Supposons que le projectile vienne tomber

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 4i3

Bur le terreîn en un point D; représentons par A l'abaissement de ce point au-dessous du plan horizontal , mené par le point O, ou la perpendicalaire DQ à Taxe Ox; soient aussi Z la distance OQ, et r le. temps employé à aller du point 0 au point D; nous aurons y à la fois,

X =: l, jr z= — X, t z=s n

et en remplaçant, pour plus de simplicité, cos* a par Vanité dans les formules précédentes, il en résultera

8c*A ( A -h^tang a ) = e**'— 2c/— i ,

^c\/2gh=:e^ — I. j

Lors donc que les deux constantes h et c seront données^ et qu'on aura mesuré Tangle a et leléyatioa A du point 0 au-dessus du terrein, ces équa« tions feront connaître la portée horizontale Z; et la darée r du trajet du projectile. Réciproquement, quand on connaîtra et, A , Z, r, par des mesures directes, ces équations pourront servir a déterminer le coefficient c de la résistance, et la hauteur h due a la yitesse initiale. En éliminant h, ou a.

4(A -h Ztang a) (e*' — i)* = gT»(e**'— 2cl— i) ;

équation d'où l'on tirera la valeur de c : l'une des deux précédentes donnera ensuite immédiatement la valeur de Â.

Il existe encore de l'incertitude sur les grandeurs des portées et des vitesses initiales. D'après Lombard^ pour un canon de ^4 chargé au tiers du poids du boulet, la vitesse initiale est de 4^3 mètres par se-.

4i4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

conde; et pour un canon de 1:2, dont la charge est aussi le tiers du poids du projectile , cette vitesse s'élèye à 494 mètres. Suivant le même auteur, les portées correspondantes et relatives à X = o , sont 700 mètres dans le premier cas , en supposant et = i* i5' 6", et 660 mètres dans le second cas , en supposant et = 1^5' 36''.

Au lieu du temps r, on pourrait employer à la détermination de A et de c, une seconde portée du même canon à une élévation différente au-dessus du terreîn. Ainsi , en supposant que le poids du projectile, celui de la charge et l'angle ot ne soient pas changés, les quantités h et c resteront aussi les mêmes; et si A et Z deviennent A' et F, on aura

8c*A ( A' + Z' tang a) = e^^' — 2cP — i ;

d'où il résultera

(A + Z tang a) (e»*" — 2cP — 1)

= (A'-|-Z'tanga) (c^'— acZ — i), (6)

en éliminant h au moyen de la première équation (a). Les auteurs de Balistique ne sont nullement d'accord sur la grandeur du nombre n qui entre dans l'expression du coefficient c , savoir ( n^ 310 ),

^ — Dr

D'après une théorie très imparfaite de la résistance des fluides, ce nombre n serait |; mais toutes les expériences Iç donnent plus petit , et Lombard le fait égal à ^. L'équation (b) fournirait le moyen le plus sus-

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 4i5

ceptible de précision pour la détermination de c, en supposant bien connu et invariable , Tangle de projection a.

§ IL Mouvement des planètes*

21^. Les lois du mouvement des planètes autour du soleil sont connues sous la dénomination de Lois de Kepler^ parce qu'elles ont été découvertes par cet astronome , qui les a déduites de l'observation. Elles sont au nombre de trois ;p dont voici les énoncés :

lo. Les planètes se meuvent dans des courbes planes y et leurs rayons vecteurs décrivent , autour du centre du soleil^ des aires proportionnelles au temps.

2*". Les orbites, c'est-à-dire, les trajectoires des planètes , sont des ellipses dont le soleil occupe un des foyers.

3*. Les carrés du temps des révolutions des planètes autour du soleil sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites.

Toute leur importance n'avait pas d'abord été comprise; cest Newton qui en a montré l'usage pour déterminer la force qui retient chaque planète dans son orbite, c'est-à-dire, la direction de cette force et les variations de son intensité , soit d'une position à une autre d'une même planète , soit d'une planète à une autre. On verra, en effet, dans ce paragraphe,, que chacune de ces trois choses est une conséquence nécessaire des trois lois du mouvement planétaire que Ton vient d'énoncer.

4i6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Ces lois se rapportent au mouvement du centre de grayité de chaque planète; c'est le mouvement de ce point que nous allons considérer; et quand il sera question de la position ou de la vitesse d'une planète, il faudra entendre la position ou la vitesse de son centre de gravite.

:ii8. Soient ÂMBD (fig. 62 ) l'ellipse décrite par une planète, AB son grand axe, C son centre , 0 et 0' ses deux foyers, 0 celui qui est occupe par le centre du soleil, B le périhélie ou le point de l'orbite le plus rapproché de 0 , A Vaphélie ou le point le plus éloigné du soleil*

Au bout du temps t qui sera compté à pai^ir du passage de la planète à son périhélie, soit M sa position sur l'orbile. Désignons par r son rayon vecteur OM, et par 9 l'angle MOB que l'on appelle, en Astronomie , V anomalie vraie. Le secteur décrit par ce rayon pendant l'instant dt sera 7 r* ^6 ( n* i56 ) ; d'après la première loi de Kepler, on aura donc

r»rf6 = cdt; (i)

c étant une constante égale au double de Taire décrite dans l'unité de temps, et ^ et le double de l'aire MOB décrite dans le temps quelconque t.

Soient aussi

O'Mrnr', CB = CA = a, CO = CO' = ae-

D'après une propriété de l'ellipse, on aura

r -f- r' = na; dans le triangle O'MO , on a aussi

/• = /- + ^ae cos 0 + 4aVV €t si l'oa élimine r' entre ces deux équations, il vient

1 4- ecosfl' ' W

pour réquatlon de la trajectoire.

Pour toutes les planètes connues avant ce siècle, \ excentricité e est une fraction très petite; celle de l'orbite de la terre est

e = o,oi6855i8, ou, à peu près, un soixantième. La plus grande éfait celle de Mars, qui surpasse neuf centièmes ; c'était donc pour cette planète que le mouvement elliptique devait être le plus difiFérent du mouvement circulaire excentrique, que Ton adoptait avant Kepler; et c'est, en effet, dans les observations de Ticho-Bcahé, relatives à cette planète, que Kepler a reconnu d'abord la différence de ces deux mouvemens. Si l'on développe les valeurs de r et fl , en séries ordonnées suivant les puissances de e^ au moyen de l'équation des aires proportionnelles au temps, jointe à celle de la trajectoire elliptique ou à celle de la trajectoire circulaire excentrique , on trouve que pour un même temps ^, les développemens correspondans à ces deux courbes , ne diffèrent que dans les termes qui dépendent du carré ou des puissances supérieures dee; circonstance qui rendait, à Tépoque de Kepler, la différence des deux mouvemens très difficile à découvrir.