En résolvant Téquation (b) par rapport k dt , t>n'a

L'intégrale de cette formule s'exprimera toujpurs au moyen des fonctions elliptiques; en sorte que l'on pourra calculer, au moyen, des tables de ces fonctions , le temps qui répond à une distance donnée z , et réciproquement. Mais indépendamment des cas où l'une des deux attractions est nulle , il en est d'autres pour lesquels l'intégrale de la formule précédente peut encore s^obtenir sous forme finie. Ces cas ont lieu lorsque la quantité comprise sous le radical est un carré parfait ; ce qui exige qu'on ait

équation d'où l'on tire

En' égalant cette valeur à celle de > du n** 1 39 , il

vient

,, ai* j^ aa» a{a±:by ^ ^^^ 7i — Z "T" T* ""^ :; — •

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. a6te

L'une de ces deux valeurs de A:* est celle dey* ; l'autre est évidemment plus grande. Il s'ensuit donc que quand aucune des deux quantités a et ^. n'est zéro, on* peut exprimer lé temps sous forme fîhie en fonction de z y lorsque le mobile a reçu la plus petite vitesse y* avec laquelle il peut atteindre le point C , et lorsqu'on lui a imprimé une certaine vitesse plus, grande que celle-là.

Je substitue la doublé valeur de y dans l'expression de di\ il vient

sf\

c ac — * (a d£ '^) z '

formule que l'on rendra rationnelle et qu'on intégrera^ sans difficulté^ par les règles ordinaires. La différentielle dt doit toujours être positive ; la différentielle dz est positive pendant que le mobile s'avance de D vers B, et négative lorsqu'il revient vers A. Dans le premier cas, on prendra donc le radical \/cz — z*, avec le même signe que le dénominateur ac — (a ± 6)z, et, dans le second cas, avec un signe contraire.

i45- Soit que Ton suppose 6=30 ou c == 00, le mobile ne sera plus soumis qu'à l'attraction du centre A. L'équation (c) se réduira à

la valeur de dt qu'on en déduit s'intégrera, sous forme finie, et fera connaître t en fonction de z.

Si Ton fait -^ = o, on aura l'équation

2a' . , ^ OsCr

pour déterminer la distance z à laquelle le mobile s'arrêtera. Dans le cas de aa*= Ar^a, cette distance sera infinie; ce qui signifie que le mobile ne s'arrêtera pas. Il en sera de même dans le cas de ^a^ <^ k^tt , d'où il résulterait pour z une valeur négative qui ne peut appartenir à aucun point de la droite indéfinie DB^ suivant laquelle le mobile a été lancé. Dans ces deux cas le mouvement approchera de plus en plus de Tuniformité, à mesure que le mobile s'éloignera de A.

Quand la distance z sera devenue très grande et le mouvement sensiblement uniforme , sa vitesse ^ d'après l'équation (e), sera à peu près égale à

f^ — — , ou à v/A:* — 2ga, en supposant qu'on

a a* = ga*, c'est-à-dire^ en supposant que le corps soit parti de la surface d'une sphère, d'un rayon a, et où l'attraction était égale à g. Ce qui montre que la diminution de la vitesse initiale k sera d'autant plus grande que cette force et ce rayon seront jAus considérables.

DYNiMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. ^