somme des actions infiniment petites d une force motrice, on en conclut qu'elle se décompose en deux autres per- (eussions , suivant des directions données, par la règle du parallélogramme des forces , comme chacune de ces actions successives. Si, par exemple, on exerce sur la tête dun coin une percussion normale que j'appellerai F, elle se décomposera en deux autres percussions perpendiculaires à ses deux faces; et si l'on représente par Q et Q^ les deux composantes , par K et K' les longueurs des faces auxquelles elles répondent, et par H celle de la tète du coin , il est aisé de voir qu'on aura, d'après la règle citée,

Q': P :: K' : H;, d'où l'on tire

Ainsi, en supposant que cette percussion P provienne d'une masse m qui vient frapper la tête du coin avec une vitesse a, ^es deux faces , ou plutôt les obstacles.

fixes contre lesquels elles s'appuient , seront dans le même cas que s'ils étaient frappés noiifnalement par la même masse m ^ animée de vitesses proportionnelles à leurs longueurs, et exprimées par ^

137. Si un corps solide en repos est frappé à la ibis, en sens opposés, par deux autres corps dont les niasses sont m et m\ et les vitesses p et (^'; que ces trois corps soient symétriques autour d'un même axe quant à leur forme et quant à leur densité , et que tous les points des deux derniers se meuvent parallèlement à cette droite, leurs percussions sur le corps intermédiaire se feront équilibre , lorsque les quantités de mouvement msp et m V seront égales, c'est-ie-dire que ces quantités de mouvement passeront, pendant un temps très court, dans le corps intermédiaire, et s'y détruiront sans que ce corps soit défdacé d'une' manière sensible.

L'équilibre' aura lieu également si Ton supprime le corps intermédiaire, et que la communication de la vitesse se fasse immédiatement entre les deux autres corps. Ainsi, deux corps solides qui vont au-devant l'un de l'autre se réduisent au repos, abstraction faite de l'élasticité, lorsqu'ils viennent à. se choquer, et que leui^ masses sont en raison inverse de leurs vitesses; et, réciproquement, les produits des jooasses et des vitesses sont égaux quand il y a équilibre dans le choc de deux corps solides. On suppose ici, comme on vient de le dire, les deux mobiles symétriques autour d'une même droite , et les vitesses

?34 TKAlTt OB, MÉCANIQUE,

de tQi;^ Içurs pointe parallèles^ à cette droite, laqaeHê est c?l|e qui passe par lea centres de gravité des deux ma^s^ç. L^ condition d'équilibre dans le ciios de ces corps est donc l'égalité de leurs quantités de mouve^ nient, ou l'équation

m et /»' étant le^rs iQ^psps^ et p et i^' leurs vitesses. Nous déterininerons pai^ la |M|it^ ]^s mouvemens qui auront lieu après le choc, quand cqs conditions rela*tiyes aux grandeurs et à la direction dbs vitesses, et à la forme des niol>iles, ne serobt pas renipUes, ou bien quand on aura égard k leur élasticité»

Il résulte de cette loi de l'équilibre dans le dioo que la percussion fournirait le moyen le plus direct de mesurer la masse des corps. On imprimehiit une vitesse connue a k tous les points d'un corps dont la masse serait prise pour unité; et si Vùn pouvait dé*^ terminer exactement la vite^e i^ dont tous les points d'un autre corps devraient être animés , pour qu'il fît équilibre au premier, en le choquant en sens Gon^* traire de son mouvement, la masse de ce second corps aurait alors i>our valeur numérique le rapr*

port -; mais il est inutile de dire que ce moyen est

impraticable, et que c'est toujours aux poids des corps qu'il faut recourir pour mesurer leurs massues. Il s'ensuit aussi que deux percussions, exercées sur un corps solide, devront être régardées comme léqiil*^ valentes^ lorsqu'elles répondront à des quantités égalea de mouvemeat; en sorte que, dans l'exeniplè du

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. a35

numéro précédent ^ la tète et les deu faces du coin éprouveront les mêmes effets^ ou seront frappées avec la même! énergie > si la masse m et la vitesse a sont retnplaeées par une masse m' et une vitesse a!, telles que Von ait ma as mV.

138. Lorsque deux percussions^ provenant de vi* tesses en raison inverse des masses, seront exercées simultanément sur les deux plateaux d'une balance , il y aura équilibre; la balance remplaçant ici le corps intermédiaire que nous avons considéré dans le numéro précédent. Ce cas sera , par exemple, celui de deux corps pesans, dont les masses sont m et m', et qui tombent au même instant sur ces deux plateaux, après avoir acquis des vitesses (^ et v% telles qu,e Ton ait mif:=imV.

Si la masse m est en repos dans Fun des deux plateaux, son poids y exercera une pression qui sera génér^leâient vaincue par la percussion dé Tautré masse; mais il n'est poiôt exact de dire, comme on le &ît otdinairement, que cela aura toujours lieu, quelque grande que soit la pi^ssion dans son es-* pèce, et quelque petite que soit la percussion dans la sienne.

En effet, on peut rempliicer la percussion de m! par une force motrice agissant sur lun des deux plateaux sans le déplacer sensiblement, pendant un temps très court que je représenterai par r. En désignant par m^udt la quantité infiniment petite de vitesse dont cette force variable est capable pendant

rinstant dt, le produit m' f^udt sera la quantité

a36 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

de vitesse qu^eUe communiquera à la balance pendant le temps r. Fendant ce- même temps ^ le poids de m produira une quantité de mouvement exprimée par mgTy en représentant par g la gravité. Pour qu'il y ait équilibre dans le système, il faudra donc que l'intégrale / udt soit toute la vitesse v' dont la masse

m! est animée à Finstânt où la percussion commence ^ de sorte qu'il ne lui reste plus aucun degré de vitesse quand le choc est fini; et, cela étant , il suffira

que les quantités de mouvement mgr et m' l udt ^

imprimées en sens contraire à la balance pendant la durée du choc , soient égales entre elles. La condition de cet équilibre sera donc exprimée par Té-quation

mV = mgr ;

et selon qu'on aura , au contraire , mW > mgr ou m^v* <^mgr, ce sera la percussion qui l'emportera sur la pression, ou la pression sur la percussion. Or, quoique le temps r soit extrêmement petit, ce dernier cas est possible , en supposant la masse . m suffisamment grande à l'égard de m': pour qu'il fût impossible, il faudrait que la durée de la perçus* sion fut infiniment petite ; ce qui n^a pas lieu dans la nature.

La Dynamique sera une application continuelle des principes que nous avons exposés en détail dans ce chapitre , et dont il est nécessaire . de se former une idée précise , avant d'essayer de résoudre les difr férens problèmes relatifs au mouvement des corps.

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. i3^