I .1 + ^ cos 0 ' r , c sin fl
r fl(i e*) ^ "39" fl (i — c*) '
d'où il résulte
^» ( i — e*)* i/* = (1 + ae cos 9 4- e*) c%
et , par conséquent ,
u^z=: (- ijf COScr= ,— ;
ce qui montre comment, dans le mouvement ellip* tique, la vitesse et la direction du mobile en chaque
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 4a5
point se déterminent au moyen de son rayon vecteur. D'après la valeur de c du n** :220, celle de i^ peut aussi être écrite ainsi :
• Ces formules, jointes à celles des numéros précédons^ font connaître complètement le mouvement d'une planète dans le plan de son orbite^ mais quan^ on veut considérer à la fois les mouvemens de deux ou de plusieurs planètes , il est nécessaire de rapporter la position de chacune d'elles à un autre plan, qui est ordinairement le plan de Vécliptique ou de l'orbite de la terre.
223. Soient NON' (fig. 55) l'intersection du plan de l'orbite d'une planète avec un plan passant par le centre 0 du soleil , OE une droite menée dans ce second plan , OM' la projection du rayon vecteur OM de la planète sur ce même plan. Désignons par y • rinclinaison des deux plans, par ot Fangle NOE, par cd l'angle BON que fait le rayon vecteur OB aboutissant an périhélie avec la droite ON. Ces trois angles €L, y, 6û, devront être donnés, et ils détermineront le plan de l'orbite et la position de l'ellipse dans ce plan. Soient aussi ^ et 4 1^^ angles variables MOiVl' et M'OE , que fait le rayon vecteur OM avec sa projection OM', et cette projection avec la droite OE , lesquels angles détermineront, à chaque instant, la direction du rayon OM aboutissant à la planète.
Cela posé, considérons l'angle trièdre qui a son sommet au point 0 , et dont les trois arêtes sont OM, CM', ON. L'anomalie vraie, ou l'angle MOB, étant
toujours â, les trois faces de cet angle trièdre seront
MON = MOB + BON = 9 + a», M'ON= M'OE — NOE = 4 — a, MOM'=<p;
la première sera opposée à un angle droite et la troisième à Tangle y. D'après les premières' règles de la Trigonométrie sphériqne , on aura donc
sin ^ z=: smy sin (fl + û>) , tang(4/* — a) = cos^ tang(8 + a>);
et l'angle fl étant connu en fonction de t, par ce qui précède^ chacun des angles ^ et 4 le sera aussi , au moyen de ces formules.
Lorsque le plan donné sur lequel on compte Fangle 4 est l'écliptique^ et que la droite OE, à partir de laquelle on compte cet angle, dans le sens du mouvement de la terre, est celle qui va du soleil à Féquinoxe du printemps, les angles 4 ^^ ^ s'appellent la longitude et la latitude Ae la planète que Fou considère. La droite NON' est la ligne des nœuds de son orbite ; si elle entre dans Thémisphère boréal quand elle traverse le plan de l'écliptique au point N, ce point est le nœud ascendant^ et N' le nœud descendant. Selon que laplanète se trouve dans cet hémisphère ou dans Fhémisphère austral^ la latitude ^ est positive ou négative, et Tangle MON, ou ô + û>, est plus grand ou moindre que i8o'. L'angle (p s'étend depuis — 90* jusqu'à 90% et l'angle MON, ainsi que la longitude M'OE, depuis zéro jusqu'à 36o*.
Si ron remplace le point 0 par le centre de la terre , que l'on prenne Téquateur pour le plan donné BUT lequel on compte l'angle >{/, et pour origine de cet angle la droite OE qui va de ce centre au premier point du signe aries^ les angles >|/ et ^ seront alors Yascension droite et la déclinaison de la planète. En appliquant les formules précédentes au mouvement apparent du soleil autour de la terre ^ on aura et=zo, y exprimera Vobliquité de l'écliptique , et l'on devra prendre pour fl + o) la longitude de cet astre ; d'où il résulte qu'en la désignant par X, on aura
sin cp = sin ^ sin A , tang %[/ = cos y tang X ,
et^ en même temps ^
sin y taDg^^
sin 9
4/ cos' 7 + tang*^J/
Les plus grandes déclinaisons boréale et australe répondent à A = 90o et A = :j70% et sont zhy. Cet angle y est aussi celui que fait l'axe de rotation de la ' terre avec la perpendiculaire au plan de Técliptique; il est soumis à une petite inégalité qu'on appelle la nutaiion^ dont la période est d'environ 18 ans, et le majcimum de 9'',4 seulement. Sa valeur moyenne^ au commencement de 1800, était
elle diminue de o'',/^56g2 par année.
224- Dans tout ce qui précède, on n'a point eu égard à la force qui agit sur chaque planète , dont le mouvement a été déterminé d'après les données de
4a8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
l'observation y et sans recourir aux principes de la Dynamique ; il s'agit maintenant de déterminer les lois de cette force, ainsi qu'il a été dit précédemment (n* 21 7),
Il suit de }a première loi de Kepler que la force qai retient chaque planète dans son orbite est constamment dirigée vers le centre du soleil ; quoique cette conséquence nécessaire de la proportionnalité des aires au temps ait été déduite des équations du mouvement dans le n* 1 55 , il ne sera pas superflu d'en donner ici une démonstration synthétique.
Soit M.M (fig. 54) le côté de la trajectoire que le mobile décrit pendant un temps t infiniment petit. . Arrivé au point M , si aucune force n'agissait sur ce mobile, il décrirait, dans un autre temps r, une partie Mm du prolongement MT de M,M, égale à M,M ; mais , a cause de la force à laquelle il est soumis, il se transporte, dans ce second instant, en un autre point M'. Soit MK la direction de cette force au point M; pendant le temps r, on pourra supposer qu elle reste parallèle à elle-même , et alors si l'on tire la droite mM', elle sera parallèle à MK (n* 148). Or, si C est le centre fixe autour duquel le rayon vecteur CM décrit des aires proportionnelles au temps, les triangles M^GM et MCM', qui sont les aires décrites dans deux instans égaux, seront équivalens; mais les triangles M,GM et MCm le sont aussi, puisqu'ils ont leurs sommets au -même points G, et leurs bases M.M et Mm égales et sur une même droite ; les triangles MC/n et MCM' sont donc équivalens ; et comme ils ont une même base
MC^ il faut que la droite mW qui joint leurs sommets soit parallèle à cette base; par conséquent^ la droite MK , parallèle à mM% coïncide avec MC. Donc, en chaque point M de la trajectoire, la direction MK de la force sera celle du raj^on vecteur MG; ce qu'il s'agissait de démontrer.
Réciproquement, si la force qui agit sur le mobile, au point quelconque M, est dirigée suivant MC , la droite mM' sera parallèle à ce rayon vecteur, les deux triangles M'CM et MGm seront équivalens, et , par conséquent aussi , les deux triangles M 'CM et M^CM. Les aires décrites par le rayon vecteur autour du point G, en deux instans consécutifs et égaux, étant égales, et cela ayant lieu daits toute rétendue de la trajectoire , si la force qui agit sur le mobile est constamment dirigée vers ce point, il s'ensuit que les aires décrites en temps égaux seront égales, et, en des temps quelconques, proportionnelles à ces temps.
:i25. Soit, comme dans le n^ 218, M la position de la planète au bout du temps ^ ( fig. 5^ )• Gonservons toutes les notations de ce numéro, de sorte que r et 9 soient le rayon vecteur OM et langle MOB; désignons, en outre, par a: et ^ les deux coordonnées, rectangulaires OP et PM , rapportées à des axes Ox et 0;^ , dont le premier passe par le périhélie B; nous aurons
/r = rcosO, ^=rsin6, a:*-f-^* = r*.
Soit aussi R la force accélératrice, inconnue en grandeur, qui agit sur la planète. Cette force est diri-
43o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
gée , comme on vient de le voir, suivant le nym, vecteur^ et elle agit da point M vers le point 0, à cause que la trajectoire tourne sa concavité ai c6té dii soleil ; les cosinus des angles qu'elle £iitavee {
les prolongemens de jc et 7- sont donc — - et
•— "^^ par conséquent, les équations du mouveraent seront •
En appelant toujours ('la vitesse au point M, nous aurons
et, en différentiant ,
par conséquent, si l'on ajoute les équations (1) après les avoir multipliées par dx et djr^ et si Ton observe que xdx +jdjr = rdr^ il en résidtera
\d.s^ = — IWr.
Mais, dans le mouvement elliptique, on a (n* H22)
en faisant
on aura donc
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 43i
ce qui montre que la force, qui agit sur chaque planète suit la raison inverse du carré de la distance au centre du soleil.
La grandeur de cette force est /te à l'unité de distance ; soit fx' ce qu'elle devient pour une autre planète f dont le demi-*-grand axe et le temps de la révolution seront représentés par a^ et T'; on aura de même
Or, d'après la troisième loi de Kepler, on a d'où il résulte
par conséquent, à l'unité de distance, et^ généralement, à la même distance du soleil, la force accélératrice R est la même pour deux planètes différentes.
Là force motrice de chaque planète est donc indé^ pendante de sa nature particulière , et proportionnelle à sa masse, comme les poids à la surface de la terre. Elle varie d'une planète à une autre suivant la même loi que d'une position à une autre de la même planète ; et si deux planètes étaient situées à la même distance du soleil et abandonnées à elles-mêmes ^ sans vitesse initiale, elles tomberaient d'un même mouvement vers cet astre, et l'atteindraient dans le même intervalle de temps.
Ainsi ^ les trois lois de Kepler nous font connaître complètement la force qui retient les planètes dans leurs orbites : la loi des aires proportionnelles an temps nous fait voir que cette force est constamment dirigée yers le centre du soleil ; celle du mouvement elliptique ^ ou Texpression de la vitesse qui se déduit de cette loi et de la précédente , nous montre que son intensité varie, pour une même planète, en raison inverse du carré des distances au soleil ; enfin , nous concluons de la loi des carrés des temps des révolutions proportionnels aux cubes des grands axes y qu'à égalité de distance au centre de cet astre, l'intensité de la force motrice est proportionnelle aux masses de chaque planète , et indépendante de sa nature particulière.
226. Newton a étendu aux comètes, dans leur mouvement autour du soleil, et aux satellites autour de leurs planètes respectives , les lois de Kepler et les conséquences qui s'en déduisent relativement à la force qui agit sur ces mobiles.
Les comètes , dans leur mouvement , ne difierent des planètes qu'en ce qu'elles ne sont pas constamment visibles, à raison de 1 eloignement de leufô aphélies; ce qui rend très difficile la détermination de leurs orbites. Néanmoins, il y a maintenant trois comètes dont on connaît les orbites et les temps de leurs révolutions, presque aussi exactement que pour les planètes. A l'égard des autres comètes, on calcule leur mouvement par approximation, en prenant pour la trajectoire, dans la petite étendue où chaque comète est visible , une parabole dont le foyer est au
centre du soleil , et supposant toujours les aires décrites par le rayon vecteur autour de ce point, proportionnelles au temps pour chaque comète. Ce cas est compris dans les formules précédentes du mouvement elliptique » en y faisant
b désignant la distance périhélie OB, qui est une quantité finie*
Les masses des comètes sont très petites par rapport à celles des planètes et paraissent dune tout autre nature. En vertu de* la troisième loi de Kepler, les forces motrices de deux comètes, ou d une comète et d'une planète , à la même distance du soleil , sont entre elles comme leurs masses respectives, et leurs forces accélératrices sont égales; il en est de même à l'égard de plusieurs satellites d'une même planète , mais non pas relativement aux satellites de deux planètes différentes, ou à un satellite et une planète; car la loi des carrés du temps des révolutions proportionnels aux cubes des grands axes n a lieu que pour les corps qui tournent autour d'un même centre: nous ferons connaître par la suite le rapport qui existe entre les forces motrices de deux satellites appartenant à des planètes différentes, et entre celles d'une planète et d'un satellite.
Ajoutons encore que dans ces derniers temps on a étendu les lois du mouvement elliptique aux étoiles doubles, dans lesquelles un mouvement révolutif de Vune des étoiles autour de l'autre a été reconnu, et que leurs positions relatives, calculées d'après ces 1. 28
lois, se sont accordées aussi bien qu'on pouvait Tes-
pérer avec leurs positions observées.
227. Examinons actuellement les altérations que la résistance d'un éther très rare répandu autour du soleil, produirait dans le mouvement elliptique des planètes. Leur non-sphéricité parfaite et le frottement du fluide contre leur surface, pourraient faire sortir le centre de gravité du plan de son orbite : on fera abstraction de ces deux circonstances; et il ne s'agira oue de former les équations du mouvement de ce point, en ayant égard , à la fois, à la force centrale en raison inverse du carré de la distance , et à une force tangentielle provenant de la résistance du milieu.
Je supposerai, comme dans le mouvement des projectiles dans l'air, cette résistance proportionnelle au carré de la vitesse , a la densité du milieu et à la surface dç chaque planète ; la force accélératrice qui en résultera sera , en outre, en raison inverse de la
masse du mobile; je la représenterai par p ^ , en désignant par ds l'élément de la trajectoire, et par p un coefficient très peti^et proportionnel, pour une même plapète, à la densité du milieu* En observant que cette force agit en sens contraire de la vitesse du mobile, et représentant toujours la force principale dirigée vers le centre du soleil , par ^ à l'unité de distance et par -^ à la distance r, les équatioQS'(i) devront être remplacées par celles-ci :
IF^l^ -— '^ P di dt' [ .
d^ '^ r' ^ '^ r dt dr )
En employant les coordonqées polaires , oa en déduit^ sans difficulté, ces autres équations
d.r^c^z^ — pr^Sds, )
qui en sont une transformation.
228. Lorsqu'on néglige leurs seconds paembres, les équations (2) se réduisent à
et les équations (3) à ceUesrci :
dt^
2/trf. i = o, d.r*S=:o. (5)
On satisfait à ces équations (5) au moyen des formules (a) , (b) , (c) , du n"" 220 ; ces formules n'en sont pas les intégrales complètes, parce qu'elles ne contiennent que deux constantes arbitraires aet e; mais si Ton fait attention que les équations (5) ne renferment pas explicitement les variables d et ^, et qu'elles contiennent seulement leurs différentielles i^ eidt , on en*conclut que les formules du numéro cité devront encore satisfaire à ces équations, en ajoutant des constantes quelconques à / et 8. De cette manière, les intégrales complètes des équations (5), et, par
436 TRAITÉ DE MÉCAINIQUE.
conséquent y des équations (4) > seront exprimées par
ce système de formules :
r c= â(i -^ ecostt), 1
nt '^-^ ê :=s u — esin ir, t r \
tangf(6 — «) = y/L^tangitt; ^
a^ e^ ty(Ay étant les quatre constantes arbitraires, et /2 une constante liée à a par l'équation
par 1 equati
Û*/l' = fâ» ,
qui résulte de ^ = ti, ^-^ = ft, par Félimination
de T.
Le zéro de la -variable u répondra toujours à la plus petite valeur de r, ou au périhélie B (fig. S^). Pour U'=iOy on aura ô s= « j de sorte que ô représentera maintenant Tangle MOE, compté à partir d'une droite OE, qui fait un angle BOE =: €», avec OB. La valeur de 6 en série sera de la forme
9 = n^ + é + fl„
en désignant par 0| sa partie périodique, ordonnée suivant les sinus des multiples croissans de nt\ c m. Cet angle 8 sera la longitude vraie de la planète dans le plan de son orbite, au bout du temps f quelconque ; n^-f-é exprimera sa longitude moyenne au même instant, € sa longitude moyenne à l'époque d'où l'on compte le temps f , et &> la longitude de son périhélie* 229. Cela posé, quand ou connaît les intégrales complètes d'un système d'équations différentielles comme les équations (4) ^ on en déduit les intégrales d'un autre système d équations différentielles, telles
que les équations {2), qui ne différent des premières que par de très petits termes , au moyen d'une méthode dont les géomètres ont fait les plus heureuses applications à la Mécanique céleste, et que je vais exposer à l'occasion du problème qui nous occupe.
Les valeurs de x et^, qui satisfont aux équations (4), sont de la forme :
y et F indiquant des fonctions données. Four que ces valeurs satisfassent encore aux équations (4) > j y ^on* sidère a, e, i, (», comme de nouvelles variables qu'il s'agira de déterminer. Mais ces inconnues étant au nombre de quatre^ et les équations (2) seulement au nombre de deux , je peux prendre à volonté deux équations auxiliaires ; et je fais, ea conséquence,
OU, autrement dit, j'égale à zéro les parties de dx et dj'^ provenant des variations de a, e, é, oDe cette
manière , les valeurs complètes de ^ et ^ sont
simplement
dx df dj- dV
di -^ dt* li ^ Ti'
En difiërentiant de nouveau , on a
£x dy ^/ da d^f de d^f A rf/ d^ dt^ — "dC" '^dlda dt '^ dtdêdt ^ dldt dl'^ dldmdt *
I0 — dt^'^didiW'^dtd^Tt'^duÛdi'^dtdidr
Or, par hypothèse, les valeurs précédentes de x et jr satisfont aux équations (4), en j regardant a, e, ifOf comme des constantes arbitraires, on a donc
par conséquent, si Ton substitue les valeurs complètes d^ ^ ^^ /T ^^^^^ I^^ équations (n), on ann
dtda ^ dtde ^ dtd, ^ didm *dtdt ' \
et ce système des quatre équations (Jb) et (c) servira à déterminer a, e, €, a>, en fonctions de t.
25o. Cette substitution de quatre équations différentielles du premier ordre, aux deux équations (2), qui sont du second ordre, n'aurait, en général, aucun avantage. Mais les valeurs de da, dcy dé, do^ qu'on tire des équations (b) et (c), auront pour facteur le coefficient p de la résistance » qui est une très petite quantité; les parties variables de a, e, êf G), seront donc aussi très petites ; et si Ton néglige le carré de p, on pourra considérer a, e, i^o, comrme des constantes , dans les expressions de da^ de, di, doD ; ce qui réduira aux quadratures le calcol des parties variables de a, e, €, &. Far la méthode des approximations successives, on obtiendra ainsi des valeurs de ces quantités , ordonnées suivant les puissances de p et aussi exactes que l'on voudra; nous nous arrêterons à la première puissance de p.
Les équations (a), après qu'on y aura substitué tes valeurs variables de Uy e, i, cj, feront connaître, comme dans le cas du mouvement elliptique, les valeurs de r et 9 en fonctions du temps. La trajectoire sera encore une ellipse, mais dont les élémens varieront continuellement. Si Ton suppose que Ton construise à chaque instant l'ellipse constante qui répond aux valeurs des élémens à ce même instant, les ordonnées xetjr, et leurs différentielles dx et djr, se^ ront communes^ en vertu des équations (b), à cette, ellipse et à la trajectoire, qui sera, par conséquent, la courbe de contact de toutes les ellipses constantes. Par la même raison, la vitesse du mobile et ses composantes auront les mêmes expressions, et seront déterminées par les formules (d) du n** 222, dans le mouvement elliptique et dans le mouvement altérq par la résistance du milieu.
:23i. Observons qu'on a identiquement
nt = fndt -h ftdn;
en comprenant ftdn daxis l'inconnue € , on pourra donc écrire ainsi :
fndt -4-€-^û> = M-*-csînw, (d) .
la seconde équation (a). Alors , en même temps qu'on cliangera, dans les équations du mouvement elliptique, les constantes a,.e, £, g?, dans leurs valeurs variables, il y faudra remplacer nt par l'intégrale fndt, que nous supposerons nulle quand tz;;=o^ La quantité n qu'elle renferme se déduira de a, au
moyen de la formule
donnée par l'éqnation a^n^ = /tt du n** nnS. Cette intégrale fndt exprimera le moyen mouvement de la planète (n* 219)9 altéré par là résistance du milieu; et^ de cette manière^ la différentielle du moyen mouvement sera ndt^ dans le mouvement troublé comme dans le mouvement elliptique.
Au périhélie^ l'angle 6 — cj est égal à zéro ou à un multiple de 36o*; en vertu de la première équation (a)^ il en sera de même à l'égard de l'angle u; donc, pendant l'intervalle de temps compris entre deux passages consécutifs de la planète à son périhélie, la quantité fndt -f- € — (D augmentera de 56o**; ce qui servira à déterminer cet intervalle , quand on connaîtra iiy e, oa en fonctions de ^. Le temps de la révolution, ou l'inteiïralle compris entre deux retours consécutifs de la planète au même point fixe, sera celui qui répondra à un pareil accroissement de sa longitude vraie 6.
2^2. Nous pouvons remplacer les équations (b) et (c) par d'autres équations équivalentes, desquelles il sera plus facile de déduire les valeurs de da, de^ dif dû?»
Pour cela, observons que si une équation quelconque
(p(nt, r, e, a, e, ê, co) z= o ,
a lieu dans le mouvement elliptique , elle subsistera encore dans le mouvement altéré par la résistance da
milieu , en y regardant a, e, e, €û, comme des variables déterminées par les équations (b) et (c) , et y mettant /ndt à la place de nt. La différentielle de la fonction 9 sera donc nulle ^ soit qu'on la prenne, dans le premier cas, par rapport k nt, r, ^; soit qu'on la prenne, dans le second cas, par rapport à /hdt, r, 6, a, e, i, g^; or, r et 8 étant des fonctions àe je et /- , leurs différentielles sont les mêmes dans les deux cas, en vertu des équations (b); par conséquent, en supprimant, dans la différentielle complète de ^, la partie ^jA'.d.nt + ^dr+^é^f qui est séparément nulle, on aura
Cela posé, après avoir mis dans l'équation (3) du n^ :2i8, 6 — cd à. la place de 6, on en déduit
r -+• recos(8 — 0?) = a{i — e');
en différentiant, comme il vient d'être dit, on aura ddnc
rcos0^.ecosfi7-h rsinflrf.esino = rf.a(i — ^•). {e}
Je différentie de même la première équation (a) et réqoation {d); ce qni donne
(1 — eco%ii)da — acoswJe + rtesînttc?M = o, de — dcù + smude — (i --^ e cos u)du ==0,
en considérant u comme une fonction de a, e, <, c?» J'élimine du entre ces deux équations ; il vient
(i — ecosùyda'+^[e — co&u)de'+'€ieànu(di — d€sl)p=o.
Mais, en mettant dans les fonnnles
I — tane* ï « • 2 t^ng i ^
i + tang*J II' 1 -^VàXài^iu'
à la place de tang -î i^ sa valeur donnée par la troisième équation (a) , on a
tf + co8(e — ») . t/(i— c^Mnrt— •)
i-f-tfC08(« — •)' i-f-ecos(d — m) '
au moyen de quoi Téquation précédente devient
Ce que nous disons relativement à Téqualion 9=0, s'applique également au cas où la fonction ç renferme les différentielles premières de r et 0* Ainsi , Ton a, dans le mouvement elliptique ,
d^ r aV
r^d6 = VW I — e' ) A ,
efi mettant V^Ëîâ au lien dé â*7i dans la valeur de f*d6 du n? 220 : or, les différentielles dretd^, ainsi que ret 89 restant les mêmes lorsque a, e,ê, €â, deviennent variables ^ il s'ensuit que ces deux équations subsisteront encore dans cette hypothèse ; cela étant, en comparant leurs différentielles complètes aux équations (3) du n^ 22S , on en conclut
d. V«(« — c') = — p N//»(i — ^jds.
Maintenant^ on tirera facilement des quatre équations (e), (y), (g), les valeurs de da, de, diydc»; en y mettant pour r sa valeur^ savoir^
afin de les exprimer en fonctions de l'angle 9 seule* ment, on trouve
da :=> — ^Ê^ [i + 3e cos ( 9 — <» ) + e'jA, de = — 2p [e 4- cos ( 8 — œ )]c&, edofszz — :2p sin ( 9 ^-* co )ds ,
[i+<f cos (9 — 4»)] (1+ v/ riT^)
La valeur de d$ qu'on devra substituer dans ces for«xnules, est
ds = ^/i
et en y substituant celle de /> elle devient
^. g( ' — O i^ I + 2g cos ( e — 4> ) + g* ^fl
'^^— [,+ecos(ô-.)]> ''"•
On intégrera les seconds membres des équations {h)f en y considérant a, e, 6, o), comme des constantes, ainsi qu'il a été dit précédemment ; et quand le coefficient p sera donné eu fonction de r, et conséquemment de 9, on en déduira , par la méthode des quadratures ou par la réduction en série, les valeurs variables de a, e, €, û? , qui devront être substituées 4ans les équations du mouvement elliptique.
355. Si rexdenlricîté e est une très petite fraction^ les formulés (A), réduites à leur partie principale^ deviendront
dii = -r- ap ct^4^^ dezzz—' 2pa cos (9 — g? edcû = — 2fa sin (9 — c?)rf9, de^=2pae siu (9 — o^ô;
et Ton y pourra considérer le coefficient f comme constant. En intégrant et désignant par J^a^ J'e, J'cjy J'iy les parties variables de a, e, e, of, on aura donc
J^a =: — ajwi*6, «Te = — apasin(9 — G>), ej^û? = 2pacos(9 — f«?), J^€ = — 2faecos(9 — o).
Si Ton exprime par Sh la partie correspondante de n^.
ou de -^-~r, de sorte qu'on ait
il en résultera
J'n = Zpant
On voit donc que l'effet de la résistance d'un mi« Heu très rare sur le mouvement d'une planète très peu excentrique , serait de faire décroître iûdéfîniment le grand axe ^ d'augmenter de même la vitesse angulaire n ^ et de produire dans chacune des trois quantités e, Gj, i, une inégalité dont la période est la même que la révolution de cette planète. Non-seulement le mouvement angulaire s'accélérerait de plus en plus , mais même la vitesse absolue; car elle est à peu près
égale à an; son accroissement est donc aj'n -f* nJ'a; quantité positive et égale à fa*nA.
En négligeant tout-à-fait Texcentricité, on a
r ^=: a, ô ssz /ndt + $;
si donc on désigne par cTret J^O, les parties du rayon vecteur et de la longitude qui proviennent de la résistance du milieu^ on aura, au même degré d'approximation ,
Sr =: — apa*6, ^TS = ipa6\
En vertu de cette diminution continuelle du rayon vecteur, qui s'élèverait à 4^pa* à chaque révolution de la planète, elle finirait nécessairement par atteindre la surface du soleil.
Au reste, s'il existe dans Tespace un éther qui influe sur le mouvement des astres, c'est sur les comètes que cette influence peut être sensible , à cause de la petitesse de leur masse, et parce que, toutes choses d'ailleurs égales , le coefficient p est en raison inverse de la masse du mobile. Et , en eflet , on n'a reconnu jusqu'à présent aucune trace d'une résistance de l'éther dans le mouvement des planètes et des satellites; mais d'après les calculs de M. Enke, cette résistance parait influer d'une manière appréciable sur le mouvement de la comète récemment découverte , dont la révolution est d'environ 1200 jours.
§ m. Mouwment dun point matériel soumis à une force centrale.
234* Le problème que nous allons résoudre est l'inverse de celui du paragraphe précédent : on supposait alors la trajectoire et la loi du mouvement données par l'observation , et il s agissait de détennîner en grandeur et en direction^ la force à laqoeUe ce mouvement était dû; maintenant , on suppose qu'une force constante dirigée vers un centre fixe, et donnée en fonction de la distance du mobile à ce point , est appliquée à ce mobile, et l'on propose d'en conclure la trajectoire et la loi du mouvement.
Cette courbe DMB ( fig. 55 ) sera comprise dans le plan passant par le centre fixe C, et par la direction DA de la vitesse initiale. Je mène dans ce plan et par le point C, deux axes rectangulaires Cr et Ç;^, dont le premier passe par le point de départ D du mobile, et qui seront les axes des coordonnées. An bout dn temps t^ compté depuis ce départ, je suppose que le mobile soit en M, et je désigne par .r et^ ses coordonnées CP et PM, par r son rayon vecteur CM, et par R sa force accélératrice , dirigée de M vers C et donnée en fonction de r; les équations du mouvement seront
et si la force R était dirigée suivant le prolongement de CM , il suffirait de changer les signes de leurs seconds membres.
On en dédait immëdiatement les deux intégrales premières
^djr^jdx^zcdt, ^f^L+Èlz=:^2fRdr^b,
dans lesquelles b eic sont les constantes arbitraires ; et si Ton appelle 6 l'angle MCr , de sorte qu'on ait
a: = rcosfl, / = rsinS,
ces intégrales deviendront
d'où l'on déduira des valeurs de dt et (^, de la forme
dt=zjrdr, ddrzzFnir,
qu'il ne s'agira plus que d'intégrer exactement ou par approximation.
En éliminant dt entre les équations (2) , on a
2fMr = b; (5)
pour l'équation différentielle de la trajectoire. Si l'on appelle u la vitesse du mobile au point M , on aura
^* = 6 — 2fKdr; (4)
et en représentant par «T l'angle que sa direction fait avec MC, ses composantes seront
i;coscr=-^, i;smj^ = rj^,
suivant MC et suivant MH perpendiculaire à ce rayon vecteur.
Les deux constantes b et c, et celles qui seront introduites par Fintégration des valeurs de dt et i^, se détermineront d'après la position et la vitesse initiales du mobile. Pour cela, je représenterai par y la distance initiale CD ^ par <t l'angle CDA qui pourra être aigu ou obtus, et par h la bauteur due à la vitesse initiale, de sorte que cette vitesse soit \/2gh , en appelant g la gravité. Si l'on suppose que l'intégrale yiU/r, qui entre dans les formules précédentes, soit nulle quand r = 7, on aura d'atxml
b = 2gh,
d'après la valeur de (>'. En vertu de l'équation r^dàz=zcdt, la valeur de i^ sin J" est la même chose
que ^; par conséquent, nous aurons
c = > \/2gh sin et.
Quant aux deux autres constantes arbitraires , on les déterminera de manière qu'on ait 6 = o et r = ^ quand ^ = o, et le problème sera complètement résolu.
!t35. Lorsque la force R est proportionnelle à la distance r, les variables xetj' sont sépsorées dans les équations (i), et Ton n'a pas besoin de recourir aux coordonnées polaires et aux équations (a).
Soient, en effet, k la valeur de R qui répond à r = >, et
sa valeur générale. Les équations (i) deviendront
iPx kx d^j , kj
'dr *"" 57' 'dF '■ "^ "57* et leurs intégrales complètes seront
sr = A cos ^ i/- H- A' sin t y -^ ,
j- = B cos < ^- + B'sin t ^-;
A , A', B, B', étant les quatre constantes arbitraires. Pour les déterminer , on a , d'après les suppositions précédentes y
^c=^yy J^o, -^=~ \/2p"cosa, ^= V^gMna,
quand ^ = o ; d'où il résulte
A = >, A'y/— = — \/2gÂcosa,
B = o, B'i/— = v/agAsiua, et ^ par conséquent^
a:=:>(cos/ y^i - ^/^ cosasin ^ ^A),
Ces formules nous montrent que les révolutions du mobile^ autour du point C seront isochrones^ et leur
durée commune égale à â'^r t/^. On en déduit
5*' sin a cos ty - = xsxvl a ^ jr cos a ; I. 29
45o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
d'où il resuite
-K j^ + ( ^ sin â( •+- J" cosa )• = >• sin* oc,
pour réquation de la trajectoire j qui est , comme oo voit, une ellipse dont le centre est au point C. Pour que cette ellipse soit un cercle^ il faut qu'on ait A=g(/ et ky = 3gf&. Dans ce cas^ le mouvement est unifornie; car, d*après les valeurs de xtty ^ ou a
^ = - V?tsm£v/^,^=v/>Â"cost^;
ce qui donne \Jyk pour la vitesse p. La force centraie R et la force centrifuge — sont constantes et
toutes deux égales à k.
Si la force R est répulsive au lieu d'être attracdre, comme on l'a supposé, il faudra changer A en — i dans les formules précédentes. La trajectoire sera alors une b jperbole , et le mouvement cessera d'être révolutif.
^56. Prenons actuellement la force R en raison inverse du cube des distances , et représentons-la par
k étant toujours sa valeur au point D. Nous aurons, dans cette hypothèse ,
a/lWr = ky(j — ^),
k cause que l'intégrale doit s'évanouir quand r=y.
DYNAMIQGfE, PREMIÈRE PARTIE. 45i
E^ ayant ^rd aux vaiears de & et c , et fdsant
y r dz
l'éqnatiok (5) deviendra
<ffl* \ 2^A sin* «f / sin* «
2^A sin* «f / ^^ sin* « agk siu* «
L#e €oefficieat de z* pourra être positif ou négatif; je
fais donc
d'où il résulte
jr; ± /i*js» = cot* a db n*, et, par confièrent.
\/col»« =t n' qp 71* z*' Dans le cas des signes supérieurs , on aura
«9 =aTc(sia= p:=^)-.arc(siD = -7=^.).
et , dans le cas des signes inférieurs,
«« = *og s^T^t^;^ »
efi observant qu'on arr=:^et2=:i quand 6 s= o. De la première valeur de nO , on tire
nz =B cotctsiniid + ncosnO.
45a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
Le maximum de z ou le minimum de r répond à la
valeur de 0^ tirée de Téquation dzssio, ou
tang /i4 =: - cot a ^ pour laquelle on aura
cot* a.
Au-delà de cette valeur de â ^ le mobile s'éloignera indëfiniment du point C , et son rayon vecteur r sera infini , pour la plus petite valeur de â tirée de l'équation 2 = 0^ ou
tangnfl = — ntaiiga;
valeur que 8 ne pourra atteindre qu'après un temps
infini. En mettant à la place de r, la valeur de ~ dans
la première équation (2), on en déduira sans difficulté^ t en fonction de 0.
Dans le cas de la valeur logarithmique de lA, on aura , en passant aux nombres et désignant par e la base des logarithmes népériens ,
nz + V'cot» a — 71*-+- n^z^ = (n + cot a) e"^ j d'où l'on tire
.in ^ ' ' • 2«
ce qui montre que r diminuera indéfiniment; en sorte que le mobile décrira une spirale autour du
point C f et atteindra ce point après un nombre infini de révolutions.
Si Ton fait a= 90*, pour simplifier , on aura.
ay
ne — /ifl>
pour F-équation de cette spirale. La première équa-* tîon (2) devient
\€ +e J et , en intégrant > on a
237. Pour dernier exemple, supposons, comme dans la nature , la force R en raison inverse du carré des distances; de sorte qu'oaait
k étant l'intensité de cette force au point I>, pour lequel Tintégrale est supposée nulle.
Si l'on fait
réqiiation (3) de la trajectoire deviendra,
d'où l'on tire
En intégrant et désignant par (d la constante arbitraire, on aura donc
Ô = ^ + arc r ces « ^JT^ );
ce qui donne
ky^r = c* — r\/h}A—c^ cos(fl— «?), (a)
en mettant fi? -f*^ à la place de co, afin que â» soit la valeur de 9 qui répond à la plus petite valeur de r, c'est-à-dire, au point de la trajectoire où le mobile est le plus rapproché de C.
Pour en déduire l'équation de cette courbe en coordonnées rectangulaires, je fais
;r' = r cos(fl — c?>, y = rsin(û-^fi^)}
x' et y seront lea coordonnées du mobile rapportées à des axes Cr' et Cy, tels que l'on ait x'Ca: = (o; on aura
et en élevant au carré les 4eux membres de l'équation (a) de la trajectoire, elle deviendra
Or, sous cette forme, on voit qu'elle appartient à une section conique, qui sera une ellipse, une parabole ou une hj^perbole, selon que la constante 6 sera positive, nulle ou négative* On voit aussi que, daxis
DYNAMIQUE, PREMIÈRj; PAilTIE. 4$5
tous les cas, le point C sera un foyer de cette conrbe ; car, d'après I équation (a), le rajon veef çw r est une fonction linéaire de l'abscisse x'; ce qui n'^^ lieu, dans les trois sections coniques', que quand l'origine des coordonnées est un de leurs foyers.
A cause de b = righ^ on aura
ff = :tky — 2gh;
il s'ensuit donc que le signe de é, et, par conséquent, la nature de la section conique qui sera décrite par le mobile , ne dépendra que de s^ distance et de sa vitesse initiales, et nullement de la direction dc! cette vitesse ; en sorte que différens points matériels partant d'un même point ïï, avec des vitesses égales , décriront tous des sections coniques de même nature, quelles que soient leurs directions initiales. Si l'on a, par exemple. A: =£= g, la courbe décrite sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole , selon que la hauteur due à la vitesse initiale sera moindre que CD, égale à cette distance, ou plus grande.
258. Dans le cas de l'elKpjse , Téquation (a) montre que la plus grande et la plus petite valeur de r, répondent à ô==:fi?+9r et 0=07; eu les désignant par a(i + e) et a{i — è), de sorte que a soit le demi'-grand axe et e l'excëntjrîoité , on aura donc
(*>• — s/h^^ — c*^) a{i + e) = c% • (A^* + \/k^y^—'c<)a{\—é) = c% ou, ce qui est la même chose,
En ajontant ces équations et les multipliant membre à membre, il vient
Sa = ky, SaXi — e") = c\
Si Ton y met pour ^ et c leurs valeurs
S = ^(ky — gh) , c =: y \/2gh sin a, on en déduit
yk\/i — e* = 2 \/gh{ky — gh)sina
ce qui fait connaître le demi-grand axe et l'excentricité. On déterminera laugle o en faisant , à la fois , 6 =L o et r:=: 7 dans l'équation (a). Ainsi, les dimensions de l'ellipse et la position de son grand axe seront complètement déterminées , d'après la position, la vitesse et la direction initiales du mobile. Quant à son mouvement sur cette courbe, il est connu par les formules (a), (b), {c)f du n* 220.
Le carré de la vitesse à un instant quelconque est, d'après la formule (4) du n* 254,
i'* = 2gh — aky + ^,
ou , ce qui est la même chose ,
à cause de la valeur qu'on vient de trouver pour a, et eh faisant ky^ = /4., de sorte que ft soit ici comme dans la formule du n* 2^5 , l'intensité de la force centrale à l'unité de distance.
aSg. Il ne sera pas inutile de considérer en particulier le mouvement parabolique que Ton prend, par approximation , pour celui des comètes pendant la durée de leur apparition.
A cause que l'on a , dans ce cas , f =0 ou ky=gh , les équations (b) donnent a = 00 et e = i; ce qui a efTectivement lieu dans la parabole. La formule (c) se réduit à
en appelant u la vitesse dans un cercle du rayon r, on aurait, en vertu de la même formule,
par conséquent, à distance égale du soleil , la vitesse d'une comète est à celle d'une planète qui décrirait un cercle , comme \/2 est à i .
En général , les équations (b) donnent
kya(i — e) (i + e) = ^ghysin^ct,
en élevant au carré les deux membres de la dernière , et les multipliant ensuite par ceux de la première. Si donc on appelle p la plus courte distance de la comète au soleil , de sorte qu'on ait
et qu'on fasse ky=ghetez=2i, on aura
p z=z y sin* a, ;
ce qui déternûne la distance périhélie , au moyen de
458 TRAITÉ DE M&CANIQIJE.
la distapce et de la direction ioitiales du o^obUe » qus
Ton sqppose connues.
Je fais € s=s aet ky T=, gh dans l'équalioa (a), et j'y mets pour c* sa valeur agky*sin*et; eUe deTieiil
r z=s 2y sîn* a — r cos ( ô •— o) ;
d*oii il résulte
pour l'équation de la trajectoire. Si l'on j fait 0=ro et r = 5^, ou en déduit
7/(1 + cosû>) = 2p, cosjG? = sina;
ce qui détermine Tangle fi> que fait le rayon vecfeiir du périhélie avec celui qui aboutit au point de départ du mobile*
Je substitue les valeurs de c et de r, dans la première équation (9) du n® 2i54> et je faisj^ poiur abr^i
il en résulte
r ^Tr-ïï-» = »v^-
[i -+■ cos(0 — #)]* ^
En observant que
I+COS(Ô— ifi7)==2 COS* i ( fl fi? ) ,
et faisant 1
on aura donc
d^ ruU ^
d'où Ton tire , en intégrant et désignant par € la constante arbitraire ,
(5 + tang* 4 ) tang 4 + 6 = -^.
va
Pour déterminer cette constante, on a , en même temps,
et à cause de cos 7 ^ = sin ^ , il en résulte
« s= (3 + cot^ et) cot a.
En appelant if le temps écoulé depuis le départ du mobile jusqu'à son passage au périhélie, on aura à la fois
t = t', B =: io, 4 = ^>
et, par conséquent,
on
Cela étant , désignoi^ par r le tempp campté k partir de Knstant de ce passage, de çorte qu'on ait tzs^t'^r, n^us aurons
en résolvant cette équation du troisième degré , on aura donc tang ^ ( 6 — ft? ) en fonction de r, et , par
46o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,
suite ^ r et 6 à un instant quelconque : le temps r sera positif après le passage au périhélie, et négatif ayant ce passage.
A cause de
ghy == A7<* = jM , ]/y sin a = \/p^
la valeur précédente de n est la même que
pvr
elle est donc, d'après l'équation a?n^ = ^t du n"* 228,. la vitesse moyenne angulaire d'une planète dont le demi^rand axe serait égal à /? ; et si l'on appelle i celle de la terre et / son demi-grand axe, de sorte qu'on ait-
on en conclura
PVP
pour la valeur de n.
n/^o. Cette analyse montre qu'en considérant la détermination du mouvement d'une comète, comme un problème de dynamique , et supposant , en' conséquence , que sa position , sa direction et sa vitesse initiales soient connues, on peut déduire de ces données, la distance /? du sommet àe la parabole à son foyer , l'instant du passage du mobile par ce som^ met ou la valeur de t\ et la position de l'axe dépendante de l'angle œ ; les équations (c) , (cl) , (e) , font
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 46i
ensuite connaître la vitesse de la comète et sa position sur sa trajectoire à un instant quelconcpie; et comme le plan de cette courbe est celui qui passe par le centre du soleil et par la direction de la vitesse initiale^ il s'ensuit que le mouvement est complètement déterminé. Mais le problème astronomique est différent. Lorsqu'on découvre une comète^ les observations ne donnent pas immédiatement le plan de son orbite^ sa distance au soleil^ sa vitesse et sa direction, à l'instant où elle apparaît; en sorte qu'en prenant sa position à cet instant, pour son point de départ, les constantes y, h^ a, ne sont pas données comme dans le problème précédent. La question consiste alors à déduire des observations, les valeurs de cinq quantités , savoir : l'inclinaison de l'orbite et la longitude de son nœud ascendant sur le plan de l'écliptique, ce qui déterminera le plan de l'orbite ; la longitude du périhélie et sa distance au soleil , d'où il résultera la position de l'orbite dans son plan ; et , enfin , le temps correspondant au passage de la comète par son périhélie. Lorsque ces cinq inconnues sont déterminées^ les équations (c), (d), (e), représentent , comme précédemment, le mouvement de la comète dans son plan. Or, chaque observation de la comète donne son ascension droite et sa déclinaison; trois observations fournissent donc six données, et, par conséquent, six équations qui sont plus que suffisantes pour déterminer les cinq inconnues; et cela permet de remplacer deux de ces équations par leur combinaison la plus propre à diminuer l'influence des erreurs des observations. Les valeurs approchées des
46a TRAITÉ DE MÉCANIQUE.
dii^ éléaens qa'on vient d'énamérer étant ainsi condaes de trois obseryatioDS faites à Tépoqne de l'apparition^ les observations subséquentes servent ensuite à corriger ces premières valeurs et à vérifier les formules (d) et (e).
Nous ne pouvons qu'indiquer ici ce problème d'astrmiomie , dont il existe difierentes solutions.
DYNAMIQUE, t>REMIÈR£ PAQlTIE. 463
