AE + BE < AE' + BF

ce qu'il s agissait de prouver.

Si Ton élève au point E la perpendiculaire EH sur la droite CD, AEH et BEH seront les angles d'incidence et de réflexion du rayon lumineux qui va du point A au point B. Ces angles seront égaux , puisqu'ils sont complémens des angles égaux AEC et BED; d'où il résulte la loi connue de la réflexion de la lumière, qui consiste en ce que l'angle de réflexion est toujoui^ égal à Tangle d'incidence.

i65. Lorsque Ton admet la théorie de l'émission de la lumière , les lois de la réflexion et de la réfraction se déduisent de l'expression du carré de la vitesse d'un point soumis à des forces d'attraction (n* i58), d'une manière, plus directe qu'en faisant usage du principe de la moindre action. Cette ques* tion nous offrant un exemple du mouvement d'un point matériel, intéressant par la nature des forces que l'on y considère, et par son application à la Physique , nous allons en exposer la solution dans le cas ordinaire, où les deux milieux que traverse la lumière ne sont pas cristallisés.

Dans cette théorie, on suppose chaque particule

3o8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

lumineuse soumise à Tattraction de tous les points matériels du milieu qu'elle traverse , et l'on regarde cette force comme une fonction inconnue de la distance , dont on sait seulement qu'elle de'ôroît avec une extrême rapidité quand la distance augmente , de sorte qu'elle devient tout-à-fait insensible dès que la distance a une grandeur sensible. Ainsi , par exemple , désignons par r la distance du point attiré au point attirant^ par et une ligne . de grandeur finie ^ mais insensible^ et par e la base des logarithmes népériens. Une force de cette nature

pourra être représentée par Ae * ; A étant son intensité relative à une distance r infiniment petite. Dès que cette distance aura une grandeur sensible» et sera^ couséquemment , un très grand multiple de 4, cette fonction n'aura plus aucune valeur sensible.

Tant qu'un rayon lumineux se meut dans un milieu homogène et d'une densité constante^ les attractions qu'il éprouve se détruisent^ et son mouvement est rectiligne et uniforme. Mais supposons qu'il soit parvenu en un point M (fig. 4^) situé à une distance insensible de la surface CD^ qui sépare deux milieux difFérens^ et que nous suppose* rons horizontale pour fixer les idées; de ce point M^ abaissons sur CD une perpendiculaire MP^ et menons ensuite , dans le milieu supérieur^ dçux plans CD' et CD" parallèles à CD, dont la distance mutuelle soit égale à MP^ et dont le premier passe par le point M; il es^ évident que les attractions

DYNAMIQUis, PREMIÈRE PARTIE. Sog

exercées sur le rayon lumineux au point M, j>ar les deux couches du milieu supérieur, cpai sont comprises, l'une entre CD et C'D', Tautre entre CD' et CD", seront égales et contraires; elles se détruiront donc, et le mobile ne sera sollicité que par l'attraction dé la partie du milieu qu'il traverse, supérieure à Cl)'', et par l'attraction totale du milieu inférieur. Ces deux forces seront perpendiculaires à CD ; elles varieront avec la distance MP suivant des lois inconnues, mais telles que chacune de ces forces sera insensible quand MP ne le sera pas, et qu'elles atteindront leurs maxima lorsque cette distance sera nulle , ou que le mobile sera parvenu à la surface de séparation des deux milieux.

An bout du temps t, je représente par z la distance MP I et par Z et V des fonctions inconnues de z, qui expriment les forces accélératrices provenant des attractions du milieti inférieur et de la partie de l'autre milieu, supérieure à CD'. La force accélératrice totale, tendanle à diminuer z, sera la différence Z — Z'; par conséquent, on aura, dans le milieu supérieur,

pour réquatîon du mouvement vertical d'une particule lumineuse.

Lorsque ce mobile aura traversé la surface CD en un point E, et qu'il aura pénétré dans le milieu inférieur jusqu'en un point M', tel que ïa perpendicu-

3io TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

laire MT' à CD soit aussi représentée par z, il est aise de voir que la force accélératrice qui tendra à diminuer cette variable sera alors la différence Z' — Z; en sorte que l'on aura

pour l'équation du mouvement vertical dans le milieu inférieur.

Quant au mouvement horizontal ou parallèle à GD^ il sera uniforme^ et la vitesse .horizontale ne changera pas en passant d'un milieu dans l'autre ; car les forces attractives de chaque milieu se détruisent parallèlement à CD, et, dans ce sens, un rayon lumineux n'est soumis à aucune force accélératrice. Ainsi, en appelant k la vitesse de la lumière en un point A du milieu supérieur, situé à une distance sensible de CD, et a l'angle aigu que la direction de cette vitesse fait avec la verticale, on aura, à un instant quelconque, fc sin et pour la vitesse parallèle à CD. Si le rayon lumineux pénètre, d'une quantité sensible, dans le milieu inférieur, et qu'on représente par k' et af ce que deviennent A: et « en un point A' de ce milieu, situé à une distance sensible de CD, on pourra également représenter la vitesse horizontale du mobile par k' sin a'j en sorte que Ton devra avoir

A: sin oc =s k' sin a'. (5)

On voit aussi, à priori ^ que la trajectoire du mo« bile sera une courbe plane et verticale ; il ne restera donc plus qu'à déterminer sa vitesse perpendiculaire à CD, soit dans le milieu supérieur, soit dans le mi-«

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 3ii

lieu inférieur, à une distance quelconque z de cette surface CD.

i66. Je désigne cette vitesse par u, de sorte qu'on

ait ^ = tt* pour les deux milieux. En multipliant

l'équation (i^ par ndz^ intégrant et désignant par c la constante arbitraire, on aura, dans le milieu supérieur,

tt* = c + a/Z'£3fe — a/Zûîz.

Je supposerai que ces deux intégrales s'évanouissent avec z, et je représenterai par h et K leurs valeurs à une distance sensible de CD. Il sera permis d'étendre ces intégrales h et K depuis zéro jusqu'à l'infini; car, au-delà d'une valeur sensible, les fonctions 2 et Z', et par conséquent les parties correspondantes de fldz et fHdz'f sont nulles ou insensibles par hypothèse. On pourra donc écrire, si l'on veut,

h == /f Zrfz, h! =f^Z'dz.

D'ailleurs , pour une valeur sensible de z, m» a u^ = k^ cos* a ; on aura donc alors

A:'cos*a = c + 2^' r" ^A;

et en éliminant c de la valeur générale de u*, il en résultera

tt»=5 *• cos* ût + ^h^2K+!ifVdz^:ifZdz,

en un point quelconque M.

Je représente par k^ la vitesse du mobile au point £ de la surface CD, et par a. l'angle que fait sa

3ia TRATTÉ tE MÉCANIQUE,

direction avec la verticale. On aura en ce point tt* = A:*cosa, j et comme il répond à i=Oy les deox derniers termes de la formule précédente s'évanouiront , et elle se réduira à

k] cos* a, = /f cos* a^2h—^ ah\ (4)

Pour que le rayon lumineux atteigne la surface de séparation des deux milieux ^ il faudra donc que le second membre de cette équation soit une quantité positive, ou qu'on ait

. h' < h + ik^cos^a.

Si cette condition n'est pas remplie ^ ce qui exigera que l'attraction du milieu supérieur surpasse celle du milieu inférieur, la vitesse verticale du mobile s'épuisera avant qu'il ait atteint le plan CD. Il y aura donc un point de la trajectoire où la tangente sera horizontale. Parvenu en ce point, le mobile rétrogradera ; les deux branches de cette courbe, aboutissantes en ce même point, seront semblables, puisquelles seront décrites en vertu de forces égales pour la même valeur de z; et, pour une grandeur sensible dé cette distance z , ces deux branches se changeront en des lignes droites qui feront des angles égaux avec la verticale, ou, autrement dit, les angles de réflexion et d'incidence seront égaux.

Si, au contraire, l'altraclion du milieu inférieur surpasse celle du milieu supérieur , et que la condition précédente soit remplie, le rayon lumineux pénétrera dans le second milieu avec une vitesse perpendiculaire à CD, qui sera déterminée par l'équation (/j). Dans cette hypothèse, on aura, d'après

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 3i3

l'éqaatiôn (a) relative à ce milîeti ^

en supposant toujours les intégrales nulles quand z = o. A une distance .sensible de CD, on a w' = A:'' cos' a' j on aura donc

k'^ cos* a' = A:* dos» <x. + 2^ — aA';

et en éliminant A:* cos* a, au moyen de l'équation (4), il en résultera

k* cos» a' « A* cos* a + 4* -w 4A'. (5)

Pour que le rayon lumineux., après avoir traversé la surface CD , pénètre jusqu'à une profondeur sensible dans le milieu inférieur, il sera donc nécessaire et il suffira qu'on ait

h' < h -^ iA*cos'a.

Lors donc que h', quoique moindre que ^+f^cos*rt, surpassera néanmoins A + J A:' cos' et , le mobile ne 'pénétrera dans le milieu inférieur que jusqu'à une distance insensible au*delà de CD; il rentrera ensuite dans le milieu supérieur; et les deux branches de sa frajectoire seront semblables de part et d autre du point où il commencera à rétrograder. Par conséquent, la lumière sera réfléchie, comme dans le cas précédent, en faisant l'angle de réflexion égal à l'angle d'incidence ; en sorte qu'il y a deux cas distincts de réflexion dans la théorie que nous considérons. 167. Supposons maintenant que ni l'un ni l'autre de ces deux cas n'ait lien , de sorte que le rayon

3i4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

lumineux soit réfracté. Dapfès Téquation (5), ott

aura

k^ sia' a'* = k* sîa* cl ;

et en ajoutant membre à membre Féquation (5) et celle-ci, il en résultera *

ce qui montre que l'augmentation du carré de lavitesse du mobile , en allant du point A du milieu supérieur au point A' du milieu inférieur, sera indépendante, comme cela devait être (n^* 167), du chemin qu'il aura suivi.

On tire aussi des équations (3) et (6)

sïncL ^/yt» 4. 4 (A — A') ' ^'^

formule qui renferme la loi du rapport constant du sinus de réfraction au sinus d'incidence, et qui donne la valeur de ce rapport en fonction de la vitesse k de la lumièrQ. dans l'un des deux milieux, et de la différence h — h! de leurs pouwirs réjringens h et k'. Si le milieu inférieur est terminé par deux plans parallèles, et qu'il y ait au-dessous le même milieu qu'au-dessus, l'expérience prouve que la lumière, après avoir subi deux réfractions et traversé les deux faces du milieu intermédiaire , reprend une direction parallèle à celle qu'elle avait dans le milieu supérieur. C'est aussi ce qui résulte de l'équation (7) ; car si l'on désigne par al' l'angle que le rayon lumineux fait avec la verticale , après être sorti du

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 3i5

milieu intermédiaire, il fandra^ pour déterminer sin ai\ échanger entre elles ^ dans cette équation^ les quantités A et A', et y mettre A/, a', a'', au lieu de A: y cl y a!. On aura donc

sin *' y/k'^ + /^(k'^h)'

ou bien , en vertu des équations (6) et (7) ^

sin a' l/^*4>4(A— y) sin ce ^

sin «t' """ k *"" sin «t"

ce qui donne ^ effectivement,

Le phénomène de la dispersion, qui provient d'une valeur différente de l'angle de réfraction a', pour les rayons diversement colorés dont se compose un même rayon de lumière incidente, peut être attribué, d'après la formule (7) , soit à une inégalité de leur vitesse k , soit à une action différente de chaque milieu sur ces différens rayons, d'où il résulterait des valeurs inégales de k — hf.

i68. Toutes choses d'ailleurs égales, cette équation (7) montre que le rapport du sinus de réfraction au sinus d'incidence doit changer avec la vitesse de la lumière. Or, si l'on considère une étoile située dans le plan de l'écliptique , il y a une époque dans l'année où la vitesse de la terre s'ajoute à celle de la lumière , et une autre époque où la première vitesse se retranche de la seconde; ce qui rend la vitesse de la lumière, relativement à un milieu qui se meut

3i6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

arec la tetre, sensiblement plus grande dans le premier cas que dans le second. Le rapport dont il s'agit devrait donc aussi être différent à ces deux époques; mais des expériences très précises de M. Ârago ont prouvé qu'au contraire ce rapport ne varie pas d'une manière sensible pendant toute l'année, et, de plus, que sa grandeur est la même pour le soleil et pour les diverses étoiles d'où la ïumièref est partie.

Quelle que soit la théorie de la lumière que l'on adopte, c^est toujours un iait très remarquable, que la composition de la vitesse propre de la lumière avec celle de la terre , qui se manifesté dans le mouvement apparent des étoiles, connu sous le nom àHaberration^ n'ait cependant aucune influence appréciable su^ la téftacûim de la lumière qu'elles nous efivo^nt a différons jours de l'année.

Dans le vide> le mouvement de la lumière directe ou réfléchie est uniforme, et sa vitesse indépendante de la source dont elle émane. La grandeur de cette vitesse est telle, que la lumière parcourt en 4ô5,54 secondes la distance moyenne du soleil à la terre ; ce qui donne 5og5o myriamètres par seconde.

Un rayon lumineux, lancé dii soleil ou d'une étoile, doit éprouver dans sa vitesse, comme tout autre projectile, une diminution due à sa pesanteur vers cet astre , c'est-à-dire, à l'attraction en raison inverse du carré des distances à son centre , que la masse du corps exerce sur chaque particule matérielle de la lumière ; mais cette diminution est une fraction très petite de la vitesse finale de la lumière. Ainsi, par exemple, l'intensité de la pesanteur à la

surface du soleil étant vingt-sept fois et demi Fintensité de la pesanteur terrestre, comme on le verra par la suite, et le rayon du soleil étant égal à 1 10 rayons de la terre, on conclut de ce qu'on a vu dans le n** i45, que la vitesse de la lumière , pour être de 50960 myriamètres par seconde à une grande distance du soleil , a dû être plus grande d'un peu moins de dçux millionièmes seulement, en partant de sa surface.

3i8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.