Si l'on appelle T le temps de la révolution
4i8 TRAITÉ DE MÉGANIQUE,
d'une planète » et qu'on fasse
cette constante n sera la vitesse moyenne angulaire^ et nt le moyen mouvement de la planète.
Imaginons un astre fictif dont le mouvement soit uniforme, et qui parte du périhélie et achève sa révolution en même temps que cette planète; son rayon vecteur décrira l'angle nt , pendant que celui de la planète décrit l'angle 8; l'angle 0 — nt, compris à une époque quelconque entre ces deux rayons^ est ce que les astronomes appellent Y équation du centre : il est positif^ et la planète précède l'astre fictif, en allant du périhélie à l'aphélie; le contraire a lieu en revenant du second point au premier. Le maxi-mum de l'équation du centre dépend de la grandeur de l'excentricité.
En prenant le jour moyen pour unité de temps, et mettant SCo"" au lieu de ^tt, on a, relativement à la terre,
T = 565>,256574, n = o-Sg'ST.
Cette valeur de T est la durée de l'année sidérale , ou l'intervalle de temps qui s'écoule entre deux retours consécutif du soleil à une même étoile , dans son mouvement apparent autour de la terre. L'inter* valle compris etitre deux retours consécutifs à un même équinoxe, est plus court, à cause cfue les points équinoxiaux ont sur. Yécliptique un mouvement rétrograde ^ ou en sens contraire de celui du soleil.
En prenant 5o',22/\2j pour la précession annuelle en 1800, et observant que le rayon vecteur du soleil emploie o^^oi4i58, à décrire ce petit angle^ il en résulte
pour la longueur de l'année équinoxiale au commencernent de ce siècle. L'année sidérale est constante ; mais la précession des équinoxes varie un peu, et, par conséquent aussi , l'année équinoxiale : sa longueur diminue d'à peu près une demi-seconde par siècle.
220. La constante c aura pour valeur le double de la surface de l'ellipse divisé par T ; en observant que le demi-petit axe est a \/i — 6% et la surface Tra^y/T^—ë^f on aura donc
2sra* l/i — e*
Au moyen de cette valeur et de celle de n, Téqua-tion (i) devient
r*£i9 = na^i — e^dt.
L'équation {2) donne
6 = BTC[CO& = -^^ -^ j,
ri/aV — (r— û)»'
par conséquent , on aura
- rdr
nadt =
^/fl*e« — (r — . a)»
4^0 TRAITÉ DE MËGANIQUE.
Pour intégrer œs formules^ faisons
. r s £1 (i — e cosu); (à)
nous aurons
dr =s ae sin u , ndt = (i — e cos u) du ;
a cause de r = a( i — 6 ) au point B, il faudra que Fangle u soit nul en ce point où Ton à aussi t =0 ; en intégrant, on aura donc
En mettant pour r sa valeur dans celle de do , et observant que cos u = cos* 7 u — sin*x<^, i^ en résulte
^ i^i — <:'du
M = Tî ; !~n — f
1 — <î cos* î M -f- c sin* ~u'
et si Ton fait
tangitt = a, ^-^ = orfz, cette valeur devient
I — c + Ci +e)z*
En intégrant et observant que fi et z^ sont zéro en même temps, c'est-à-dire, au point fi, on aura
i9=arc(tang=:z v/f^)?
d'où Ton conclut
tangie= v/7^ toi.gi«, (c)
en remettant pour z sa valeur.
Ces trois équations (a), {b), (c), expriment , sous forme finie, les valeurs de r,nt, ^^ au moyen de la variable auxiliaire u, qu'on appelle VanomaUe excentrique* En éliminant u entre elles , on aura les deux coordonnées polaires r et 6 de la planète en fonctions au temps, sous forme de séries ordonnées suivant les puissances de l'excentricité, qui seront, par conséquent, très convergentes dans le cas des anciennes planètes. Après qu'on aura formé ces séries, on y pourra remplacer les puissances de cos nt qui se trouveront djins le développement de r, et celles de sin nt que renfermera le développement de 6 — nt, par des cosinus et des sinus des multiples de nt. Si Ton conçoit qu'on ait ensuite ordonné ces développemens du rayon vecteur et de l'équation du centre suivant les cosinus ou sinus des multiples croissans de nt, on pourra déterminer directement, par l'analyse suivante, les valeurs des coefBciens de ces deux séries en fonctions de Texcentricité.
