CHAPITRE n

EXEMPLES DU MOUVEHEirr REGTIUGNE.

129. D'après ce qu'on a vu dans le n° iig, les équations du mouvement rectiligne.d'un point matériel sont celles-ci :

ds ^ àif ^ d*x f V

dont la dernière est une suite des deux autres , et dans lesquelles on a désigné , au bout d'un temps quelconque t y par x la distance du mobile à un point fixe de la droite qu'il décrit, par (^ sa vitesse acquise, et par ^ la force qui le sollicite ; (p étant une quantité positive ou négative, selon que cette force agira dans le sens ou en sens contraire de la vitesse v. Ces équations s'appliqueront non-seulement à un point matériel isolé , mais aussi à un corps solide de grandeur quelconque, dont tous les points décriront des droites parallèles, et auront, par conséquent, un mouvement commun : <p sera alors la force accélératrice, égale à là force motrice divisée par la masse du mobile.

La valeur de ^ sera donnée dans chaque problème; et la question consistera à en déduire , par l'intégration , les expressions de (^ et a: en fonctions de t. Elles contiendront deux constantes arbitraires, dont on déterminera les valeurs d'après celles de a: et (^ à l'ori-

a36 TRAITÉ DE HËCÂNIQUE.

gine du mouvement, qui devront être données dam chaque exemple. Dorénavant, nous supposerons toujours que Ton compte le temps t à partir de cette origine ; en sorte que les valeurs données de or et v répondront à fssso.

L'intégration ne sera généralement possible sons forme finie, que quand ^ ne dépendra, comme nous le supposerons dans les exemples suivans, que d'une seule des quantités t^sf^x. Lorsque la valeur donnée de <p les contiendra toutes trois, ou deux seulement, les valeurs de a? et p ne pourront s exprimer que par les séries.

i3o. Supposons d'abord que la force ^ soit constante , et qu'il s'agisse , par exemple , du mouvement vertical d*un corps qui tombe dans le vide en vertu de la pesanteur.

En désignant cette force par g, nous aurons

d'où Ton tire

et, par eonséquent,

P* = a^ar,

«n supposant que la distance x soit comptée du point 4e départ du mobile, et que la vitesse initiale soit nulle, de satXe qu^on ait xsso et P£=o, quand ^ ==: o.

Si Ton appelle a la vitesse acquise eu tombanl d'une hauteur A, on aura

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. isSg

ce qui f^nmit une expression commode d'ane vitesse qiiel€!(>nqae , au moyen de la hauteur d'oà un corps pesant devrait tomber pour l'acquérir^ et de la vitesse constante g. Le temps de la chute de cette hauteur h étant représenté par B, on aura aussi

^ leeorpd est lancé verticalement de bas en haut ^ réquation de son mouvement dans le vide sera

g étant la même vitesse constante que dans le cas précédent y parce que l'on suppose Faction de la pesanteur sur les corps en mouvement^ indépen*^ dante du sens dans lequel ils se meuvent^ aussi bien que de la grandeur de leur vitesse. En supposant que a soit la vitesse initiale ^ on en déduira

v = a— g^, x = at — igt%

pour la vitesse et l'espace parcouru à un instant quelconque. Il est évident que le mobile s'élèvera jusqu'à ce que cette vitesse soit nulle. Si donc on appelle 9' le temps de son élévation, et h' la hauteur à laquelle il parviendra, on aura

et comme ces valearo coïncicient avec celles de ^ et h

24o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

du cas précédent , on en conclut qu'un corps pesant ^ lancé de bas en haut avec une vitesse a , s élève dans le vide à la hauteur d'où il devrait tomber pour acquérir cette même vitesse ^ et que le temps de son élévation' est le même que celui de sa chute.

Communément on appelle 7i la hauteur due à la vitesse a, et , réciproquement ^ a la vitesse due à la hauteur h.

i5i. Soit que. le mobile, monte ou descende , il suffira , pour former les équations de son mouvement sur un plan incliné , de mettre dans les précédentes g cas A k la place de g ^ en désignant, comme dans le n» 117, par a le complément de l'inclinaison du plan donné sur un plan horizontal.

Dans le cas de la chute , on aura donc

i;=g«cosa, xz=igt^cosa, p* = 3gxcosa;

mais en appelant l la longueur du plan incb'né , et h sa hauteur , on a

' h = Icosa;

si donc on indique par k la vitesse acquise par le mobile 9 quand il aura parcouru toute cette longueur^ on aura

A:* = 2glcosa = 2gh;

ce qui montre que cette vitesse k est la même que si le mobile fût tombé par la verticale h.

Soit ABC (fig. 34) la circonférence d'un cercle dont le plan est vertical. Supposons que AB représente son diamètre vertical, et cherchons, d'après les équations précédentes , le temps qu'un point ma-

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. . a4i

tiériel pesant emjJoiera à parcourir la corde AC^ aboutissante à l'extrémité supérieure de ce diamètre. En abaissant du point C la perpendiculaire CD sur AB ^ on. anra^ dans ce cas^