CHAPITRE III

BU MOUVEMEZrr CUltVILiaNE.

§ !•', Formules générales de ce mousfement.

i44* Dans le mouvement curviligne^ la courbe décrite par le mobile est ce qu'on appelle la trajec-taire de ce point matérieL Au bout d'un teipps quel^ conque t, soit M (fig. Sy) la position du mobile. Si Ton appelle s Tare CM de la trajectoire compris entre le mobile et un point fixe C^ pris arbitrairement sur cette même courbe^ s sera une fonction de ^; en sorte que Ton aura ^ dans un mouvement curviligne quelconque ,

Si Ton désigne^ au même instant, par x, j-, z^ les trfMs COiMrdonoées rectangulaires du mobile, ces variable$ seront aussi des fonctions de / , et l'on aura également

X=:ft, jr^ft, Z^f't.

liQXsqiie ces trois dernières équations seront con*nues, on en déduira, par l'élimination de ^, les deur équations epi or, ^| z, de Ift trajectoire. Au moyen des équations de cett^ courbe, on déterminera s en

a64 TRAITÉ DE MÉCANIQUE. -

fonction de l'une des trois coordonnées, et, par suite, en fonction de ty ce qui fera connaître la loi du mouvement sur la trajectoire. Chacune des trois équations précédentes est celle du mouvement rectiligne de la projection du mobile sur l'un des axes des coordonnées ; il s'ensuit donc que la détermination complète du mouvement curviligne d'un point matériel dans l'espace se réduira à celle de trois mouvemens rectilignes, qui seront les mouvemens de ses projections sur les trois axes Ox, Ojr, Oz, des coordonnées. Quand ces trois mouvemens seront uniformes , celui du mobile sera aussi rectiligne et uniforme, et réciproquement.

145. Pendant l'instant dty le mobile décrira l'élément ^ de sa trajectoire; en négligeant, dans cet in^ tervalle de temps infiniment petit, l'action des fbix:es qui le sollicitent, on pourra considérer son mouvement comme rectiligne et uniforme. Si donc on appelle 9 la vitesse acquise au bout du temps ^, on aura

ds

Si ces forces cessaient réellement d'agir à l'instant ' que l'on considère, le mobile continuerait de se moor voir avec cette vitesse (^, et suivant le prolongement MT de l'élément ds^ c'est-à-dire, suivant la tangente a la trajectoire, puisque en vertu de l'inertie de la X matière il ne pourrait alors changer ni la direction de son mouvement ni la grandeur de sa vitesse (n* 1 15). On peut donc considérer un point matériel qui décrit une ligne courbe quelconque comme étant animé^

à chaque instant^ d'uDe vitesse dirigée suivant la tangente à cette courbe^ et exprimée par le rapport de son élément différentiel à l'élément du temps.

En représentant, au bout du même temps t , par /?, 9,- r, les vitesses des projections du mobile sur les trois axes des ^,^, 2^ on aura aussi, dans ces trois mouvemens rectilignes,

dx dr dz

Mais si l'on désigne par 01, ^, 7^, les angles que fait la tangente à la trajectoire, ou la direction de la vitesse Vf avec Aes parallèles aux axes des x^jr^ z^ on

a(nOi7)-

dx J9 dv dz

cos* = ^, çosC=^f, cos> = ^^;

d oii Ton conclut

pz=ivcosa, q=zifCOs€, r=i;cos^, (i)

et en même temps

Le tenips f croissant continuelleiïient, sa différentielle est toujours positive. Les vitesses/?, q, r^ sont positives ou négatives, selon que les coordonnées x , jr, z, croissent ou décroissent. Dans les équations (i), on peut régarder la vitesse v comme une quantité positive; le sens de cette vitesse, ou la partie MT de la tangente à la trajectoire, suivant laquelle elle sera dirigée, se déterminera alôi^ par les signes de p , ^, r, qui feront connaître si les angles a,€,yf sont

aigus ou obtus. Dans l'équation i/= j , on considérera h vitesse i^ comme positive ou comme négative, selon que l'arc s croîtra ou décroîtra.

On appelle composantes de la vitesse i^ d'un point matériel les vitesses /?, ç, r, de ses trois projections sur des axes rectangulaires; et chacune de ces trois composantes est ce que l'on entend par la vitesse du mobile^ parallèlement à Taxe auquel elle répond. En comparant les équations (i j à celles du n"" 3i, on voit que cette composition des vitesses se fera suivant les mêmes règles que celle des forces. D'après cette ana-logie, si l'on mène par le point M une droite quelconque MA, qui fasse avec les parallèles aux axes des ûCfj", z, menées par le même point, des angles a, bf Cy aigus ou obtus, la composante de la vitesse V suivant cette droite MA aura pour expression générale

p cos a ^ q cos A + r cos c.

La quantité de mouvement (n^ 126) d'un point matériel isolé, et celle d'un corps dont tous les; points sont animés. de vitesses égales et parallèles, se décomposeront en d'autres quantités de cette n^^ ture, et celles-ci se réduiront à une seule, suivant les mêmes règles que les vitesses qu'elles ont poBr facteur.

146. Au bout du temps t'+^dt, soient p^p', q^q^^ r + /, ce que deviennent les trois compensantes de la vitesse du mobile , parallèles aux axes des X j j y z ; en sorte que p', ^', r', représentent

les augmentatfoils infinimeat petites de vitesse qui ont lieu suivant ces directions pendant l'instant dt. L'accroissement de vitesse suivant la droite MA sera

/?'cos a + 9' cos 6 + / cos c.

Or, quelles que soient les quantités p', q', r\ si l'on fait

et qu'on regarde u comme une quantité positive , on pourra toujours trouver trois angles a', ff', y\ 9igus ou obtus, tels que l'on ait

/?'=«cosa', (( 'zziuQo^&y ' r'=:Uco$y' ;

au moyen de quoi l'accroissement de vitesse suivant MA deviendra

u (cos et cos a/ + cos b cos €' + cos c cos y').

De plus , la quantité comprise entre les parenthèses est le cosinus d'un certain angle que j'appelle a. L^ccroissement dont il s'agit est donc égal à u eus a ; par conséquent , 1^ est sa plus grande valeur, et ell^ répond à la direction de. la droite MA, pour lacpielle les angles a, b , c^ sont les mêmes que a% C% y\ ce qui rend le coefficient de u égal à l'unité. Dans toute autre direction, l'accroissement de vitesse sera égal au maximum u^ multiplié par le cosinus de l'angle cr que fait cette direction quelconque avec celle du maximum; d'où il résulte qu'il sera nul par rapport à toutes les directions perpen*dicnlaires à celles de sa jdus grande valeur.

Quelle que soit la varîatîoa de vitesse du mobile ^en grandeur et en direction, pendant l'instant dt:, il y a donc toujours une certaine direction pour laquelle l'augmentation de vitesse est la plus grande, et qui jouit de cette propriété , q^^e, suivant toutes les directions perpendiculaires à celle-là , la vitesse* n est ni augmentée ni diminuée.

i47- La direction d'une force qui agit sur un point matériel en mouvement est la droite suivant laquelle elle augmente ou diminue la vitesse acquise , et perpendiculairement à laquelle elle n y produit aucune altération. Ainsi, quand nous disons que la pesanteur d'un corps en mouvement dans un sens quelconque est verticale, comme celle d'un corps en repos, nous entendons par là que cette force augmente la vitesse verticale , et n'altère aucunement la vitesse horizontale.

Cela étant, désignons, au bout du temps /, par U , U', U", etc. , les intensités des diflFérentes forces qui agissent sur le point matériel dont nous considérons le mouvement curviligne ; par ^, b, c, a', fe', c\ d'f V\ c", etc., les angles que font leurs directions données avec des parallèles aux axes des x^jr y z; et par X, Y, Z, les sommes de leurs composantes suivant ces axés; nous aurons d'abord (n*' Sa)

X = U cos a + U' cos a' + U" cos û" -f- etc., Y = U cos A + U' cos 6' + U" cos A" + etc.,, Z = U cos c + U' cos c' 7f- U" cos c" + etc.

Soient ensuite w, «', w", etc. , les vitesses infiniment petites que ces forces U, U', U", etc., produiraient, pendant l'instant dt, suivant leurs directions respec-

DyNAMlQUE, PREMIÈRE PARTIE. 269

tivesy si chacune d'elles agissait seule sur le mobile anime de la vitesse (^.. On verra , comme dans le n"* 116, que la simultanéité de ces forces n'influera nullement sur les grandeurs et les directions des vi* tesses qui. seront réellement produites; par conse- .quent^ si Ton continue d'appeler p', 9', /, les quantités infiniment petites dont les vitesses p, q, r, des projections du mobile sur les axes des a:,^:, 2,p'acci*oltront dans l'instant dt, ces quantités seront les sonynes des composantes de u, i/, u", etc. , suivant ces trois axes; en sorte que nous aurons

p' -=1 u cos rt + m' cos a' -f- tt'' cos d' + etc. , (f =z u cos i + w' cos h' + m" cos V[ + etc., r^ z=z u cos c + u! cos c' + lé' cos d' + etc.

Mais en appliquant à chacune des forces u , u' y li'y etc., ce qu'on a trouvé (n® 118) pour la mesure d'une force d'après la vitesse dont elle est capable , on a aussi

u=iJ3dt, u' = \]'dt, 1/" ==: UV^ etc;

en comparant les valeurs de p\ ?', V, à celles de X , Y, Z , il en résulte donc

p'=Xdt, q'=zYdt, r'z=zZdt;

ce qui montre que l'accroissement de la composante de la vitesse du mobile suivant chaque axe, dans l'instant dt, est la vitesse produite, pendant cet instant, par la composante totale suivant ce même axe , des forces données qui agissent sur. ce point matérieL

Ce résultat tient à ce que les forces sont proportionnelles aux vitesses qu'elles impriment au mobile dans un même temps infiniment petite lesquelles vitesses infiniment petites ne changent pas ^ soit que ces forces agissent isolément , soit que leurs actions aient lieu simultanément. Il s'ensuit aussi que si les forces appliquées au mobile sont y par exemple ^ au nombre de trois ^ non comprises dans un même plan ; que Ton prenne sur. les directions de ces trois forces U, U', U", à partir de leuï* point d'application, des droites de grandeurs finies qui soient entre elles comme les vitqsses correspondantes Uy u\ li* ; et que l'on achève le parallélépipède dont ces trois droites seront les côtés adjacens, la résultante de ces forces séria dirigée suivant la diagonale , et sa grandeur sera à celle de chacune de ces forces comme la diagonale est au côté correspondant.

i48. Si les forces qui agissent sur le mobile sont indépendantes de sa vitesse et de sa position dans l'espace, les mouvemens de ses trois projections sur les axes des coordonnées seront indépendans entre eux; en $orte que sa projection sur chaque axe ^ trouvera, au bout d un temps quelconque, au même point , et aura la même vitesse que si les forces et les vitesses étaient nulles parallèlement aux deux autres axes. Il n'en sera plus de même , en général , quand les forces données varieront, en grandeur ou en direction y soit avec la position du mobile , soit avec sa vitesse acquise ; mais on pourra toujours déterminer fia vitesse et sa position , à chaque instant, de la manière suivante.

Puisque toutes les forces qui agissent sur le mobile peuvent toujours être réduites à une seule ^ suppo* sons que U , capable de ia vitesse u , soit cette force unique, et désignons par $ l'espace qu'elle fera parcourir au mobile pendant Tinstant dt , suivant sa direction, indépendamment de la vitesse v de ce point matériel au bout du temps i. Diaprés ce qu'on a vu dans le n^ I i4f nous aurons

€ = i udt.

Mais, en vertu de cette vitesse acquise v et de l'action de la force U ou de ses composantes , les espaces parcourus par les projections du mobile sur les axes des 3c , y ^ z, pendant l'instant dt, seront

pdt + ^p'dt, qdt + iq'dt, rdt + ir^dt;

donc 9 a cause de

p^^=zu cos a , q' =2u cos b, r z=^u cos c ,

et en ayant égard aux équations (1) et à la valeur de %'j 00 aura

xf '^ a: z=z a> cos a + € cos a,

y — jr z=^ Où cos Ç + 6 cos b ,

2' — z = û» cos y + € cos c ;

cà étant l'espace s^dt qui serait décrit par le mobile dans rinstânt dt, txL vertu seulement de la vir tess^ V, et x\ y, jb', ses trois coordonnées au bout d^ temps t + dt, qui étaient oc , jr^ z, au bout du tem]is t.

Cçla posé , soient toujours M ( fig. 37 ) le point d« la trajectoire dont x, j , z, sont les trois coor-

a^A TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

données, et MT là direction de la vitesse i». Soit aussi MA telle de la force U. Prenons sur MA et MT des droites MH et MK, égales à € et a», et achevons le parallélogramme MHM'K, dont ces droites sont les deux côtés adjacens. L^extrémité M' de sa diagonale sera , en vertu des équations précé-* dentés, le point dont les coordonnées sont a:', y, z', ou la position du mobile au bout du temps 1 4- dt.

Appelons i^' la vitesse du mobile au point M^, laquelle vitesse sera dirigée suivant le prolongement MT' de la droite MM', et aura pour valeur la composante de i^ suivant MM', augmentée de la vitesse produite suivant cette direction par l'action de la force U pendant l'instant dt. L'espace £ étant infiniment pçtit par rapport à â> , il s'ensuit que l'angle TMM' est aussi infiniment petit; la composante de P est donc cette vitesse même, en négligeant les infiniment petits du second ordre. De plus, si l'on désigne par J" l'angle AMM' que fait la direction de la force U avec le côté MM' de la trajectoire, on aura u cos J^ pour l'augmentation de vitesse qui sera produite par l'action de cette force; il en résultera donc

(;' = i^ 4- " cos cT.

Je fais v^dt:=z a', et je prends sur M'T' une partie M^K' égale à a/; je désigne par M'A' la direction de la force qui agit sur le mobile quand il est parvenu en M'; sur cette droite, je prends une partie M'H', égale à l'espace que cette force peut faire parcourir au mobile dans un instant dt; j'achève le parallélo-

DYNAMIQUE, PREBOÈRE PARTIE. 97}

gramme WWMUif} et l'extrémité Wàe la diagonale sera ttn troisième point de la trajectoire.

En commençant cette suite de constmctions au point de départ du mobile, où Ton doit connaître sa vitesse en grandeur et en direction, il est évident que Ton déteirminera successivement tous les points de sa trajectoire plane ou à double courbure , et , en même temps, la vitesse dont il sera animé en chacun de ces points. Si les intervalles de temps, qu'on a supposés infiniment petits et désignés par dt , sont seulement très petits > on obtiendra une suite de points qui seront les sommets d'un polygone, d'au* tant moins différent de la trajectoire, que se^ côt^ seront plus petits. En regardant la vitesse comme constante sur chaque côté, et prenant pour sa valeur la demi-somme des vitesses qu'on aura trouvées aux deux extrémités, on pourra calculer le temps employé à parcourir une portion quelconque du polygone; par conséquent, on connaîtra de cette manière la courbe décrite par le mobile, ainsi que sa vitesse et sa position à un instant donné sur cette courbe , à tel degré d'approximation qu'on voudra; mais il vaut mieux faire dépendi:e les valeurs des coordonnées du mobile en fonctions du temps, d'équations différentielles que l'on intégrera ensuite s'il est possible.

149. Ces équations différentielles du mouvement curviligne sont une suite immédiate du principe établi dans le n* 147.

En effet, les composantesde la vitesse du mobile, pa*

rallèles aux axes de ses coordonnées x,jr, z, étant ^^ 1. 18

-j-y -j- , au bout du temps quelconque /, leurs ao

croîssemens , pendant l'instant dt , seront d .-j-,

d.^f d^-j-i et comme chacun d'eux est dû imi-

quement à la composante suivant l'axe correspondant, de la force qui agit à cet instant sur le mobile, il s'ensuit qu'en appelant toujours X, Y, Z, les composantes de cette force, parallèles aux axes des coordonnées x, jr^ z , nous aurons

d.^^lUt, d.^^Ydt, d.%=^Zdt, OU, ce qui est la même chose,

Le problème consistera, dans chaque cas, à intégrer ces trois équations du mouvement; et l'on peut considérer, pour cette intégration, le procédé du n^ précédent comme une méthode générale d'approximation. Leurs intégrales contiendront six constantes arbitraires, que Ton déterminera au moyen des trois coordonnées du mobile à l'origine du mouvement, et des trois composantes de la vitesse initiale , c'est-à-dire , au moyen des valeurs des six

quantités x, jr^ z, -£, -£, ^, qui seront données

pour ^ = o. Ces intégrales et leurs difiërentielles premières feront ensuite connaître la position du mobile à un instant quelconque, et sa vitesse en grandeur et en direction. En éliminant entre elles

le temps t , on aura les deux équations de la tra-? jectoire. Quand on saura d ayance que cette courbe est i^ane , on pourra prendre son plan pour celui des xetjr^ par exemple; ce qui réduira les trois equ^ons précédentes aux deux premières..

i5o. Au bout du temps t, soient a, b^ c , les trois coordonnées d'un second point paatériel ^ à la position duquel on yeut comparer celle du premier. Les «oçes de ces coordonnées étant ceux des x,jr^ z, je fais

les variables jt'^ y, z', feront connaître à chaque instant la position du premier point par rapport au second; et d'après les équations (2), on aura

pour les déterminer en fonctions du tomps.

Quand le mouvement du second point ne sera pas connu y mais que Ton donnera seulement les composantes A, B, C, parallèles aux axes des coordonnées, delà force qui le sollicite, on aura

et il en résultera

pour les équations du mouvement relatif du premier point.

Si la force dont A, B, C, sont les composantes

^56 TTRAltÉ DE MÉCANIQUE,

agit à la ifois sur les deux mobiles^ ces composantel^ entreront aussi dans les valeurs de X, Y, 2, et disparaîtront de ces dernières équations. Cest ce qui arrivera y par exemple^ à l'égard des corps qui se meuvent à la surface de la terre, et dont on rapporte les positions a des points déterminés de cette surface : les forces relatives à ces points et provenant du mouvement diurne de la terre , n^«n^ treùt pas dans les équations des divers mouvemens que Ton considère à sa superficie ; et Ton en fait complètement abstraction , en formant ces équations.

Toutefois, cela ne veut pas dire que les mouvemens que nous observons soient tous indépen^ dans de la vitesse de rotation de la terre. Elle influe pour une petite partie sur Tintensité de la pesanteur , et , conséquemment , sur les mouvemens verticaux. De plus , quand un corps tombe d'une hauteur considérable, la vitesse de rotation dont il est animé à son point de départ est un peu plus grande que celle qui a lieu au pied de la verticale menée par ce point; d'où il est aisé de conclure que le mobile doit s'écarter un peu de cette droite , et venir rencontrer la terre à une petite distance de son extrémité inférieure. Cette déviation , qui a été effectivement observée, rend sensible , par une expérience directe, le mouvement de la terre autour de son axe.

Les mouvemens indépendans de cette rotation sont ceux que produit le choc des corps, et aussi ceux qui sont dus à l'action musculaire des hommes et des animaux.

DYNAMIQUE, IPREHIÊIŒ PARTIE. 377

ï5i. Leséqnations (2) sont celles du mouvement

^^-«ni point matériel entièrement libre; mais il est

fiic^ile de les. étendre a un point matériel assujetti à

se mouvoir $ur une surface donnée. Il suffira pour

<«ela , comme dans le cas de l'équilibré (n* 56), de

Joindre aux forces données qui agissent sur le mo-

liile, une force de grandeur inconnue, qui repré*

sentera la résistance de la Surface., Cette force sera

Zftormaleà lasurface donnée ; je lareprésenterai par N^

e€^par X, /ec, y, les angles quelle fait avec les proloii-

çemens des coordonnées x, jr, z, au mobile; le^

équations du mouvement seront alors

^ = X + NcosA.

^ = Y + Ncos;t,j (5)

^ =z= Z + N.cosF.

En- représentant par L??=o Téquation de la surface donnée, et faisant, pour abréger.

V = rfc r"^* + ^ 4- ^r'"

^ ~ =^ W ^ dr ^ dz^J en aura ( n^ 21 ) , en même temps ,

Après avoir substitué ces valeurs dans les équations (5) , on éliminera entre elles le produit NV ; les deux ^nations qui en résulteront, jointes à L=o ^ lierviront à déterminer x,ffZ^en fonctions de t. On

2^8 TRAITÉ DE MÉCAïaQUE.

tirera ensuite de Tune des équations (5)^ ou d'une corahinaisoa quelconque de ces équations , la valeur de NY I et comme N doit toujours être une quantité f>ositiye , le signe de cette valeur fera connaître celui de y ; au moyen de quoi la force normale N et le sens dans lequel elle agit seront complètement déterminés.

Si le mobile est assujetti à se mouvoir sur deux surfaces données, ou sur leur courbe d'intersection^ on le considérera encore comme entièrement libre > après avoir joint aux forces données deux forces inconnues N et N' , normales à ces surfaces ; et en . désignant par X, /jl, y , les angles qui détermineront' les directions de la première par rapport aux axes des JC , jr, z, et par A', fif, v' , les angles qui répondront à la seconde , il en résultera

^ = X + NcosA + N'cosA',

% = Y +Ncosfi + N'cos;t', ^ (4)

-£- = Z +' Ncos y + N'cos / ,

pour les équations du mouvement. Si Lr;=o est l'équation de la surface dont N est la résistance , et qu'on représenté par L'=o celle de la surface à laquelle N' correspond , les valeurs de cos x^ cos fi^cosy, seront les mêmes que précédemment, et celles* de cos A', cos/j/f cos /, s'en déduiront par le changement de V et L en V et L^ Après avoir substitué les unes et les autres dans les équations (4) » on éliminera les produits NV et NT'. L'équation qui en résultera^ et les

équations données L = o et L' = O » serviront à dé* tenniner les valeurs de x,jr, z, en fonctions de t. Cela taiX, on tirera de deux des équations (4)., les valeurs de NV et N'V, dont les signes seront ceux de V et y^; et , de cette manière , on connaîtra les forces normales N et N'^ et le sens dans lequel elles agissent : leur résultante sera , en grandeur et en direction , la résistance de la courbe sur laquelle le mobile est astreint h. se mouvoir.

i52. Pour donner une forme plus simple aux jéquations (4) , soient m la masse du mobile et mV la pression qu'il exercera^ dans son état de mouvement, . sur la courbe qu'il est forcé de décrire. Désignons par fiB', ^, m* ^ les angles que fait la direction de cette force avec les prolongemens , dans le sens positif^ des coordonnées jc , ^, z , de ce point ; la résistance que la courbe oppose au mouvement du mobile, considérée comme une foice accélératrice, sera égale et contraire à P; en la joignant aux forces données X, Y, Z, qui agissent sur le mobile, nous aurons, au lieu des équations (4) f

— - = X — p cos«-,

^ = Y -PcosV,^ (5) ~ = Z — Pcoscs".

La direction de la force P n'est pas connue à piiori : on saif seulement qu'elle est normale à la courbe donnée; d'où il résulte que le cosinus de l'angle compris entre cette direction et la tangente à la tra-

Go*ogIe

d8o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

jectoire doit être ëgal k zéro; ce qai donne

^cosw + ^ cos^' -|-^cos«" = o- (6}

Les angles «v*, m^', ^\ seront, en outre ^ lî^ entre eux par l'équation ordinaire

cosfv + cos'flr' + cos*«r" = i.

On éliminera P, m^ ^^ «v^ entre ces équaticms^ en ajoutant les équations (5)^ après les avoir mnltipUées

par -^9 ^ , 2r ' ^^ ayant égard à Téquation (6) > et en faisant, pour abréger.

^s+ïî+z|=,.

on a alors

dxd^x + drâ^Y + dzdH S5? = ^-

En différentiant Téquation identique

de "" ^û*'^ .

et divisant par ^d^r, on voit que le premier memlirede réqnation précédente est la même chose que -^ ; on aura donc simplement

dX'

La force ^ est la somme des composantes des forces données, suivant la tangente à la trajectoire, lestjuelles comparûtes seront regardées comme posi-

tives on corame négatives/ selon qu'elles tendront à augmenter ou à diminuer Tare s décrit par le mobile. L'équation (7) signifie donc que dans le mouyement curviligne^ comme dans le mouvement rectili^e, la force qui agit sur le mobile dans le sens de son mouvement est égale au second coefficient

différentiel de l'espace parcouru : à cause de p=s ^r^ on peut aussi dire qu'elle est égale au premier coefficient différentiel de la vitesse acquise p.

Cette équation étant indépendante de la résistance de la courbe, convient aussi au mouvement d'un point matériel entièrement libre et à celui d'un point matériel assujetti à demeurer sur une surface courbe; mais c'est principalement dans le cas d'un point matériel qui se meut sur une courbe donnée , que cette équation pourra être utile. On tirera des équations de cette courbe les valeurs de j:, ^, z^ en fonctions de ^; et après les avoir substituées dans l'équation (7) , il ne restera plus qu'à intégrer cette équation du second ordre entre s et t. Les deux constantes arbitraires que renfermera son intégrale se détermineront au

moyen des valeurs de s et ^rqni répondent à t:=20,

c'est-à-dire^ au moyen de la position et de la vitesse initiales du mobile. Quand les trois coordonnées œ^ jy z, auront été déterminées en fonctions de ^^ d'après l'intégrale de l'équation (7) ^ jointe aux deux équations données de la trajectoire y les équations (5) feront connaître^ à un instant quelconque, les trois, composantes de la pression P qu'éprouvera la courbe sur laifuelle le mobile est obligé de se mouvoir*

a8a ' TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Oa trouvera, dans le chapitre suivant^ une détei<* mination plus simple de cette force en grandeur et en direction.

§ n. Conséquences principales des formule^ précédentes.

i55« Lorsque le mobile est sollicité par une force dirigée vers un centre fixe, on obtient immédiatement trois intégrales premières des équations (2).

Pour cela, plaçons Forigine des coordonnées Xy j, z, en ce point; représentons, en grandeur et en direction, la force qui sollicite le mobile , par son rayon vecteur; et construisons le parallélépipède dont ce rayon est la diagonale, et qui a ses trois c6tés adjacens sur les axes des x^jr^z. Les trois coordonnées *r,^, z, du mobile seront les grandeurs de ces trois côtés, et représenteront les trois composantes de la force donnée ; en sorte que Ton aura