Je fais

r:=Ao+A,cos/i^+A,cos3/î«-|-. . .+A|COsm^+etc,, 8 — ?i^=B,sin7z/-|-B.sin272^+' • .+ B|Sin int^ etc.;

Ao, A, ,A«, etc., B,, B^^, etc., et généralement A| et B|, étant les coefficiens qu'il s'agit de déterminer. Si / et i' sont deux nombres entiers positifs et différens , on aura , en effectuant les intégrations ,

cos int cos i'nt d.ntz=zo, sin int sin int d.nt =:o}

4ai TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

et dans le cas de /=£', on trouvera

/cos* int d .nt =: -tt, O 2

sm* intd .nt s=: -tt.

Ces dernières formules ne s'appliquent point à i = o; dans ce cas , la première intégrale est égale à ^^ et la seconde à zéro.

Cela étant, je multiplie le déyeloppement de r par cos intd.nt, et celui de 9 — nt par sin intd.nt; puis j'intègre depuis /i^ = o jusqu'à nt =w. Tous les termes s'évanouissent, excepté ceux qui ont Ai ou B| pour coefficient, et l'on en conclut

A| = - Y r cos int d.ntf B| = ^ / (ô — nt) sin int d^nt.

Dans le cas de £=o, on aura, en particulier, Ao = - / rd.nt.

c'est-à-dire qu'il faudra réduire à moitié la valeur générale de Aj* En intégrant par partie, et observant que 0 — nt est zéro aux deux limites n^ = o et 72^ = 9r, l'expression de B| pourra être remplacée par celle-ci :

B| = ^ y cos int rf(fl — nt).

Je substitue à la place de r, n^, 9, leurs valeurs

^n fonctions de u , tirées des équatioQS (a), (6), (c); à canse de

— = -^ , —y— =1 — e cos 1^ ,

du I — e C08 u' du

et parce que u = o et 2^ s^ 'tt répondent à /i^ = o et ntz=^, il en résultera

A|= — / (i — ecos m)*cos {iu — ie sin u)du^

B,;=r- / VI— e* — {i— ecosï/VJ — ^ -^t/w;

formules qui feront connaître les valeurs numériques des coefficîens A| et B|, soit par la méthode des quadratures, soit par la réduction en séries. Pour cette réduction , on aura, par le théorème de Taylor,

co^iu — /esînM)==ri--— sin-2^4*--|78Îo^«--ctc.)co8itt

ie sin« g sîn*« + eXc.pwkiu;

et il en résultera pour A| et B^ des séries d'intégrales relatives k Uy dont les valeurs exactes s'obtiendront toutes, soit immédiatement, soit par des formules connues; en sorte que Ton pourra prolonger ces développemens de A| et \\ aussi loin qu'on voudra. On pourra même obtenir leurs termes généraux en fonctions de i et de e ; mais ce fi'est point ici le lieu d'insister davantage sur ce sujet, qui appai-tient spécialement à l'Astronomie.

Relativement à z ;=: o , on a

4ii4 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

Ao = - y (i — e cos m)*^ = û (i + ye*) ,

en ne prenant que la moitié de la valeur de Âj, qui répond à i = o : c'est le seul des coefBciens Aof A| , A., etc. , B, , B«, etc., dont on puisse obtenir la valeur exacte.

H211. Si l'on appelle p la vitesse de la planète au bout du temps t, et J^ l'angle que fait sa direction avec le prolongement de son rayon vecteur r ou OM, on aura (p? i56)

En éliminant dt au moyen de l'équation (i), on a

dêj En Yertu de l'équation (3) , on a aussi

^=^1-^7 + P' »'cosJ^=î.