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la verticale F6, menée par ce point F, sera l'asjmptote de Ja branohe descendante de la trajectoire.
2 14- Soit Orrie prolongement de la trajectoire OCD- 1^ point de départ du mobile étant 0, le mouvement n'aura pas lieu sur cette partie de la courbe; mais on peut, néanmoins, désirer den connaître la forme. Or, on la construit par points, au moyen des deux premières formules (4), en y donnant à p des valeurs positives et plus grandes que tang a ; et il est aisé de s assurer qu'elle a aussi une asymptote , mais qui n'est pas verticale, comme celle de la branche descendante.
Pour cela, j'observe que, d'après la valeur de y du n* 3 1 1 , il y a toujours uû angle Q aigu , et > a, qui est tel que p = tangf rend nul le dénominateur commun de ces deux formules, c'est-à-dire, un angle Q qui satisfait à l'équation
y — tang? l/i + tang*?— log (tangff+ i/ 1 + tang'C) = 0. (6)
Cela étant, on voit par la valeur de dp^ tirée de l'une ou l'autre des deux premières équations (4) , que Tabscisse x et l'ordonnée jr croissant indéfiniment, abstraction faite du signe, dans cette partie ON de la courbe , la quantité p cesse de croître, lorsqu'elle di£fere infiniment peu de tang^; en sorte que p ne peut jamais dépasser ni même atteindre rigoureusement cette valeur /7=tang^; ce qui signifie que la branche de courbe ON a une asymptote qui coupe le prolongement de l'axe Ox sous l'angle Q. On déterminera sa distance au point 0 de la manière suivante.
Je mène par le point 0 un axe qui fasse, avec le prolongement de Ox, un angle égal au complément de é, et qui soit, par conséquent, perpendiculaire a
4io TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
Fasymptote de ON'. J'appelle u l'abscisse d'uti point quelconque de la courbe ; comptée sur cet axe à partir du point 0; les coordonnées de ce ix>int, par rapport aux axesOâ? et Ojr^ étant toujours x eijr^ on aura
u =:jr cosC — or sîn C.
' En différentiant et mettant pour dx et djr leurs yâleurs données par les deux premières équations (4)^ il vient
Cdu = (tangg^/7)4p
[y— /7V/f+/^*— lo6(/; + »/i+/^*)]cosC'
formule dans laquelle on donnera â p des valeurs plus grandes ou plus petites que tanga, selon qu'il s'agira d'un point de la partie ON ou de la partie OM de la courbe. On peut retrancher de son dénomina-* teur le premier membre de l'équation (6) , multiplié par cos^; et si Ton fait, en outre,
/)= tango», dp = ~.
et, pour abréger,
tangff V/ 1 +tang*e+Iog(tangÇ-+- \/i+tang*C) — ianga)V/i+tang*a — log(tanga>-+-v/i-|-tang^(»)=U,
il en résultera
cU C08 C C08* m
Or, en faisant
ccosCJ tL
^ ( tang C — tang je) dâs U cos* •
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 4ii
r sera une ligne de grandeur finie ^ que l'on calculera par la méthode des quadratures, et qui exprimera la valeur de u relative à Tasymptote de ON , c està- dire, la longueur de la perpendiculaire abaissée du point 0 sur cette droite , qiu'il s'agissait de déterminer. Cette droite asymptotique aura pour équation
^cos^ — jtrsînS = rj
en sorte que si l'on prend sur le prolongement de Ox un point H tel que l'on ait
OH = r,
l'asymptote de la branche ON sera la droite HK^menée par le point H, et faisant avec le prolongement de Ox un angle KHO supplément de C. Les deux asymptotes FGetHK, prolongées au-dessus de Taxe 0^, se reticon* treront en un point L , de manière que la courbe entière sera comprise dans l'angle KLG, dont le complément est l'angle Q déterminé par Téquation (6).
ai5. Lorsque l'angle tie projection A0:r ou et est très petit (fig. 5t), le projectile ne s'élève qu'à une petite hauteur au-dessus de l'axe horizontal Ox , mené par son point de départ. Or, dans ce cas, on peut obtenir, avec une approximation suffisante , l'équation en x et jr de la partie OCB de la trajectoire, située au-dessus de Ox^ et même on peut étendre cette équation jusqu'à un point D, ' dont la distance à cet axe n'est pas très considérable.
En effet, dans toute cette partie OCB, ou même OCD de la trajectoire, la tangente à cette courbe sera presque horizontale, et la quantité p très petite ;
4ia TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
en négligeant le carré dep, on aura donc
• lis = dx , s 2= X f
et réquation (2) deviendra
dx dx* ^hcos*a
En intégrant deux fois de suite, et déterminant les
dy
constantes arbitraires de manière qu'on ait -j- = lang etetjr = o, quand a: = o, il vient
r = or tang « - gc/cos'^ (^'^ ^ ^^^ — 0'
pour l'équation approchée de la trajectoire, qu'il s'agissait d'obtenir. En développant l'exponentielle qu'elle renferme, réduisant et faisant ensuite c=o, elle devient l'équation exacte de cette courbe dans le vide.
D'après l'équation gdt^ = — dûcdp du n** 21:2^ et
la valeur précédente de ^ , on aura
dt = — =i e"rfx,
y 2gh cos «
et, par conséquent ,
C y 2gh cos OL
ce qui fait connaître le temps t que le mobile cnt— ploiera à parcourir une portion quelconque OM de la courbe OCD.
