Pour que le pendule ne fasse que de petites
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PAUTIE. ^t
OftdiUatioDs de part et d'autre de la verticale CB , il. fiiHdra qne l'angle a* et la vitesse k soient peu consi*^ dérsiàsê; on potirra toujoa/s rendre cette vitesse ^ lout*à-fait nuUe^ en faisant partir le mobile d'un point un peu plus élevé que A, c'est-à-dire^ en augmentant oonveikableinent l'angle a; on ne nuiva donc pas k la généralité de la qaestioti en s^iposaal kz=zo; ce cpii réduit l'équation (t) à
d^ „ - Jî-^^n (a>
^ S K2C0Stf — 2C08ct
Par les formules connues, on a
ces « == I 1 5-7 — etc*
Les angles a et 6 étant très petits, par hypothèse,, je néglige leurs quatrièmes puissances ; il en résulta simplement
En intégrant et observant que 6 = «( quand ^ = o , on en déduit
d'où Ton tire
«s=^«c(cosa:i)j e
Ces formules montrent, conformément à ce qu'on a déjà vu (n^* iSg), que le pendule fera une suite in-
34a TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
définie d'oscillations égales et isochrones de part et d'autre de ki verticale CB : il reviendra, avec une vitesse nulle, au point A où l'on a 6= a, toutes les
fois que t w- sera un multiple .de 2Ty et au point
A', situé à la même hauteur que A et où Ton a 6 = — ot, toutes les fois que 6 sera un multiple impair de "jr. En appelant T le temps qu'il emploiera à aller de Fun de ces points extrêmes à l'autre , c'est-àdire, le temps d'une oscillation entière, on a
Les durées des deux demi-oscillations, l'une descendante et l'autre ascendante , seront égales entre elles età^T.
En général , à deux instans séparés par un temps égal à T, le pendule occupera , des deux côtés de la verticale CB , des positions également éloignées de cette droite, et sera animé de vitesses égales et contraires; car si l'on met ^ + T à la place de ^,.dans les
valeurs de 6 et ^, on voit qu'elles ne font que changer de signe.
Le pendule coïncide avec la verticale quand on a 6 = o, ou ^ égal à un multiple impair de ; T; il en résulte
çt, par conséquent,
pour la vitesse du mobile au point B. En appelant b la hauteur DB de son point de départ au-dessus de B, on aura
£ = a(i — cos a) =2= jacL^f
à cause que l'on néglige la quatrième puissance de a. Abstraction faite du signe y la vitesse acquise au point le plus bas sera donc
V = \/2gb;
ce qui est, comme eela devait être, la vitesse due à* la hauteur b.
i83. La valeur de T est, comme on voit, indépendante de Fangle a; elle subsistera encore, et sera rigoureusement exacte, quand cette amplitude a sera infiniment petite. Si donc on écartait le pendule iti- Hniment peu de la verticale, il emploierait pour y
revenir un temps fini et égal à - ^ l/-. Dans ce
mouvement, le mobile décrirait un espace infiniment petit dans un temps fini ; ce qui vient de ce que l'intensité de sa force accélératrice serait infiniment petite. En effet, cette force est la pesanteur décomposée suivant la tangente à la trajectoire; or^ dans l'étendue de l'arc infiniment petit qui aboutit au point le plus bas de cette courbe, la tangente fait avec la verticale un angle qui diffère d'un droit d'une quantité infiniment petite ^ le cosinus de cet angle , par lequel il faut multiplier la pesanteur pour obtenir sa composante , est donc infiniment petit ; par conséquent, cette composante est aussi infiniment petite.
3 14 TRAITÉ DE MÉCANIQITE.
On peut étendre ce résultat aux oscillationB d'oir }>otnt matériel pesant sur une courbe queloonqae, dont le plan osculateur au point le plus bas B est vertical; car dans une étendue infiniment petite la courbe coïncide avec son cercle osculateur, et, dans une étendue seulement très petite , elle s'en écarte très peu; d'où il suit que C étant le centre de ce cercle , la durée des oscillations très petites sar la courbe , de part et d'autre de son point B , est la niêiTie que pour un pendule simple dont C serait le point de suspension , et qui aurait pour longueur le rayon de courbure CB correspondant à ce point B. Les oscillations très petites ont donc une. même durée indépendante de leur amplitude , sur toutes les courbes verticales qui ont la même courbure à leur point le plus bas. Lorsque le plan osculateur en ce point n*est pas vertical, U faut remplace* dans la valeur de T la gravité g par sa composante dans ce plan 9 laquelle est égale à gsini, en appelant i Tinclinaison du plan donné sur un plan borizoatal. i84* Quand langle a, a une grandeur finie et seulement très petite, la valeur précédente de T n'est qu'approchée.
En effet, si l'on conserve les quatrièmes puissances de a et de 6 dans les valeurs de cos « et cos fi, et qu'on les substitue dans la foitnule (3), ou aura
/â de
A ce degré d'approximation, il faudra prendre
on aura donc
formule qui s'intègre par les règles connues. En intégrant depuis ô = a jusqu'à 8= — a, pour avoir la durée T d'une oscillation entière, on trouve
ce qui montre que cette durée est un peu augmentée par la grandeur de l'amplitude.
Il en résulte que si l'on appelle n le nombre des oscillations infiniment petites d'un pendule quelconque dans un lemps donné, et n' le nombre des oscillations du même pendule et dans le même temps, quand leur amplitude a est seulement très petite, on aura
car le nombre n^ doit diminuer dans le même rapport que la durée de chaque oscillation est augmentée par la grandeur de cette amplitude.
i85. Quoiqu'on ait soin, dans les différens usages du pendule, de faire en sorte que l'amplitude des oscUIations soit très petite , ce qui rend toujours suffisante la correction relative à la grandeur de a qu'on vient de déterminer, il est bon , néanmoins, de connaître la sérié convergente par laquelle on peut exprimer la durée d'une oscillation, quelle que soit son . amplitude.
Pour cela , soient xetQ les sinus verses des angles 6 et a ^ de sorte qu'on ait
1 — cos ô = X , i — cos a z=i €; on aura, en même temps.
La formule (2) deviendra
rf^ = 1 1/^ ^ ^-=^;
et, pour en déduire la durée ^T d'une demi-oscillation , il faudra intégrer depuis a: = f , qui répond à 0 = «, jusqu'à a: = o, qui répond à 6 = o.
Or, en développant par la formule du binôme, on a
(ï V ï , 1 X - 1.3 ar' . 1.3.5 x^ , .
série dont le terme général est
