DIGRESSION S€A L^ATTRACTION UNIVERSELLE

241 ' Les points matériels de tous les corps s'attirent nuitueUementy en raison directe des masses^ et ins>erse du carré des distances.

Cette glande loi de la nature ^ que Newton a découverte, est une conséquence nécessaire de Fobserva'tion elt du calcul. On peut voir, en effet , dans YEx^ position du Système du Monde j comment , en partant de l'expérience > on est conduit > sans aucune hypothèse et piar une suite de raisonnemens rigoureux , au principe de l'attraction urm^erselie. Les développemens de ce principe sont l'objet spécial de la Méca-^ nique céleste. Dans ce chapitre / nous nous bornerons k en exposer succinctement les principales consé- ^ences.

^4^. La force qui retient les planètes dans leurs orbites y est là résultante de l'attraction exercée par tous les points matériels du soleil sur tous ceux de ' chaque planète. Vu la petitesse des dimensions du soteil et des idauètes par rapport aux distances qui les sépàreht, on conçoit que ces attractions peuvent être regaiiâées, aviec une approximation suffisante, comme des foirces parallèles et égales dans toute l'étendue d'un^ àÊfénîê plafeiète ; lédr résultante est àloi^ égale àleVir sotiim^, et la distance restant la mélrae, la

poogle

force motrice de chaque planète est proportionnelle au produit de sa masse et de celle du soleil ; ce qui devient encore plus exacte à cause de la forme à peu près sphérique de ces deux corps , lorsqu'on prend pour leur distance celle de leurs centres de gravité

Supposons donc , pour exprimer numériquement rintensité de cette force^ que l'on prenne une certaine distance , par exemple , celle du soleil à la terre , pour unité linéaire; choisissons une masse et' un intervalle de temps déterminés pour unités de ces deux sortes de quantités ; et prenons enfin pour unité de force, comme dans le n* iï8, la force accélératrice constante qui produit dans l'unité de temps une vitesse égale à l'unité de longueur. Concevons maintenant deux corps dont les masses soient égales à celle qu'on a prise pour unité , et qui soient placés à une distance Tun de l'autre égale à Funité linéaire; soity^la force attractive de l'un des deux corps sur l'autre , c'està-dire , le rapport numérique de son intensité à celle de la force choisie pour unité ; soient aussi M et m la masse du soleil et celle de la planète : la force motrice de la planète senfMrn , à Funité de distance, et

deviendra —-^y à la distance quelconque r.

La grandeur de la quantité que nous désignons par/, dépend du pouvoir attractif dont la matière est douée ; ce pouvoir est le même , à égalité de masse et de distance, pour tous les corps de la nature; rien, jusqùa présent, ne fait soupçonner qu'il augmente ou diminue avec le temps ; et nous avons lieu de

DYNAMIQUE, PREUnÈRE PARTIE. 465

penser qil'H a ëte et qu'il restera ConstàiïinMeht le mérne.

!243. La fb^ce motrice de la masâe M^ due à l'at^

traction de m , est aussi représentée par*^^— - , dé manière que la réaction de chaque planète sur le soleil est égale et contraire à 1 action de cet astre sur la planète; mais la force motrice •^—j- , agissant sur les

deux masses M et m^ leur imprimera à chaque instant des vitesses infiniment petites qui sont réciproquement proportionnelles à ces masses, ou , autrement dit, leurs forces accélératrices sont*^ et *^.

Il en résulte que si ces deux corps sont abandonnés, sans aucune vitesse initiale, à leur attraction mutuelle f ils s'avanceront l'un vers l'autre en parcourant f dans le même temps , des espaces qui seront en raison mverse de leurs masses; ils se joindront au centre de gravité de M et m, qui partage leur distance primitive en deux parties réciproquement proportionnelles aux masses.

En général, si la planète est projetée dans l'espace suivant une direction quelconque , et qu'on propose dé déterminer son mouvement apparent autour du centre du soleil , regardé comme un point fixe , il faudra Concevoir que l'on imprime à chaque instant à cet à^e, une vitesse infiniment petite, égale et contraire à celle qu'il reçoit de l'attraction de la planète ; mais, afin de ne point altérer le mouvémem relatif dé ces deux corpà , il faudra, en même temps, înnpriiliéi^ cette vitesse à la planète ; ce qui revient à

466 TRAITÉ DE MÉCAWIQUB.

lui appliquer une force accélératrice égale et coatraire à celle du soleil; donc, daos le mouyement dont il est question , la force accélératrice de la planète m sera constamment dirigée vers le soleil M, et -

^ale à la somme des deux forces "^ et -^ ; si donc

on veut l'exprimer par ^ , comme dans le n* aaS, il faudra prendre

fj. =/(M + m).

Ainsi , Ton devra substituer cette valeur dans les différentes équations du mouvement elliptique qu on ir données précédemment; par conséquent^ réquation

du n® cîlé donnera

à' —/(M + my VV

T étant toujours le temps de la révolution delà jJa-

nète , et a le demi-grand axe de son orbite.

T* Le rapport -7 qui dépend , comme on voit , de la

quantité m , différera donc, pour deux planètes doat les masses sont inégales; en sorte qu'on ne peut pas supposer qu'il soit rigoureusement le niême pour tovtes les planètes. Cependant les observations qui conduisent à la troisième loi de Kepler, prouvent que ce rapport est sinon exactement , du moins à très peu près constant ; il en faut donc conclure que les niasses des planètes sont très petites par rapport à celle du soleil;

ce qui faît que le rapport -j du carré du temps au

cube de la distance moyenne varie très peu en passant d'une planète a une autre. La masse de Jupiter, la plus considérable de toutes, est efTectivement moindre qu^un millième de la masse du soleil.

244- C'est pour cette raison que l'attraction mutuelle des planètes ne produit que des perturbations, ou très lentes, ou très peu considérables, dans le mouvement elliptique dû à l'attraction du soleil. En effet, les masses de deux planètes étant m et m^, la force motrice dirigée de l'une vers l'autre, est exprimée

XMir '^^^' , à la distance p ; la force accélératrice de m

fm

provenant de l'attraction de m^ , sera donc —^\ et

comme la distance jo ne devient jamais très petite par rapport à la distance r de m au soleil , il s'ensuit que si m^ est une très petite fraction de M , le mouvement de m produit par l'attraction solaire devra être fort peu modifié par l'attraction de m^.

Les perturbations planétaires peuvent donc être déterminées par la méthode de la variation des constantes arbitraires, que nous avons expliquée précédemment (n® 229). Elles sont de deux espèces. Les unes consistent en des inégalités périodiques généralement très petites , dont les périodes comprennent des multiples peu considérables, en général, des révolutions de la planète troublée et de la planète perturbatrice. Cependant, lorsque leurs moyens mouvemens approchent d'être commensurables , ces périodes peuvent devenir beaucoup plus longues, et

les inégalités beaucoup plus sensibles. Ainsi, les moyens mouvemens de Saturne et de Jupiter étant a peu près entre eux comme :» et 5 , Laplace a trouvé qu'il résulte de l'attraction mutuelle de ces deux planètes, une inégalité dont la période est de 929 ans, et dont le maximum est d^enyiron 48' dans la longitude de Saturne , et d a peu près 20' dans celle de Jupiter.

Les autres perturbations des planètes sont : i"*. les mouvemens progressifs du périhélie et des nœuds de leurs orbites, dans lesquels ces points parcourent la circonférence entière, en des temps extrêmement longs qui peuvent surpasser un millier de siècles; a*, les variations séculaires qui affectent les excentricités et les inclinaisons de ces orbites , ainsi que les longitudes moyennes des planètes, dont les périodes sont semblables aux précédentes , et dont les amplitudes , peu considérables , ne sont pas encore bien connues.

Mais tandis que ces divers élémens du mouvement elliptique varient simultanément en vertu de Fattraction planétaire , il est très remarquable que cette force n'altère aucunement les grands axes des orbites et les moyens mouvemens des planètes, qui seront les mêmes à toutes les époques, ainsi que les temps des révolutions, liés aux grands axes par l'équation (i). Toutefois, les variations séculaires des longitudes moyennes en produisent de semblables dans les intervalles entre deux retours consécutifs à un même point fixe; elles sont insensibles dans le mouvement des planètes, mais non pas dans celui des satellites, et particulièrement dans le mouvement de la lune , qui s'accélère, pour cette raison, de siècle en siècle.

La forcé accélératrice qui provient de l'attraction d'une planète m^ sur nue autre planète m, étant indé«« pendante de la masse m et proportionnelle k la maase 771^, on conçoit que les perturbations dues à cette force et observées dans le mouvement de m autour du soleil f peuvent servir à déterminer le rapport de la masse m^ a celle de cet astre. Ainsi ^ par exemple^ d après la grande inégalité de Saturne , produite par l'action de Jupiter^ on a trouvé la masse de cette dernière planète égale à -^^ de celle du soleil. Nous indiquerons tout à l'heure un autre moyen de cal* cukr la masse des planètes ^ quand elles sont accompagnées d'un ou plusieurs satellites.

Les comètesy à cause de la petitesse de leurs masses^ ne produisent aucun effet appréciable sur les planètes; mais leurs mouvemens sont troublés par les attractions j^anétaires^ et l'on détermine aussi par la méthode du n*" atàg, leurs perturbations, qui influent considéra* Uement sur les époques de la réapparition de chaque comète, c'est-à-dire^ sur l'intervalle de temps compris entre deux passages consécutifs à son périhélie.

245^ Soient m! et m les masses d'un satellite et de sa planète, et r' la distance de leurs centres; la force motrice du satellite , dirigée vers le centie de la planète, sera aussi exprimée par*^^ à cette distance r'; le coefficient /étant le même que précédemment. Dans son mouvement apparent autour de la planète, la force accélératrice du satellite aura pour expression

-^,, en faisant

ju' ssJXm + mfy ^

Je représenterai par a' le demi-grand axe de Tor-*

bite du satellite^ et par T' le temps de sa révolution ;

en appliquant l'équation (f) à son mouvement ^ oa

aura

•TJ 4^*

et si l'on divise ces deux équations membre à membre, afin d'éliminer le coefficient y, il en résultera

Or y si l'on ^cepte la lune , les masses des satellites sont très petites par rapport à celles de leurs planètes respectives : la masse d'un satellite de Jupiter j par exemple , n'est pas un dix-millième de celle de cette planète ; on peut donc mettre ma la place de ^ -f- m' dans cette dernière équation; et comme a, al y T^ T^, sont des données de l'observation y elle pourra servir à déterminer le rapport de m à M. C'est de cette manière que Newton a trouvé pour la masse de Jupiter, Yô^y de celle du soleil ; ce qui diffère peu de la fraction 7^^ qu'on a obtenue depuis par un autre moyen. ^46. L'attraction mutuelle des satellites d'une même planète, quand elle en a plusieurs, etrinégalité d'action du soleil sur chaque satellite et sur sa planète , produisent dans les mouvemens elliptiques des satellites, des perturbations analogues à celles que nous venons dlndiquer pour les planètes. Les pei^turbations provenant de l'action réciproque des satellites, font connaître les rapports de leurs masses à celle de la planète, dont l'attraction produit leur mouvetnent elliptique. Mais ce meyen manquant

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^peur la lune, on y supplée par d'autres consîdéra* t.ions^ parmi lesquelles je yais indiquer Taction de ce satellite sur les eaux de la mer.

Soient C ( fig. 56) le centre de la terre, A celui de la lune, M un point quelconque du sphéroïde terrestre;, faisons

CA = a, AM = p, CM = r,

et appelons A l'angle ACM ; nous aurons

p* = «• — aarcosA -f- '*;

et si nous abaissons du point M la perpendiculaire MBf ^r la droite AC , nous aurons aussi

^ MB = rsîn A , AB = et — rcos A.

Au point M, la force accélératrice provenant d6 l'attraction de la lune et dirigée suivant MA, aura

pour valeur •—:-, en désignant par m' la masse du

satellite , et parole même coefficient que précédemment. Les composantes de cette force suivant la per« pendiculaire MB et la parallèle MD a la droite AC, serout donc

fin'r sin A Jm et , /m'r cas x.

Je substitue la valeur de p dans ces quantités; et^ la plus grande valeur de r, cest-a-dîre, le rayon du globe terrestre, étant, à peu près, un soixantième de a , je néglige le carré de r; en faisant alors

les deux composantes de l'attraction lunaire seront

^ eX—^ — f- ^'. Tous les points dç la terre sont donc

sollicités parallèlement à CA par une force constante

frrî

et égale à'^r, et, en outre ^ par des forces ^ fit ^'

dont la résultante varie en grandeur et en direction, d'un point M à un antre, et est nulle au centre C.

Or, ii est évident qu'en vertu de la force^^, la masse

entière de la terre se portera vers la lune , d'un mouvement commun à toutes ses parties, sans que les points de la partie fluide changent de position relative; c'est donc aux forces ^ et cp' appliquées aux différons points de la mer, que seront dus le flux et le reflux produits par l'action de la lune.

La niasse du soleil étant M, et a sa distance à la terre, si Ton désigne, en outre, par /t^, 4» 4% ^® que deviennent A, cp, <p', relativement à cet astre, on aura^de mêa^e

f __ /Mr sin $a , , 2/Mr co8^

pour les composantes de la force provenant de l'action du soleil, qui concourent au phénomène des marées. En les comparant aux forces ^ et ^', on voit que pour un point de la njer, dont le rayon vecteur r fait le même angle A ou /c« avec le rayon vecteur de la lune ou du soleil, les actions de ces deux astres, qui produisent les oscillations de la mer, sont entre elles comme leurs masses, divisées par le cube de leurs distances au centre de la terre. Or, on conçoit que, toutes choses d'ailleurs égales, les grandeurs de

DYNAMIQUE, PREJfJÈIlE PARTIE. 473

c^ oscillation^ doivent atie entre elles connue les forces correspondantes; si donx: on désigne par m le rapport de la marée lunaire h la m^ée molaire , dans nxi Tnêipe lieu de la terre et pour des positions sensirr l>lab^3 des deux astres ^ on aur^

équation dans laquelle on prendra pour a et a le4> distances moyennes de la lune et du soleil à la terre, et d'où Ton tire

m or m*

en appelant m la masse de la terre.

D'après les lois différentes que suivent les uf^arées lunaire et solaire, on peut, effectivement, distinguer les unes des autres, et déterminer leur rapport en chaque lieu de la terre. La moyenne d'un grand nombre d'observations , faites dans le port de Brest , donne (*)

cû = 3,5555,

pour la valeur de ce rapport. La distance a est, 11 très peu près, 4^0 ^^î^ 1^ distance cç, et la masse M, comme on le verra tout à l'heure, aussi à très peu près , 555ooo fois la masse m. Au moyen de ces valeurs, on trouve, d'après la formule précédente, la masse de la lune égale à -^ de celle de la terre • Indépendamment des oscillations de la partie fluide

(*) Mécanique céleste, tome V, page 206.

de la terre, les actions du soleil et de la lune produt* sent encore, dans le mouvement du sphéroïde terrestre autour de son centre de gravité , à raison de sa non-sphéricité, des perturbations que nous fei^ons connaître lorsqu'il sera question du mouvement dé rotation d'un corps solide.

347. On peut remarquer que la composante des forces ^ et cp', suivant le prolongement ME du rayon CM , est ^' cosA — ^ sin A ; en sorte que sa valeur est

(2 cos* A — sin^ A) -—^3.

C'est lauliminution de la pesanteur au point M, produite par l'action de la lune. Or, en supposant que M appaiiienne à la surface de la terre , et désignant par g la gravité en ce point, on a aussi /m = gr*, à très peu près; d'ailleurs, le maximum Ae 2COs*A — sin'A répond à A=o, et est égal à 3. La plus grande valeur de cette diminution de pesanteur sera donc

-f-^ ; quantité à peu près égale à un huit-*millionième

de g, en prenant 60 pour le rapport -. Pour que l'influence de Faction lunaire sur la longueur du pendule à secondes fut appréciable , il faudrait donc pouvoir porter l'exactitude jusqu'à la seconde décimale au-delà des cent-millièmes, où l'on s'arrête ordinairement dans la mesure de sa longueur. Cette influence produirait, dans la mesure du temps, une inégalité réglée sur le mouvement de la lune , dont le maximum ne s'élèverait qu'à un demi-centième de seconde en un jour.

248. Abstraction faîte de la force centrifuge due à la rotation de la terre, la pesanteur que nous observons à sa surface est la résultante des attractions exercées par tous les points du sphéroïde sur chaque point matériel , laquelle résultante ne dépend que de la position et de la masse de ce point , et nullement de la nature du corps auquel il appartient ; c'est , en efiFet , ce que l'expérience a pleinement confirmé. L'intensité de cette force doit diminuer à mesure qu'on s'élève au-dessus de la surface de la terre ; et c'est aussi ce qui résulte des observations du pendule, faites à différentes hauteurs. De plus, la pesanteur terrestre , diminuée dans le rapport du carré du rayon de la terre au carré du rayon de l'orbite lunaire, doit être la force accélératrice qui retient la lune dans son orbite. Or, la distance du. satellite étant, à peu près, 60 fois le rayon de la terre, il s'ensuit que la lune, si elle n'avait aucune vitesse, devrait tomber vers la terre, de la même quantité en une minute qu'un corps quelconque , dans le vide , en une seconde à la surface de la terre. Cette quantité n'est autre chose que le sinus verse de l'arc que la lune décrit sur son orbite en une minute , on, à très peti près, le carré de cet arc divisé par le diamètre de cette courbe ; et comme la circonférence de l'orbite est 60 fois celle de la terre, on en conclut que la quantité dont il s'agit est égale à

40 millions de mètres, multipliés par — ^, eu désignant par n le nombre de minutes que contient une révolution lunaire. Il faut donc, diaprés la va-

476 TRAITÉ DE MÉCAIïIQUE.

leur de la gravité g qu'on a trouvée par Teiqiêrîence du pendulç , que ce produit soit à très pes près égal à 4"*9^; ^^ trouve, effectivement, 4*,88 pour sa valeur, en observant que fi 7=: 39543. La différeaoe serait encore moindre , en ayant ^ard k diverses circonstances dont nous avons fait alstrac* tion pour simplifier la démonstration.

La pesanteur terrestre est donc un cas particulier de l'attraction universelle; et, pour cette raison, Ton appelle aussi cette force générale la pescBKtmr ou la gravitation urwerseUe,

249* A cause que la terre s'écarte peu de la forme sphérique, l'attraction qu'elle exerce sur un pmnt

de sa surface est à peu près •^, comme celle d'une

sphère, en désignant par m sa masse, par r sod rajOD, et par y le coefficient de l'attraction universelle. Cette valeur approchée doit être tout-à-fiiit exacte pour les points appartenant à un certain parallèie; et, d'après la théorie de l'attractioa des sphéroïdes peu différens 4'une sphère, ce parallèle est celui dont le carré du sinus de la latitude est |. Sur ce parallèle, W pewnteur a pour mesure 9", 79386 (n^ 193); mais, pour l'égaler à l'attraction terrestre, il faut préalablement l'augmenter de la composante verticale de la force centrifuge, laquielle composante

est égale , sous ce parallèle, à la fraction 5 — g- de la

gravité (n** 178), Donc, en faisant

8 = (9",793B6) (i Hr 3^ = 9-,8i645,

OQ pourra regarder cette valeor de la gravité^ aiiutt modifiée, comme égale à l'attraction de la terre, et poser l'équation

En la multipliant membre à membre par l'équation (i) du n° 24^, appliquée au mouvement de ht terre autour du soleil , on en conclut

M + m 45r«tf * '

formule qui va servir à déterminer le rapport de la masse de la terre à celle du soleil.

Si l'on conçoit un triangle rectangle qui ait pour base le rayon de la terre, et pour hauteur sa distance au soleil, le petit angle opposé h la base est la parailaxe àvL soleil, que Ton détermine directement par des observations astronomiques, et que l'on peut aussi déduire d'une certaine inégalité produite dans le mouvement de la lune par l'action du soleil , que l'on appelle l'inégalité parallactique. La grandeur de la parallaxe varie avec le rayon de la terre et son éloignement du soleil auxquels elle répond ; pour la distance moyenne a et pour le rayon r qui aboutit au parallèle dont le sinus de la latitude est \/^ ^ sa valeur est &',6o. On a, par conséquent,

^ = tang 8^6o, a = (25984)^

Sous ce même parallèle, et en prenant j^ pour l'aplatissement de la teri^ , on a

4^8 TRilTÉ DE MÉCANIQUE.

pour son rayon. Le temps de sa révolution autour

du soleil f expnme eu secondes y est

Au moyen de ces valeurs et de celle de g, qui suppose aussi qu'on a pris la seconde pour unité de temps 9 on trouve

^So. Le soleil est une sphère d*un rayon égal à 1 10 fois celui de la terre; on connaît donc le rapport des volumes de ces deux corps et celui de leurs masses; d'où l'on conclut immédiatement le rapport de leurs densités moyennes : celle du soleil est, à peu près, le quart de la densité de la terre.

A la surface de cet astre, l'attraction est exprimée par

en appelant R son rayon. A cause de

R = iior, g = ~, cette quantité est la même chose que

(iio)*m'

et elle a pour valeur (29,5) g, d'après celle de

— . La durée de la rotation du soleil autour de son m

axe étant de 25^,5, la force centrifuge à son équateur

n'est que le sixième de cette foixe à l'équateur de la

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 47g

^erre. Ea négligeant donc la diminution qu'elle produit dans la pesanteur à la surface du soleil , on voit C{i2e le poids d'un corps à cette surface est 29 fois et demie le poids du même corps à la surface de la "terr^ , et que les corps f parcourent à peu près 1 45 mètres dans la première seconde de leur chute. En appliquant successivement 1 équation (i) du n*" 24^ ^ 1^ terre et à une autre planète, et supposant que les quantités m, ^i, T, relatives à la terre, detiennent 713, , a, , T| , par rapport à la planète, on en conclura

?■ ~ M + rn T* '

par l'élimination de f. Connaissant la valeur de a par l'observation de la parallaxe solaire, ou autrement , ainsi que la masse m de la terre et la durée T de Tannée sjdérale, cette équation servira à déterminer la valeur du demi-grand axe a, d'une planète quelconque, lorsque sa masse m, et le temps T, de sa révolution seront donnés. Le procédé du n® 2^S pour déterminer cette masse, suppose seulement qu'on connaisse une valeur approchée du demi-grand axe. a5i. L'attraction exercée à la surface de la terre par une masse considérable, telle qu'une haute montagne, fera dévier les corps pesans de la direction verticale, et le prolongement du ^Z à plomb n'ira plus rencontrer le ciel au zénith. Il s'en écartera en sens contraire des deux côtés opposés de la montagne ; en sorte que si tout est semblable de part et d'autre , pour la forme de la montagne et pour l'éloignement du lil à plomb, la distance angulaire des

48o TRAITÉ DE MÊCAKIQIJE.

dttix étoiles par lesquelles soù prolougement ira passer ^ sera double de sa dëviation. Cet effet a été observe, par les astronomes, au Pérou et en Ecosse; mais, à cause que les masses des plus hautes montagnes sont encore très petites, eu égard à la masse de la terre , les déviations dont il s'agît sont aussi très peu considérables, et ne s'élèvent qu'à de petits nombres de secondes. Voici un exemple du calcul de la déviation du fil à plomb, due à l'attraction d'une masse donnée.

Soit A (fig. 57) le centre d'une sphère homogène, suspendue à l'extrémité d'un fil inextensible et inflexible, dont l'autre bout est attaché au point fixe C; soit aussi 0 le centre fixe d'une autre sphère homogène qui agît sur la première. Le fil CA s'écartera de la verticate CB sans sortir du plan passant par cette dfoîte et la ligne GO; et, dans sa poisîtîon d'équilibré, il fendra que la résultante dû poids de la pnemière sphère et dé l'attraction de la seconde vienne passer pat* le point fixe C. Or, ces deux forces seront appliquées au point A , Tune suivant la verticale AD, l'autre suivant la droite AO ; et elles tendront à faire tourner le fil CA en sens opposés autour du point C. Pour que leur résultante passe par le point 0, il faudra donc que leurs momens , par rapport à ce même point, soient égaux (n" 46); pâr conséquent, si l'on appelle P et Q le poids de la première sphère et l'attraction totale de la seconde , et que 1 on désigné par p et q les perpendiculaires CE et CF, ubai^éés du point C sui' les prolongemens de DA et de OA , on aura

pour l'équation d'équilibre qui devra servir a déterminer la déviation inconnue BCA.

J'appelle a: cet angle , y l'angle donné BCO , a et c les distances aussi données CA et CO , et ^ la distance inconnue AO; nous aurons

^* = rt* + c* — 2accos(y — x),

et, en outre,

sinL.UA — — — , q=z , plasma:.

Appelons aussi m la niasse de la terre, m, celle de la sphère mobile, m' celle de la sphère attirante. En désignant toujours par y le coefficient de l'attraction universelle, et représentant par r le rayon de la terre, les forces motrices P et Q auront pour valeurs

et si p est la densité moyenne de la terre, f' celle de la sphère attirante, et / son rayon, on aura aussi

Au moyen de ces diflFérentes valeurs, l'équation P^ = Q</ se changera en celle-ci :

fiy^siaa: = fV'csin(j. — a:),

où il ne restera plus qu'à mettre la valeur de^ pour en déduire ensuite celle de x.

Si

48a TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

Je supposerai , ce qui a lieu généralement , la longueur CÂ du fil à plomb très petite par rapport à la distance CO. En négligeant a par rapport à c dans les valeurs de j^, on aura simplement jr = c; d'où il résultera

s\u (y — x) frc""

La densité p' et le rayon r' de la sphère attirante restant les mêmes, la valeur de x que Ton tirera de cette équation sera d'autant plus grande que la distance c sera plus petite y et que l'angle y approchera davantage d'être un angle droit; et comme c ne peut pas être moindre que le rayon r', il s'ensuit qu'on aura le maximum de déviation du fil à plomb que puisse produire Tattraction d'une sphère donnée , en prenant c = r' et 5^ == 90** ; ce qui réduit l'équation précédente à

tSLUgX = — .

Si l'on suppose, par exemple, p^ss p, et qu'on demande quel doit être le rayon r^ pour que la dévia*-^ tion :r s'élève à une seconde, on aura r'=rtang i"; et, à cause que la circonférence acrr de la terre est de 40 millions de mètres, il en résultef*a /=3o"',856.... Ainsi, une sphère homogène d'environ 3i mètres de rayon , et d'une densité égale à la densité moyenne de la terre, ne produit qu'une déviation d'une seconde au plus dans la direction du fil à plomb ; et pour qu'elle la produise, il faut qu'elle touche l'extrémité inférieure de ce fil , et que son centre soit

G.oogle

situé dans le plan horizontal passant par cette ex-* trémité.

aSa. Cette moyenne densité de la terre ^ conclue de la déviation du fil à plomb que produit l'attraction des montagne», a été évaluée à quatre ou cinq ibis la densité de Teau. Cavendish l'a trouvée égale à cinq fois et demie cette densité , en la déduisant de l'attraction exercée par deux globes de plomb de huit pouces anglais de diamètre^ qu'il a su rendre sensible par le nqoyen de la balance de torsion. Sans entrer ici dans tous les détails de cette belle expérience, des diverses précautions qu'elle exige , et des calculs qu'il faut faire pour en déduire un résultat exact , je vais seulement indiquer les points principaux de ces calculs (*).

La balance de torsion est l'instrument le plus exact que nous ayons pour servir à la mesure des forces très petites. Coulomb , h qui Tinvention en est due , l'a surtout employée à mesurer les forces d'attraction et de répulsion des corps électrisés; et, pour cette raison, eJW QSt aussi connue, en Physique, sous le nom de balance électrique. Elle consiste principalement en un fil métallique très délié , vertical , attaché à ttn point fixe , et à l'extrémité duquel est suspendu un levier horizontal. Supposons ce levier formé d'une tige très mince ACA' ( fig. 58 ) , partagée en deux parties égales à son point d'attache C, et terminée

(*) On trouve dans le 1 7' cahier du Journal de l'École Polytechnique une traduction exacte du mémoire de Cavendish.

par deux sphères d*un petit diamètre , dont les centres sont A et A'. Du point C comme centre, et d'un rayon égal à CA, décrivons le cercle horizontal BAB'A', dont nous diviserons la circonférence en un grand nombre de parties égales. Lorsque le levier tournera autour du point C , ses extrémités A et A' parcourront cette circonférence , et les points de division auxquels ils répondront à chaque instant feront connaître les arcs qu'ils auront décrits. Tant que le fil de suspension qui aboutit au point C n'est pas tordu y le levier reste en repos dans une certaine position. Je suppose qu'il réponde alors à la ligne 6CB'; si Ion vient à Técarter de cette ligne, pour le mettre dans une autre position quelconque ACA', le fil de suspension sera tordu sur lui-même, et cette torsion tendra à ramener ce levier vers la ligne BCB'. Pour le retenir dans la direction ACA', supposons que l'on applique à ses deux extrémités des forces égales et contraires, dirigées dans le plan horizontal, et perpendiculaires a sa longueur; la valeur commune de ces deux forces sera la mesuré de la force de torsion qui leur fait équilibre. Or, les expériences de Coulomb ont prouvé que le fil de suspension restant le même, cette force de torsion est proportionnelle à l'angle BCA; en prenant donc l'angle droit pour unité, appelant h la force de torsion qui répond à cet angle, et désignant par 6 l'angle BCA , cette force, dans la position ACA' du levier, sera égale à Afl : ainsi , dans cette position , la torsion du fil de suspension équivaudra à deux forces égales à Afl, horizontales, perpendiculaires à ACA', appliquées

aux points A et A', et tendantes à ramener le levier à la ligne de repos BCB^

Cela posé, approchons du levier deux sphères hor mogènes d'une même matière , d'un même diamètre, et symétriquement placées de part et d'autre de la ligne BCB'. Soient 0 et 0' leure centres situés dans le plan horizontal qui contient le levier, SL égale distance de G , et sur une droite OCO' menée par ce point. L'attraction de ces deux corps va écarter le levier de la ligne BCB%* et, à cause que tout est semblable autour du centre C;. la droite AGA' tournera autour de ce point, qui restera immobile. A mesure vque le levier s'écartera de la ligne de repos, la force de toi^ion augmentera. Il existe une position dans laquelle cette force ferait équilibre à Tattraction des deux sphères; mais comme le levier atteint cette position avec une vitesse acquise, il la dépasse , et il oscille , de part et d'autre , a la manière d'un pendule horizontal. L'observation fait connaître la durée d'une oscillation entière. En comparant la longueur de ce pendule à celle d'un pendule ordinaire qui oscillerait dans le même temps, on en conclut le rapport de la force d'attraction de chaque sphère à la pesanteur; et, par suite, on a le rapport de la masse de cette sphère à celle de la terre. L'équation qui sert à déterminer ce rapport est facile à former, ainsi qu'on va le voir.

253. Les deux sphères mobiles dont les centres sont en A et A', étant sollicitées par les mêmes forces , et ayant le même mouvement autour du point fixe G , il suffira de considérer- Iç mouvement du centre de

486 TRAITÉ DE MÉGANIQUE.

Tune d'elles, du point A, par exemple; soient donc

comme dans le problème précédent ,

CA = a, CO = c, BCO = y;

appelons mf la masse de la sphère attirante dont le centre est en 0 , et/ le coefficient de l'attraction universelle ; au bout d'un temps quelconque t , désignons par 8 l'angle ACB , et par z la distance AO , nous aurons

a' = a* + C — 2ac cos(y — fl ) ;

et la force accélératrice provenant de l'attraction dirigée suivant AO sera *=^. Je la décompose en deux

autres forces , Tune dirigée suivant le prolongement de CA, et l'autre perpendiculaire à CA. Cette dernière

composante sera égale à*^ sin CAO, c'est-à-dire,

à •^-3- sin ( 7^ — 6 ), en y mettant pour sin CAO sa

valeur déduite du triangle COA. Si l'on retranche de cette composante tangente à la trajectoire , la force de torsion A8 qui lui est directement opposée , et si l'on observe que l'arc BA décrit par le mobile est ég^I à aO , on aura

pour réquation du mouvement ( n"* \Si )•

L'attraction de la masse ni étant une très petite force, l'angle 6 dont elle écarte le levier ACA' de sa

lâgne de repos sera très petit. En appelant b la dis-* tance BO , ou k valeur de z qui répond à 0s=£ o^ dé aorte qu'on ait

i' =3 a' + c' — nctcco&y^

et développant suivant les puissance de &, il vient

i^ — ' = -p^— [(« + ^ ccJg >— adc— oc sinV] rj +etc.

Si donc , on fait , pour abréger ^ .

[(a*+ c*) cos > — aac — ac sia^y] -^^ + A =g',

g3 — ^Sf

et qu'on néglige les puissances de 0 supérieures à la .première , Téquation du mouvement deviendra

d'où l'on tire, en intégrant^

fl = g + A: cos (^ y/? + *0 '

k et k! étant les deux constantes arbitraires.

D'après cette valeur de 0, le plus petit et le plus grand écart du levier ÂCA'^ à partir de la ligne BCB'', seront C + ketC — A: ; et , si l'on tire la ligne DCD', telle que l'angle BCD soif égal à ^ , le levier fera^ de part et d'autre de cette droite , des oscillations égales et isochrones dont l'amplitude sera la constante k :

488 TRAITÉ DE MÉGANIQUK

on déterminera Fangle.^ par rexpérience , en mesiH rant le plus petit et le plus grand écart du. levier , et . prenant , pour cet angle , la demi-somme de ces valeurs extrêmes de 8. La droite DQD' qui répond à 6=^ est la position du levier dans laquelle il demeurerait en équilibre , s'il y parvenait sans vitesse acquise. La durée de chaque oscillation entière du levier^ de part et d autre de cette ligne , sera le temps pendant lequel l'angle t y/— 4- A:' augmentera de i8o*;enlc désignant par T, on aura donc

et cette durée T sera aussi donnée par l'observation.

Maintenant, si l'on appelle g la gravité, et / la

longueur du pendule simple qui fait ses oscillations

infiniment petites dans le temps T, on a (n"* 182),

on aura donc

ga = g'Z;

par conséquent 1

a cause de

fin'csvay

nous aurons, finalement.

m' Cab^ m *"" clr^ sin y '

m étant la masse

idela terre et r son

rayon.

Toutes les quantités contenues dans cette formule sont connues dans chaque expérience; elle servir^ donc à calculer le rapport dé la masse rvl à celle de la terre ; et connaissant , en outre ^ les volumes de ces deux corps et la densité de w!y on en conclura la densité moyenne de la terre.

254> On démontre y dans là Mécanique céleste ^ que pour la stabilité de l'équilibre de la mer^ il est nécessaire et il suffît que la densité moyenne de la terre surpasse celle de l'eau. C'est parce que cette condition est remplie , que les forces provenant des actions simultanées du soleil et de la lune ne produisent que de petites oscillations : si elle ne Tétait pas^ et que la terre , par exemple, en conservant sa densité moyenne , fut recouverte par une mer de mercure y l'action des moindres forces étrangères au sphéroïde terrestre, produirait, dans ce fluide, un mouvement progressif, de sorte que la mer, au lieu d'osciller, parcourrait la surface entière de la terre.

On prouve aussi , par diverses considérations , que la densité des couches concentriques du sphéroïde terrestre doit croître en allant de la surface au centre ; d'où il résulte que sa densité moyenne doit surpasser celle de la couche superficielle; condition qui se trouve effectivement remplie ; car si l'on excepte les métaux, qui sont en petite quantité dans cette couche, les densités des autres matières dont elle est formée , sont toutes beaucoup moindres que cinq fois et demie la densité de l'eau. Mais il importe d'observer. que cet accroissement de densité ne suppose pas l'exis*.

tence de matières entièrement' différentes de celles que nous voyons à la sur&c^ , et dont la densité propre serait excessivement grande : on peat admettre que tontes les conches de la terre sont formées d'nne même matière ^ un peu compressiMe , ou d'un m^ lange de différentes matières, comme à sa surface; et dans cette hypothèse , qui parait la plus naturelle , leur accroissement de densité serait dû à la condensation produite ^ dans chaque couche , par la pression des couches supérieures , qui va en augmentant de la surface au centre.

Dans rintérieur de la terre, la loi de l'attraction dépend de la loi inconnue des densités; en. dehors, elle varie sur le prolongement de chaque rayon , à peu près en raison inverse du carré de la distance au centre; et d'un rayon à un autre ^ elle éprouve en même temps une variation proportionnelle au carré du cosinus de l'angle que chaque rayon fait avec Taxe de figure du sphéroïde terrestre, il résulte de cette dernière variation qu'à égale distance du centre de la terre y la force appliquée au centre de la lune et provenant de l'attraction de ce sphéroïde , n'est pas la même dans toutes les directions du rayon vecteur; en sorte qu'on peut considérer cette force comme étant composée de dçux autres , l'une provenant de la partie sphérique de la terre et qui est constante ou ne varie qu'à raison de la distance à son centre, l'autre due au renflement de la terre à l'équateur et qui varie avec la direction du rayon par rapport à l'axe des pèles. Laplace a déterminé la petite inégalité en longitude et en latitude, que cette seconde force

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. . ' 491 produit dans le mouyement de la lune ; on conçoit que sa grandeur doit dépendre de l'applatissement de la terre; et en la comparant à celle que l'obsenration a donnée , on en conclut un applatlssement-;^, peu différent de celui qui résulte de l'ensemble des mesures du pendule et des degrés du méridien.

A la surface de la terre , la variation de la pesanteur provenant de celle de l'attraction et de la force centrifuge , suit la même loi qu'à une distance quelconque du centre y c'est-à-dire qu'elle est proportionnelle , ' comme nous lavons déjà dit ( n" 178 ), au carré du * cosinus de la latitude. Mais pour vérifier cette loi par les mesures du pendule à secondes , il faut que les oscillations ne soient pas observées près d'une montagne ; car, en même temps que la composante horizontale de son attraction écarte le pejidule de la verticale , dans sa position d'équilibre , la composante verticale de cette force diminue la pesanteur, et, conséquemment, la longueur du pendule simple. En évitant cette cause d'anomalie, on trouve encore qu'en certains lieux la longueur du pendule à secondes s'écarte de la loi de variation donnée par la théorie ; ce qu'on doit attribuer à ce qu'en ces lieux , la densité du terrein , dans une étendue et une pro- * fondeur considérables , est plus grande ou plus petite que la densité générale de la couche superficielle; d'où il résulte une augmentation ou une diminution de la pesanteur totale, et, par conséquent, de la longueur du pendule simple, qui est proportionnelle à son intensité. Le pendule est donc aussi un instrur

ment de Géologie, qui annonce, par ses anomalies, des variations d'une grande étendue dans la nature du sol.

Au reste, il faut observer que la loi du décroissement de la pesanteur, proportionnel au carré du cosinus de la latitude , en allant du pôle à l'équateur , suppose qu'on prend pour la surface de la terre le prolongement du niveau des mers; et comme les lieux des continens où se font les observations s'élèvent à des hauteurs différeules au*dessus de ce niveau, il est nécessaire de réduire les longueurs observées, 'à celles qui auraient lieu à ce niveau-même sur chaque verticale. Cette réduction se fait ordinairement en augmentant la pesanteur et la longueur du* pendule à secondes , dans le rapport du carré de la distance du lieu de l'observation au centre de la terre, au carré de cette même distance diminuée de la hauteur de ce lieu au-dessus du niveau des mers; ce qui revient à négliger l'attraction de la couche de terre comprise entre la surface du continent et le prolongement de la surface des mers. On va voir, dans le numéro suivant, que cette correction est trop grande de près de moitié.

255. Soient AM'B ( fig. 59 ) la surface d'un continent,DAM BE le niveau des mers et son prolongement, et C le centre de la terre ; soient aussi M^ le lieu de l'observation , et M le point où le rayon CM' rencontre ce prolongement; M'M sera la hauteur du point M au-dessus de la surface des mers , que je représenterai par h, et qui sera donnée par un nivellement ou par des mesures barométriques. Si M' était

très voisin de la mer, la pesanteur pourrait être un peu diminuée et sa' direction un peu dérangée , à cause que la densité de leau est moindre que celle du terrein; mais je supposerai que cela n'ait pas lieu, et je supposerai aussi qu'autour du point M' la surface du terrein soit horizontale ou sensiblement perpendiculaire autayon CM', et que sa densité soit uniforme* Il s'agira de calculer l attraction exercée au point M% par la couche AM'BM, élevée au-dessus du niveau des mers. Dans ce calcul, on poura faire abstraction de la courbure de cette couche et delà variation de son épaisseur, ou, autrement dit, on pourra considérer l'épaisseur de cette couche comme constante et égale à h , dans toute l'étendue où son attraction peut être sensible. Je représenterai par c le rayon de cette étendue , et par p' la densité de la couche.

Gela posé, soit K un point quelconque de la couche attirante ; désignons par zeijr ses distances à la surface du terrein et au rayon CM' ; et décrivons deux surfaces cylindriques qui aient MM' pour axe commun, et dont les rayons soient^ etj^+djr. Le volume compris entre ces deux surfaces aura 27rydy pour Lase et dz pour hauteur; et si on le décompose en anneaux horizontaux d'une épaisseur infiniment petite, le volume de l'anneau qui répondra au point K sera i^tcjdydzy et sa masse "iTF^'ydydz. L'attraction de cet anneau sur un point matériel situé en M' se réduira à une force dirigée suivant MM', qui sera -égale à la somme des composantes verticales des attractions de tous ses points; et comme ^ pour le

poiot quelconque K, on a

KM' = \/r + z% cos KMTVI= — =4=,

la force accélératrice provenant de l'attraction de Tanneau entier, aura pour valeur

^Tff'jrzdjrdz

f étant toujours le coefficient de l'attraction universelle. Par conséquent, pour avoir l'attraction de la couche que nous considérons, il faudra intégrer cette formule depuis is = o jusqu'à z s= A , et depuis j" = o jusqu'à jrz=zc\ ce qui donne

en désignant celte force par K. Mais, en général, l'épaisseur verticale de la couche attirante est petite, eu égard à son rayon horizontal ; si donc on néglige hf^ par rapport à c^, on aura simplement

Soit k l'attraction exercée au poiot M par la pantie de la terre qui se termine au niveau des mers, et r le rayon CM ; cette attraction au point M' deviendra

En désignant la pesanteur et la composante verticale de la force centrifuge par ^ et 7 au point M, et

par g' et y' au point M', on aura donc

Je développe le premier terme de ^ suivant les puissanees de A^ puis je retranche g' de g > et je néglige le carré de h et la petite différence >' -^ > ; il vient

A cause de la petitesse du facteur - , on peut faire

k:=s g' dans le premier terme de cette formule; dans la petite quantité k', on peut aussi supposer

3 ~ S' en désignant par p la densité moyenne de la terre ^ et prenant -^^ pour son volume ; il en résultera alors

et/ par conséquent ,

C'est donc par le facteur compris entre les paren-

thèses, et non par le facteur i H , comme on a

coutume de le faire , qu'on devra multiplier la pesanteur g' qui £| lieu sur un continent , à une hauteur h au-dessus du niveau des mers , pour la réduire à ce

uiveau. Oq peat, en général ^ évaluer p' à la moitié

de p, et prendre, en coùséqaeoce, 1'+ j- pour ce

facteur. A Paris, Télévation h du point de l'Observatoire où se trouve le baromètre, est de 65 mètres; d'où il résulte cpie la gravité et la longueur du pendule à secondes y sont moindres qu'au niveau des mers, dans le rapport de l'unité à 1,00001 25.

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