LIBRE

§ I*'. Mouvement des projectiles.

208. Dans ce paragraphe , nous nous occuperons particulièrement des projectiles de l'artillerie, qui sont lancés avec de grandes vitesses , et soumis à la pesanteur et à la résistance de Tair.

Faisons d'abord abstraction de cette résistance , et considérons un point matériel pesant qui part du point 0 ( fig. 48 ) , avec une vitesse a dirigée suivant la droite OÂ. Il est évident que le mobile ne sortira pas du plan vertical passant par cette droite. Soit OMD sa trajectoire dans ce plan , laquelle sera tan* gente à OÂ. Dans ce même plan, menons deux axes Ox et Ojr, le premier horizontal , et le second vertical et dirigé en sens contraire de la pesanteur. Prenons ces axes pour ceux des coordonnées; au bout du temps quelconque t, soit M la position du mobile, a: son abscisse OP, et / son ordonnée PM • Désignons par g* la gravité. Enfin , appelons a l'angle aigu ÂOx que fait la vitesse initiale a avec l'axe O^r , de sorte que ses composantes soient a cos a suivant cet axe ,

et a sin À suivant Taxe Ojr : l'angle a serait négatif^ si la droite OÂ était située au-dessous de Ox.

D'après ce qu'on a vu dans le n^ 148, les mouvemens des projections du mobile sur les deux axes Ox et Ojr seront indépendans l'un de l'autre;. le mouvement de sa projection horizontale sera donc uniforme et dû à la vitesse a cos a ^ et celui de sa projection verticale sera dû à la vitesse initiale a sin a et à la force constante g agissant en sens contraire de cette vitesse; par conséquent , on aura

X ^ ta cos CL, y = ^ a sin a — ig^*;

et si l'on élimine t , et qu'on suppose la vitesse a due à

une hauteur h^ de sorte qu'on ait a = \/t^gh , il en

résultera

or* jr z=z X tang a —

4* cos* m '

pour l'équation de la trajectoire.

Cette courbe est donc une parabole qui a son grand axe vertical ; son sommet , déterminé par l'équation

^ = o, répond à

X =1 :kh cos oLÛnoL, y z:^ h sin* et ;

et elle rencontre l'axe Ox en un second point B , tel qu'en appelant h la distance OB , on a

6 ss 4^ sin 01 cos et z=t ah sin qlcl.

Cette distance h est ce qu'on appelle Yamplitude du jet. Dans le vide^ son maximum répond, comme on

398 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

voît, à fit = 45% et il est e'gal à ^h, c'est-à-dire,

double de la hautenr due à la vitesse initiale.

En appelant c la yitessedu mobile au bout du temps t,eï substituant les différentielles des valeurs précédentes de X etjr dans l'équation

il en résulte

Le temps que le mobile emploie à arriver au point B en décrivant la courbe OCB , est le même que s'il décrivait la droite OB avec la vitesse a cos «; il est

donc

. b ^^ CJi sin m ^

"^ a cos flt "^ a *

et à cause de A = — , il en résulte gt = 2a sin a ;

ce qui donne i>* = a*. La vitesse en ce point B est donc la même qu'au point 0 J elle est dirigée suivant la tangente BE, et l'angle de chute ERr est aussi le même que l'angle de projection' AOo:*

Si le mobile, au lieu d'être un point matériel, est un corps solide, de forme et de dimensions quelconques , on verra par la suite que ces équations du mouvement parabolique devront être rapportées à son centre de gravité.

209. La vitesse a étant donnée, si l'on demande quel doit être l'angle a pour que le mobile atteigne un point déterminé, dont les coordonnées seront xz=zC et 7" = >, on mettra ces valeurs dans l'-équaftion de la trajectoire, et l'on aura

pour déterminer cl. En faisant

tanga = z, cos^a = 7— jj-^f .

cette équation devient

^hy + g* — 4hSz + €^z^ = o; d'où l'on tire

Cette double valeur de z ou de tang cl nous montre qu'on peut atteindre un but donné , en tirant sous deux directions différentes^ tant que /\h* surpasse ^7iy + &•; que ces deux directions se réduisent à une seule^ lorsque ces deux quantités sont égales; et qu'on ne peut atteindre le but, sous aucune direction, c{uand ^h* est moindre que 4^iy + 6*.

Ainsi, en traçant dans le plan verlical qui passe par la direction initiale du mobile, la parabole dont l'équation est

4hy + €• = 4h%

cette courbe divisera le plan en deux parties , telles que tous les points de la partie extérieure seront garantis de toute atteinte , que ceux de la partie intérieure pourront être atteints de deux manières dijBPérentes, et ceux de la ligne de séparation, d'une manière seulement.

:aio. La théorie du mouvement des projectiles

4oo TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

serait donc très simple, si l'on pouvait négliger la résistance que l'air oppose à leur raouyementj mais dans le cas des grandes vitesses dont nous nous occupons spécialement, cette force est beaucoup trop considérable pour qu'on en puisse faire abstraction : elle change entièrement la forme de la trajectoire et les lois du mouvement sur cette courbe, ainsi qu'on va le voir.

Quelles que soient la forme et les dimensions du projectile, on fera voir, dans un autre chapitre, que son centre de gravité aura le même mouvement qu^un point matériel pesant, dont la masse serait celle du mobile, qui aurait une vitesse initiale donnée en grandeur et en direction , et auquel on appliquerait en outre, parallèlement à elles-mêmes, les forces provenant de la résistance et du frottement de l'air, qui s'exercent à la surface de ce corps solide. On verra aussi que la force motrice qui résultera de ces résistances transportées au centre de gravité > pourra quelquefois faire sortir ce point du plan vertical mené par la di-rection de la vitesse initiale; mais ici nous supposerons que ce cas n'ait pas lieu , et que la force motrice dont il s'agit soit constamment tangente à la trajectoire du centre de gravité.

Cela posé , pour former les équations de son mouvement, conservons toutes les notations précédentes, et supposons qu'elles se rapportent maintenant à la figure 49 f ^ù la trajectoire OMD n'est plus une parabole. Soit, en outre, ^ l'arc OM décrit par le mobile au bout du temps t, et R la force motrice provenant de la résistance de l'air, qui sera dirigée suivant la

partie MT de la tangente en M. lies cosinns des angles que fera cette droite MT avec des axes menés par le point M suivant les directions des x et des^ po*

sitives , seront — ^ et — -^ > en appelant m la

masse du projectile et g la gravite, nous aurons donc*

J/* m ds* dt* ^ mds^

pour les équations du mouvement de son centre de gravité.

Je prendrai pour ce projectile une sphère homogène ou composée de couches concentriques dont chacune sera homogène; en appelant D sa densité moyenne et r son rayon ^ on aura alors

4jrDr5

Je supposerai aussi, conformément aux hypothèses généralement admises, la force R proportionnelle au carré de la vitesse du centre de gravité , à la sur* face du projectile, et à la densité de Tair; il enré^

sultera

R np^ ds^^

m Dr d^*

p étant cette densité, et n un facteur numérique qui devra être déterminé par l'expérience. Cette exprès-* sion satisfait a la condition de l'homogénéité des

quantités; car — et le rapport de t-j à r sont deux

quantités de la même nature que la gravité g, et les

facteurs ^ et ^^ sont des nombres abstraits. Pour

4oa TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

plus de commodité, je ferai

hr ~ ^'

de sorte que - soit une ligne dont la longueur sera

donnée, et que je regarderai comme constante, en faisant abstraction du changement de densité de la masse d'air que traverse le projectile.

R ds^

Util. En mettant à la place de — ^ sa valeur c -=- , les deux équations du mouvement deviennent

d^x , ds dx

à*r . . ds dr

L'intégrale de la première est dx

= a cos et e""'%

en observant quon a — == ^ cos et, au point 0 où

j=:o, et désignant par e la base des logarithmes népériens. La forme de la seconde ne différant de celle de la première que par son dernier terme*, je fais, pour l'intégrer,

dr dx

dt — P dï'

p étant une nouvelle inconnue. En substituant cette

valeur de ^ dans la seconde équation (i), et ayant égard à la première , il vient

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 4o3

dx dp

dtdt S'

Je diyise cette valeur par le carré de ^ ou de sa valeur précédente; il en résulte

dt dl a*cos*x

En considérant^ et p comme jdes fonctions de a:, on aura

r — dt ' dl ^ dx' di * dt~ dx^

si donc on Êdt toujours a* = ^8^f l'équation précédente deviendra

^ = — ' e^'- fa)

et ce sera l'équation différentielle de la trajectoire. On a identiquement

V/i H- p^dx = dsi

en multipliant membre à membre ces deux dernières équations, on aura donc

d'où il suit, en intégrant et désignant par y la constante arbitraire.

Pour déterminer y, on fera, à la fois, j:^o et

4o4 TliAlTÉ DE MÉCANIQUE.

p = tang A i ce qui donne

^^jj^^ ï/i+lang**;;

mais^ pour abréger^ je conserverai ^ à la place de cette valeur.

D'après les équations précédentes^ on a

dx^ — ^hcos^ae^^'dp, djr^=zpda:, gdt^ss — dxdp;

en éliminant Feicponentielle au moyen de Téquation (3) p nous aurons donc

cdx = == ^- — ' — ,

pV^l+P'+los{p+\/i+p'')—y

formules qui ne sont point intégrablcs sous forme finie : dans la dernière , on regardera le radical comme une quantité positive^ parce que l'apgle dont p est la tangente diminue quand le temps augmente.

212. Si l'on appelle où cet angle, c'est-à-dire, l'indi* naison MTor de la tangente à la trajectoire, sur Taxe horizontal 0^, on aura

^ = tang«, dp^^^.

Les valeurs de or,^, t^ déduites des équations (4), seront de la forme fCldo»; l'intégrale étant prise de manière qu'elle s'évanouisse au point 0 où l'on a «s=a, et n désignant une fonction donnée de co.

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 4o5

On calculera cjes trois raleure, pour chaque pioint M, par la méthode des quadratures {xè? i5). De cette manière^ on pourra construire la trajectoire par points , et l'on connaîtra le temps t que lé mobile emploiera à décrire chaque arc OM , dont la longueur s sera donnée par l'équation (5). Quant à la TÎtesse du mobile au point M , on aura

et, par conséquent, ^

En étendant ces intégrales jusqu'à a>=ro, on déterminera l'abscisse et l'ordonnée du point C, le plus élevé de la trajectoire. Si l'on donne ensuite à a> dés yaleurs négatives, on déterminera lés points dé la branche descendante CBD de la trajectoire. Quand on sera parvenu à une valeur — ^ a/ dé a> , pour laquelle l'ordonnée j de la trajectoire sera nulle , la, valeur correspondante de x exprimera l'amplitude du jet OB, qui ne sera plus double de l'abscisse du point C, comme dans le cas du vide,^ et dont le mojcimum, par rapport à a, répondra à un angle moindre que 45* et dépendant de la grandeur de la vitesse initiale. L'angle a! ou £B«r et la vitesse au point B différeront aussi de cl et a.

Ainsi, toutes les circonstances du mouvement seront connues, et la solution du problème est complète , sauf la longueur des calculs numériques qu'il faudra exécuter dans chaque cas, lorsque lés valeurs

4o6 TRAITÉ DE MÉGANIQUE,

des trois constantes h^ct^ c, contenues dans les formules pr^ëdentes, seront données.

21 3. Le mouvement du projectile sur la branche descendante de la trajectoire , approche de plus en plus d*étre vertical et uniforme.

En effets soient ^.^ ^i, ^, les valeurs dear,^^ t, qui répondent au sommet C; trahéportobs l'origine des coordonnées en ce point, et faisons

or = a:, -f- or', 7- = 7-, — . /, t =: t, -^ t';

en sorte que ûc' et y soient Fabscisse et rordonnée du point quelconque M' (fig. 5o) de la branche descendante, rapportées à l'axe horizontal Ca/ et à l'axe Cy qui est dirigé dans le sens de la pesanteur , et que t représente Iç temps employé à parcourir Tare CM'. Soit aussi p' la tangente de l'angle M'TV que fait la tangente à la courbe en M' avec l'axe Car'. Nous aurons

et à cause de

la première équation (4) deviendra

cdûo' = -^ , en faisant, pour abréger,

L'angle aigu MTV pouvant approcher contiQuelIement d'un angle droit , la variable p' croîtra indéfini-

DYNAMIQUE, PREMIJËRE PARTIE. 407

Ynex^t; mais il n'en sera pas àe même à Fëgard de.ar'.Four «le très grandes valeurs de p\ on pourra mettre // à la place de V/i +/?'•; et en négligeant 7 -f- log 2 par rapport à p'^p on aura

?' = /)'* H- ilog;>'%

ou simplement F' =:'/>'*^ en observant que le logarithme d'une quantité très grande p'^, pt^ à plus forte raison^ îIog/>'% ^t très petit re{i^tiv^aient.à. Cettf cpiantité : on aura donc, pour ces valieurs d^ p%

en intégrant et désignant par G une quantité conSr tante, et il en résultera . .

ce qui montre que les valeurs de x* ne croîtront pas indéfiniment avec celles de />'/ Cela étant, soit

q sera une ligne de grandeur finie, qu'on pourrit calculer par la méthode des quadratures; et si Ton prend sur Cr' une partie CA égale à cette ligne, la verticale ^B menée par ce point sera une asymptote de la partie CD dé la trajectoire ; en sorte qup le mouvement du projectile sur cette branche descendante, approchera indéfiniment de la direction verticale.,

Olîservons, de plus, que pour les très grandes

4o8 TRAITÉ DE HËCANIQUE.

yalears de p\ les deux dernières éqaations (4) se

réduiront à

d*bii il résultera

par conséquent, le mouvement final et vertical du projectile sera uniforme; ce qu'il s'agissait de démontrer. La vitesse de ce mouvement sera ceUe qu'un corps pesant acqitiert en tombant dans le vide, d'une

hauteur égale à — ; et c'est aussi ce que l'on condot

de la formule (5), en mettant — />' au lieu de p, et considérant ensuite p' comme une très grande quantité.

En faisant, dans la première équation (4),

p = tang«, dp = '^.

et, pour abréger, on en déduira

[y^tang«l/i-f.|aQg*«— log(ûmg« + l^i+taDg*«»)]co8'#=ri,

X,^\f^ada>,

pour l'abscisse du point C. Si donc on prend sur Ox (fig. 49)^ ^^ point F, tel que l'on ait