I. ai

iji. Je remplace les équations (5) de ce numaro par celles-ci, qui s'en déduisent immédiatement.

dsdt* ds ds \ds d$ /

* Quelle que soit la variable indépendante , on a

dxd}j — dyé^x ^^ rfx* * dx ,

— 3? 'dF ~dr ^'

on a , en même temps ,

d^^d^ds^ dx dlr ^ ^

Jf * ds^ de* dt ^j di '

à cause de «^ = j^, il en résultera

dxdy—^rd^x , </x' ' ^ i^* {dxdy — djd^x)

et l'on trouvera de même ,

d!grf^jc — dxd'z j/* ( dz4fx *-* <fa:<fjg )

i&^<» ~ ds^ '

dyd^z ~ dzd^jr s^jdjrd^z — dzdy) dsdi^ ^™ rf*5 •

En désignant par q, q\ ((\ les angles que la force Q fait avec des parallèles aux axes des x ^ jr^ z, et observant que X, Y, Z, sont les composantes suivant ces parallèles de Q et de la force tangentielle T , on

9iira aussi

^='^P,+^^osq, Y=T^+Qco8y', Z=T J+Qcosy%

et an moyen de ces valeurs et des précédentes , les équations (i) deviendront

V* (dz4^x — dxd'z)^^ fàz dx A ^dz dx AU.

i^idjrd'z^dxéfj) ^/djr „ dz \ ^djr „ dz ,\\

Or, si l'on appelle y, y', y', les angles que la direction de la force centrifuge , c est-à-dire le prolongement MN du rayon de courbure M0> fait avec des parallè^ aux axes des a:, y y Zy menées par le point M, et 3cf y j'y z'y les coordonnées du centre de courbure 0, on aura

a: — ^x'=pcos>, j^— y'=pcos5r', z — ^2'=pcosy,

et en combinant les équations {ta) avec les formules du n* 20 , on en déduira sans difficulté y

♦** r^ràr/dx , dr \ dzfdz dx A"!

tco. y'=Q[^(|lcoS9-- g COBJ') -^^cOSy'|:c08 q )]

V' , .rdx/dz dx .\ djr/{fy , dx ,\-|

-co,y-=Q|^(^^cosy-^co85r')-g^cosç__co,î)J

ai..

3a4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Mais à cause que les forces P et Q sont perpendi^ culaîres à la tangente de la trajectoire^ on a

àx u dr , dz „

dx , dr t . dz -

coscir+^cos^ + ^cos-sr'=

ce qui réduit les coefficiens de Q, dans les trois équa* tions précédentes , a — cos 7, — cos q', — cos q", et ceux de — P à —cos ^, — cos <zsr', — cos^; on aura donc enfin

— cos 3/ + Q cos 7 = P cos w,

— cos > 4- Q cos 5' = P cos nsr',

— cos y"+ Q cos jf" == !P cos ns^'^

où Ton voit, comme il s'agissait de le vérifier, que la force P est, en grandeur et en direction, la résul-

tante des deux forces — et 0.

172. Quand le mobile sera seulement assujetti à se mouvoir sur une surface donnée, il faudra que la résultante des forces motrices mQ et ^ , qui est

déjà perpendiculaire à sa trajectoire, soit, de plus , normale à cette surface. En appelant donc niN cette résultante, et désignant par a» et 4 les angles, aigus ou obtus , que font ses deux composantes avec une partie déterminée de la normale à la surface , au point où se trouve le mobile , on aura

N = =*= (q cos « + — cos 4 )•

La force N agira suivant cette partie de la normale on suivant son. prolongement ^ selon que la quantité comprise entre les parenthèses sera positive ou négative; et pour que N soit toujours une quantité po^ sitive , on prendra le signe supérieur dans le premier cas y et le signe inférieur dans le second. Cette force accélératrice N devra être égale et contraire à celle qui entre dans les équations (5) du n* i5i ; et^ en effet , celles-ci ne différant des équations (5) du n* 1 52 qu'en ce qu'elles contiennent N, À, u^ v, au lieu de — P, ^, ^', w", on en déduira^ par l'analyse précé-» dente , des composantes de la force N , qui seront ' égales et contraires à celles, que l'on a trouvées pour la force P.

Dans ce même cas d'une surfaoe donnée , si Ton dé^ signe par co' et %}/' les angles que les forces mQ et

— font avec un axe mené par le. point où se trouve

le mobile, tangent à cette surface et perpendiculaire à kl trajectoire , de sorte qu'on ait

cos' ûl + cos* O)' = T , cos'4 + cos'4' == ï >

il faudra que la somme des composantes de ces deux forces suivant cet axe tangent, soit égale à zéro, puisque leur résultante e|st normale au même point de la surface; on aura donc

Q cos û>' + — cos •^' =z= o ;

équation qui pourra servir à déterminer l'inclinaison 4' du plan osculateur de la trajectoire sur le plan tangent à la surface donnée.

Lorsque le mobile ne sera soumis à aucune force doonée, ou, plus généralement , lorsqu'il né sera soumis qu'à une force tangente à sa trajectoire, on aura Q = o ; il en résultera donc cos %[/'= o et >|;':±=90*; en sorte que le plan osculateur de cette courbe sera constamment perpendiculaire à la sur&ce donnée- Cette propriété étant, en général, celle de la ligne la plus courte entre deux points donnés sur cette surface, c'est cette ligne que le mobile décrira, ainsi qu'on l'a dit précédemment (n'' i6i); mais maintenant nous voyons, en outre, qu'une force tangente k la trajectoire, telle qu'un frottement contre la surface donnée, ou la résistance d'un milieu, ne fera pas dévier le mobile, de la ligne la plus courte entre son point de départ et son point d'arrivée.

1^5. Enfin, si le mobile est entièrement libre, il faudra que la composante normale à la trajectoire , de la force motrice mK qui le sollicite, fasse équilibre à sa force centrifuge — , puisque dans ce cas il

n'y a pas de courbe ou de surface donnée qui puisse détruire la résultante normale de ces deux forces. Il faudra donc, en premier lieu, que le plan osculateur de la trajectoire soit celui qui passe par la tangente et par la direction donnée de la force mR; en appe-lant 6 l'angle que cette direction , en un point quelconque , fait avec le rayon de courbure MO , il faudra, en outre, que cet angle soit aigu pour que la composante normale de la force mR agisse en sens <y>ntraire de la force centrifuge qui est dirigée suivant MN ; et cela étant , on devra avoir

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. Sa^

R cos S =s — . (a)

Quand la fotpe accélératrice R^ à laquelle le mobile est soumis, sera une force centrale dirigée vers un point connu, et que l'observation aura fait connaître la courbe qu'il décrit autour de ce centre fixe, on pourra déduire de l'équation de cette courbe, le rayon de courbure / et l'angle 0 qull fait avec la direction de la force R; on déduira aussi , de cette équation et de la proportionnalité des aires aux temps ( n"" i55 ), l'expression de la vitesse ^ en un point quelconque de la trajectoire ; par conséquent, l'équation (a) déterminera la valeur de R, ou la loi de la force centrale qui fait décrire au mobile la courbe donnée. C'est de cette manière que Newton a découvert la loi de la force dirigée vers le centre du soleil , qui fait décrire à chaque planète une ellipse dont ce point occupe un des foyers; mais on verra, dans la suite, qu'en parlant des mêmes données, cette détermination peut s'effectuer par un calcul plus siipple.

174* Huygbens, à qui l'on doit la mesure de la force centrifuge. Ta déduite de la considération du mouvement circulaire; et quoique cette méthode soit moins directe que la précédente , je crois cependant utile de l'exposer ici en peu de mots.

Soit M ( fig. 44 ) ^^ point matériel attaché à un point fixe C par un fil inextensible CM ; supposons qu'une percussion lui imprime une vitesse a, dans une direction perpendiculaire à la longueur du fil; et, pour simplifier la question, supposons aussi qu'aucune

force motrice donnée n'agisse sur le mobile. Ce point matériel va décrire un cercle AMB , dont le centre et le rayon seront le point fixe et la longueur du fil. Pendant ce mouvement, le fil qui retient le mobile éprouvera , dans le sens de sa longueur , une certaine tension qui n est autre chose que la force centrifuge» En appliquant au mobile une force égale à cette tension et constamment dirigée vers le centre fixe, on pourra faire abstraction du fil , et considérer le mobile comme entièrement libre. C'est donc en vertu de cette force centrale, dont la grandeur est inconnue, combinée avec la vitesse a, que le cercle sera décrit.

Il s'ensuit d'abord que les secteurs circulaires décrits par le rayon du mobile, seront proportionnels au temps (n** i55); ce qui exige que les arcs de cercle parcourus le soient aussi. Le mouvement circulaire sera donc uniforme ; et si Ton désigne par s l'arc décrit dans le temps ^, on aura s = at.

Soient m la masse du mobile , ma la force centrale, et, conséquemment, cl la force ' accélératrice qu'il s'agira de déterminer. Quelle que soit cette force, on peut la regarder comme constante en grandeur et en direction pendant un intervalle de temps. infiniment petit ; ainsi , pendant que le mobile décrit Tare de cercle infiniment petit MM', la force a sera supposée constante , et parallèle au rayon CM qui aboutit à l'origine de cet arc ; d'où nous concluons que si le mobile n'était pas animé de la vitesse a, la force centrale lui ferait parcourir , dans un temps infiniment petit, le sinus verse MN, ou la projection sur CM de l'arc MM', qu'il décrit réellement. Or,

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. Sag

toute force accélératrice a pour mesure le double de Vespace infiniment petit qu'eUe est capable de faire parcourir à un mobile dans un temps infiniment petit, divisé par le carré de ce temps (n<* ii8); si donc on appelle € le sinus verse MN ^ et r le temps employé à décrire 1 W MM', on aura

mais en désignant cet arc par or, et le rayon CM par r, on a

en prenant Tare au lieu de la corde ; donc à cause de o* = aXf on aura

Cette valeur de a est donc celle de la force centrifuge rapportée à l'unité de nrasse, dans un.cercle décrit d'un mouvement uniforme. On en conclut immédiatement que cette force , dans une courbe quelconque, aura pour mesure le carré de la vitesse divisé par le rayon de courbure; caria trajectoire ayant deuxélémens consécutifs communs avec son cercle osculateur, on peut supposer que, pendant un temps infiniment petit, le mobile se meut circulairement autour du centre de courbure, et qu'il a conséquemment la force centrifoge qui convient à ce mouvement. En multipliant par m cette force accélératrice , on aura la même valeur que pour la force désignée par f dans le n* 169.

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33o TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

175* Pour comparer la force eentrifoge dans le cercle à la pesanteur , supposons que la vitesse a soit celle qui serait due à une hauteur h y de sorte qu'on ait fl* =s ngh (n* i5o) , en désignant par g la gravité ; il en réstiltera

ce qui montre que la force centrifuge est à la pesanteur 9 comme le double de la hauteur due à la vitesse du mobile est au rayon.

Si le mobile est un corps dont les dimensions soient très petites par rapport à sa distance au point C^ on pourra considérer^ dans toute son étendue y la valeur de CL comme à très peu près constante y et pren^

dre le rapport- pour celui de la. force centrifuge

provenant du mouvement circulaire^ au poids du corps sur lequel elle agit.

Quand le mouvement n'aura pas lieu dans un plan horizontal^ la vitesse du mobile^ la force centrifuge et la tension du fil attaché au point* C, seront variables. Supposons que le mobile se meuve dans un plan vertical 3 désignons par 2gÀ le carré de sa vitesse, quand il se trouve dans le plan horizontal passant par le point C ; et , à un instant quelconque y appelons z sa distance à ce plan y regardée comme positive lorsque le mobile sera situé au-dessous, et comme négative quand il aura passé au-dessus; nous auron^ à cet instant 2g:( A + 2) pour le carré de sa vitesse

(n° iSg), et ^^^^ — 21-fi pour la force centrifuge*

Pour avoir la tension totale du fil, il faudra ajou-

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 33i

ter à cette force la composante du poîds du mobile dirige suivant le prolongement de son rayon , laquelle composante est égale à — ^^ comm^ il est aisé

de le voir. Donc^ en appelant 6 la tension totale du fil à un instant quelconque , nous aurons

Cette force exprimera aussi la pression que le point C éprouTera à chaque instant, suivant la direçtîoa du rayon qui aboutit au mobile. Elle atteindra son maximum f lorsque le mobile sera au point le plus bas du cercle, où Ton a z==:r, et son minimum^ lorsqu'il sera au point le plus élevé, où Ton a z=— -r.

Si h est moindre que —,1a tension deviendra négative

et se changera en une contraction pendant une partie du mouvement : il faudra alors que le fil soit inflexible pour que le mouvement circulaire ait lieu» On néglige , dans ce calcul , le poids et la force centrifuge du iil; ce qui suppose sa masse très petite par rapport à celle du mobile. On verra , par la suite , comment on y devrait avoir égard si cela était nécessaire.

1 76. Revenons au mouvement circulaire et uniforme, et désignons par.T le temps que le mobile emploie à parcourir la circonférence entière. On aura

2wr et, par conséquent,

ce qui montre que la force centrifuge est en raison directe du rayon du cercle^ et en raison inverse d\h carré du temps d'une révolution entière.

Lorsqu'un corps solide tourne autour d'un axe fixe y tous ses points décrivent , dans le même temps ^ des- cercles dont les plans sont perpendiculaires à Taxe, qui ont leurs centres dans cet axe, et pour rayons les perpendiculaires abaissées de chaque point sur ce même axe ; par conséquent , les forces centri-* fuges de ces difiërens points sont entre elles comme ces perpendiculaires. Ainsi, par exemple, la forée centrifuge des corps placés à la surface de la terre, et qui tournent avec elle autour de l'axe des pôles, est proportionnelle aux rayons des parallèles qu'ils décrivent; et, de plus , cette force est dirigée en chaque lieu de la terre suivant le prolongement du rayon du parallèle qui aboutit en ce point.

177. La force qui précipite les corps vers la terre, et que nous appelons pesanteur , est due principalement à l'attraction du sphéroïde terrestre sur ces corps. Mais quelle qu'en soit la cause, il est toujours certain que la force centrifuge diminue cette tendance des corps pesans ; en sorte qu'excepté au pôle , où la force centrifuge est nulle , la pesanteur est partout moindre que si la terre n'avait pas de mouvement de rotation. A l'équateur, la force centrifuge et la pesanteur sont dirigées en sens contraire l'une de l'autre; la pesanteur y est donc égale à.

DTNAMIQU£ , PREMIÈRE* PARTIE. 33S

Texcès de 1 attraction de la terre sur la force centrifuge; par conséquent, on a

g étant cette pesanteur^ G l'attraction terrestre,, ou la pesanteur qui aurait lieu si la terre était immobile, rie rayon de Téquateur, et T le temps de la rotation de la terre.

Le second terme de cette formule étant très petit par rapport au premier, on a, à très peu près^

Pour convertir en nombre la fraction 4^, on pourra

prendre le rayon du méridien au lieu du rayon r de l'équateur, dont il est peu différent; on aura alors

27tr = 40000000°".

En prenant la seconde! pour unité, et négligeant, dans ce calcul, la petite variation de la pesanteur à la surEsice de la terre , on a aussi ( n^ 1 15 )

On a d'ailleurs ( n^ 1 1 1 )

et de là on conclut, à très peu près,

Ainsi , à réquateur, la pesanteur est diminuée de -^

par le mouvement de rotation de la terre autour de son axe. Si ce mouvement devenait plus rapide-, le temps T diminuerait, et la force centrifuge différerait moins de la gravité. En observant que 389 est le carré de 17, on voit qu'il suffirait que la rotation eût lieu en un dix-septième de jour, pour que la force centrifuge à l'équateur fût égale à la gravité; alors la pesanteur y serait égale à zéro, et les corps abandonnés à eux-mêmes y demeureraient en équilibre.

Dans ce calcul, nous avons seulement eu égard à la force centrifuge provenant du mouvement de rotation des corps pesans autour de l'axe dé la terre j et, en effet, on conçoit que le mouvement de translation autour du soleil, qui est commun à tous ces corps, à la terre et à son axe, ne saurait influer sur leur tendance à «'écarter de cette droite mobile. En imaginant, par exemple^ un fil parallèle à l'équateur, attaché à cet axe et aboutissant à un corps situé à la surface, il est évident que sa tension ne changera aucunement par l'effet d'un mouvement qui emportera, à la fois, l'axe, le fil et le corps, sans changer leurs positions relatives.

178. La force centrifuge diminue la pesanteur en tous les points de la sur(àce de la terre ; m^is d'une quantité moindre qu'à l'équateur , soit parce qu'en allant de l'équateur au p61e la force centrifuge décroît, soit parce que l'angle qu'elle .fait avec la verticale augmente. Ep appelant toujours r le rayon de

DTNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 335

réqui^teur, et désignant par /Et la latitude d'un lieu quelconque de la terre, et par t^le rayon du parallèle correspondant, on aura

u = rcosft;

en négligeant la non-sphéricitë du globe terrestre, l'angle ijl sera celui que le prolongement de u, ou la direction de la force centrifuge, fait avec la verticale; la composante verticale de la force centrifuge s'obtiendra donc en multipliant son intensité ^^ par cos ft; ce qui donne

4irVc08> T* '

pour la diminution de la pesanteur due à la rotation de la terre; et, d'après ce qui précède , cette quantité aura pour valeur

cos* ft

Ce serait là toute la diminution que la pesanteur éprouverait, si la terre était une sphère homogène : elle serait proportionnelle au carré du cosinus de la latitude; et la diminution totale du pôle où l'on a fA = 90°, à l'équateur où l'on a ;t = o , s'élèverait à

-i-. Mais la terre est un sphéroïde aplati à ses pôles ;

l'attraction qu'elle exerce sur les corps placés à sa surface diminue, pour cette raison, en allant du pôle à l'équateur; cette diminution, en chaque point de la surface, est aussi proportionnelle au carré du cosinus de la latitude; elle s'ajoute à celle qui est produite

336 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

par la force centrifage , et par cette addition le

coefficient -g- augmente et devient — à peu près.

C'est donc cette fraction — qui exprimera, comme

nous layons déjà dit (n* ii?)^ l'accroissement total du poids d'un corps transporté de l'équateur au pôle.

A^<« V%AA^^^^%^^»^<VV»^\A/»^^^VVV%%»W^AA<VV»A/V%^'»^^<W»^<»^M/VV»W^<»M^^^VVVf»^<»\%%%»W»A/VVV^