DE LA FORGE CENTRIFUGE

i6g. La pression qu'un point matériel exerce sur une courbe qu'il est forcé de décrire , n'est pas la même que quand il est en équilibre sur cette courbe. L'état de mouvement donne naissance à une pression particulière qu'on appelle force centrifuge^ parce qu'on Ta d'abord considérée dans le cercle où elle est dirigée suivant le prolongement du rayon, et tend continuellement à éloigner du centre le mobile sur lequel elle agit. C'est cette force que nous allons considérer dans une courbe quelconque.

Soient M,M et MM' (fig. 4?) deux élément consécutifs et égaux de la courbe donnée , H et H' leurs milieux , MT et M'T' leurs prolongemens. Leur plan et Tangle TMT' seront le plan osculateur et l'angle de contingence de la courbe au point M ; et si l'on mène dans ce plan la droite MO , qui divise Tangle M^MM' en deux parties égales > elle représentera la direction du rayon de courbure en ce même point M; en sorte que le centre de courbure sera le point 0 de cette droite. Appelons ds. l'élément M^M de la courbe, lequel sera aussi égal à HMH'; soient, en outre, cT l'angle inflniment petit TMT', et p le rayon de courbure MO, nous aurons (n* 18)

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DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. Sig

Cela posé» faisons d'abord abstraction des forces données qui peuvent agir sur le mobile, et supposons qu'au bout du temps t, il arrive au point M avec une vitesse (^. S'il était entièrement libre» il continuerait à se mouvoir sur MT avec la même vitesse ; mais» par hypothèse» il est forcé de décrire une courbe donnée ; ce qui change la direction de son mouvement » qui devient M'F. Or» si l'on élève sur MT' la perpendiculaire MK» comprise dans le plan osculateur et en dehors de la concavité de la courbe» on pourra substituer à la vitesse (^» dirigée suivant MT» deux autres vitesses» Tune égale à i^cos eT et dirigée suivant MT'» l'autre égale à (^ sin cT et dirigée suivant MK; et alors l'effet de la courbe sera de détruire la dernière de ces deux vitesses» pour ne laisser subsister que la première, ou» autrement dit » cet effet se réduira à imprimer au mobile une vitesse égale et contraire à (; sin cT. La courbe donnée étant donc remplacée par un polygone infinitésimal » sa résistance consiste à imprimer au mobile» à chaque sommet M de ce polygone» une vitesse infiniment petite (^sin J^» dirigée en sens contraire de MK.

Pour assimiler complètement cette résistance à une force motrice y* qui agit incessamment sur le mobile» nous pouvons supposer que la vitesse ç siucT est produite pendant que ce point matériel va de H en H', et prendre dû pour la durée de cette action. Nous pouvons aussi négliger» dans cet intervalle de temps» le changement de direction de cette force , et la supposer , par exemple » parallèle à la droite MO. Alors la force accélératrice correspon-

daiite aura pour mesure , comme chacune des forces U, U', U", etc., du n** 147, la vitesse i^sin J^ qu'elle produit pendant l'instant dt^ divisée par dt; et en appelant m la masse du mobile, il en résultera /. ^__^ mv sin i"

pour ]a vajeur de f. Donc , en remplaçant sin J^ par <r, mettant pour cTsa valeur précédente , et observant que ds = s^dt , on aura

La pression que la courbe éprouve > et qui est uniquement due à l'état de mo.uvement du point matériel qui la décrit, ou la force centrifuge qui agit sur ce mobile, est égale et contraire' à cette force yi U s'ensuit donc qu'au point quelconque M, de la courbe donnée , la force centrifuge est comprise dans le plan osculateur, et dirigée en dehors de ]a concavité de cette courbe , suivant le prolongement MN de son rayon de courbure , et que son intensité est en raison inverse de ce rayon, et en raison directe de la masse du mobile et du carré de sa vitesse.

170. Cette vitesse étant (^ sur le côté M^M, et devenant V cos cT sur le côté suivant MM', il s'ensuit que sa grandeur n'est point altérée par la courbe ; car on peut négliger la quantité p(i — coscT), infiniment petite du second ordre , de laquelle il ne pourrait résulter qu'une diminution infiniment petite de vitesse , sur nue partie de ]a courbe de grandeur finie. Le mouvement sur une courbe quelconque est donc uniforme quand le mobile n'est sollicité par aucune

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. Bai

force donnée. C'est ce qu'on a déjà vu dans le n? iSn; mais nous voyons de plus que ce résultat tient a ce que l'angle de contingence est infiniment petite et qu'en un point où deux courbes différentes se couperaient sous un angle fini, le mobile éprouverait une perte finie de vitesse, en passant d'une courbe k lautre ; laquelle perte serait égale à sa vitesse primitive , multipliée par le sinus verse de cet angle.

Lorsque le mobile est sollicité par une ou plusieurè forces données , sa vitesse varie k raison des composantes de ces forces tangentes à la trajectoire , et leurs composantes normales exercent, comme dans l'état de repos, une pression sur cette courbe qu'il faut joindre à la force centrifuge.

Soit, en général, mR la résultante des forces données qui agissent sur le mobile, quand il eist parvenu au point M. Décomposons cette force motrice en deux autres, l'une tangente et l'autre normale à la trajectoire, que nous représenterons par mT et mQ; la première sera la force qui fera varier la vitesse, et la seconde produira la partie de la pression indépendante de l'état de mouvement du mobile. En prenant , par la règle du parallélogramme des forces , la résultante de mQ et de la force centrifogeyou— , on

aura, en grandeur et en direction, la pression totale qui aura lieu au point M de la courbe donnée. Cette force , divisée par la masse du mobile, ou la résultante des forces accélératrices Q et — , devra comci-

der avec la force P du n* i52. C'est en effet ce que nous allons vérifier.