AC = Z, AD = A
mais si Ton désigne par 8 le temps demandé , on aora
/==igÔ*cosa = ^;
d'après une propriété connue du cercle, on a d'aillears
en appelant b le diamètre AB ; d'où l'on conclut
Or^ ce temps est le même que celui de la chute par une hauteur verticale & ; il en résulte donc que la corde AC sera parcourue dans le même temps que le diamètre AB.
On trouvera le même résultat , en considérant le mouvement sur la corde CB qui abcmtit a l'extré* mité inférieure de AB, et sera aussi parcourue dans le même temps que ce diamètre vertical.
Ce théorème, indépendant de la longueur de la corde parcoure, subsistera encore lorsqu'elle deviendra infiniment petite ; ce qui tient à ce qu'en même temps la composante de la gravité, qui agit suivant cette longueur, ne sera plus une quantité finie. i3:2. Considérons actuellement le mouvement d'un I. 16
corps solide pe^nt qui tombe ou qui est lancé de
bas en haut dans un milieu résistant , et dont tous
les points décrivent des droites verticales. Four que
la force accélératrice ne dépende que de la vitesse ^
nous supposerons que le milieu ait partout la même
densité.
Dans le cas de la chute ^ on aura
«P=ff—fr,
en supposant la résistance proportionnelle au caiTe de la vitesse ( n^ 124 ) » et désignant par k une vitesse constante et donnée. Cette valeur de pétant une fonction de i^^ il faudra faire usage de la seconde équation (i), et Ton en déduira
En intégrant et supposant nulle la vitesse initiale^ de sorte qu'on ait (^ = o quand ^ = o , il en résulte
et , réciproquement.
d'où
Ton
tire
DYNAMIQUE, Ï»REM1ÈRE PARTIE. it^l
Je désigne ici par e la base des logarithmes népériens^ et par log un logarithme de cette espèce. Il en sera de même dans toute la. suite de cet ouvrage; ce qui n'empêchera . pas d'employer quelquefois la lettre e à représenter d'autres quantités , dans des formules où la base de ces logarithmes n'entrera pas. Elle a pour valeur approchée
et celle du module constant par lequel il faut multiplier le logarithme népérien d'un nombre quelconque, pour en déduire le logarithme ordinaire de ce nombre, est
A cause de dlr = ^^dt , on aura
^ = 7logiVe*+e *;, (3)
en intégrant et supposant a;r=: o quand ^ = o. On a aussi
^ = i^*^g5Fz:7?> (4)
et , par conséquent ,
pour la valeur de x en fonction de v.
i33. Ces formulies renferment la solution complète du problème. On en déduit cette conséquence, que le temps augmentant sans cesse , le mouvement
244 TRAITÉ DE MÉCAHIQUE.
a{>prOcbe de plus eti plus de l'uniformité ^ et qu'il est sensibleitient uniforme quand la vitesse g^» produite par là pesanteur > eât devenue très grande par Tapport à k. En effet) en négligeant alors lexponen-'
tielle e , qui est une très petite fraction ^ on a
ç=zky ^ = o, x = A^— — loga.
La résistance du fluide étant une force qui s'exerce à la surface du mobile, la force motrice qui en résulte est indépendante de la masse y et serait la même, soit que le mobile fut formé d'une matière très dense, soit qu'on enlevât la matière intérieure, et qu'on le réduisit h une enveloppe très mince. Or, la force accélératrice se déduisabt dô la forte motrice, en la divisant par la masse du corps, il s'ensuit que la première ►de ces deux forces sera, toutes choses d'ailleurs égales, en raison inversé de cette masse, et, par conséquent, k en raison directe de sa racine carrée. C'est pour cela que le mouvement final , dans un milieu Vésistant , est le plus rapide pour le corps pesant doht la densité est la plus grande; la forme et l'étendue de la surface restant les mêmes.
Quand la densité du milieu est très faible par rapport à celle du mobile , la quantité k est très grande; et ce n'est qu'après un temps très long que le tnoti^ vement peut approcher de l'uniformité» Ta&t que la viteës^î gt ik'ést pas devenue très considérôble, on a, en séries convergentes >
DYNAMIQUE, mEaflÈRE PARTIE. 345
«t Içs formules (a) et ($) (jf^evienoent *'=g< — 3jï + etc.,
Elles se réduisent^ comme cel^ doit être, à ççMes du mouvement uniformément accélère, lorsque la densité du milieu est tout-à*fait nulle , ce qui rend la quantité k infinie.
i54« Dans le cas où le mobile est lanqé de bas en haut 9 on a
Si sa surface supérieure est la tiiême que sa surface inférieure, la coiistante k $çra a«ssi la même que dans le cas de la chute; mais si ces deux portions de surface sont différentes, les valeurs de k le seront également; et, par exemple, s'il s'agit d'un cône dont la base soit horizontale^ la quantité k sera beaucoup plus grande ou beaucoup plus petite dans son mouvement ascensionnel que dans sa chute,, se]^.qp^ soi^ sommet sera situé Q4;i«-clessus ou au'^dessous de sa base. Pour fixer les idées , je supposerai que le mobile soit
a46 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
une sphère homogène; en appelant rson rayon ^ D sa
densité et p celle du milieu^ on aura alors (n^ 124)
y étant une constante qui ne peut plus dépendre que de la nature du milieu ^ liquide ou fluide aériforme, et de sa température.
En substituant cette valeur de (p dans la seconde équation (i)^ on aura
kdv gdt ^
et en intégrant et désignant par a la vitesse initiale du mobile, il en résulte
arc(tang = 0=arc(tang = j) — p
La valeur de \> qu'on en déduit peut facilement s'écrire sous jia forme :
k Caco^^ — k sin^ J
En multipliant par dt et intégrant de nouveau, de manière qu'on ait a:=o quand ^=0, on en conclut
a: = — log(5sinÇ+cosÇ).
On aura aussi
k^s^dv
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. a47
s% ^ par conséquent;
Si l'on fait j=a; etquel'onsuppose ensuite a =o^ pour appliquer ces formules au cas du vide, elles se présentent sons la forme -; et^ par la règle ordinaire^ on trouve 9 comme cela doit être,
résultat qu'on obtient aussi par le développement en série 9 comme dans le numéro précédent.
i35. Appelons Ma plus grande hauteur à laquelle le mobile parviendra, et qui répond à (^ = o; nous aurons
Soit aussi 6, le temps qu'il emploiera pour y parvenir; sa valeur sera
e. = |arc(tang = 0
Parvenu à cette hauteur, le mobile retombera, et son mouvement sera exprimé par les formules du no iSs. Si l'on représente par a' sa vitesse, lorsqu'il sera retombé de toute cette hauteur^, on aura, d'après l'équation (4),
en égalant cette valeur de ^ à la précédente, on a
a48 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
et, par conséquent.
tf
d'où l'on coaclut a' *< a; en sorte que la vitesse du mobile, quand il sera revenu à son point de départ, se trouvera moindre que sa vitesse initiale.
Soit aussi â' le temps de la chute totale, lequel répondra a ^z=za'. On aura
fl' = ± log *±4, ai? ^ k — a *
OU bien, en mettant pour af sâ valeur,
valeur différente de celle du temps 6, de 1 élévation. En multipliant par \/a^ +k* — £Z, le numérateur et le dénominateur de la fraction comprise sous le le* garithme, on aura, plus simplement,
fl' = A log *
et si Ton appelle fl le temps total 8' + 9, de l'allée et du retour du projectile, on en conclura
f=^rc(tang=0 + logp,=^==--..
Si le mobile est un boulet lancé dans l'air par un canon vertical, on pourra, malgré la rapidité de ce mouvement, mesurer le temps fl avec quelque précision; et si Ton connaît, en outre, la vitesse de pro-
jection a, Féquation précédente servira à déterminer la valeur de k^ relative au rayon r du boulet. En désignant par hf ce que devient k par i^pport à un autref boulet de la même matière et d'un rayon K, on aura
d'après Fexpression de A:* du numéro précédent*
i36. Dans le cas où Ton fait abstraction de la pesanteur^ et où Ton suppose la résistance du milieu proportionnelle à une puissance de la vitesse dont l'exposant est moindre que l'unité^ la solution du problème présente une singularité qui mérite d'être remarquée.
Supposons qu'on ait, par exemple,
g et A: étant toujours la gravité et une vitesse constante et donnée. L'équation du mouvement sera
en en tirant la valeur de ^dt, intégrant et désignant par a la vitesse initiale , il vient
g^= \/k{\ra — \/v),
et, par conséquent.
En multipliant par dt^ et intégrant de nouveau, de
aSo TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
sorte qn'ou ait x=:o quand tsizo, on trouve
pour Fespace parcouru à yn instant quelconque.
D'après la valeur de v', la vitesse diminue depuis l'origine du mouvement jusqu'à l'instant qui répond
à tz=:^ — ; à cet instant, la vitesse est nulle: au-
delà 9 le mouvement continue dans le même sens qu'auparavant y et la vitesse augmente indéfiniment. Mais la vitesse étant nulle à un certain instant^ la force accélératrice est nulle en même temps; par conséquent^ le mobile doit s'arrêter à cet instant et demeurer en repos. Or^ il faut remarquer que l'équation du mouvement admet une solution particulière i^=o; en sorte que sa solution complète est l'ensemble de son intégrale et de cette équation (^=so; il s'ensuit donc que le problème est résolu depuis
^ = o jusqu'à t = , par l'intégrale de l'équation du mouvement^ et au-delà de cette valeur de t^ par la solution particulière. Pendant le premier intervalle de temps, le mobile décrit, d'un mouvement continuellement retardé, une ligne égale à
, à l'extrémité de laquelle il s'arrête et demeure
en repos.
Cet exemple; purement hypothétique, suffit pour montrer la nécessité d'avoir égard aux solutions particulières des équations différentielles du mouvement,
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. aSi
s'il en existait; ce qui n'arrive pas réellement^ diaprés les expressions des forces en fonctions de la vitesse acquise et de l'espace parcouru , qui ont lieu dans la nature.
137. Donnons maintenant des exemples de mouvemens dans lesquels la forcé accélératrice variera avec l'espace parcouru.
Le cas le plus simple a lieu^ lorsqu'il s'agit d'un point matériel attiré vers un centre fixe, en raison directe de la distance à ce point, qae l'on suppose situé sur la droite que ce mobile décrit. An bout du temps t, soitjz cette distance; à une distance donnée a, supposons que la force accélératrice soit égale à la gravité g; on aura, d'après la loi donnée,
pour sa valeur à un instant quelconque. Si a: est l'espace parcouru au même instant, et que le mobile soit parti du point situé a une distance c du centre d'attraction, en se dirigeant vers ce centre, on aura aussi
dz X = C - z, ^ = - 57.
et la troisième équation (i) deviendra
d? — u^' Son intégrale complète est
z = A cos ^ y/^ + B sîn t y^;
a5i TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
A et B désignant les deux constantes arbitraires, Ea supposant nulle la vitesse initiale du mobile, on aura h la fois
dz
t = o, z :=z c, 57 = o; d'où l'on conclut
et, par conséquent,
z sm c cos t %/^.
Cette formule montre que la distance z sera nulle ou que le mobile atteindra le centre d'attraction, ^u bout d'un temps indépendant de la distance c de $on
point de départ, et égal à - tT l/- : il fera ensuite,
de part et d'autre de ce centre, des oscillations dont l'amplitude et la durée constantes seront cette distance c et ce temps - tt l/-*
1 58. Pour un autre exemjde , considérons le mouvement d'un corps pesant dans le vide; nous supposons qu'il tombe d^une asâez grande hauteur pour qu'on doive avoir égard , pendant sa chute , à la variation de la pesanteur.
"Soient BAE (fig. 55) un grand cercle vertical de la terre, D le point de départ du mobile dans ce plan, M sa position au bout du temps t, sur la droite DC qui aboutit au centre C de la terre , et rencontre en A sa surface. Appelons r son rayon CA , A la hauteur AD, X l'espace DM parcouru par le mobile, z sa.
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. aSa
distance CM au centre C; en sorte qu'on ait
z c=s r -+■ ^ — or.
La force accélératrice ç sera la pesanteur au point M; en la désignant toujours par g à la surface de la terre,^ c'est^àniire, au point A ^ et supposant que son intensité varie en raison inverse dti Carré de la distance au centre C^ on aura donc
(p : g :: r" : 2*; d'où Ton tire
au moyen de quoi la troisième équation (i) de-' viendra
Je multiplie ses deux membres par 2da:; j'intègre ensuite; puis je détermine la constante arbitraire
. dx de manière qu'on ait ^ =o, quand /= o; il vient
d^ dl*
ce qui fera connaître la vitesse acquise par le mobile^ à ulie distance quelconque jc de son point de départ. Au point X, où iW a a> =A, cette vitesse sera
v-^* n/ttâ'
et, par conséquent, moindre, comme cela devait être, que si la gravité avait» dans toute la hauteur h, la même intensité qu'à la «urface.
L'équation précédente donne
2^r* , (r + h — x)dx
Or^ en comparant cette équation différentielle à l'équation (a) du n^ 73, on voit que si Ton construit une demi-cydoïde DOC^ qui ait son sommet au point D et son origine au point 0 , situé sur la perpendiculaire CO h la droite Q) , et dont le cercle générateur ait pour diamètre cette droite Q) égale à r ^ h; que Ton mène ensuite par le point M une perpendiculaire MN à la droite DC^ qui rencontre la cycloïde au point N, on aura
MN
en sorte que l'ordonnée MN du point N fera connaître le temps ty employé à parcourir l'abscisse DM, et réciproquement. Sous forme finie, on aura
en intégrant, et en observant que xz=: o quand ^=0. Lorsque la hauteur h et, conséquemment, la distance X, seront très petites par rapport à r, cette formule devra différer très peu de celle qui répond à la pesanteur constante. En effet, on a
c«=-FTÂ-)="<«'^= FTÂ — r^
le sinus étant très petit, on peut le prendre à la place de l'arc; ce qui rend d'abord le second terme de la
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DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. a55
formule précédente égal au premier. On peut aussi mettre le rayon r au lieu de r-f- *— ^; et réduire^ par conséquent, leur somme à a \/rx*y et, de cette manière, la formule dont il s'agit deviendra
ou simplement
^ = xë^^f en négligeant h par rapport à r.
Je me contenterai d'indiquer, comme exemple de calcul, le cas où le mobile soumis à une pesanteur variable est lancé de bas en haut; et, pour dernier exemple du mouvement rectîligne, je vais considérer le naouvement d'un point matériel attiré vers deux centres fixes, situés sur la droite qu'il décrit.
iSg. Soient A et B (fig. 36), les deux centres d'attraction , M la position du mobile au bout du temps f , et D son point de départ. On suppose , pour fixer les idées, que le mouvement a lieu entre les deux centres d'attraction , et de A vers B ; Élisons
DM = a:, AM=:z, AD = a, BM = c-— jz;
en sorte que x soit l'espace parcouru , z la distance du mobile au point A, a la distance initiale, et c la longueur de la droite AB. En supposant toujours les attractions en raison inverse du carré des distances, et désignant, à l'unité de distance, par a^ et b^ les intensités des forces qui émanent des cen-
très A et B , nous aurons — et r-^Tt; pour leurs
intensités quand le mobile est en M. La force accélératrice 9 sera l'excès de la seconde force qui tend à augmenter l'espace x ^ sur la première qui tend à le dimiauer; donc, à cause de dx=:zdz, on aura
dt' — {c — zy i^ ' W
pour ce que devient la troisième équation (i) ^ ^^7
pour la vitesse i^ du mobile au point M.
En multipliant l'équation (a) par 2dz et intégrant^ on a
y étant la constante arbitraire. Pour la déterminer , je désigne par À: la vitesse initiale qui répond à z=et; on aura
£n retranchant cette équation de la précédente, il en résultera
£=*■+ ^-dn- —)— -G-D» M
ce qui fera connaître la vitesse du mobile, dans une position quelconque entre les deux points A et B.
i4o. Il y a, sur la droite AB, un certain point C^ dans lequel les deux forces d'attraction sont égales; en sorte que si l'on y plaçait le mobile , ou qu'il j parvint sans aucune vitesse acquise ^ il 7 demeurerait en équilibre. En appelant h la distance AC, on a
dynamique; première partie. 257
(c — hy h*'
On tire de là deax valeurs de h, dont l'uue appartient au point C situé entre A et B ^ et Fautre à un point situé sur le prolongement de ÂB^ du côté du centre de la moindre attraction.. lia première de ces deux valeurs est
4ZC
Appelons f la plus petite vitesse initiale qu'il faut imprimer au mobile pour qu'il arrive au point C , de sorte que ^ parvenu à ce point , sa vitesse soit nulle ; on aura à la fois
et , en vertu de l'équation (c) et de la valeur de A , . il en résultera
Si la vitesse initiale k est moindre que^^ le mobile retombera sur A ; si elle est plus grande , il dépas-sera le point C^ et ira tomber sur B. Dans le cas de k =y^ le mobile emploierait un temps infini à atteindre le point C^ à cause qu'à une distance infiniment petlte.de ce point, il ne serait plus animé que d'une vitesse infiniment petite, et sollicité par une force qui le serait également.
i4i« Si A et B sont les centres de deux sphères homogènes, ou composées de Couches concentriques, I. 13
a58 TRAITÉ DE MÉCAIflQUE.
on pourra supposer que les attractions que l'on considère sont celles de ces deux sphères; et alors leurs intensités a* et 6% à Tunîte' de distance , seront entre elles comme leurs masses (n** loi ). En supposant, par exemple , que  soit le centre de la lune et B Celui dé la terre, et tiéglîgeant la non-sphéricité de ces deux corps, on aura
car la masse de la lune , conclue de son action pour soulever les eaux de la mer , est ;^ de celle de la terre. On aura donc
en sorte que le point également attiré par la terre et par son satellite se trouve, à peu près, au dixième de leur distance mutuelle k partir de la lune.
Soit r le rayon de la terre ; on pourra prendre 6or pour la distance c de la lune à la terre ; et si le mobile est parti de la surface de la lune ^ on aura en mèm«
3r temps a t= ^, d'après le rapport connu du rajonde
la lune à celui de la terre. Au moyen de ces valeurs
de r et ce, et de assi
77=j , 1 équation (d) drmtif
En désignant par g l'attraction de la terre à sa surface, on aura
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. sSg
b- = gT-,
pour cette force à Funité de distance. Si donc on lait
n en résultera
Or y l'attraction g peut être prise pour la pesanteur dont elle est la partie principale; par conséquent, y* est la vitesse di^e à une hauteur / ; et à cause de
g = 9 ",80896, wr = 2QOOOOOO",
sa valeur est
La luoe q'ayapt p£^$ datmosphère dqnt la résistance puisse diminuer la vitesse des corps partis de sa surface, il s^ensuit que si la terre et 1^ lu fie étaient ^p fi^pqs , un corps lancé de la surface 4e la lune vers la teiTe , avpc une vitessp plus grande que 256; 9fètrçs par ^cpnde, dépasserait le point d egalç attraction , et viendrait tomber sur la surface de la terre. Dans le mouvement de la lune autour de la terre , la droite AB qui va d'un centre à Tautre rencontre constamment la surface de la lune en un même point, qui devrait être le point D , d'où le mobile serait lancé suivant la direction DB ; mais , pendant une seconde, le point D parcourt sur le cercle décrit du centre de la terre, une longueur d'environ looo" par seconde; par conséquent, la vitesse absolue du mobile serait, en grandeur et en
^ôô TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
direction , la résultante d'une vitesse dirigée suivant DB 9 et d'une vitesse de looo"" perpendiculaire à DB. *Cela étant , le corps : ne restera pas sur la droite mobile* AB; il décrira une courbe dans l'espace, les formules précédentes ne s'appli^eront plus à son mouvement , et il ne viendra plus tomber sur la surhce de la terre, comme dans le* cas de llmmobilité de la lune.
