C08* X COS

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 3o5

dx

et sî Ton élimine -^ entre ces deux équations , on

trouve

nh\n X = 1Ï sin x'. (ft)

Celle-ci et l'équation (a) détermineront les valeurs de X et x' qui répondent au minimum de /y^ -J- »y . Après avoir calculé la valeur àe x, on construira le point E y en prenant EF = a tango*; ensuite on tirera les droites ÂE et BE ^ et la ligne brisée ÂEB sera la route que suit le rayon lumineux pour aller du point A au point B.

L'angle AEH compris entre la normale EH à la surface de séparation des deux milieux , et le rayon incident AE, est ce qu'on appelle ï angle d incidence; l'angle BEK, compris entre le prolongement EK de cette normale et le rajqn réfracté BE, se nomme Xangle de réfraction* Ces deux angles ont été désignés par a: et a:^ Ainsi l'équation {b) fera connaître l'angle de réfraction quand l'angle d'incidence sera donné; et l'on voit, d'après cette équation , que le sinus de l'angle de réfraction est au sinus de l'angle d'incidence dans un rapport constant.

Cest, en effet, la loi connue de la réfraction ordinaire, dont la découverte est due à Descartes. Le rapport des deux sinus dépend de celui des vitesses n et n' relatives aux milieux que l'on considère, et^ pour cette raison , il varie avec les différentes sortes de milieux transparens.

164* Si le rayon lumineux, au lieu de pénétrer dans le second milieu, est réfléchi à la surface de se-»

3o6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

paration y sa vitesse sera constante dans toute retendue de la trajectoire, qui est alors comprise en entier dans un même milieu. L'intégrale fs^ds sera donc égale à la longueur totale de la trajectoire^ multipliée par cette vitesse constante ; par conséquent, cette longueur devra être un minimum, en vertu du principe de la moindre action.

Supposons donc , comme dans le numéro précédent , que la surface de séparation soit plane. Soient A et B (fig. 40 ^^^ deux points extrêmes de la trajectoire; menons par ces points un plan perpendiculaire à cette surface y qui la coupe suivant CD : chaque particule de lumière ira du point A au point B, en suivant une ligne brisée AEB, la plus courte de toutes celles qui se réfléchissent sur la surface de séparation. Or, il est d'abord évident que cette ligne sera comprise dans le plan perpendiculaire à cette surface ; car toute autre trajectoire serait plus longue que sa pro-^ jection sur ce plan. De plus, il est aisé de prouver, sans aucun calcul, que la plus courte ligne brisée est celle qui fait deux angles égaux avec la droite CD , c'est-à-dire que si l'on a

AEC = BED ,

la ligne AEB sera plus courte que toute autre ligne brisée AE1B, dont le point E' appartient, ainsi que E, à la droite CD.

En effet , abaissons de A la perpendiculaire AF sur cette droite ; prolongeons-la d'une quantité AT égale à AF, et tirons ensuite les droites A'E et A'E'. Les deux angles AEC et A'EC seront égaux; donc les

deux angles ATC et BED le seront aussi , à cause de l'équation précédente; par conséquent, la ligne A'EB sera droite : on aura donc