VX — OL
Donc, en appelant € la valeur de x au point B,' et t^
temps que le mobile emploiera à aller dn point A pbint B^ nous aurons
Ainsi ^ il s'agira de déterminer la courbe pour la- <|iielle cette intégrale est un minimum; mais, pour plus de généralité, je considérerai l'intégrale
dans laquelle X est une fonction donnée de or; ce qui nous servira , par la suite , k résoudre un autre problème du même genre : dans celui dont il s'agit
maintenant, on prendra Çx — a)" • pour X.
199. Désignons par i une quantité constante et infiniment petite, et par jy et Sz deux fonctions arbitraires de x, assujetties seulement à la condition d'être nulles pour a: = a et pour x ^=€, et de ne pas devenir infinies pour les valeurs intermédiaires de a:. Soient U' et u' ce que deviennent U et m lorsqu'on y met^-f- fcT/ eiz+ij^z k la place de j* et z, de sorte qu'on ait
U'^y^^X^Wx;
intégrale qui répondra à une autre courbe AM'B, passant, comme la courbe demandée ÂMB, par lea points A et B, et s*écartant infiniment peu de celle-ci. Nous aurons aussi
U' — U = //X(w' — w)rfr;
et, d'après la propriété de la courbe AMB, il faudra que cette différence U' — U soit positive, quelles que soient les valeurs de ^jreiefz, et quelque signe qu'on donne à L Or, en développant la différence 1/ — u suivant les puissances de î, et désignant par iJ'u le premier terme de son développement, le premier
terme de celui de U' — U sera ij XJ'udx; d'où Ton conclut qu'on devra avoir
HJ^udx = o, (a)
sans quoi la différence U' — U changerait de signe eu même temps que L
Cette condition est commune au minimum et au maximum de U. Quand elle sera remplie, la différence U' — U sera , en général , infiniment petite du second ordre ; elle aura le même signe que le coefficient de £* dans son développement; par conséquent, il y aura maximum ou minimum^ selon que ce coefficient sera négatif ou positif. Mais, comme il est évident que le temps t' n'est pas susceptible d'un maxi^ mum^ ce coefficient sera certainement positif dans le problème de la braehjrstochrone , et il suffira de satisfaire à la condition exprimée par l'équation (a),
La quantité i^u n'est autre chose que la différentielle de u , prise par rapport à ^ et z , et dans laquelle leurs accroissemens soRt réprésentés par ijy et îcTjZ. En supprimant le facteur i, commun à O^u et à sa valeur , on aura donc
jv,. — i ^ ^ a. ' ^^.
^^^udx dx'^n dx dx'
en sorte que l'équation (a) deviendra
J ^ u dx dx^^J^ u dx dx^^^'
Mais en intégrant par partie, et observant que les quantités cT^ et cTz sont nulles, par hypothèse, aux deux limites j? = ix et x = ^, on a
ce qui change l'équation précédente en celle-ci :
Or, jy et S^z étant des fonctions arbitraires de j:, cette intégrale ne peut être nulle, à moins que la quantité comprise sous le signe f ne le soit elle** même; par conséquent, on aura
dx J ^^ dx
200. Si la courbe demandée AMB et la courbe quelconque AM'B doivent être tracées sur une surlace donnée dont l'équation soit L = o , il faudra que les valeurs de^ et js en fonctions de x, qu'il s'agit de déterminer, et ces valeurs augmentées de iSy et /cTz , satisfassent successivement à cette équation; d'où Ton
38o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
conclut
au moyen de quoi Ton éliminera, de Féquation {b)j Y une des deux quantités jy et J'z: l'autre s'en ira eo même temps , et l'on aura
dh \u dxj dL \u dxj
dz dx dy dx
Cette dernière équation et L^=o seront, dans ce cas, les deux équations de la courbe demandée, et pourront servir, par exemple , à déterminer la courbe de la [dus vite descente sur une surface donnée.
Si, au contraite, le minimum de U doit avoir lieu entre toutes les courbes qui aboutissent aux points A et B , et ne sont assujetties à se trouver sur aucune surface particulière, les quantités S'y et S'z seront arbitraires et indépendantes entre elles. Il faudra donc que leurs coefficiens soient séparément nais' dans l'équation (^), qui se décomposera ainsi en deux autres, savoir :
S ^' di —^'
c'est ce cas que nous nous bornerons à considérer.
En intégrant et désignant par a et a les denx constantes arbitraires, nous aurons
IL dr X dz f , X
u dx ^ u dx ' ^ *
DYNAMIQUE, PREMIÈRE K4RTIE. 3gi
et , par coDséquent ,
,djr dz
Intégrant de nouveau, et désignant par y une troisième constante arbitraire , il vient
a^y -^ az = y;
ce qui montre que la courbe demandée sera plane et comprise dans un plan perpendiculaire %k celui des jr et z. Pour simplifier, je prends le plan de < celte <x>urbe pour celui des a: et j*; on aura alors
et Ton aura seulement à considérer la première équation (c), qui deviendra
d'où Ion déduit
Il ne restera donc plus qu'à intégrer cette formule, ce qui dépendra de la forme de la fonction X, et ensuite à déterminer a et la nouvelle constante arbitraire, introduite par cette intégration, d'après la condition que la courbe demandée passe par les deux points donnés A et B.
30I. Avant d'aller plus loin, soit c une constante quelconque, et supposons qu'on mette X + c à la place de X dans les formules précédentes. L'înté-
grale U deyiendra
et la valeur de y y qui la rend un minimum ^ sera donnée par 1 équation
djr = —= i=. (e)
Or, cette somme d'intégrales que U représente étant un minimum, en considérant toutes les courbes qui aboutissent aux points A et B, il est évident que la première intégrale
sera un minimum, en considérant seulement, parmi toutes ces courbes, celles qui répondent à une même valeur de la seconde intégrale.
Cette remarque fort simple permet d'étendre immédiatement aux problèmes de maximum ou de mtnimum relatif, les solutions des problèmes de maximum ou de minimum absolu; nous en verrons une application par la suite.
Comme ici la seconde intégrale contenue dans U est la longueur de la courbe cherchée, il s'ensuit que l'équation (e) servira à déterminer, entre toutes les courbes d'égale longueur, ou isopérimètres ^ celle qui répond au minimum ou au maximum de la première intégrale. En appelant / la longueur donnée et corn** mune à toutes les courbes, on aura
idition à laquelle oq satisfera au moyen de la cons- 'tAi^te ÎDdëterminée c^ qu'on a introduite dans la forxnix.Ie(e).
a02. Appliquons actuellement la formule {d) à la oonrbe de la plus vite descente.
A cause de
on. aura alors
{x — et) dx
y/a{x — cL) — (a:— «)•
en mettant — =. à la place de a. Or^ cette équation
différentielle est celle d'une cycloîde (n* 72 ) dont la base est horizontale et passe par le point de départ A da mobile^ et dont le cercle générateur a a pour diamètre; ce qu'il s'agissait de trouver.
En intégrant, on a
j' — a'=-a,arcf cos= — j— V/t(a:— a) — (*— ^) J
a^ étant la constante arbitraire qui représente la valeur de jr correspondante à or =: «. Si l'on désigne par & celle qui répond à ûc:=zC, on aura
Les coordonnées a et a\ € et C', des points A et B, sont données; cette dernière équation déterminera la constante a; et la valeur précédente de^ ne renfermera plus rien d'inconnu.
Au moyen de la valeur de dj; on a
384 TRAITÉ I»: JUÉCAJNIQUE.
on aura donc (p? 198)
^ J* v/a(x— fit) — (or — *)»' et f par conséquent ,
s la f a — 2ff4-2*\ ^= V i^-"^ t^^' = 'a )'
pour le temps le plus court que le mobile puisse employer à passer du point A au point JB.
SI ces deux points sont situés dans une même ver* ticaie, on aura & = a'; condition à laquelle on satisfera en prenant a = 00 ; car on a
arcf co8= J=arcf sin= ^ — ^ ^ j;
et, dans le cas de ^= 00 , cet arc peut être remplacé par son sinus, ce qui réduit à zéro la valeur précédente de €' — cl'. En même temps, la valeur de / se réduit ka'; en sorte que le mobile ne s'écartera pas de la direction verticale. La valeur de t^ deviendra aussi
V ag* a g ^
ce qui est effectivement le temps qu'il doit employer à parcourir la hauteur ^ •*— oc, du point A au-dessus du point B.
La détermination de la ligne de la plus vite des-
cente étant un problème de pure curiosité, je me suis borné à en considérer le cas le plus simple , celui où le mouvement a Heu dans le yide> et où les points extrêmes sont donnés. Si ces points A et B ne sont pas fixes et donnés, niais qu'ils soient seulement assujettis à se trouver sur des courbes données DÂE et FBG, ou sur des surfaces aussi données, la brachystochrone, dans le vide, sera encore une cycloïde, et, d'api*ès les règles du calcul des variations, ou pourra déterminer, dans tous les cas^ ]esl coordonnées de ces deux points. Dans un milieu résistant, cette ligne sera une autre courbe, dont on obtient, par les règles de ce calcul, Féquation différentielle, dépendante de la loi de la résistance par rapport à la vitesse du mobile. Pour tout ce qui concerne le calcul des variations , je renverrai au Mémoire sur ce sujet, que j'ai inséré dans le XII' volume de TÂca* demie des Sciences.
§ III. Mouvement sur une surface donnée,
3o5. Pour donner un exemple du mouvement d^un point matériel sur une surface donnée , je reprends le pendule simple du n"" 179; mais je suppose qu'après l'avoir écarté de la verticale CB (fig. 45), et l'avoir transporté en CA, on lui imprime une vitesse qui ne soit pas dirigée dans le plan vertical ACB. Le pendule sortira alors de ce plan , et le point matériel qui le termine se mouvra sur la surface d'une spbère décrite du point C comme centre , avec un rajon égal k la longueur a de ce pendule. La
percussion qui sera eitercée sur ce mobile^ à rorigînn du mouyement, se décomposera «a deux forces^ Tune dirigée suivant AC ou suivant son prolonge ment y qui sera détruite par la résistance du point fixe C, l'autre perpendiculaire à AC, qui produirai la vitesse initiale du pendule, que je représenterai par A:. Je supposerai que le mouvement a lieu daiu; le vide; en sorte que la gravité soit la seule force ac^ célératrice donnée qui agisse sur le mobile.
Cela posé, au bout du temps t, soit CM la position du pendule ; et désignons par j:, ^, z, les coordonnées rectangulaires du point M. Soient aussi m la masse du mobile, et mN la tension inconnue au fil CM, dirigée suivant son prolongement. En prenant le point C pour l'origine des coordonnées x , 7, z, les composantes de la force accélératrice N suivant leurs prolongemens seront
Or, si l'on applique au mobile une force égale et contraire à N , on pourra ensuite le considérer comme entièrement libre, et faire abstraction du fil CM; donc en supposant l'axe des z positives, vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur, les troil^ équations du mouvement seront
dp
dy df
IF
DTNAMiQUE, PREMIÈRE PARTIE. 387
<pi s'acoordeat avec les ëqiiations (3) du n® i5i. On les réduira à deux par rëlimination de rinconnue N; et en y joignant l'équation de la sphère , savoir^
a:* + ^ -f- je* = «*,
on aura lés trois équations qui devront servir à déterminer Xyj\ Zj en fonctions de t.
2o/|. J'ajoute les équations (i), après les avoir multipliées par x, jr^ z; i\ vient
a:d*x +jrdy + zd*z . ^
En difierentiant l'équation de la sphère^ une première fois, on a
xdx + jdjr + zdz = o , (2)
et^ une seconde fois^
x(tx -f- jdy + zd^z = — da^ — dj^ — cfe*.
jSî donc on représente par c la vitesse du mobile au bout du^emps t, de sorte qu'on ait
dt^ ~ ^ '
il en résultera
et y en effet, la tension mN doit être la somme
de la force centrifuge — et de la composante ^^
du poids du «mobile ^uitvant le prokingemeat du «yon CM.
J ajoute aussi les équations (i), après les xmkt multipliées par dx , djr^ dz ; riuconnue N disparaît eu vertu de Féquation (2), et Ton a
dxd^x + àjrd*jr + dzdH ^^ ,
Eu intégrant et désignant par b la constante arUtraire^ on aura donc
d3i^ + dx^+ dz^ , , ...
— ^J-^ — = !igz + fc. (5)
La valeur initiale du premier membre est ^; par conséquent^ si Ton désigne par y celle de z, on aura
et, à un instant quelconque ,
ce que nous savions déjà.
Enfin, je multiplie la seconde équation (i) par x, et j'en retranche la première, multipliée par j*; œ qui donne
dy d^x
donc, en intégrant et désignant par c la constante arbitraire, nous aurons
xdjr — jrdx = cdt. (4)
De cette manière , la solution du problème ne dé^ pend plus que des trois équations différentielles (a), (5), (4), qui sont du premier ordre, et dont la prc-
mière a déjà pour intégrale réquation de là sphère. On peut séparer les yariables, et réduire la question aux quadratures par le calcul suivant.
r2o5. L'équation (2) donne
xdx + jdj = — ^scfej
en élevant au carré ses deux membres et ceux de réquation (4)^ et ajoutant ensuite les équations résultantes, il vient
Je mets a^ — z* au lieu de x^ -i^J^t et j'élimine dx^ + djr^ au moyen de Téquation (5); il en résulte
(rt* — z*) [{2gz + b) dt^ — dz^] — z^dz"^ + c^dt^ ; d'où Ton tire
dt :^ , ^^ (5)
D&ignons par r le rayon vecteur de la projection du mobile sur le plan horizontal des x et j', et par 4 l'angle que fait ce rayon avec Taxe des x ; nous aurons
j:î=rcos4> 7' = ^sin4> ^^ — jdx=:r^d^ ;
à cause de i^z=za* — z*, l'équation (4) deviendra
(a* — z*)rf4/ = crf^;
et en y mettant pour dt sa valeur précédente^ on
3go TlUITÉ SE BfÉCAïaQUE.
en déduira
Les intégrales de ces expressions de dt et d-^ feront connaître les expressions de ^ et %{/ en fonctions de z; elles se réduiront toujours aux fonctions elliptiques^ et ne pourront s'obtenir sous forme finie qne quand la quantité du troisième degré par raj^poit à z, renfermée sous le radical , aura un facteur double. La valeur de 4 et Téquation de la sphère détermineront la trajectoire du mobile; la valeur de t en fonction de z^ ou de z en fonction de t, fera ensuite connaître là position du mobile, k chaque instant, sur cette courbe.
La constante b est connue d'après les valeurs données de k et y. On déterminera les constantes arbitraires qui seront introduites par les intégrations de ^ et ^4 f <l'Api*ès les conditions ^ = o et 4 == o, quand z=z y, dont la seconde suppose qu'on place Taxe des X dans le plan vertical ACB, d'où part le pendule* n ne restera donc que la constante c à àétet' miner* Or, la vitesse if du mobile étant pèrpendicalairç au rayon CM de la sphère sur laquelle il se meut, si on la décompose en deux, l'une perpendiculaire au plan vertical MGB, et l'autre comprise dans ce plan, la première composante sera la vitesse de la projection horizontale du mobile, perpendiculaire à son rayon vecteur r; en la désignant par u, on aura donc (n^ i56)
on bien y en vertu de Fëquation (4) y
donc 9 si l'on appelle t Tangle que la vitesse initiale k fait avec la perpendiculaire au plan ACB^ de sorte €|u'on ait ii = Â:cos6 à l'origine du mouvement, il ea résultera
c = A: \/a* — y^ ces €.
Lorsque la vitesse k sera nulle, on aui*a c = o, h ;= — ag>, et, par conséquent,
adz
dt —
{/2gV^(a^ — z-){z^y)'
ce qui coïncide avec la valeur de dt du n"" i85y en observant que a — z et a — ^ sont ce qu'on a appelé €Lr et aC dans cette valeur.
ao6^ Considérons spécialement le cas où le pendule a été très peu écarté de la verticale CB^ et a reçu une très petite vitesse initiale. Supposons cette vitesse horizontale, et, par conséquent^ perpendiculaire au plan ACB, de sorte quon ait € = 0. Dési-^ gnons par C une fraction très petite, et faisons
, k =z C \/ga.
Soient aussi et et 6 les angles ACB et MCB ; en négli*géant leurs quatrièmes puissances, on aura
^ = — 2^a + ga (at* + f •) , c» = ga?<e&^ ;
39a TRAITÉ DE MECANIQUE,
et les formules (5) et (6) deviendront
rfj.= ^'^' ^ ^^
L'angle 4 ^^^^ connaître la position du plan vertical MCB, dans lequel le pendule se trouve à chaque instant; il pourra croître indéfini ment. L angle 6 déterminera, aussi à chaque instant, la position du pendule dans ce plan variable; on le regardera comme une quantité positive y et les positions du pendule, également éloignées des deux côtés de la verticale GB, répondront à un même angle 6 et à des valeurs de 4 qui différeront entre elles de i8o*.
D'après la valeur de t- , tirée de la première équation (a), on voit que Tangle 6 sera toujours compris entre a et C. Si Ton a ^ = â& , on aura constamment 0 = a; en divisant les équations (a) Tune par l'autre, on a, dans tous les cas,
d-\^\J\~dt, {b)
dans le cas de 0 = (t== ^, on aura donc
par conséquent, le pendule décrira alors uniformément un cône droit à base circulaire, et le temps
d'une révolution entière sera ^tt y - ^ c'est-à-dire.
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. Sgî
le même que celui d'une double oscillation dans le plan vertical AGB. Ainsi ^ deux pendules de même longueur a^ qui partiraient ensemble de la même droite GA , l'un sans vitesse initiale et l'autre avec une vitesse perpendiculaire au plan ACB et égale à a \^ga , reviendraient ensemble à cette droite CA. ' ^207. On peut écrire la valeur dt sous la forme :
Je fois , pour simplifier^
3fl«— a*— ^•= (*•— ^•)^> 4yfl=(cf— e*)dlr ;
le radical devient ± (et* — ff*) \/i — a:*; et il en résulte
j^ i /a dx
A cause deO = â&etx=i^ quand ts=:o, on tire de là
t=:=t i ^1 arc(cos = x),
et, réciproquement,
a: = cos 2t y-'
On aura donc» à un instant quelconque,
e«=i(a*+€:-) + ^(«--C-)cos3<v/f;
ce qui montre que le pendule fera dans le plan variable MGB, des oscillations isochrones «dont les ex-
3g4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
trémités répondront àQ=aetâ=C^ et donl la d«*
réesera- cr y ~> ^^ moitié d'une oscillation dans le plan fixe ACB.
Je substitue cette valeur de fl* dans l'éqaatiQn (b) ; en observant que
cos 2t y/| = cos'^ \/^ — sin^t %/^ , il en résulte
rf+ = v/f ^ ,
et y à cause de •>!. ^ o quand t = o^ on- en conclut et tang 4 == ^ tang t 1/^.
Cela étant, le moavement du plan MCB ne sera plus uniforme comme daùs le cas de a = ^ ; mais on voit qiie ce plan effectuera successivement les quatre quarts de sa révolution entière , dans des temps égaux entre
eux et au temps - ^ \/- » pendant lequel le pendule
fait une oscillation dans c6 plan variable. ^ On tire de cette dernière équation
cos* 4 =
sin* 4
••cosW^| + «*8i"'^v/f «» co8« i \J^ + C' sin' / %/|
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. dgS
on a aussi
or* = ( a* — z* ) cos* 4 = a* &• cos* 4' 9 ^ = («• — z*)sin»4 = i2*6*sm*4,
d'après la valeur approchée de 2; donc, à cause de
6* = a» cos* t }J^ + ff* sîn* t y/j, nous aurons
jc* = rt*a* cos' 4 > 7** = ^*^* sin* 4 > et ^ par conséquent,
ce qui fait voir que la trajectoire de la projection du mobile sur le plan horizontal passant par le point C, est une ellipse qui a son centre en ce point, et l'un de ses axes dans le plan ACB , d'où part le pendule ayec une vitesse perpendiculaire à ce plan.
3g6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
