CHAPITRE V

EXEMPLES DU HOUTEHENT WISN POINT MATERIEL SUR UNE COURBE OU 8UR UNE SURFACE DONNEE.

§ !•'. Oscillation du pendule simple.

17g. Un pendule est, en général, un corps solide pesant^ qui oscille autour d'un axe fixe et horizontal. Mais pour comparer plus facilentent. entre elles les durées des osciUations de différens pendules et les intensités correspondantes de la pesanteur, les géomètres ont imaginé un pendule idéal qu^on appelle pendule simple, et qui consiste en un point matériel pesant, suspendu à un point fixe par l'intermédiaire d'un fil inextensible et inflexible, dénué de pesanteur et même de densité, et dont la longueur est celle de ce pendule.

On verra, dans un autre chapitre, qu'il y a toujours UJ3L pendule simple dont les oscillations coïncident, et pour leurs durées et pour leurs amplitudes, avec celles d'un pendule quelconque; et nous montrerons comment la longueur du premier peut se déterminer d'après la forme et les dimensions du second. Nous ferons voir aussi que cet accord ayant lieu entre les mouvemens de deux pendules dans le vide, il subsistera également dans un milieu résistant, I. 22

quelle que soit la fonction de la vitesse qui exprime la résistance. Ainsi ^ il suffira de considérer le mouvement du pendule simple^ soit dans le vide^ soit dans pn milieu résistant ; et c'est ce qu'on va faire dans ce premier paragraphe.

i8o. Soient G (fig. 4^) le point de suspension, CB la verticale passant par ce point fixe, et CA la position initiale du pendule. Supposons que le point matériel qui le termine parte du point A avec une vitesse k perpendiculaire à CA, et dirigée dans le plan des droites CA et CB; il est évident qu'il ne sortira pas de ce plan vertical, et qu'il y décrira des arcs de cercle dont C est le centre et CA le rayon.

Au bout du temps quelconque t^ soit M la position du mobile ; des points M et A , abaissons sur la verticale CB , des perpendiculaires MP et AD , et faisons

CP = 2, CD = i?.

En désignant par g la gravité et par p la vitesse du mobile au point M , nous aurons , dans le cas du vide (n«i59),

et si Ton appelle s l'arc AM décrit par le mobile , de

sorte qu'on ait ^^ s= «^ , on en déduira

Désignons par S l'angle MCB, qui sera positif quand

.k pendule se trouvera à gauche de CB, comme la

droite CA , et négatif lorsque le pendule sera à droite

DYNAMIQUE, PREaiïÈRE PARTIE. âSg

de la verticale. Soit aussi a Tangle ACB , ou la valeur initiale de 6. On aura

en représentant par a la longueur CM ou CA du pendule. On aura , en même temps ,

z 7=s a cos 6, c = a cos a;

et au moyen de ces valeurs ^ celle de dt deviendra

yk* + liga (cos « ~ cos «) ^ ^

Telle est donc la formule qu'il s'agira d'intégrer exactement ou par approximation.

i8i. Il n'y a qu'un cas dans lequel l'intégration sous forme finie soit possible^ c'est lorsqu'on a

A' = 2ga{i H- cos a);

ce qui a lieu quand le mobile part du point A avec la vitesse qu'il aurait acquise en tombant d'une hau« teur égale à ED; E étant le point le plus élevé du cercle qu'il décrit. En faisant S = a^ , et observant que