X : Y : Z :: jc : ^ : z

d'où l'on tire

Xj = \x, Zo: = Xz, Yz = Z/.

D'un autre côté, les équations (2) peuvent être remplacées par celles-ci :

jrf'a? — a:^/ = (Xj— Ya:)^*», \ xd*z — zd^x — (Zx— Xz) €&•, \ (a) zd'jr —jd'z =î (Yz — Zj) dt\ )

jOvp leurs seconds membres sont nuls en vertu des

équations précédentes; et comnie leurs- premiers membres sont les difierentielles de jrdx -^^ xdfp ûcdz — zda: , zdjr — jdz , on aura , en intégrant ,

jrdx — xdj- = cdt, I xdz — i zdx = c'dt^ ? (b) zdf — jrd:^ ^zsd'dti j

Cj c\ d', étant des constantes arbitraires.

i54« Pour énoncer le théorème contenu dans ces intégrales premières des équations du mouvement, considérons la projectipn ÂMB (fig. 38) de la trajectoire du mobile sur le plan des coordonnées x et jr^ dont les axes sont Ox et Ojr. Au bout du temps t^ soient M la projection du mobile, OP et MP son abscisse x et son ordonnée^; et C étant le point où cette courbe coupe l'axe Oj , appelons u le secteur COM^ p l'aire COPM, q le triangle OPM; nous aurons

u = p ^ q, q = \xy.

Si AT est la projection du mobile au bout du temps t'+'dt, MOM' sera l'aire décrite par le rayon vecteur de cette projection pendant l'instant dt; ce sera aussi la différentielle de u ou de p — q; et à cause de

dp=jrdx, dqz=:ixdjr + ijrdx,

on aura

^ = tC^^JC — xdjr);

par conséquent, la première équation (5) signifie que l'aire décrite pendant chaque instant dt par le rayon .vecteur de la projection M du mobile est constante et égale à ~cdt; donc aussi l'aire décrite pendant un

i84 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

temps f quelconque, est proportionnelle à cette variable et égale à j^ct. Les aires décrites dans ce même temps par les rayons vecteurs des projections du mobile sur les plans des <r et 2, et des^ et z, seront de même égales à f c^t et i d'u. .

Concluons donc que quand un point matériel est soumis à une force constamment dirigée vers un centre fixe^ les aires décrites autour de ce point par le rayon vecteur de sa projection sur un plan quelconque passant par ce même points sont proportionnelles au temps employé k les décrire.

Réciproquement, lorsque cette propriété a lieu par rapport à trois plans rectangulaires menés par le centre des aires, on en peut conclure que la force ou la résultante des forces qui sollicitent le mobile est constamment dirigée vers ce centre fixe.

En effet, si les équations (b) sont données, on aura, en les différentiant,

jrd*x^*xd^jrs=iOp xd^z — zd^xz=zOf zd^y — jrd^z:=zo}

en vertu des équations (a), qui sont celles d'un mouvement quelconque, on aura dbnc aussi-

par conséquent, les forces X, Y, Z, seront entre elles comme les coordonnées x,jr^z, du mobile; ce qui suffit pour que leur résultante soit constamment dirigée vers l'origine des coordonnées. Au reste , cette force peut être attractive ou répulsive , c'est-à-dire qu'elle peut agir suivant le rayon vecteur du mobile, ou suivant son prolongement.

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. ii85

1 55.. Lorsqu'un point matériel est soumis à une force dirigée vers un centre fixe, il est évident que sa trajectoire est une courbe plane, puisqu'il n'y aurait aucune raison pour qu'il sortit, plutôt d'un c6té que de l'autre, du plan passant par la direction de sa vitesse initiale et .par le centre fixe. C'est aussi ce que l'on déduit des équations (b); car en les ajoutant, après les avoir multipliées par z, /, a:, et divisées par dt, il vient

cz + c'j- -+- d^x = o.

On peut prendre ce plan pour celui des or et^; Taire décrite par le rayon vecteur même du mobile, dans le plan de sa trajectoire , sera donc proportionnelle au temps; et, de plus, le théorème précédent se réduira à cette proportionnalité. En effet, si elle a lieu pour l'aire décrite sur le plan de la trajectoire, elle aura lieu également pour Taire décrite par le rayon vecteur de la projection du mobile sur tout autre plan ; car cette autre aire n'est autre chose que la projection de la première sur ce plan ; et nous sa-* . vons (n"* lo) que la projection d'une aire plane a un rapport constant avec l'aire projetée.

i56. L'aire infiniment petite MÔM' peut aussi s'exprimer en -coordonnées polaires. Pour cela, désignons par r le rayon vecteur OM, et par 6 l'angle MOj:r qu'il fait avec Taxe des x. Décrivons du point 0, comme centre. Tare de cercle OMN qui coupe au point N le rayon vecteur OM^ correspondant à l'angle d — d8, et qui aura pour longueur rt/â. Le secteur circulaire MON sera égal à ^r*^, et pourra être pris pour Taire MOM", en négligeant Taire MMM', infini--

raebt petite du second ordre. On devra donc aroir J^da: — xdjr = r^^;

équation <]ue l'on vërifie effectivement au mo jen des valeurs

X = reosO, jr c= rsinfl,

et de leurs différentielles^ qui sont

€ir=cosfl Jr-f-/'smfl^, djr:=sin6dr — rcosO^iO,

a cause que celle de l'angle â est ici -—^28. De cette manière, la première équation (b) prendra la forme

i*dlè = cdt,

sous laquelle on l'emploie ordinairement.

On exprime de même en coordonnées polaires l'élément de la courbe. En désignant l'arc CM par o* et cet élément par dff, on aura à la fois

en considérant MNM' comme un triangle rectiligne rectangle en N, on en conclura donc

d<r^ 7=, di^ + r^S^;

ce qvL on peut aussi déduire de la formule

da^ = ÉÙ:* + djr%

AU moyen des valeurs précédentes de dx et djr.

A cette occasion , nous ferons remarquer que, dans une trajectoire plane, les composantes de la vitesse du mobile suivant le prolongement MO' de son rayon vecteur MO, et suivant la perpendiculaire à ce rayon^

sont exprimées par

dt' dt ^ car l'angle OTViT que fait ce prolongement ayec la tangente MT est complément de l'angle M du triangle MTÈIN} d'après ce triangle, on a donc

co8 0TM[T = ^, sinOTM[T = ^; et en miiltipli^nt ce cosinus et ce sinus par la vitesse -^ , dirigée suivant M T, on aura les composantes dont il s'agit. Il est souvent utile d'en faire usage. Elles diffèrent des composantes -^ c* ^ de la même vitesse

en ce que lès directions de celles-ci sont tixes, et que celles des précédentes varient avec la position du mobile.

La vitesse j , avec laquelle le rayon vecteur OM

décrit l'angle GOM, compté à partir d'une droite fixe,, estcequ'on appelle la vitesse ^i/ig-i^Za/re du mobile. Elle

se déduit, comme on voit, de sa vitesse -j- , perpendiculaire k OM, en la divisant par la longueur de ce rayon.

157. Revenons maintenant aux équaticms différentielles du miouvement.

Ajoutons les équations (5) du n"* i5a, après les avoir multq>liée8 par dx, dy^ dz; en ayant égard à l'éqnatioii (6) du même numéro, et olimrvant que»

dxé^x -^-djd^y -^ dzé^z i , ds*^ ^ ^ a

■ vu ■* ^— " ^« TZ ■— ~ «. K •

a88 TRAITE DE MÉCANIQUE,

il en résultera

irf.p*=Xiir + Y4r + Z&. (c)

Supposons que les expressions des forces données X, Y, Z^ ne renferment explicitement ni le temps t^ ni la vitesse i^, et qu'en considérant x,jr^z, comme des variables indépendantes, cette formule (c) soit une différentielle exacte; faisons^ en conséquence,

F indiquant une fonction donnée : en intégrant Téquation (c) et désignant par C la constante arbitraire, nous aurons

Pour éliminer cette constante, soient a, b, c, k, les valeurs initiales de x, jr, z, i^; on aura

et^ en retranchant cette équation de la précédente,

V* = *• + aF (a:, j, z) — aF (a, b, c). (d)

Ce résultat étant indépendant de la résistance N de la courbe, égale et contraire à la force P qui entrait dans les équations dont on l'a déduit, il s'ensuit qu'il a également lieu dans le mouvement d'un point matériel entièrement libre , et dans le mouvement sur une surface ou sur une courbe donnée.

La conséquence immédiate de cette équation (d) , c'est que la vitesse est constante et le mouvement uniforme toutes les fois que le mobile n'est sollicite par aucune force donnée; car alors la fonction F est

DYNAMIQUE, PREinÈRE PARTIE. 389

nulle, et ron a ifs=zk,-soit que le xnouyemeut ait lieu sor une sarfiice ou siM* une courbe donnée, ou <iue le mobile soit (sntièrement libre»

Cette équation nous montre, de plus, que dans la supposition qu'on a faite sur la nature des forces X, Y, Z, laccroissement du carré de la vitesse du mobile, en passant d'une position à une autre, est toujours le même, quelle que soit la courbe qu'il a décrite, et ne dépend que des coordonnées ^f b, c, a:, jr^ z, des deux points extrêmes. Lorsque cette courbe sera donnée, ou seulement lorsque le mobile sera assujetti à se mouvoir sur une surfacq donnée, on prendra pour k la vitesse du mobile tangente à cette courbe ou à cette surface. Si la percussion exercée sur le mobile à l'origine de son mouvement n'a pas cette direction, elle se décomposera en deux autres forces, l'une normale et l'autre tangentielle; la première sera détruite par la résistance de la courbe ou de la sur- £sice donnée; et c'est la seconde qui produira la vitesse A;, et qui en déterminera le sens et la direction. Si l'on désigne par C une constante arbitraire, l'é* quation

sera celle d'une surface qui sera atteinte avec des vitesses égales par tous les mobiles soumis aux mêmes forces, partis du point dont a, b^ c, sont les coordonnées, suivant différentes directions et avec une même vitesse k. Lorsque, par exemple, ces mobiles ne sont sollicités que par la pesanteur, cette équation est celle d'un plan horizontal.

itgo tfeklTÉ DE MÉCANiQCE.

Dans le cas dNàne îtonrbeclbmiée, on déduirÀ de ifie^^\!itàHo^& iès( Tè]^¥s dte âôijr^ Zyexx fbndtionë de l'arc s; en les substituant^ datl6 l'éic}tiat(on (rf), et y

ttieVtânt -r à ia place de ii, on en tirera dt ^àa Sdsp

où S est une fonction donnée de s ; par conséquent , dans cfe cas, là détermination du temps en fonction xîeTespâce'paf^cDiiru se trouvei'a réduite à intégration d'une différentielle donnée. Maïs la supposition Wr laquelle est fondée l'écjuâtion ^d\ et, conséquem- "inenk, cette équation, n'auront pas lieu quand l'emo- Wlé^rotiVera là résistance d'un milieu, qui est une ft)rt!e dépeitdànte de là vitesse j il en isera de riiêhie lohJqtfil s'agira du mouvement dNm pôînt matériel *àttîté ou re^xmssé pat d'autres points qui seront euxmêmes en mouvement ; circonstance qui introduira le temps t explicitement dans les valeurs de X, Y, 2. l>ans ces deux cas, si la trajectoire est une courbe donnée, on fera usage de l'équation (c),dans laquelle

on mettra ~ au lieu de i^, et qui se changera dans

l'équation (7) du rf iSs.

i58. La formule Xrfjc + ^djr + Zdz sera une dif- "férentielle exacte, comme on vient de le supposer, toutes les fois que le mobile sera attifé ou repoussé par des centres fixes, et que les intensités dfe ces forces seront exprimées par des fonctions de la distance aux cjénfres dont eltes émanent.

En ieffet, soient «, jT, g, les trois coordonnées d'un des centres fixes, rapportées aux mêmes axes que or,

DYNAMIQUE, PREMIÈBE PARTIE. 291

^ j z* Désigaens par r la distance du mobile à ce pmiit} on atira

;- = (e - x)' -f (/-^)* H- (g - zy ;

et les cosintis des angles que cette droite r fkit avec ^es axes menés par le mobile , suivant les directions des Xjy^Zy positives, seront les rapports à^e^-^Xj J^^^yt g^-^z^ii r. Si donc on représente par R la fbrtre attt^cti^é, dirigée du mobile vers ce centre ûxey ses trois composantes auront pour expressions

et, TOns^uemment, la partie de Xcîr +Yrfjr-4- Idz qui proyiendr2( de R siora

Mais en dyfiëi*entiant la valeur de r^^ oû a

rrfr = -— (e~x)e£r--(/— j-)4r~(êr^^)^2;

ce qui réduit à -^ IWir la quantité précédente. Si la force qui émane du centre fixe était répulsive, il suffirait de changer le signe de cette quantité , qui deviendrait Rdy*, en considérant, dans tous les cas, R comme une quantité positive.

On conclut de là que si le mobile est sollicité par un nombre quelconque de forces R, R', R", etc., qui émanent de centres fixes, dont les distances à ce point matériel sont r, /, i^\ etc., on aura

Xdlar+Yr^H- Zdî =â =fR^ i^R'^^ =F R''^^^

les signes supérieurs ayant lieu dans le cas des attrao tioDS, et les signes inférieurs dans le cas des reput* sions. Or^ en supposant que chacune de ces forces soit une fonction donnée de la distance correspondante , tous les fermes de cette valeur de ILdx'^Ydjr^ldi seront des différentielles dépendantes d'une seule variable, et, par conséquent, cette formule sera une difiërentielle exacte ; ce qu il s'agissait de prouver.

On voit aussi par là, et d'après l'équatioa (d), que l'accroissement du carré de la vitesse provenant âr chacune des forces R, R', R'', etc., sera le même que si elle existait seule : à l'égard de la force R, par exemple, cet accroissement sera exprimé par r^: txfKdr, en prenant l'intégrale de manière qu'elle s'évanouisse pour la valeur initiale dé r.

i5g. Dans le cas d'un point matériel pesant, qui se meut, sur une courbe donnée, dans le vide et sans frottement sur cette courbe, l'équation {d) SR xér duira à

il* = À* -f 3g (a — r),

en désignant par g la gravité, et prenant l'axe des % positives vertical et dans le sens de cette force, de sorte qu'on ait

Soient ADBC (fîg. Sg) la courbe donnée, B son point le plus bas, A son point le plus élevé, qaî peut n'être pas dans la même verticale que B, et D le point de départ du mobile. Plaçons en ce dernier point L'origine des z, et supposons que la vitesse iai-

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. ag)

lîale h soit dae à ane hauteur h ; nous aurons

c = o , A* = agh ,

ct^. par. conséquent,

II en résultera i que quand le mobile arrivera au point B, la vitesse maxima sera la même que sll fût tombé de la. hauteur^, augmentée de celle du point D au-dessus du. {dan horizontal mené par le point B* £n vertu de cette vitesse acquise, le mobile s'élèvera le long de BCÂ; sa vitesse diminuera continuelle-* ment ; et si Ton a A>=s o , elle sera nulle au point G situé dans le même plan horizontal que B* Parvenu au point G, le mobile redescendra le long de CB ; et iL.oscillera ainsi indéHniment de D vers G, et.de G vers D* Lorsque la constante h n^ sera pas nulle , le mobile s'élèvera au-dessus du. point C. Si l'élévation du point A au^essus du plan horizontal qui comprend D et G, est moindre que h^ le mobile ti'at« teindra pas le point A; il s'arrêtera en< un certain point G'; et si l'on mène par G' un plan horizour tal qui coupe la courbe en un autre point D', le mobile, oscillera, indéfiniment de G' vers D', et de W vers G'. Les. oscillations seront toutes isochrones ou d'égale durée. Gela est évident à l'égard de celles qui auront lieu dans lé même sens; et l'on voit aussi que la durée de chaque oscillation de G' vers Q' sera la même que celle d'une oscillation de D^ v/ers G^ en observant qu'un élément quelconque de U coui-be sera parcqura avec la même vitesse dans

â94 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

les deux cas» Getie durée commune de toutes les oscillations entières dépendra de la forme de la courbe et de la grandeur de h.

Lorsque l'élévation de A au-dessus du plan hori^ zontal passant par le point de départ sera égale à h^ le mobile approchera indéfiniment du point A , mais ne l'atteindra qu'après un temps infini. Quand cette élévation sera plus grande que h y le mobile dépassera le point A , et parcourra la circonférence entière de la courbe donnée. Revenu au point D , sa vitesse sera la même qu'à l'origine du mouve« ment; d'où l'on conclut qu'il fera une suite indéfinie de révolutions , qui auront toutes une égale durée , dépendante de la forme de la courbe et de la grandeur de h^

Si la courbe donnée est d^abord comprise dans un plan vertical^ tangent à un cylindre à base quelconque , et qu'on enveloppe ce plan sur le cylindre, de sorte que la courbe donnée devienne une ligne à. double courbure, le mouvement oscillatoire ou révolutif du mobile ne changera nullement , en supposant, toutefois, que son point de départ et sa vitesse initiale restent les mêmes ; car alors la valeur de t en fonction de s^ déterminée comme il a été dit pré* cédemment (n* i^y), ne dépendra que de celle de z en fonction de ^, qui ne changera pas, quelle que soit la base du cylindre vertical sur lequel la courbe donnée sera tracée.

i6o. Dans tous les cas où l'équation {d) a lieu^ et où le mobile n'est pas astreint à se mouvoir sur une courbe donnée, cdle qu'il décrit pour aller d'ua

DYNAMIQUE , PRpi«|:B^ ^AI^TIE. a^S

ppmt doan^ que j'^|)peUerai A, à ua iiu.tre pçint donné que je nommerai È, jouit d'une profiriété remarquable. Si le mobile est entièrement libre , l'intégrale f^ds, pri^ depuis le poîht A jusqu au point By çst plu$. petUç qu^ sijiivant toute autre courbe aboutissant à ces deux poiut3; s'il çst ai^ujettr à se mouvoir sur une surface doQuée^ cette propriété dd la ^ectotre n'^^ plurliea^ue relativement à toutes les courbes tracées sur Cjette surface, et qui aboutissent toujours aux points A et B. Ditns ces deux c^, ds est Télémant di^reptiei d'une courbe quelconque , qui répond aux coordonnées jc, jr^ z, ei V une f(^E>ctfOn de ceSi trois varin^i' blés et d'in^e constante k, donnée par l'équation {d}.

La démoostration de ce théorème revient à prou^ ver qii'en vertu des équations du mouvement, la variation àe finis est nulle, en supppsant fixes I^a limites de cette intégrale : âlom elle sera un mi" ràmum ocattn maximum i et ce sera tOQjouf^ \emini-' mum qui aura lieu quand le mobile sera entièrement libre; car il est évident que l'intégrale /(^d[y pourra croître indéfiniment avec la longueur de la trajectoire , et m 8QV^ pas. s^q^p^ib}^ d^ mojcinwm-

Or , par les règles les plus simples du calcul d^ variations , ou fi

J'.fwis = fif.uds, J'.ifds =5 cTwfc + i^J'ds.

D'ailleurs dt étant l'élément du temps^ on a d!f = {fdt ; •

donc

J'uds = idt^.v*.

Sî I on djfféreutie l'^q^ation (d) tt q^e Tqp remplace

ag6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

les différentielles dx^ dy^ d:i, par les variations /x,

J^jr, Sz, on aura .

En ayant égard aux valeurs de cos A , cos /x, cos r, et observant que

les équations (3) du n* i5i donnent

Le terme NYJ^L n'entrerait pas dans cette équation ^ si le mobile était entièrement libre ; quand il est assujetti à se mouvoir sur la sur&ce dont l'équatioa est Lsso, ce terme est nul; car toutes les courlies que Ton compare à la trajectoire du mobile devant aussi être tracées sur cette surface , oq a «TL =o; donc on doit supprûner ce termç daps tous Iqs cas; et il en résulte

Quant au second terme vS'ds de U variation de ^ » nous avons

d^ SB d!r' H- ^ 4- d;^ ^ et ^ par conséquent ^

donC; à cause àedszsz i^dt, et en intervertissant, dans le second membre , Tordre des caractéristiques det /»

DYNAMIQUE^ PREBOÈRE PARTIE. 297

«toos aurons

£a réanissant ces deux parties de la yàlear de S" • i^ds, il ^ent

d'où Ton coDclut

fj'.wls = ^ JW + ^crr + ^ /^ + constante ,

pour Fintëgrale indéfinie de i'.vds. Mais les deux points extrêmes A et B étant supposés fixes , les yariatlons J^^r, jy, Sz, qui s'y rapportent, devront être nulles; par conséquent, l'intégrale définie /JT . i^^ , prise depuis le point A jusqu^au point B , laquelle est égale à la variation S'.fs^dsy se réduira à zéro; ce qu'il s'agissait de démontrer.

161. Quand le mobile, assujetti à se mouvoir sur une surface courbe, n*est sollicité par aucune force donnée , sa vitesse est constante (n^ 1^7); l'intégrale fs^ds est donc le produit s^s. Par conséquent l'arc $ décrit par le mobile est, en général, la ligue la plus courte du point A au point B; et il suit de l'uniformité du mouvement, que, dans ce cas, le mobile va d'un point à l'autre , dans im temps plus court que s'il était forcé de décrire sur la surface donnée toute autre courbe que sa trajectoire. Toutefois, si cette surface est fermée de toute part, comme une sphère, par exemple, les points A et B seront les extrétnitÀ de deux arcs de grand cercle , dont Fun sera moindre et l'autre plus grand que tous les arcs

^98 TRAITÉ Œ JUËCAHIQUB.

de petits cercles aboutissant aux mêmes pcrinls ; et le mobile pourra décrire l'une ou l'autre de ces deux portions d'un même grand cercle, ^lon le sens de sa vitesse initiale k t^pgentef à la sphère*

On peut présenter l'équation différentielle de lu trajectoire sous une £orme qui mette en évidence la* propriété de la ligue la plus courte sur une surface quelconque , laquelle consiste en ce que son plan os^ culateur en chaque point est normal à cette ^urface.

Les forces X, Y, Z, étant supposées nulles, les équations (3) du n^ i5i le réduisent à

^ = NcosA, ^=Ncos/A, ^=Ncosy.

A cause que s^ est une constante, et que sft=^s\ on a

de ~ d$^ ' de~^ ds^' de ds^ '

en prenant l'arc s pour la variable indépendante; et cela étant, on pourra remplacer le» équations précé« dentés par celles-ci :

qfii s'e^ déduisent aisément. Je les ajoute aprè$ Ie$ avoir lutiltipUées par cos r , cos /a , co6 A ; la qucintUé N disparaît, et l'on a simplement

dxdW — drd^x , dzd'x — dxtPz -v '

, drd'z — dzd*r ^ \ ^^>

D'après les valeurs de cos A , cosfi, cos v, citées dans le n® i5i , on aura donc

d^^ di'^ d^ dy ( ...

drd^z — dzd^r dL (^^

pour rëquation différentielle seconde de la trajec^ toire. On y substituera la valeur de l'une des trois coordonnées x, jr, z, en fonction des deux autres ^ tirée de 1 équation L =^ o de la surface donnée^ snr laquelle cette courbe doit être tracée^ on intégrera ensuite TéquaticHi à deux variables qui en résultera; puis on déterminera les deux constantes arbitraires que Fintégrale renfermera , en assujettissant la courbe à passer par les deux points A et B de la surface donnée. L'équation qu'on obtiendra de cette manière y et qui sera^ comme on voit, indépendante de la grandeur et de la direction de la vitesse initiale ^^ devra être celle de la ligne la plus courte entre ces deux points.

Or y si Ton appelle et, €, y fies angles que la normale au plan osculateur d'une courbe quelconque , au point dont les coordonnées sont oo, j-, z, fait avec leurs prolongemens dans le sens positif, et qu on

fisisse , pour abréger ,

lidxd'X—^J'd'^y+ idzd^X'^dxd^zy+idj'd'Z'^dzdyy']^ :=zh,

3oo TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

nous aurons

C05 ^ = ^{dj(Pz — dzdy),

cos € = i (dzd*a: — dxd^z) ,

cos > = ^(dxdy — djd^jc),

d'après les formules (5) du n® ig, où ces mêmes angles sont représentés par X, fi, v. En vertu del'équation (e), on aura donc

COS A COSCt + COS € COS /JL + cos y cos V = o î,

ce qui montre que la normale au plan osculateur de la trajectoire^ et la normale à la surface donnée^ sont perpendiculaires Tune à Tautre ; d'où l'on conclut que l'équation {/), qui appartient à la ligne la plus courte , est aussi celle de la courbe qui a partout son plan osculateur normal à la surface donnée ; en sorte que ces deux lignes sont une seule et même courbe tracée sur cette surface, quand on les assujettit l'une et l'autre à passer par les mêmes points extrêmes A et B.

Il suit de là que , quand ces deux points appar-^ tiennent à une des lignes de courbure de la surface donnée , cette ligne est la plus courte d'un point à Tautre ; car son plan osculateur en un point quelconque renferme deux normales consécutives à la surface donnée, et est, par conséquent, normal à cette surface.

DYNAMIQUE,. PREMIÈRE PARTIE. 3oi

§ III. Digression sur le mous^enient de la lumière.

163. Le théorème du n* 160 est conna sous la dénomination de principe de la moiridre action ^ qui lui vient du point de vue métaphysique sous lequel on la d'abord envisagé^ et qu'on a depuis justement abandonné. Mais il peut encore être utile de donner ici une des premières applications qu'on a faites de ce principe y celle qui est relative à la réflexion et à la réfraction de la lumière dans le système de rémission.

Tant qu'un rayon lumineux se meut dans un milieu d'une égale densité^ sa vitesse et sa direction restent les mêmes; mais quand il passe d'un milieu dans un autre , sa direction s'infléchit et sa vitesse i^ange. Dans l'instant du passage ^ la lumière décrit une courbe d'une étendue inappréciable, dont on peut faire abstraction sans erreur sensible. La trajectoire de chaque particule lumineuse est donc alors l'assemblage de deux droites, dont chacune est décrite d'un mouvement uniforme. Ainsi, en appelant^' et y les longueurs de ces droites, n la vitesse de la lumière dans le premier milieu, n' sa vitesse dans le second , on aura njr pour la valeur de l'intégrale fvdsy prise depuis le point de départ de la particule jusqu'à son entrée dans le second milieu^ eX ri y pour la partie de cette intégrale relative au second milieu; par conséquent cette intégrale, prise dians toute l'étendue de la trajectoire, sera exprimée par ny + liy ; et c'est cette somme qui doit

3oa TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

être un minimum ^ d'après le principe de la moindre

action.

Avant d'aller plus loin^ observons que^ si le second milieu est une substance diaphane et cristallisée, la vitesse de la lumière , dans cette substance, dépendra, en général, de la dilution du raj^on lumineux; en $orte quelle sera constante pour un même rayon, mais variable d'un rajon à un autre. Le phénomène de la double réfraction que présentent le spath dtls^ /am/e.et là plupart ^s cristaux transparens, tient à la diflerenee de vitesse des différeuâ rayons lumineux qui les traversent. On doit alors regarder la vitesse n' comme une fonction des angles qui déterminent la directioa de chaque rayon ; et la loi de la réfraction dépend 4)9 la forme qtie l'on suppose à cette fonction. En faisant une hypothèse convanaUe sur cette forme, [japlace est pai^venu à déduire du principe dfi la mpindrb action (*) , la loi de la double réfraction , découverte {^ar Huyghens et confirmée par Malua; mais ce n'est point ici le lieu d'exposer cette théorie : nous noua bornerons à considérer le cas où tous les rayona se meuvent avec k même vitesse, quelles que soient leurs directions. Dans le. calcul suivant , les vitesses n et n' seront donc regardées comme des quantités données pour chaque milieu en particulier, ei indépendantes de la direction des rayons lumijieùic.

i63. Soient maintenant A et B (fig. 40) les deux

^) Mémoire de la première classe de tlnstilui , pour Tanliée 1809.

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 3o3

points extrêmes de la trajectoire. Supposons <[fle la surface de séparation des deux milieux soit plane ^ et menons pair Ces deux points, un phm qui laîîoùpe suivant la droite CD. Soit encore AEB une ligne bri-t «ée au point E, qui représente la projection de la trajectoire sur ce plan. Menons par les point<; A ^ B^ E, les perpendiculaires AP, BG, HËK^ à la droite CD. Puisque la position des points A et B est donnée, les trois droites AF, BG, PG, sont connues; maid la position du point E, et les angles AEH et BëK sont inconnus, et doivent être déterminés par la condition (lu mtntmiim. Nou5 supposerons jfjonc

AF=a, BG=;*, FG = c, AEH==a7, BEK = ^';

les tnàngléd rMIatigte^ AFE et BGjE doanelPôilt

1^ ;= a t^pg^x, EG=: ^ tangue';

piar conséquent, ôrt aura '

Le rayon liiminei&x traverse la surÊtce de séparation des deux milieux en un point dont E est la projéctioii isur le plan de la figiire. Si nOus appelons z la distance de ce point inconnu au point E,^ sera Vhypoténuse d'un triangle rectangle dont z et AE seront les deux petits côtés, et y l'hypoténuse d'un autre triangle qui aura z et B£ pour ses deux petits côtés; mais en considérant les triangles AEF et fi£G, on a

AE t- ^^, BE =

3o4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

on aura donc

= \/*'+sîb» y=v/^4-

cos»l^

Si Ton substitue ces valeurs dans la quantité n/'+ fff/y il en résultera une fonction de z, x, a:\ qui devra être un minimum par rapport a ces trois Tariables, dont les deux dernières sont liées entre elles par Fé* quation (a). 11 faudra donc d'abord que la dîflanentielle de cette fonction , prise par rapport k z, soit égale k zéro; d'où Ton conclut

dz * dz jr y

Or, on ne peut satisfaire à cette condition qn^en prenant 2 s= o; ce qui nous apprend que le raj<w lumineux traverse au point E la surface de sépantian des deux milieux, et, par conséqueùt, qu'il ne sort pas du plan perpendiculaire à cette surface, mené par les points A et B.

En faisant donc is^:=30, on aura simplement

«r + «y = rrri +

COSX ' C08 X '

et en égalant à zéro la différentielle c<miplète de cette quantité, il vient

na siu xdx , nh sin x'dx'

cos*x C08* af '

mais en différentiant aussi Téquation (a), on a,.eiB même temps,

adx , hdx'

+ -rxT? = o;