an

et qui sera toujours convergente, à cause que x est constamment moindre que ^. Si donc on intervertit Tordre de Tintégration , ce qui est permis en changeant en même temps le signe de dt-, qu'on £sisse ensuite , pour un nombre quelconque n ou zéro ,

o \/Cx — X-

bt fja^ca donble la valeur de - T, il en résultera

I^es valeurs des intégrales définies A^, A, ^ A«, As 9 etc. , sont liées entre elles de manière que l'une d^elles étant connue ^ il est facile d'en déduire successivement toutes les autres. En effet, on a, identiquement.

x^-'dx

r(ar — iC)j^^'dx ^7===-=x— \/Çx^x^+(n-i)fx-'^i/Cx—x^dx,

p x^^^ dx p x^dx

d'où Ton conclut

et, par conséquent,

Aux deux limites xko et jc=£, on a \^hx^^j^}=so; en passant aux intégrales définies, on aura donc,i d'après cette dernière équation ,

Si l'on fait saccessivement 7i5=i, =a, =5, etc., dans cette formule , on en déduit

A. = |eA. =«ii|^A., As = |€A. =ii|^ff3A,^ etc.; par conséquent y nous aurons, généralement,

• =^ ■ > /> b Ao;

et quant à ia valeur de Ap, on aura A s= f^ ^ =

En substituant les valeurs de A» , A, , A» , etc. ^ dans celle de T, il en résulte

pour la sérié qu'il s'agissait d'obtenir ^ et qui est essentiellement convergente , puisque 7 ^ est toujours moindre que l'unité.

Si l'on néglige la quatrième puissance de ol, on aura f == -^ a ; il faudra réduire la série à ses deux premiers termes, et la valeur de T coïncidera avec celle du numéro précédent.

i86. Considérons actuellement le mouvement du pendule simple dans un milieu résistant. En conservant toutes les notations précédentes, la composante de

Gopgle

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 34g

la pesanteur suivant la tangente MT sera gsinO, à cause que l'angle que cette droite fait arec la verticale MN est complément de l'angle MGB ou 8. Dé^ signons par Y la force accélératrice provenant de la résistance, laquelle est dirigée en sens contraire de cette composante g sin 8 , et appelons s l'arc AM ; l'équation du mouvement sera ( n"* iSs )

^'=ffsiné-V. (5)

On pourra faire différentes hypothèses sur la valeur de y en fonction de la vitesse du mobile ; le plus simple est de la supposer proportionnelle à cette vitesse , de sorte que l'on ait

en désignant par A; une vitesse constante et donnée. On a aussi

s s= a (a — 6), sin 8 = 6 — -j-^ -f- etc. ;

si donc 8 est , comme précédemment, un très petit angle, et que l'on néglige sa troisième puissance, réquatiôn (3) deviendra

Son intégrale complète est

8 «= (c C05«>y/f ^ c' sin ty y/f) e^^\ en représentant par ç et c' les deux constantes arbi-

35o TRAITÉ D£ MÉGANIQUE.

traires^ par e la base des logarithmes népériens^ et

faisant^ pour abréger^

fi/

Je détermine c et c' par les conditions 6 = 0& et ^s= o, quand ^ = o; ce qui donne

Par conséquent, on aura et, en diffërentiant,

pour les formules qui font connaître, à un instant quelconque , la position du pendule et sa vitesse angulaire.

A la fin de chaque oscillation , on a ^i ^= o ; ce qui

a lieu toutes les fois que ty %/^estunmultiplede7gr.

Il s'ensuit donc que les oscillations sont isochrones , comme dans le vide , et qu'on a

pour la durée d'une osdllation entière; en sorte qu elle est augmentée, par la résistance du milieu, dans le rapport de l'unité à la fraction >.

Quant aux amplitudes des oscillations^ elles diminuent continuellement à cause de l'exponentielle

e '^. En appelant a, l'amplitude de la n'*"' oscillation, c'est-à-dire, en supposant qu'on ait 6= ( — i)"flt,, quand ^=:itT, il en résultera

a, = ae ^>* ;

ce qui montre que les amplitudes successives forment une progression géométrique décroissante , dont le

y Vga

rapport est e ^^ .

Toutefois, ce mouvement oscillatoire suppose que ^ soit une quantité réelle; et, en effet, c'est ce qui a lieu dans les expériences du pendule, qui n'a jamais une longueur extrêmement considérable, et dont la densité est toujours très grande eu égard à celle de l'air où il se meut : la vitesse k étant proportionnelle au rapport de la première densité a la seconde , elle est très grande par rapport à j \/ga , et , conséquemment, y est une quantité réelle qui diffère peu de l'unité. Si, au contraire, on avait nk <A/g^^ > serait imaginaire et de la forme £ V^ — i » en désignant par 6 une quantité réelle ; par les formules connues, les sinus et cosinus qui entrent dans l'expression de 6 se changeraient en exponentielles ; et cette transformation faite, on verrait que l'angle 6 ne pourrait devenir nul qu'après un intervalle de temps infini ; en sorte que le pendule approcherait indéfiniment de la

35a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

verticale CB , saas pouvoir la dépasser ' ni même

l'atteindre rigourensement.

187. A mesure que les amplitudes des oscillations diminuent, rexpérience prouve qu'elles approchent de plus en plus de décroître dans l'air en progression géométrique: elles s'en écartent peu, par exemple, lorsque l'angle cl est d'un tiers de degré ou au-dessous* L'expérience montre, de plus, que ce décroissement est très lent ; ainsi , dans une expérience de Borda, où il avait lieu sensiblement en progression géométrique, l'amplitude ne se réduisait qu'aux deux tiers environ, après 1800 oscillations. En appliquant l'expression de a, à cet exemple, on aura donc

e M = f., et, par conséquent,

l522îjV^=:;^l0g 1 = 3,(0,40546),

mais on a

il en résultera donc

(i8oo)V(i — >■) = >*(o,4o546)»; d'où l'on tire

ou à très peu près j/ == i ; ce qui permet de négliger

la résistance de l'air dans le calcul de la valeur de T.

On peut donc admettre que quand les oscillations

^ont très petites, la résistance de l'air est proportionnelle à la vitesse, comme notts venons de le supposer , et que cette résistance n'influe pas sensiblement sur leur durée. Mais lorsque les amplitudes sont un peu considérables, l'observation montre c|n'elles ne décroissent plus en progression géométrique ; en sorte qu'il devient nécessaire de faire une antre bypôthèse sur la loi de la résistance.

i88. Supposons cette force proportionnelle au •carré de la vitesse , et prenons

^ étant une vitesse constante et donnée qui sera toujours très grande; en sorte que si Ton fait

ft sera une très petite fraction. A cause de ds=i — ad^ , l'équation (5) deviendra

5^ + f smfl = iAt3^î (4)

«n la multipliant par 2dB , intégrant et faisant

nous aurons

équation linéaire dn premier ordre, dont Tint^rale complète est

c étant la constante arbitraire et e la base des logarithmes népériens. Je la diiférentie par rapport à 6^

et je remets ^ au lieu de —^ ; il vient

ce qui est une intégrale première sous forme finie de réquation (4).

Pour déterminer c, je suppose qu'on ait, comme précédemment , ^ es o quand 8 =s a ; il en résultera

22?(cos fit 4- 4c sin «) — /*« Par conséquent, on aura^ à un instant quelconque^

'Au point le plus bas, oui Ton a d = o^ on aura donc

-di^ — T^- L' ~ (cos^ + A^ sm a> ],

pour le carré de la vitesse acquise^ laquelle est évi^ demment moindre que dans le vide.

En vertu de cette vitesse, le mobile montera sur l'arc BA' jusqu'en un point A,, moins élevé que A',

et pour lequel on aura ^ =o. Si Ton désigne par — dt.

la valeur correspondante de 9 , il en résultera

( C08 0&I — fD sîn tf, )«'**• = (cos a +fD sîn tf )e"''** j

et si Ton développe les exponentielles .snivant les puissances de /i, et qa'on néglige le carré de cette fraction très petite, on aura

cosa, — )Et(sinot, — 0&.coscc .)=cosa -f-fc(sintf — acosa) .

La valeur de a, que Ton tirera de cette équation , différera très peu de a ; je feis donc a. = 0& — J^ , et je néglige le carré de cT et le produit fjt,J^ ; il vient

cTsi»* = :2;^(sina — - acosa); CL.^

en sorte que Ton aura

a, = a —^ ( sîn a — a cos ât ) ,

sia « ^ ^ '

pour la grandeur de 6 , abstraction faite du signe , k la fin de la première oscillation.

Ce résultat ne suppose pas les oscillations très pe*tites; mais si elles sont asse^ petites pour qu'on puisse négliger la quatrième puissauce de a dans cette va* leur de tf . , elle se réduira à

Parvenu au point A, , le mobile redescendra , et il continuera ainsi à osciller de part et d'autre du point B> jusqu'à ce que les amplitudes de ses oscillations soient devenues sensiblement nulles. Si Ton appelle ce. l'amplitude de la seconde demi-oscillation ascendafite , il est évident qu'elle se déduira de a, ^ comme on a déduit eti àe et; en sorte que Ton aura

Et de méme^ si a^, a^^ etc.^ sont les amplitudes sncoessives des autres demi-oscillations ascendantes ^ on aura

tts= ct^ ^ , cL^ = (h y^ > etc. ;

ce qui montre qu'elles ne décroîtront plus en pro- ' gression géométrique , comme dans le cas de la résistance proportionnelle à la vitesse.

1 89. Pour déterminer le temps qui répond à un angle 0 ^ il faudra intégrer la valeur de dt tirée de l'équation (5) ; ce qui sera toujours possible par la méthode des quadratures , quand les valeurs numé* riques de et, //,, ^, seront données. Mais dans le cas des petites oscillations, on peut obtenir, en série con^» vergente , la valeur de 0 en fonction de ^ , et réciproquement.

Je supposerai toujours la vitesse initiale du mobile égale à zéro ; la valeur de 6 à un instant quelconque, sera une fonction de ^ et a qui devra se réduire à zéro dans le cas de tf = o ; je la représenterai donc par

fl = afl, + £ffl. + a% + etc. ;

0< y Oft y fis f etc. , étant des coeffîciens îndépendans de ât. En substituant cette série dans l'équation (4) , développant les deux membres suivant les puissances de ^, et égalant ensuite les coefEcîens des mêmes puissances , on formera une série d'équations différentielles du second ordre, qui serviront à détermir

ner les inconnues O^ 0« ^ O3 , etc. De plus , pour qu'on

ait 8 = a et ^ =0, quand ^ = 0 et quel que soit 0^,

il faudra que les valeurs initiales de 0. ^ 63 ^ etc. ,

2f, -jTf etc. , soient toutes nulles^ et que celles de

6| et ^ soient l'unité et zéro i et c'est d'aprè&ces con--

ditions qu'on déterminera les constantes arbitraires qui seront contenues dans les intégrales complètes de cette suite d'équations. De cette manière , on calculera autant dé termes que l'on voudra de la série précédente. Nous bornerons l'approximation au carré de a y et nous négligerons le cube et les puissances supérieures de cette quantité.

Alors ; on a simplement

d^ dt^ ^^ ' dt^^

sm

fl = ûtO, + ^%y

dê^ . dé,-

et en substituant ces valeurs dans l'équation (4) , et égalant les coefficiens de a et de a* dans ses deux Inembres^ il vient

En intégrant la première de ces deux équations , et déterminant les deux constantes arbitraires , de sorte

358 TiUITÉ D£ Iffi^GANIQUEL

qu on ait $, =s o et ^ =5? G ^ qaaiid ^ = o , nous

auBons

fl, =s cos ^ i/^.

Il en ré&ulbçra

la seconde équation deviendra donc

et Ton aura

pour son intégrale assujettie aux conditions S^ = o et

^ = o , quand t= o^.

Au moyen de ces expressions de d. et S«, celle de fl devient

9=(«--?)Wf + f+7^«««v/î' à cause de (^ = — a ^ , on aura^ en même temps , .

et ces formules feront connaître la position et la vitesse du mobile à un instant quelconque.

190, Si nous remplaçons^ dans la dernière^ sia^tu-

par 2sin^ l/ - cos t y^ , l'équatioa i^ =0, qui a lieu à la fin de chaque oscillatioa^ prendra la forme

L'angle a étant très petit, le premier facteur ne peut être nul; le second est zéro toutes les fois que

t i/- est un multiple de ^. Il s'ensuit donc que l'in-

tervalle de temps qui s'écoule entre deui: vitesses nulles et consécutives, ou la durée T d'une oscillation entière , est

en sorte que la résistance de l'air, proportionnelle au carré de la vitesse, n'influe aucunement sur cette, durée.

Cependant, elle augmente le temps que le mobile emploie à atteindre le point £. En effet, en le désignant par t', et faisant 6 x=: o , on a

La plus petite valeur de t^ w- qui satisfasse à cette équation diffère très peu de ^ ^ ; soit donc

en négligeant le carré de «T et le produit aj'j on aura

36o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

et^ par consëqaent,

La résistance de lair augmente donc la durée de I^r première demi-oscillation descendante, dans le rapport de I -{- ^ à Funité ; et puisqu'elle n'influe pas

sur la durée de l'oscillation entière^ il faut qu elle diminue, dans le même rapport, la durée de la demioscillation ascendante.

En substityant cette valeur de i dans celle de (^ ^ et négligeant le cube de tty il vient

d'où Ton conclut que ta vitesse acquise au point le plus bas est diminuée par la résistance de l'air', dans

le rapport de i — y à l'unité.

Si Ton désigne par — a^ la valeur de fl.qui a Heu à la fin de la première oscillation entière, et qui ré-*

pond à t %/- = îT , on aura

comme précédemment.

Ces différens résultats sont indépendans de la grandeur du coefficient fc de la résistance, et supposent seulement l'angle et très petit; ils conviennent également au mouvement du pendule dans un fluide aériforme et dans un liquide, pourvu que le coefficient

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 36f

fi soit déterminé pour chaque milieu en particn-^ lier. Dans le cas de a très petit, il est inutile d'examiner l'hypothèse d'une résistance proportionnelle au cube ou à une puissance supérieure de la vitesse ; car il n'en pourrait résulter, dans les valeurs de ô et i^, que des termes dépendans des puissances de et supérieures au carré, que l'on a regardés comme négligeables dans les calculs précédens. En rapprochant ce qu'on vient de trouver de ce qui a été dit dans le n** 187, ou en conclut donc que la résistance de l'air n'influe pas sur la durée des très petites oscillations du pendule, pour lesquelles on néglige la correction relative à la grandeur de l'amplitude (n"* i84)- Quand on tient compte de cette correction , la résistance a une petite influence, à cause qu'elle fait varier les amplitudes pendant la durée du mouvement.

191 • Il ne suit pas de là que la durée des oscillalions d'un corps pesant, quelque petite qu'on la suppose, soit la même dans l'air que dans le vide j car ce fluide, par la pression qu'il exerce sur le mobile, augmente cette durée en diminuant la pesanteur. D'abord, on sait par l'expérience, et nous démontrerons dans Y Hydrostatique^ qu'un corps en repos , plongé dans un fluide, y perd une partie de son poids, égale au poids du fluide dont il occupe la place. Ainsi , P étant le poids de ce corps dans le vide, P' son poids dans l'air, Il le poids d'un volume d'air égal à celui du corps, on a

En appelant f le rapport de la densité de l'air à celle

36a TRAITÉ DE MÉCAHÎIQUE.

du corps, g la gravité dans le yide^ g^ ce que cette force

devient dans l'air, et m la masse du corps, on a aussi

n = Pf, P = mgr, r=mg';

on aura donc

Or, si Ton désigne par T et T' les durées des petites oscillations d'un même pendule qui répondent aux deux forces accélératrices g et g\ on aura

et", par conséquent.

Soit aussi a' la longueur dupendule soumis à la gra* vite g^, qui fait ses oscillations dans le même temps que le pendule soumis à Is, gravité g et dont la Ion-* gueun: est ^ ; il faudra qu'on ait

d'où Ton tire

a' = fl(i — />).

Donc , par la seule considération de la perte de poids à l'état de repos, la durée des oscillations dans l'air se trouve augmentée dans le rapport de l'unité à V^i — p pour un même pendule, et la longueur du pendule simple se trouve diminuée dans le rapport de 1 -^ p à l'unité pour une même durée.

De pins, M. Bessel a lait voir, par Texpârience, que la perte de poids qu'un même corps éprouve dans Tair n'est pas la méoie^ quand il est en repos et lorsqu'il a un mouvenaent oscillatoire. Elle augmente* dans le second cas; et il en résulte qu'il faut^ dansles formules précédentes^ multiplier p par un fac*teur y* plus grand que Tunité^ et dépendant de la forme du mobile. Je suis parvenu à ce même résultat dans un Mémoire sur les Mcawemens simultanés ctun pendule et de l'air environnant (*); et, d'après mon analyse, on ay=c=| quand le pendule consiste, comme celui de Borda , en une sphère suspendue à l'extrémité d'un fil très mince, dont la longueur est très considérable par rapport au diamètre de cette sphère; en sorte qu'alors il faut augmenter de moitié la correction relative à la densité de l'air, que l'on faisait subir, avant l'observation de M. Bessel, à la durée des petites oscillations et à la longueur du pendule simple. Pans tous les cas, le coefficient y* est toujours indépendant de la densité du pendule, ainsi que de la densité et de la nature du fluide dans lequel il oscille, de manière qu'on peut toujours le déterminer par l'expérience, en comparant les durées des oscillations de deux pendules de même forme et de densités différentes, dans un même fluide, ou bien d'un même pendule dans deux fluides diflerens^ tels que l'air et l'eaù, par exemple.

192. Maintenant, soit n le nombre des oscillations infiniment petites qu'un pendule quelconque

(^ Mémoires de VAcaditmie desSci^noes, towe XI»

ferait dans le vide pendant un temps -donné r. Pour déduire ce nombre, par la règle du n* i84i de celui des oscillations très petites qui est donné par l'bb- -servation , et afîq d'avoir égard à la variation des amplitudes pendant ce temps r , on a coutume de prendre pour l'angle cl la moyenne des amplitudes extrêmes qui sont aussi données par l'observation. Cela étant, la durée T d'une oscillation infiniment petite de ce pendule sera

et l'erreur que l'on pourra commettre sur la mesure du temps r aura d'autant moins d'influence sur cette valeur de T, que le nombre n sera plus considérable. D'après la forme et les dimensions du corps oscillant, on déterminera, par la formule qui sera donnée dans un autre chapitre, la longueur du pendule simple , dont le mouvement est le même que celui de ce corps; on réduira cette longueur, comme on vient de l'expliquer tout à l'heure, à ce qu'elle serait dans le vide ; et si ou la désigne par a après cette réduction , et qu'on représente par g la gra — vite dans le vide, on aura

r fa

d'où l'on tire

C'est au moyen de cette formule que l'on détermine avec une extrême précision , en chaque Heu

de la ten^e , la mesure de la pesanteur^ ou la vitesse g que les corps pesans acquièrent en tombant vertica— lement dans le vide^ pendant une unité de temps. D'après l'expérience faite par Borda , à TObservatoire de Paris ^ avec un pendule d'environ 2 mètres de longaeur, on a

en prenant la seconde pour unité; et l'on en con-^

dut

en ce lieu de la terre, c'est-à-dire, à une latitude de 48*5o'i4".

M. Bessel ayant fait osciller successivement des corps de toutes sortes de matières, tels que des métaux , de l'ivoire , du marbre , des pierres météoriques, etc., a constamment trouvé des valeurs de g sensiblement égales ; les plus grandes différences , de part et d'autre de la valeur moyenne, s'élevant à peine à un cent-millième de cette valeur, et pouvant être attribuées aux erreurs inévitables de l'observation^ Il ne peut donc rester aucun doute sur la parfaite égalité de l'attraction exercée par la terre sur tous les corps, quelle qu'en soit la nature, qui sont situés en un même lieu de sa surface; car cette égalité résulte de celle des valeurs de la pesanteur g, puisque cette force est l'excès de Tattraction terrestre sur la composante verticale de la force centrifuge, commune à tous ces corps.

193. En considérant la surface de la terre comme le prolongement du niveau des mers en équilibre ,

on démontre , dans la Mécanique céleste ^ que la variation, à cette surface^ de la longueur dû pendule simple qui fait chaque oscillation dans une unité de temps , est proportionnelle au cosinus du double de la latitude ; en sorte qu'eti désignant par A cette longueur en un lieu dont la latitude est >[/ ^ on doit avoir

A = Z(i — cêcos2'^); (b)

/ et û) étant des constantes déterminées par Tobservation. On démontre aussi que le coefllcient co est lié à l'aplatissement du sphéroïde terrestre par Téquation

2CÛ + J" = ^r,

dans laquelle on appelle «T cet aplatissement, de sorte que le rayon de l'équateur et celui du pôle soient entre eux comme i + J^ et Tunité, et où Ton désigne par r le rapport de la force centrifuge à la pesanteur, qui a lieu k 1 equateur, et dont la valeur est (n* 177 )

La formule (b) est, en effet, confirmée par l'expérience quand on fait abstraction des circonstances locales qui peuvent influer, comme on le verra par la suite , sur l'attraction de la terre et sur la longueur du pendule. li^ensemble des observations faites à dif-* férentes latitudes donne

ce qui suppose J" a trèé peu prè$ égal à r* La côns-

tante / est la valeur de A correspondante à '^zssj/iS'*; elle difiere peu de celle qui répond à la latitude de Paris; et^ d'après celle**ciy on a

o«*,995855 = Z [i 4- o,oo2588.sin (7^ 40' aS'O] ;

d'où l'on tire

Si Ton fait n = i et r = i dans la formule (a) ; que Ion y mette successivement / et A à la place de a , et qu'on désigne par pet^ les valeurs correspond dantes de g, on aura

on aura donc

et y ht une latitude quelconque ,

<tsr z= p{\ — o,o02588 cos 24)*

En observant que

cos n-^f = 2 cos* *>!, — I ,

on voit que la diminution de la pesanteur , en allant du pôle à 1 equateur^ sera proportionnelle au carré du cosinus de la latitude ^ conformément à l'énoncé du n^ 178.

En transportant un même pendule en difierens lieux de la terre, on voit, par lequation (a), que les nombres n de ses oscillations, dans un même temps r, varieront proportionnellement à la racine carrée de la gravité. Ainsi, par exemple, une horloge réglée.

à Paris ^ sur le mouvement diurne de la terre , et transportée ensuite à lequateur, retardera sur ce mouvement. En appelant n et n^ les nombres des oscillations de son pendule en un jour sidéral dans ces deux lieux de la terre , on aura .

■ o,oo2588

,002588 sin (7* 4o'28^' et, par conséquent,

en sorte que le retard sera d'environ 127 secondes en ^4 heures. C'est l'observation de ce retard qui a mis en évidence , pour la première fois , la variation de la pesanteur à la surface de la terre*

§ IL Mouvement sur la cjcïoïde.

194* Soit ABC (fig. 46) 1^ trajectoire d'an point matériel pesant, dont le plan est vertical. Supposons que ce mobile parte du point quelconque D, sans vitesse initiale, et qu'il soit en M au bout du temps ^; des points D et M abaissons des perpendiculaires DE et MP sur la verticale passant par le point B', qui est le plus bas de la courbe; en faisant EP=z , et désignant par i^ la vitesse acquise au point M, et par g la gravité, nous aurons (n* 169)

si Ton suppose que la pesanteur soit la seule foix:e qui agisse sur le mobile. Soit aussi s l'arc BM; comme il décroit quand le temps augmente, on aura

ifVNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 369

ds

et si Ton fait

EB == h, PB = je = À — z, il en résultera

quelle que soit la courbe donnée.

Cette courbe étant, par hypothèse , une cycloïdc, on aura (n* 73)

en désignant par a le diamètre BF de son cei;cle générateur. On aura donc

V a [/hx — a**

et, en înt^prant,

on n'ajoute pas de constante arbitraire, afin qu'on ait ^= o à l'origine du mouvement, ou quand 07= h. Sillon appelle t' le temps que le mobile emploie à atteindre le point B qui répond h ûoj=^o, oa aura

t' 1/^ = arc (cos = — ï) ==: çsr, et, par conséquent,

Ce temps est, comme on voit, indépendant de la hauteur h du point de départ D du mobile ^ au-dessus du point le plus bas B; en sorte que cette propriété, qui a lieu par approximation dans toutes les courbes pour une hauteur h très petite , est rigoureusement vraie dans la cjcloide, quelle que soit cette hauteur^ toujours moindre que a ou BF. Il en résulte que tous les mobiles, partis en même temps de différens points de la cycloïde, arriveront en même temps à son point le plus bas.

On aura iry — pour le temps d'une oscillation entière de part et d'autre du point B; or, on voit que ce temps est celui des oscillations très petites du pendule dont la longueur :xa est le rayon de courbure de la cjcloïde en ce point (n* 72); ce qui s'accorde avec le résultat du ri* i83, relatif à la durée des petites oscillations sur une courbe quelconque, laquelle durée est la même, dans le cas de la cycloïde, que celles des oscillations d'une amplitude quelconque.

195. Le temps que le mobile emploie à parcourir lare DB de la cycloïde est encore indépendant de la longueur de cet arc, quand le mouvement a lieu dans un milieu résistant , et que la résistance est supposée proportionnelle à la première puissance de la vi-* tesse*

En eft^et, représentons celte force par ^ , comme dans le n* 186; la composante de la pesanteur suivant la tangente MT est g^, en observant que ^ est le cosinus de l'angle TMN que fait cette droite

avec la yerticale MN ; la force qui agit au point M , et qui tend à diminuer Tare BM ou s, sera donc la

différence g-^ gji P^r conséquent, on aura pour

réquation du mouyement

d*j /dx if\

d? ~ '^ S \di ^ kj'

OU, ce qui est la même chose,

dt^ ^ k dt ^ afl ^ ^ ' à cause de

^^ ds dx s ^

It^ ^ ""^ afl

Je suppose qu'à Forigine du mouvement , ou quand ^ = 0, la vitesse i^ soit nulle, et quon ait sz=za; en déterminant les deux constantes arbitraires d après ces conditions , et faisant , pour abréger ,

v/Ti:

rintégrale de l'ëquation précédente sera (n* i86)

Si donc on appelle tf le temps qui répond au point B ou à ^ = o, on aura

équation d'où l'on tirera une valeur de t' indépen-* dante de «; ce qu'il s'agissait de trouver,

Si la résisttince est très petite , ou la vitesse k très grande , on aura 7^ = i , à très peu près; et l'é<juatîofi pre'ce'dente donnera

ce qui montre que le temps t' est un peu augmenté par cette résistance.

196. Prolongeons la droite BF jusqu'en 0, d*une quantité égale à BF ; ce point 0 sera le centre de la cycloïde au point B ; et si Ton trace les deux demicycloïdes OA et OC , tangentes aux droites OB et AC, et ayant OF pour diamètre de leur cercle générateur, 0 A sera la développante de AB , et OC celle de BC (n^* 72); par conséquent, un fil d'une longueur constante OB ou 2a , attaché au point 0, et qui s'enveloppera successivement sur les deux courbes OA et OC , tracera par son autre extrémité la cycloïde ABC.

Cela fournit un moyen de construire un pendule cycloïdal. Pour cela, supposons que les courbes OA et OC soient tracées en relief, et que OB soit un fil inextensible et parfaitement flexible, attaché au point fixe 0 ; attachons aussi un corps pesant à son autre extrémité B , puis écartons ce fil de la position verticale, de sorte qu'il s'enveloppe, en tout ou en partie , sur Tune des courbes OA et OC , et que sa partie non enveloppée soit une droite tangente à cette courbe : en abandonnant ensuite le mobile à lui-même , l'extrémité inférieure du fil décrii^a la courbe. ABC > et^ d'après le n^ ig^, la. durée de»

oscillations de ce pendule , dans le vide , sera rigoureusement, et constamment indépendante de leur amplitude. Mais ce moyen ne serait susceptible d'aucune précision dans la pratique; et, d'ailleurs, Tisochronisme des grandes oscillations n'aurait plus lieu dans l'air, la résistance de ce fluide n'étant point alors proportionnelle à la simple vitesse.

197. On appelle tautochrone toute courbe sur laquelle un point matériel pesant parvient toujours dans un même temps au point le plus bas , quel que soit le point de cette courbe d'où il est parti. Ainsi , dans le vide, lacycloîde est une courbe tautochrone ; et , de plus , on va voir qu'elle est alors la seule courbe de cette espèce.

Si l'on appelle t^ le temps que le mobile emploie à aller , sans vitesse initiale, du point D au point le plus bas B , sur une courbe quelconque ADB , la valeur de i\/^^ sera donnée par l'intégrale de la formule (i) , prise depuis ^ = ^ jusqu'à ar= o , ou , ce qui est la même chose, depuis a:=:o jusqu'à jc:=A, en changeant le signe de cette formule; on aura donc

''^^S=/„'l7fe'

et pour trouver la Courbe tautochrone , il s'agit de déterminer s en fonction de Xy de 'manière que cette valeur de € \/2g soit indépendante de h.

Or , je suppose cette fonction inconnue développée suivant les puissances ascendantes de .r , de sor te qu'on ait

374 TRAITÉ DE MÉCAÎ^IQUÉ.

S =2 Aûc* + Bj:^ + Cr> + etc.;

A^B, C^ etc., a, ^t>i etc., étant des coeflficiens et des exposans indéterminés. Comme l'abscisse a: et l'arc ^ ont lenr origine au même poiqt B , on deyra atoir en même temps a: = o etJ = o; il £siut donc que tons les exposans a, S, y, etc., soient positif, et qu'aucun d'eux ne soit zéro. On voit aussi, à priori^ que le plus petit d'entre eux devra être moindre qoe l'unité ; car le point B étant, par hypothèse, le plus bas de la courbe demandée, la tangente y est horisontale ou perpendiculaire à Taxe des x ; ce qui exige

qu'on ait j-=:oo , quand x:siO.

En prenant la différentielle de cette série, et la substituant à la place de ds dans la formule précédente , il vient

'^^€-4o 7K+^/o T^Wo T^-H--

Je fais x'sszhxf et dxzrzhda^; les limites des intégrales relatives à cette nouvelle variable x' seront zéro et l'unité; on aura, par exemple,

J o j/ÂHi J o Kl— y '

et si nous faisons , pour abréger,

Jo Kl— a: Jo |/i — X

il en résultera t'\^g = ct\\'k*^' + CB^h'-^ + yCCh""' + etc.

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. S*jS

U est important d'observer qa'aucune de ces intégrales A', B', C, etc., ne peut être nulle; car les valeurs des différentielles dont elles sont les sommes (n^ 1 3) ne changent pas de signe entre les limites des intégi*ations : ces valeurs sont toutes positives, et par conséquent aussi celles des intégrales.

Maintenant, il est évident que la valeur de ^ ne peut être indépendante de A, à moins que tous les termes de la série précédente ne soient nuls , excepté celui dans lequel l'exposant de h est zéro , ou qui

répond à un des exposans a, € , y^ etc. , égal à -.

Supposons que ce terme soit le premier, ou qu'on

ait a =-. Pour que le second terme disparaisse, il

faudra que le produit CBW soit nul; ce qui exige que B soit zéro, puisque € et B' ne le sont pas. On verra de même que les autres coefficiens C, D , etc. , sont aussi égaux à zéro ; de sorte que l'équation de la tautochrone se réduit a celle-ci :

j = Aa:", ou j* = A'ar,

qui appartient à une cycloïde , dont la base est horizontale et dont le sommet est au point B que le mobile atteint toujours dans le même temps.

En désignant par a le diamètre du cercle générateur, on aura A* = 4^, et par conséquent

eV'^ = M\/a. .

A cause de a = 7, on a d'ailleurs

kl T' ^'

3^6 1fRAl*È DE irfÉCANÏQtJE.

oii aura donc

cotnMe datis le n"* îg4'

198. C'est encore la cycloîde que Ton trouve quand on cherche la brachjrsiochrone dans le vide,.c'est-àdîre, la courbe AMB (fig. 47) qu'un point matériel pesant doit suivre pour aller dans le temps le plus courte ^ns vitesse initiale^ du point donné A au point B aussi donné.

Pour déterminer cette courbe, soient ar,^, 55, les trdîs coordonnées rectangulaires du point M où se trouve le mobile au bout du temps t; soit aussi s l'arc AM qu'il a parcouru. En supposapt que l'axe des X âOit vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur, et désignant par «t la valeur de œ au point A , la vi-*

tesse -T 9 acquise en M, sera la vitesse due à la hauteur jc-— «; en représentant la gravité par g, on aura donc

et en faisant , pour abréger,

,dj* , dz*

de sorte qu'on ait ds^=zudx, il en résultera